中考数学压轴题备考策略 4页

‎ 二次函数压轴题备考策略 ‎  中考压轴题的主要意图是考查学生综合运用知识的能力，其思维难度高，综合性强，知识点多、条件隐蔽、关系复杂、思路难觅、解法灵活。中考数学中，二次函数压轴题往往作为考试的一个重要考察点，考查学生数学综合应用能力。以二次函数为载体，对几何进行考查,主要涉及二次函数与三角形、四边形、圆等综合考查。中考压轴题都曾出现二次函数题。考生对二次函数压轴题不得其法，普遍畏惧压轴题，得分率偏低，这往往导致中考高分不多，满分更是难求。二次函数压轴题命题方向及解题策略进行了一些探索，为提高二次函数压轴题解题能力而共同努力。‎ ‎ 一. 压轴题命题要求与思想 ‎ ‎（一）、课标的要求：新课程标准要求初中数学数学课程应体现基础性、普及性和发展性。因为数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面发挥独特的作用。所以数学教学内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。而压轴题的考查符合这一要求。 ‎ ‎（二）.中考的要求：‎ 根据初中数学考试大纲的要求，以下几个方面对数学中考做出了具体要求 ‎ 1.考试内容：（1）注重对数学核心内容的考查；（2）重视对实验操作能力的考查；（3）关注对数学应用能力的考查；（4）强化对自主探索能力的考查；‎ ‎ 2.主要数学能力目标 在数与代数方面：建立数感和符号意识，发展运算能力和推理能力，形成模型思想。‎ 在图形与几何方面： 建立空间观念，培养几何直观与推理能力（合情推理、演绎推理）。‎ ‎ 在具体的情境中，能从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，发展应用意识和实践能力。‎ ‎ 3.中考考核目标 ‎（1）考试区分度目标 按照“课程标准”的安排，在数、式、方程、不等式之后是函数，而函数中二次函数又安排在最后，可见这部分内容是对初中生较高要求的内容，若这部分内容综合了几何的知识，再涉及动态变化，对学生的分析判断、推理论证、空间观念和探究能力都有较高的要求，对高学业水平有较好的区分度，有利于拉开不同学业水平所对应分数的差距，加大整卷学业水平分数的极差 ‎（2）考试效度目标 压轴题一般考查本学段的核心内容和方法以体现本学段的最高要求，需要具有足够的思维量和较为复杂的解答过程及解答量，很难根据一个具体的结果来推断解答过程正确与否。精心设计压轴题，可以有效地改进了试卷的效度。‎ ‎（3）考试梯度目标 ‎ 中考中存在这样的事实：压轴题难度过高可能使绝大部分考生有一种压轴题高不可攀的心里压力，从而干脆放弃，使得压轴题形同虚设，导致试卷的信度下降．针对这种现象，应采取一些行之有效的措施防范出现这样的现象．其中，从不同角度对同一问题由浅入深地考查，凸显压轴题的梯度的做法较为多用。‎ ‎ 二. 二次函数压轴题设计原理与特征 ‎ (一)设计原理：二次函数压轴题主要是通过“数学思想”来设计的，主要涉及的数学思想有：1.方程与函数思想2. 数形结合思想3.函数建模思想4.转化思想5.分类讨论思想。 ‎ ‎ （二）设计特征：‎ ‎1.题设的设计：（1）已知抛物线经过的点（与坐标轴的交点）、顶点及对称轴，来确定抛物线。（2）引入直线与抛物线的位置关系，来确定直线和抛物线。（3）引入特殊的几何位置关系（垂直、平行、轴对称、中心对称等）。（4）引入特殊的几何图形主要是三角形、四边形 ‎、圆，三角形：等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、相似三角形；四边形：平行四边形（矩形、菱形、正方形）、梯形（等腰梯形）。直线与圆的位置关系。 ‎ ‎2.结论的设计：（1）问题结构：中考二次函数压轴题通常有三小问，一直遵循“从易到难，从简单到复杂”的原则，第一问----3或4分 、 第二问----5或6分、 第三问—6或5分；‎ ‎（2）基本结论的设置:第一问，求未知数、待定系数、点的坐标、线段的长度、角或锐角三角函数值，一次函数的关系式 、二次函数的关系式。