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- 2021-05-10 发布
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2020年四川省凉山州中考数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分)在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的,把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置.
1.(4分)﹣12020=( )
A.1 B.﹣1 C.2020 D.﹣2020
2.(4分)如图,下列几何体的左视图不是矩形的是( )
A. B. C. D.
3.(4分)点P (2,3)关于x轴对称的点P'的坐标是( )
A.(2,﹣3) B.(﹣2,3) C.(﹣2,﹣3) D.(3,2)
4.(4分)已知一组数据1,0,3,﹣1,x,2,3的平均数是1,则这组数据的众数是( )
A.﹣1 B.3 C.﹣1和3 D.1和3
5.(4分)一元二次方程x2=2x的根为( )
A.x=0 B.x=2 C.x=0或x=2 D.x=0或x=﹣2
6.(4分)下列等式成立的是( )
A.81=±9 B.|5-2|=-5+2
C.(-12)﹣1=﹣2 D.(tan45°﹣1)0=1
7.(4分)若一次函数y=(2m+1)x+m﹣3的图象不经过第二象限,则m的取值范围是( )
A.m>-12 B.m<3 C.-12<m<3 D.-12<m≤3
8.(4分)点C是线段AB的中点,点D是线段AC的三等分点.若线段AB=12cm,则线段BD的长为( )
A.10cm B.8cm C.10cm 或8cm D.2cm 或4cm
9.(4分)下列命题是真命题的是( )
A.顶点在圆上的角叫圆周角
B.三点确定一个圆
C.圆的切线垂直于半径
D.三角形的内心到三角形三边的距离相等
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10.(4分)如图所示,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,则tanA的值为( )
A.12 B.22 C.2 D.22
11.(4分)如图,等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O,则AD:AB=( )
A.22:3 B.2:3 C.3:2 D.3:22
12.(4分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有如下结论:
①abc>0;
②2a+b=0;
③3b﹣2c<0;
④am2+bm≥a+b(m为实数).
其中正确结论的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
13.(4分)函数y=x+1中,自变量x的取值范围是 .
14.(4分)因式分解:a3﹣ab2= .
15.(4分)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE∥AB交AD于点E,若OA=
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1,△AOE的周长等于5,则▱ABCD的周长等于 .
16.(4分)如图,点C、D分别是半圆AOB上的三等分点,若阴影部分的面积是32π,则半圆的半径OA的长为 .
17.(4分)如图,矩形OABC的面积为1003,对角线OB与双曲线y=kx(k>0,x>0)相交于点D,且OB:OD=5:3,则k的值为 .
三、解答题(本大题共5小题,共32分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(5分)解方程:x-x-22=1+2x-13.
19.(5分)化简求值:(2x+3)(2x﹣3)﹣(x+2)2+4(x+3),其中x=2.
20.(7分)如图,一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少?
21.(7分)某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛,分三批对全
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校20个班的作品进行评比.在第一批评比中,随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品,对其数量进行统计后,绘制如图两幅不完整的统计图.
(1)第一批所抽取的4个班共征集到作品 件;在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为 ;
(2)补全条形统计图;
(3)第一批评比中,A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖.现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出,用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率.
22.(8分)如图,AB是半圆AOB的直径,C是半圆上的一点,AD平分∠BAC交半圆于点D,过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H.
(1)求证:DH是半圆的切线;
(2)若DH=25,sin∠BAC=53,求半圆的直径.
四、填空题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)
23.(5分)若不等式组2x<3(x-3)+13x+24>x+a恰有四个整数解,则a的取值范围是 .
24.(5分)如图,矩形ABCD中,AD=12,AB=8,E是AB上一点,且EB=3,F是BC上一动点,若将△EBF沿EF对折后,点B落在点P处,则点P到点D的最短距离为 .
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五、解答题(本大题共4小题,共40分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
25.(8分)如图,点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外),点P、点Q以相同的速度,同时从点A、点B出发.
(1)如图1,连接AQ、CP.求证:△ABQ≌△CAP;
(2)如图1,当点P、Q分别在AB、BC边上运动时,AQ、CP相交于点M,∠QMC的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数;
(3)如图2,当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时,直线AQ、CP相交于M,∠QMC的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.
