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  • 2021-05-10 发布

2020年四川省凉山州中考数学试卷(含解析)

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‎2020年四川省凉山州中考数学试卷 一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分)在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的,把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置.‎ ‎1.(4分)﹣12020=(  )‎ A.1 B.﹣1 C.2020 D.﹣2020‎ ‎2.(4分)如图,下列几何体的左视图不是矩形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.(4分)点P (2,3)关于x轴对称的点P'的坐标是(  )‎ A.(2,﹣3) B.(﹣2,3) C.(﹣2,﹣3) D.(3,2)‎ ‎4.(4分)已知一组数据1,0,3,﹣1,x,2,3的平均数是1,则这组数据的众数是(  )‎ A.﹣1 B.3 C.﹣1和3 D.1和3‎ ‎5.(4分)一元二次方程x2=2x的根为(  )‎ A.x=0 B.x=2 C.x=0或x=2 D.x=0或x=﹣2‎ ‎6.(4分)下列等式成立的是(  )‎ A.‎81‎‎=‎±9 B.|‎5‎‎-‎2|‎=-‎5‎+‎2 ‎ C.(‎-‎‎1‎‎2‎)﹣1=﹣2 D.(tan45°﹣1)0=1‎ ‎7.(4分)若一次函数y=(2m+1)x+m﹣3的图象不经过第二象限,则m的取值范围是(  )‎ A.m‎>-‎‎1‎‎2‎ B.m<3 C.‎-‎1‎‎2‎<‎m<3 D.‎-‎1‎‎2‎<‎m≤3‎ ‎8.(4分)点C是线段AB的中点,点D是线段AC的三等分点.若线段AB=12cm,则线段BD的长为(  )‎ A.10cm B.8cm C.10cm 或8cm D.2cm 或4cm ‎9.(4分)下列命题是真命题的是(  )‎ A.顶点在圆上的角叫圆周角 ‎ B.三点确定一个圆 ‎ C.圆的切线垂直于半径 ‎ D.三角形的内心到三角形三边的距离相等 第23页(共23页)‎ ‎10.(4分)如图所示,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,则tanA的值为(  )‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.2 D.2‎‎2‎ ‎11.(4分)如图,等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O,则AD:AB=(  )‎ A.2‎2‎:‎3‎ B.‎2‎:‎3‎ C.‎3‎:‎2‎ D.‎3‎:2‎‎2‎ ‎12.(4分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有如下结论:‎ ‎①abc>0;‎ ‎②2a+b=0;‎ ‎③3b﹣2c<0;‎ ‎④am2+bm≥a+b(m为实数).‎ 其中正确结论的个数是(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)‎ ‎13.(4分)函数y‎=‎x+1‎中,自变量x的取值范围是   .‎ ‎14.(4分)因式分解:a3﹣ab2=   .‎ ‎15.(4分)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE∥AB交AD于点E,若OA=‎ 第23页(共23页)‎ ‎1,△AOE的周长等于5,则▱ABCD的周长等于   .‎ ‎16.(4分)如图,点C、D分别是半圆AOB上的三等分点,若阴影部分的面积是‎3‎‎2‎π,则半圆的半径OA的长为   .‎ ‎17.(4分)如图,矩形OABC的面积为‎100‎‎3‎,对角线OB与双曲线y‎=‎kx(k>0,x>0)相交于点D,且OB:OD=5:3,则k的值为   .‎ 三、解答题(本大题共5小题,共32分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18.(5分)解方程:x‎-x-2‎‎2‎=‎1‎+‎‎2x-1‎‎3‎.‎ ‎19.(5分)化简求值:(2x+3)(2x﹣3)﹣(x+2)2+4(x+3),其中x‎=‎‎2‎.‎ ‎20.