第二问，由动点引入特殊直线位置关系，要求利用图形面积公式、三解形相似、勾股定理、特殊的等式等手段建构二次函数模型，并探索函数中有关问题（最大值或最小值）。第三问，设置开放性和探索动点的特殊位置关系的存在性（并求出点的坐标）或探索形成特殊图形的条件（并求出点的坐标）和相关证明。‎ 中考数学压轴题为例说明：‎ ‎ 如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0).‎ ‎（1）求直线AB的函数关系式；‎ ‎（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；‎ ‎（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由.‎ ‎ 本题结论分为三问，第一问求点坐标确定一次函数的关系式；第二问由动点P引入垂直关系，要求根据线段MN、NP、MP的特殊位置关系建构二次函数模型并确定自变量的取值范围；第三问探索形成平行四边形和菱形的条件。‎ ‎ 三.二次函数压轴题解题技巧指导 ‎（一）.了解并掌握二次函数压轴题常见的类型 ‎ 1.函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法），而几何法需要过点作坐标轴的垂线段。‎ ‎ 2.几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系，找等量关系的途径在初中主要有利用线段间的数量关系、勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。‎ ‎ 3.存在性问题：存在性问题则主要考查分类讨论的数学思想，常见的存在性是：是否存在等腰三角形、是否存在直角三角形、是否存在三角形相似，是否存在平行四边形、是否存在圆的切线等。有些题在分类讨论列方程求解后，还要检验，排除干扰。‎ ‎ 4.最值型问题：这类题则需要根据条件，创设函数，利用函数性质（一般是一次函数、二次函数的增减性）求解。同时注意求最值时要注意自变量的取值范围。解这类问题要注重在图形的形状或位置的变化过程中寻找函数与几何的联系，需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动。‎ ‎ （二）、复习中的几点建议 ‎ ‎ 1.课本知识系统化 立足基础知识，要充分体现教材的基础作用，深入挖掘教材的考评价值。二次函数压轴题所考察知识点源于课本，都能在初中数学课本找到原型，复习要注重对这些原型的加工、组合、类比、改造、延伸和拓展，使分散在各章节的知识点一一过关，形成知识系统，为解二次函数压轴题奠定知识基础。‎ ‎ 2.解题思路经验化 ‎ 探索解题思路的规律，形成解题经验。不少学生面对二次函数压轴题无从下手，找不到解题的思路，这就要求在复习过程中，要揭示获取知识的思维过程，解题思路的探索过程，解题方法与规律的概括过程，使学生在学习过程中展开思维，形成能力。解二次函数压轴题要求学生全面、熟练地掌握学过的数学知识、联系条件，发展条件，依经验迅速确定解题的方向和方法。‎ ‎ 3.思想方法渗透化 二次函数压轴题渗透了数学的重要的思想方法，不能以解决问题作为教学的终结点，应将数学思想方法渗透在整个过程中。它应以例题、习题为载体，在学好基础知识的同时掌握数学的思想方法，并通过不断的积累、运用，内化为自己的知识经验，以此应对变化万千的各种类型的压轴题。‎ ‎4.解题训练常规化 二次函数压轴题的解题能力的提升是一个渐进的过程，绝不是在两三周就可以做到的。要求把解题能力的提升贯穿于整个数学备考过程，对二次函数压轴题经历从害怕——尝试——熟悉——自信的过程。‎ ‎5.解题格式规范化 知道解题思路却不会写过程；有部分考生因解题过程不规范，证明时语言不准确而失分，都是十分可惜的。在复习过程中，要建立二次函数常见题型的书写模型，明确哪些过程可以简化，哪些关键的步骤是不可少的，多加练习形成固定模式。‎ ‎ （三）解答的策略与选题方法：‎ ‎ 1. 明确“攻击点”----点与点的坐标：点的坐标可以确定线段的长度、函数的解析式、几何图形的高、方程的解等。通常过点作坐标轴的垂线 ，寻找垂足到原点的距离与已知条件的关系。 ‎ ‎2．