26.(10分)如图,已知直线l:y=﹣x+5.
(1)当反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时,求k的取值范围.
(2)若反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象与直线l在第一象限内相交于点A(x1,y1)、B(x2,y2),当x2﹣x1=3时,求k的值,并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5<kx的解集.
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27.(10分)如图,⊙O的半径为R,其内接锐角三角形ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c.
(1)求证:asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R;
(2)若∠A=60°,∠C=45°,BC=43,利用(1)的结论求AB的长和sin∠B的值.
28.(12分)如图,二次函数y=ax2+bx+x的图象过O(0,0)、A(1,0)、B(32,32)三点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C,与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D,求直线CD的解析式;
(3)在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P,过点P作PQ⊥x轴,交直线CD于Q,当线段PQ的长最大时,求点P的坐标.
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2020年四川省凉山州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分)在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的,把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置.
1.(4分)﹣12020=( )
A.1 B.﹣1 C.2020 D.﹣2020
【解答】解:﹣12020=﹣1.
故选:B.
2.(4分)如图,下列几何体的左视图不是矩形的是( )
A. B. C. D.
【解答】解:A、圆柱的左视图是矩形,故本选项不符合题意;
B、三棱锥的左视图是三角形,故本选项符合题意;
C、三棱柱的左视图是矩形,故本选项不符合题意;
D、正方体的左视图是正方形,故本选项不符合题意.
故选:B.
3.(4分)点P (2,3)关于x轴对称的点P'的坐标是( )
A.(2,﹣3) B.(﹣2,3) C.(﹣2,﹣3) D.(3,2)
【解答】解:点P(2,3)关于x轴对称的点P'的坐标是(2,﹣3).
故选:A.
4.(4分)已知一组数据1,0,3,﹣1,x,2,3的平均数是1,则这组数据的众数是( )
A.﹣1 B.3 C.﹣1和3 D.1和3
【解答】解:∵数据1,0,3,﹣1,x,2,3的平均数是1,
∴1+0+3﹣1+x+2+3=7×1,
解得x=﹣1,
则这组数据为1,0,3,﹣1,﹣1,2,3,
∴这组数据的众数为﹣1和3,
故选:C.
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5.(4分)一元二次方程x2=2x的根为( )
A.x=0 B.x=2 C.x=0或x=2 D.x=0或x=﹣2
【解答】解:∵x2=2x,
∴x2﹣2x=0,
则x(x﹣2)=0,
∴x=0或x﹣2=0,
解得x1=0,x2=2,
故选:C.
6.(4分)下列等式成立的是( )
A.81=±9 B.|5-2|=-5+2
C.(-12)﹣1=﹣2 D.(tan45°﹣1)0=1
【解答】解:A.81=9,此选项计算错误;
B.|5-2|=5-2,此选项错误;
C.(-12)﹣1=﹣2,此选项正确;
D.(tan45°﹣1)0无意义,此选项错误;
故选:C.
7.(4分)若一次函数y=(2m+1)x+m﹣3的图象不经过第二象限,则m的取值范围是( )
A.m>-12 B.m<3 C.-12<m<3 D.-12<m≤3
【解答】解:根据题意得2m+1>0m-3≤0,
解得-12<m≤3.
故选:D.
8.(4分)点C是线段AB的中点,点D是线段AC的三等分点.若线段AB=12cm,则线段BD的长为( )
A.10cm B.8cm C.10cm 或8cm D.2cm 或4cm
【解答】解:∵C是线段AB的中点,AB=12cm,
∴AC=BC=12AB=12×12=6(cm),
点D是线段AC的三等分点,
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①当AD=13AC时,如图,
BD=BC+CD=BC+23AC=6+4=10(cm);
②当AD=23AC时,如图,
BD=BC+CD′=BC+13AC=6+2=8(cm).
所以线段BD的长为10cm或8cm,
故选:C.