(7分)如图,一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少?‎ ‎21.(7分)某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛,分三批对全 第23页(共23页)‎ 校20个班的作品进行评比.在第一批评比中,随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品,对其数量进行统计后,绘制如图两幅不完整的统计图.‎ ‎(1)第一批所抽取的4个班共征集到作品   件;在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为   ;‎ ‎(2)补全条形统计图;‎ ‎(3)第一批评比中,A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖.现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出,用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率.‎ ‎22.(8分)如图,AB是半圆AOB的直径,C是半圆上的一点,AD平分∠BAC交半圆于点D,过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H.‎ ‎(1)求证:DH是半圆的切线;‎ ‎(2)若DH=2‎5‎,sin∠BAC‎=‎‎5‎‎3‎,求半圆的直径.‎ 四、填空题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)‎ ‎23.(5分)若不等式组‎2x<3(x-3)+1‎‎3x+2‎‎4‎‎>x+a恰有四个整数解,则a的取值范围是   .‎ ‎24.(5分)如图,矩形ABCD中,AD=12,AB=8,E是AB上一点,且EB=3,F是BC上一动点,若将△EBF沿EF对折后,点B落在点P处,则点P到点D的最短距离为   .‎ 第23页(共23页)‎ 五、解答题(本大题共4小题,共40分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎25.(8分)如图,点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外),点P、点Q以相同的速度,同时从点A、点B出发.‎ ‎(1)如图1,连接AQ、CP.求证:△ABQ≌△CAP;‎ ‎(2)如图1,当点P、Q分别在AB、BC边上运动时,AQ、CP相交于点M,∠QMC的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数;‎ ‎(3)如图2,当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时,直线AQ、CP相交于M,∠QMC的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.‎ ‎26.(10分)如图,已知直线l:y=﹣x+5.‎ ‎(1)当反比例函数y‎=‎kx(k>0,x>0)的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时,求k的取值范围.‎ ‎(2)若反比例函数y‎=‎kx(k>0,x>0)的图象与直线l在第一象限内相交于点A(x1,y1)、B(x2,y2),当x2﹣x1=3时,求k的值,并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5‎<‎kx的解集.‎ 第23页(共23页)‎ ‎27.(10分)如图,⊙O的半径为R,其内接锐角三角形ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c.‎ ‎(1)求证:asin∠A‎=bsin∠B=csin∠C=‎2R;‎ ‎(2)若∠A=60°,∠C=45°,BC=4‎3‎,利用(1)的结论求AB的长和sin∠B的值.‎ ‎28.(12分)如图,二次函数y=ax2+bx+x的图象过O(0,0)、A(1,0)、B(‎3‎‎2‎,‎3‎‎2‎)三点.‎ ‎(1)求二次函数的解析式;‎ ‎(2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C,与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D,求直线CD的解析式;‎ ‎(3)在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P,过点P作PQ⊥x轴,交直线CD于Q,当线段PQ的长最大时,求点P的坐标.