巧设“着手点”——设点的坐标或引入参数（设而不求的未知数）,利用基本几何关系、勾股定理、锐角三角函数、平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质表示出所需的线段长度。‎ ‎ 3. 抓住“关键点”——利用线段长度关系、面积和周长公式、三角形相似对应线段成比例、勾股定理、特殊等式等手段建构方程或函数关系。‎ ‎4. 突破“难点”——（1）求最值的常见方法：利用“两点之间线段最短”的性质求一动点到两定点的距离之和的最小值（对称法）；利用“三角形的两边之差小于第三边”求一动点到两定点的距离之差的绝对值的最大值（共线法）；利用一次函数、二次函数的性质求最值。‎ ‎（2）分类讨论的常见形式（合理统一分类标准，不重不漏，力求最简）：‎ a、等腰三角形问题常按已知线段是底还是腰来分类；如△ABC讨论:①AB=AC ②AB=BC ③AC=BC b、直角三角形问题常按哪个角是直角来分类；如△ABC讨论:①∠A=90°②∠B=90°③∠C=90°‎ c、平行四边形问题常按已知线段是边还是对角线来分类；如ABCD中的AB为已知边的讨论：‎ ‎ ①AB为边有两种，②AB为对角线只有一种，需要用到中点坐标公式。‎ d、相似三角形问题常按对应边不同来分类；如有一组角相等的△ABC与△ADE相似的分类讨论：①若△ABC～△ADE则，②若△ABC～△AED ，‎ e、动点问题常按动点运动的分界点来分类。‎ f、等腰梯形常按两底的位置来分类，有时可以转化为等腰三角形或作双高得全等的两Rt△来求解。‎ g、点、直线、圆的位置关系分类 ，尤其是相切时的位置分类讨论。‎ ‎ 5．列方程，细计算，略过程，重表达； ‎ ‎ ‎ ‎ 6．归纳总结——分类讨论完毕后，务必将所有符合题意的结果以“综上所述，…”的形式总结。‎ 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．‎ ‎（1）求AB和OC的长；‎ ‎（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．‎ 思路分析 ‎ ‎1.运用函数和方程思想，确定点坐标和线段长度；‎ ‎2.理解并掌握点在坐标系的运动特点，‎ 能利用动点和三角形相似解决线段的表示 及三角形面积的表示，进而确定三角形面 积的函数关系式。‎ ‎3.运用二次函数最值法确定最大面积，运用圆的性质解决问题 ‎ ‎ 本题以二次函数为背景，以点的运动为导线，综合考查了函数解析式的求法，线段长度表示、平行四边形的性质等。巧妙运用动点坐标表示法解决线段函数关系式和利用平行四边形性质确定t值；综合考察了学生函数知识和几何图形知识的综合运用能力。‎ 3. 按类选题，分类总结；按二次函数压轴题不同的类型组题，对每类题型进行比较、归纳、总结，让学生熟悉每一种类型题命题方向和解题思路。‎ ‎ 5.精选典题，分散练习；研究《考试说明大纲》和近年中考试题，有目的性地选择典型性的、规律性的、启发性、灵活性、综合性的习题进行分散训练，达到熟能生巧的目的。‎ ‎ （四）解中考压轴题技能技巧：‎ ‎1.自身能力定位。 对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止 “捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要万无一失。‎ ‎2.解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少。‎ ‎3.解数学压轴题一般可以分为三个步骤。认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程与函数的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。尽量做到以下几点：‎ ‎①启动思维，浏览全题 ②从前至后，从易到难 ③动中取静，静中求动 ‎④分解画图，数形结合 ⑤思想方法，综合应用 ⑥规范书写，确保得分 俗话说:天下难事,必作于易;天下大事,必作于细.解二次函数压轴题也同样必需立足基础,从简单容易、细小分散的知识复习做起。‎ ‎ ‎