9.(4分)下列命题是真命题的是( )
A.顶点在圆上的角叫圆周角
B.三点确定一个圆
C.圆的切线垂直于半径
D.三角形的内心到三角形三边的距离相等
【解答】解:A、顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角,原命题是假命题;
B、不在同一直线上的三点确定一个圆,原命题是假命题;
C、圆的切线垂直于过切点的半径,原命题是假命题;
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等,是真命题;
故选:D.
10.(4分)如图所示,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,则tanA的值为( )
A.12 B.22 C.2 D.22
【解答】解:如图,连接BD,由网格的特点可得,BD⊥AC,
AD=22+22=22,BD=12+12=2,
∴tanA=BDAD=222=12,
故选:A.
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11.(4分)如图,等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O,则AD:AB=( )
A.22:3 B.2:3 C.3:2 D.3:22
【解答】解:连接OA、OB、OD,过O作OH⊥AB于H,如图所示:
则AH=BH=12AB,
∵正方形ABCD和等边三角形AEF都内接于⊙O,
∴∠AOB=120°,∠AOD=90°,
∵OA=OD=OB,
∴△AOD是等腰直角三角形,∠AOH=∠BOH=12×120°=60°,
∴AD=2OA,AH=OA•sin60°=32OA,
∴AB=2AH=2×32OA=3OA,
∴ADAB=2OA3OA=23,
故选:B.
12.(4分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有如下结论:
①abc>0;
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②2a+b=0;
③3b﹣2c<0;
④am2+bm≥a+b(m为实数).
其中正确结论的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解答】解:①∵对称轴在y轴右侧,
∴a、b异号,
∴ab<0,
∵c<0
∴abc>0
故①正确;
②∵对称轴x=-b2a=1,
∴2a+b=0;
故②正确;
③∵2a+b=0,
∴a=-12b,
∵当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,
∴-12b﹣b+c>0
∴3b﹣2c<0
故③正确;
④根据图象知,当x=1时,y有最小值;
当m为实数时,有am2+bm+c≥a+b+c,
所以am2+bm≥a+b(m为实数).
故④正确.
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本题正确的结论有:①②③④,4个;
故选:D.
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
13.(4分)函数y=x+1中,自变量x的取值范围是 x≥﹣1 .
【解答】解:由题意得,x+1≥0,
解得x≥﹣1.
故答案为:x≥﹣1.
14.(4分)因式分解:a3﹣ab2= a(a+b)(a﹣b) .
【解答】解:a3﹣ab2=a(a2﹣b2)=a(a+b)(a﹣b).
15.(4分)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE∥AB交AD于点E,若OA=1,△AOE的周长等于5,则▱ABCD的周长等于 16 .
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,OB=OD,
∵OE∥AB,
∴OE是△ABD的中位线,
∴AB=2OE,AD=2AE,
∵△AOE的周长等于5,
∴OA+AE+OE=5,
∴AE+OE=5﹣OA=5﹣1=4,
∴AB+AD=2AE+2OE=8,
∴▱ABCD的周长=2×(AB+AD)=2×8=16;
故答案为:16.
16.(4分)如图,点C、D分别是半圆AOB上的三等分点,若阴影部分的面积是32π,则半圆的半径OA的长为 3 .
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【解答】解:连接OC、OD、CD.
∵△COD和△CBD等底等高,
∴S△COD=S△BCD.
∵点C,D为半圆的三等分点,
∴∠COD=180°÷3=60°,
∴阴影部分的面积=S扇形COD,
∵阴影部分的面积是32π,
∴60π⋅r2360=32π,
∴r=3,
故答案为3.
17.(4分)如图,矩形OABC的面积为1003,对角线OB与双曲线y=kx(k>0,x>0)相交于点D,且OB:OD=5:3,则k的值为 12 .
【解答】解:设D的坐标是(3m,3n),则B的坐标是(5m,5n).
∵矩形OABC的面积为1003,
∴5m•5n=1003,
∴mn=43.
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把D的坐标代入函数解析式得:3n=k3m,
∴k=9mn=9×43=12.
故答案为12.
三、解答题(本大题共5小题,共32分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(5分)解方程:x-x-22=1+2x-13.