‎ 第23页(共23页)‎ ‎2020年四川省凉山州中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分)在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的,把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置.‎ ‎1.(4分)﹣12020=(  )‎ A.1 B.﹣1 C.2020 D.﹣2020‎ ‎【解答】解:﹣12020=﹣1.‎ 故选:B.‎ ‎2.(4分)如图,下列几何体的左视图不是矩形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:A、圆柱的左视图是矩形,故本选项不符合题意;‎ B、三棱锥的左视图是三角形,故本选项符合题意;‎ C、三棱柱的左视图是矩形,故本选项不符合题意;‎ D、正方体的左视图是正方形,故本选项不符合题意.‎ 故选:B.‎ ‎3.(4分)点P (2,3)关于x轴对称的点P'的坐标是(  )‎ A.(2,﹣3) B.(﹣2,3) C.(﹣2,﹣3) D.(3,2)‎ ‎【解答】解:点P(2,3)关于x轴对称的点P'的坐标是(2,﹣3).‎ 故选:A.‎ ‎4.(4分)已知一组数据1,0,3,﹣1,x,2,3的平均数是1,则这组数据的众数是(  )‎ A.﹣1 B.3 C.﹣1和3 D.1和3‎ ‎【解答】解:∵数据1,0,3,﹣1,x,2,3的平均数是1,‎ ‎∴1+0+3﹣1+x+2+3=7×1,‎ 解得x=﹣1,‎ 则这组数据为1,0,3,﹣1,﹣1,2,3,‎ ‎∴这组数据的众数为﹣1和3,‎ 故选:C.‎ 第23页(共23页)‎ ‎5.(4分)一元二次方程x2=2x的根为(  )‎ A.x=0 B.x=2 C.x=0或x=2 D.x=0或x=﹣2‎ ‎【解答】解:∵x2=2x,‎ ‎∴x2﹣2x=0,‎ 则x(x﹣2)=0,‎ ‎∴x=0或x﹣2=0,‎ 解得x1=0,x2=2,‎ 故选:C.‎ ‎6.(4分)下列等式成立的是(  )‎ A.‎81‎‎=‎±9 B.|‎5‎‎-‎2|‎=-‎5‎+‎2 ‎ C.(‎-‎‎1‎‎2‎)﹣1=﹣2 D.(tan45°﹣1)0=1‎ ‎【解答】解:A.‎81‎‎=‎9,此选项计算错误;‎ B.|‎5‎‎-‎2|‎=‎5‎-‎2,此选项错误;‎ C.(‎-‎‎1‎‎2‎)﹣1=﹣2,此选项正确;‎ D.(tan45°﹣1)0无意义,此选项错误;‎ 故选:C.‎ ‎7.(4分)若一次函数y=(2m+1)x+m﹣3的图象不经过第二象限,则m的取值范围是(  )‎ A.m‎>-‎‎1‎‎2‎ B.m<3 C.‎-‎1‎‎2‎<‎m<3 D.‎-‎1‎‎2‎<‎m≤3‎ ‎【解答】解:根据题意得‎2m+1>0‎m-3≤0‎,‎ 解得‎-‎1‎‎2‎<‎m≤3.‎ 故选:D.‎ ‎8.(4分)点C是线段AB的中点,点D是线段AC的三等分点.若线段AB=12cm,则线段BD的长为(  )‎ A.10cm B.8cm C.10cm 或8cm D.2cm 或4cm ‎【解答】解:∵C是线段AB的中点,AB=12cm,‎ ‎∴AC=BC‎=‎‎1‎‎2‎AB‎=‎1‎‎2‎×‎12=6(cm),‎ 点D是线段AC的三等分点,‎ 第23页(共23页)‎ ‎①当AD‎=‎‎1‎‎3‎AC时,如图,‎ BD=BC+CD=BC‎+‎‎2‎‎3‎AC=6+4=10(cm);‎ ‎②当AD‎=‎‎2‎‎3‎AC时,如图,‎ BD=BC+CD′=BC‎+‎‎1‎‎3‎AC=6+2=8(cm).‎ 所以线段BD的长为10cm或8cm,‎ 故选:C.‎ ‎9.(4分)下列命题是真命题的是(  )‎ A.顶点在圆上的角叫圆周角 ‎ B.三点确定一个圆 ‎ C.圆的切线垂直于半径 ‎ D.三角形的内心到三角形三边的距离相等 ‎【解答】解:A、顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角,原命题是假命题;‎ B、不在同一直线上的三点确定一个圆,原命题是假命题;‎ C、圆的切线垂直于过切点的半径,原命题是假命题;‎ D、三角形的内心到三角形三边的距离相等,是真命题;‎ 故选:D.‎ ‎10.