【解答】解:去分母,得:6x﹣3(x﹣2)=6+2(2x﹣1),
去括号,得:6x﹣3x+6=6+4x﹣2,
移项,得:6x﹣3x﹣4x=6﹣6﹣2,
合并同类项,得:﹣x=﹣2,
系数化为1,得:x=2.
19.(5分)化简求值:(2x+3)(2x﹣3)﹣(x+2)2+4(x+3),其中x=2.
【解答】解:原式=4x2﹣9﹣(x2+4x+4)+4x+12
=4x2﹣9﹣x2﹣4x﹣4+4x+12
=3x2﹣1,
当x=2时,
原式=3×(2)2﹣1
=3×2﹣1
=6﹣1
=5.
20.(7分)如图,一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少?
【解答】解:∵四边形EGFH为正方形,
∴BC∥EF,
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∴△AEF∽△ABC;
设正方形零件的边长为x mm,则KD=EF=x,AK=80﹣x,
∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∵AD⊥BC,
∴EFBC=AKAD,
∴x120=80-x80,
解得:x=48.
答:正方形零件的边长为48mm.
21.(7分)某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛,分三批对全校20个班的作品进行评比.在第一批评比中,随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品,对其数量进行统计后,绘制如图两幅不完整的统计图.
(1)第一批所抽取的4个班共征集到作品 24 件;在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为 150° ;
(2)补全条形统计图;
(3)第一批评比中,A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖.现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出,用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率.
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【解答】解:(1)第一批所抽取的4个班共征集到作品6÷25%=24(件),
则C班级作品数为24﹣(4+6+4)=10(件),
∴在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为360°×1024=150°,
故答案为:24、150°;
(2)补全图形如下:
(3)列表如下:
A
B
B
C
C
D
A
BA
BA
CA
CA
DA
B
AB
BB
CB
CB
DB
B
AB
BB
CB
CB
DB
C
AC
BC
BC
CC
DC
C
AC
BC
BC
CC
DC
D
AD
BD
BD
CD
CD
由表可知,共有30种等可能结果,其中抽取的作品来自两个不同班级的有26种结果,
∴抽取的作品来自两个不同班级的概率为2630=1315.
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22.(8分)如图,AB是半圆AOB的直径,C是半圆上的一点,AD平分∠BAC交半圆于点D,过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H.
(1)求证:DH是半圆的切线;
(2)若DH=25,sin∠BAC=53,求半圆的直径.
【解答】(1)证明:连接OD,
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO,
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠OAD,
∴∠CAD=∠ADO,
∴AH∥OD,
∵DH⊥AC,
∴OD⊥DH,
∴DH是半圆的切线;
(2)解:连接BC交OD于E,
∵AB是半圆AOB的直径,
∴∠ACB=90°,
∴四边形CEDH是矩形,
∴CE=DH=25,∠DEC=90°,
∴OD⊥BC,
∴BC=2CE=45,
∵sin∠BAC=BCAB=53,
∴AB=12,
即半圆的直径为12.
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四、填空题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)
23.(5分)若不等式组2x<3(x-3)+13x+24>x+a恰有四个整数解,则a的取值范围是 -114≤a<-52 .
【解答】解:解不等式2x<3(x﹣3)+1,得:x>8,
解不等式3x+24>x+a,得:x<2﹣4a,
∵不等式组有4个整数解,
∴12<2﹣4a≤13,
解得:-114≤a<-52,
故答案为:-114≤a<-52.
24.(5分)如图,矩形ABCD中,AD=12,AB=8,E是AB上一点,且EB=3,F是BC上一动点,若将△EBF沿EF对折后,点B落在点P处,则点P到点D的最短距离为 10 .
【解答】解:如图,连接PD,DE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,
∵AB=8,BE=3,
∴AE=5,
第23页(共23页)
∵AD=12,
∴DE=52+122=13,
由折叠得:EB=EP=3,
∵EP+DP≥ED,
∴当E、P、D共线时,DP最小,
∴DP=DE﹣EP=13﹣3=10;
故答案为:10.