(4分)如图所示,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,则tanA的值为(  )‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.2 D.2‎‎2‎ ‎【解答】解:如图,连接BD,由网格的特点可得,BD⊥AC,‎ AD‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=‎2‎2‎,BD‎=‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎2‎,‎ ‎∴tanA‎=BDAD=‎2‎‎2‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎,‎ 故选:A.‎ 第23页(共23页)‎ ‎11.(4分)如图,等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O,则AD:AB=(  )‎ A.2‎2‎:‎3‎ B.‎2‎:‎3‎ C.‎3‎:‎2‎ D.‎3‎:2‎‎2‎ ‎【解答】解:连接OA、OB、OD,过O作OH⊥AB于H,如图所示:‎ 则AH=BH‎=‎‎1‎‎2‎AB,‎ ‎∵正方形ABCD和等边三角形AEF都内接于⊙O,‎ ‎∴∠AOB=120°,∠AOD=90°,‎ ‎∵OA=OD=OB,‎ ‎∴△AOD是等腰直角三角形,∠AOH=∠BOH‎=‎1‎‎2‎×‎120°=60°,‎ ‎∴AD‎=‎‎2‎OA,AH=OA•sin60°‎=‎‎3‎‎2‎OA,‎ ‎∴AB=2AH=2‎×‎‎3‎‎2‎OA‎=‎‎3‎OA,‎ ‎∴ADAB‎=‎2‎OA‎3‎OA=‎‎2‎‎3‎,‎ 故选:B.‎ ‎12.(4分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有如下结论:‎ ‎①abc>0;‎ 第23页(共23页)‎ ‎②2a+b=0;‎ ‎③3b﹣2c<0;‎ ‎④am2+bm≥a+b(m为实数).‎ 其中正确结论的个数是(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【解答】解:①∵对称轴在y轴右侧,‎ ‎∴a、b异号,‎ ‎∴ab<0,‎ ‎∵c<0‎ ‎∴abc>0‎ 故①正确;‎ ‎②∵对称轴x‎=-b‎2a=‎1,‎ ‎∴2a+b=0;‎ 故②正确;‎ ‎③∵2a+b=0,‎ ‎∴a‎=-‎‎1‎‎2‎b,‎ ‎∵当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,‎ ‎∴‎-‎‎1‎‎2‎b﹣b+c>0‎ ‎∴3b﹣2c<0‎ 故③正确;‎ ‎④根据图象知,当x=1时,y有最小值;‎ 当m为实数时,有am2+bm+c≥a+b+c,‎ 所以am2+bm≥a+b(m为实数).‎ 故④正确.‎ 第23页(共23页)‎ 本题正确的结论有:①②③④,4个;‎ 故选:D.‎ 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)‎ ‎13.(4分)函数y‎=‎x+1‎中,自变量x的取值范围是 x≥﹣1 .‎ ‎【解答】解:由题意得,x+1≥0,‎ 解得x≥﹣1.‎ 故答案为:x≥﹣1.‎ ‎14.(4分)因式分解:a3﹣ab2= a(a+b)(a﹣b) .‎ ‎【解答】解:a3﹣ab2=a(a2﹣b2)=a(a+b)(a﹣b).‎ ‎15.(4分)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE∥AB交AD于点E,若OA=1,△AOE的周长等于5,则▱ABCD的周长等于 16 .‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB=CD,AD=BC,OB=OD,‎ ‎∵OE∥AB,‎ ‎∴OE是△ABD的中位线,‎ ‎∴AB=2OE,AD=2AE,‎ ‎∵△AOE的周长等于5,‎ ‎∴OA+AE+OE=5,‎ ‎∴AE+OE=5﹣OA=5﹣1=4,‎ ‎∴AB+AD=2AE+2OE=8,‎ ‎∴▱ABCD的周长=2×(AB+AD)=2×8=16;‎ 故答案为:16.‎ ‎16.(4分)如图,点C、D分别是半圆AOB上的三等分点,若阴影部分的面积是‎3‎‎2‎π,则半圆的半径OA的长为 3 .‎ 第23页(共23页)‎ ‎【解答】解:连接OC、OD、CD.‎ ‎∵△COD和△CBD等底等高,‎ ‎∴S△COD=S△BCD.‎ ‎∵点C,D为半圆的三等分点,‎ ‎∴∠COD=180°÷3=60°,‎ ‎∴阴影部分的面积=S扇形COD,‎ ‎∵阴影部分的面积是‎3‎‎2‎π,‎ ‎∴‎60π⋅‎r‎2‎‎360‎‎=‎‎3‎‎2‎π,‎ ‎∴r=3,‎ 故答案为3.‎ ‎17.(4分)如图,矩形OABC的面积为‎100‎‎3‎,对角线OB与双曲线y‎=‎kx(k>0,x>0)相交于点D,且OB:OD=5:3,则k的值为 12 .‎ ‎【解答】解:设D的坐标是(3m,3n),则B的坐标是(5m,5n).‎ ‎∵矩形OABC的面积为‎100‎‎3‎,‎ ‎∴5m•5n‎=‎‎100‎‎3‎,‎ ‎∴mn‎=‎‎4‎‎3‎.‎ 第23页(共23页)‎ 把D的坐标代入函数解析式得:3n‎=‎k‎3m,‎ ‎∴k=9mn=9‎×‎4‎‎3‎=‎12.‎ 故答案为12.‎ 三、解答题(本大题共5小题,共32分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18.(5分)解方程:x‎-x-2‎‎2‎=‎1‎+‎‎2x-1‎‎3‎.‎ ‎【解答】解:去分母,得:6x﹣3(x﹣2)=6+2(2x﹣1),‎ 去括号,得:6x﹣3x+6=6+4x﹣2,‎ 移项,得:6x﹣3x﹣4x=6﹣6﹣2,‎ 合并同类项,得:﹣x=﹣2,‎ 系数化为1,得:x=2.‎ ‎19.(5分)化简求值:(2x+3)(2x﹣3)﹣(x+2)2+4(x+3),其中x‎=‎‎2‎.‎ ‎【解答】解:原式=4x2﹣9﹣(x2+4x+4)+4x+12‎ ‎=4x2﹣9﹣x2﹣4x﹣4+4x+12‎ ‎=3x2﹣1,‎ 当x‎=‎‎2‎时,‎ 原式=3×(‎2‎)2﹣1‎ ‎=3×2﹣1‎ ‎=6﹣1‎ ‎=5.‎ ‎20.(7分)如图,一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少?‎ ‎【解答】解:∵四边形EGFH为正方形,‎ ‎∴BC∥EF,‎ 第23页(共23页)‎ ‎∴△AEF∽△ABC;‎ 设正方形零件的边长为x mm,则KD=EF=x,AK=80﹣x,‎ ‎∵EF∥BC,‎ ‎∴△AEF∽△ABC,‎ ‎∵AD⊥BC,‎ ‎∴EFBC‎=‎AKAD,‎ ‎∴x‎120‎‎=‎‎80-x‎80‎,‎ 解得:x=48.‎ 答:正方形零件的边长为48mm.‎ ‎21.(7分)某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛,分三批对全校20个班的作品进行评比.在第一批评比中,随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品,对其数量进行统计后,绘制如图两幅不完整的统计图.‎ ‎(1)第一批所抽取的4个班共征集到作品 24 件;在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为 150° ;‎ ‎(2)补全条形统计图;‎ ‎(3)第一批评比中,A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖.现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出,用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率.‎ 第23页(共23页)‎ ‎【解答】解:(1)第一批所抽取的4个班共征集到作品6÷25%=24(件),‎ 则C班级作品数为24﹣(4+6+4)=10(件),‎ ‎∴在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为360°‎×‎10‎‎24‎=‎150°,‎ 故答案为:24、150°;‎ ‎(2)补全图形如下:‎ ‎(3)列表如下:‎ A B B C C D A BA BA CA CA DA B AB BB CB CB DB B AB BB CB CB DB C AC BC BC CC DC C AC BC BC CC DC D AD BD BD CD CD 由表可知,共有30种等可能结果,其中抽取的作品来自两个不同班级的有26种结果,‎ ‎∴抽取的作品来自两个不同班级的概率为‎26‎‎30‎‎=‎‎13‎‎15‎.‎ 第23页(共23页)‎ ‎22.(8分)如图,AB是半圆AOB的直径,C是半圆上的一点,AD平分∠BAC交半圆于点D,过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H.‎ ‎(1)求证:DH是半圆的切线;‎ ‎(2)若DH=2‎5‎,sin∠BAC‎=‎‎5‎‎3‎,求半圆的直径.