五、解答题(本大题共4小题,共40分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
25.(8分)如图,点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外),点P、点Q以相同的速度,同时从点A、点B出发.
(1)如图1,连接AQ、CP.求证:△ABQ≌△CAP;
(2)如图1,当点P、Q分别在AB、BC边上运动时,AQ、CP相交于点M,∠QMC的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数;
(3)如图2,当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时,直线AQ、CP相交于M,∠QMC的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.
【解答】解:(1)证明:如图1,∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ=∠CAP=60°,AB=CA,
又∵点P、Q运动速度相同,
∴AP=BQ,
在△ABQ与△CAP中,
AB=CA∠ABQ=∠CPAAP=BQ,
∴△ABQ≌△CAP(SAS);
第23页(共23页)
(2)点P、Q在AB、BC边上运动的过程中,∠QMC不变.
理由:∵△ABQ≌△CAP,
∴∠BAQ=∠ACP,
∵∠QMC是△ACM的外角,
∴∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC
∵∠BAC=60°,
∴∠QMC=60°;
(3)如图2,点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时,∠QMC不变
理由:同理可得,△ABQ≌△CAP,
∴∠BAQ=∠ACP,
∵∠QMC是△APM的外角,
∴∠QMC=∠BAQ+∠APM,
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°,
即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,∠QMC的度数为120°.
26.(10分)如图,已知直线l:y=﹣x+5.
(1)当反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象与直线l
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在第一象限内至少有一个交点时,求k的取值范围.
(2)若反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象与直线l在第一象限内相交于点A(x1,y1)、B(x2,y2),当x2﹣x1=3时,求k的值,并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5<kx的解集.
【解答】解:(1)将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得:x2﹣5x+k=0,
由题意得:△=25﹣4k≥0,解得:k≤254,
故k的取值范围0<k≤254;
(2)设点A(m,﹣m+5),而x2﹣x1=3,则点B(m+3,﹣m+2),
点A、B都在反比例函数上,故m(﹣m+5)=(m+3)(﹣m+2),解得:m=1,
故点A、B的坐标分别为(1,4)、(4,1);
将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得:k=4×1=4,
观察函数图象知,当﹣x+5<kx时,0<x<1或x>4.
27.(10分)如图,⊙O的半径为R,其内接锐角三角形ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c.
(1)求证:asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R;
(2)若∠A=60°,∠C=45°,BC=43,利用(1)的结论求AB的长和sin∠B的值.
【解答】(1)证明:作直径BE,连接CE,如图所示:
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则∠BCE=90°,∠E=∠A,
∴sinA=sinE=BCBE=a2R,
∴asinA=2R,
同理:bsin∠B=2R,csin∠C=2R,
∴asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R;
(2)解:由(1)得:ABsinC=BCsinA,
即ABsin45°=43sin60°=2R,
∴AB=43×2232=42,2R=4332=8,
过B作BH⊥AC于H,
∵∠AHB=∠BHC=90°,
∴AH=AB•cos60°=42×12=22,CH=22BC=26,
∴AC=AH+CH=2(2+6),
∴sin∠B=AC2R=2(2+6)8=2+64.
28.(12分)如图,二次函数y=ax2+bx+x的图象过O(0,0)、A(1,0)、B(32,32)三点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C,与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D,求直线CD的解析式;
(3)在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P,过点P作PQ⊥x轴,交直线CD于Q,当线段PQ的长最大时,求点P的坐标.
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【解答】解:(1)将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得c=0a+b+c=032=94a+32b+c,解得a=-233b=-233c=0,
故抛物线的表达式为:y=233x2-233x;
(2)由点B的坐标知,直线BO的倾斜角为30°,则OB中垂线(CD)与x负半轴的夹角为60°,
故设CD的表达式为:y=-3x+b,而OB中点的坐标为(34,34),
将该点坐标代入CD表达式并解得:b=3,
故直线CD的表达式为:y=-3x+3;
(3)设点P(x,233x2-233x),则点Q(x,-3x+3),
则PQ=-3x+3-(233x2-233x)=-233x2-33x+3,
∵-233<0,故PQ有最大值,此时点P的坐标为(-14,27316).
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