‎ ‎【解答】(1)证明:连接OD,‎ ‎∵OA=OD,‎ ‎∴∠DAO=∠ADO,‎ ‎∵AD平分∠BAC,‎ ‎∴∠CAD=∠OAD,‎ ‎∴∠CAD=∠ADO,‎ ‎∴AH∥OD,‎ ‎∵DH⊥AC,‎ ‎∴OD⊥DH,‎ ‎∴DH是半圆的切线;‎ ‎(2)解:连接BC交OD于E,‎ ‎∵AB是半圆AOB的直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∴四边形CEDH是矩形,‎ ‎∴CE=DH=2‎5‎,∠DEC=90°,‎ ‎∴OD⊥BC,‎ ‎∴BC=2CE=4‎5‎,‎ ‎∵sin∠BAC‎=BCAB=‎‎5‎‎3‎,‎ ‎∴AB=12,‎ 即半圆的直径为12.‎ 第23页(共23页)‎ 四、填空题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)‎ ‎23.(5分)若不等式组‎2x<3(x-3)+1‎‎3x+2‎‎4‎‎>x+a恰有四个整数解,则a的取值范围是 ‎-‎11‎‎4‎≤‎a‎<-‎‎5‎‎2‎ .‎ ‎【解答】解:解不等式2x<3(x﹣3)+1,得:x>8,‎ 解不等式‎3x+2‎‎4‎‎>‎x+a,得:x<2﹣4a,‎ ‎∵不等式组有4个整数解,‎ ‎∴12<2﹣4a≤13,‎ 解得:‎-‎11‎‎4‎≤‎a‎<-‎‎5‎‎2‎,‎ 故答案为:‎-‎11‎‎4‎≤‎a‎<-‎‎5‎‎2‎.‎ ‎24.(5分)如图,矩形ABCD中,AD=12,AB=8,E是AB上一点,且EB=3,F是BC上一动点,若将△EBF沿EF对折后,点B落在点P处,则点P到点D的最短距离为 10 .‎ ‎【解答】解:如图,连接PD,DE,‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠A=90°,‎ ‎∵AB=8,BE=3,‎ ‎∴AE=5,‎ 第23页(共23页)‎ ‎∵AD=12,‎ ‎∴DE‎=‎5‎‎2‎‎+1‎‎2‎‎2‎=‎13,‎ 由折叠得:EB=EP=3,‎ ‎∵EP+DP≥ED,‎ ‎∴当E、P、D共线时,DP最小,‎ ‎∴DP=DE﹣EP=13﹣3=10;‎ 故答案为:10.‎ 五、解答题(本大题共4小题,共40分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎25.(8分)如图,点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外),点P、点Q以相同的速度,同时从点A、点B出发.‎ ‎(1)如图1,连接AQ、CP.求证:△ABQ≌△CAP;‎ ‎(2)如图1,当点P、Q分别在AB、BC边上运动时,AQ、CP相交于点M,∠QMC的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数;‎ ‎(3)如图2,当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时,直线AQ、CP相交于M,∠QMC的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.‎ ‎【解答】解:(1)证明:如图1,∵△ABC是等边三角形 ‎∴∠ABQ=∠CAP=60°,AB=CA,‎ 又∵点P、Q运动速度相同,‎ ‎∴AP=BQ,‎ 在△ABQ与△CAP中,‎ AB=CA‎∠ABQ=∠CPAAP=BQ‎,‎ ‎∴△ABQ≌△CAP(SAS);‎ 第23页(共23页)‎ ‎(2)点P、Q在AB、BC边上运动的过程中,∠QMC不变.‎ 理由:∵△ABQ≌△CAP,‎ ‎∴∠BAQ=∠ACP,‎ ‎∵∠QMC是△ACM的外角,‎ ‎∴∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC ‎∵∠BAC=60°,‎ ‎∴∠QMC=60°;‎ ‎(3)如图2,点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时,∠QMC不变 理由:同理可得,△ABQ≌△CAP,‎ ‎∴∠BAQ=∠ACP,‎ ‎∵∠QMC是△APM的外角,‎ ‎∴∠QMC=∠BAQ+∠APM,‎ ‎∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°,‎ 即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,∠QMC的度数为120°.‎ ‎26.(10分)如图,已知直线l:y=﹣x+5.‎ ‎(1)当反比例函数y‎=‎kx(k>0,x>0)的图象与直线l 第23页(共23页)‎ 在第一象限内至少有一个交点时,求k的取值范围.‎ ‎(2)若反比例函数y‎=‎kx(k>0,x>0)的图象与直线l在第一象限内相交于点A(x1,y1)、B(x2,y2),当x2﹣x1=3时,求k的值,并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5‎<‎kx的解集.‎ ‎【解答】解:(1)将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得:x2﹣5x+k=0,‎ 由题意得:△=25﹣4k≥0,解得:k‎≤‎‎25‎‎4‎,‎ 故k的取值范围0<k‎≤‎‎25‎‎4‎;‎ ‎(2)设点A(m,﹣m+5),而x2﹣x1=3,则点B(m+3,﹣m+2),‎ 点A、B都在反比例函数上,故m(﹣m+5)=(m+3)(﹣m+2),解得:m=1,‎ 故点A、B的坐标分别为(1,4)、(4,1);‎ 将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得:k=4×1=4,‎ 观察函数图象知,当﹣x+5‎<‎kx时,0<x<1或x>4.‎ ‎27.(10分)如图,⊙O的半径为R,其内接锐角三角形ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c.‎ ‎(1)求证:asin∠A‎=bsin∠B=csin∠C=‎2R;‎ ‎(2)若∠A=60°,∠C=45°,BC=4‎3‎,利用(1)的结论求AB的长和sin∠B的值.‎ ‎【解答】(1)证明:作直径BE,连接CE,如图所示:‎ 第23页(共23页)‎ 则∠BCE=90°,∠E=∠A,‎ ‎∴sinA=sinE‎=BCBE=‎a‎2R,‎ ‎∴asinA‎=‎2R,‎ 同理:bsin∠B‎=‎2R,csin∠C‎=‎2R,‎ ‎∴asin∠A‎=bsin∠B=csin∠C=‎2R;‎ ‎(2)解:由(1)得:ABsinC‎=‎BCsinA,‎ 即ABsin45°‎‎=‎4‎‎3‎sin60°‎=‎2R,‎ ‎∴AB‎=‎4‎3‎×‎‎2‎‎2‎‎3‎‎2‎=‎4‎2‎,2R‎=‎4‎‎3‎‎3‎‎2‎=‎8,‎ 过B作BH⊥AC于H,‎ ‎∵∠AHB=∠BHC=90°,‎ ‎∴AH=AB•cos60°=4‎2‎‎×‎1‎‎2‎=‎2‎2‎,CH‎=‎‎2‎‎2‎BC=2‎6‎,‎ ‎∴AC=AH+CH=2(‎2‎‎+‎‎6‎),‎ ‎∴sin∠B‎=AC‎2R=‎2(‎2‎+‎6‎)‎‎8‎=‎‎2‎‎+‎‎6‎‎4‎.‎ ‎28.(12分)如图,二次函数y=ax2+bx+x的图象过O(0,0)、A(1,0)、B(‎3‎‎2‎,‎3‎‎2‎)三点.‎ ‎(1)求二次函数的解析式;‎ ‎(2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C,与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D,求直线CD的解析式;‎ ‎(3)在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P,过点P作PQ⊥x轴,交直线CD于Q,当线段PQ的长最大时,求点P的坐标.‎ 第23页(共23页)‎ ‎【解答】解:(1)将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得c=0‎a+b+c=0‎‎3‎‎2‎‎=‎9‎‎4‎a+‎3‎‎2‎b+c,解得a=-‎‎2‎‎3‎‎3‎b=-‎‎2‎‎3‎‎3‎c=0‎,‎ 故抛物线的表达式为:y‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎x2‎-‎‎2‎‎3‎‎3‎x;‎ ‎(2)由点B的坐标知,直线BO的倾斜角为30°,则OB中垂线(CD)与x负半轴的夹角为60°,‎ 故设CD的表达式为:y‎=-‎‎3‎x+b,而OB中点的坐标为(‎3‎‎4‎,‎3‎‎4‎),‎ 将该点坐标代入CD表达式并解得:b‎=‎‎3‎,‎ 故直线CD的表达式为:y‎=-‎‎3‎x‎+‎‎3‎;‎ ‎(3)设点P(x,‎2‎‎3‎‎3‎x2‎-‎‎2‎‎3‎‎3‎x),则点Q(x,‎-‎‎3‎x‎+‎‎3‎),‎ 则PQ‎=-‎‎3‎x‎+‎3‎-‎(‎2‎‎3‎‎3‎x2‎-‎‎2‎‎3‎‎3‎x)‎=-‎‎2‎‎3‎‎3‎x2‎-‎‎3‎‎3‎x‎+‎‎3‎,‎ ‎∵‎-‎2‎‎3‎‎3‎<‎0,故PQ有最大值,此时点P的坐标为(‎-‎‎1‎‎4‎,‎27‎‎3‎‎16‎).‎ 第23页(共23页)‎