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  • 2021-05-10 发布

青岛版数学八年级上册专题突破讲练中考中的统计问题

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年 级 八年级 学 科 数学 版 本 通用版 课程标题 中考中的统计问题 编稿老师 王长远 一校 付秋花 二校 黄楠 审核 郭莹 一、描述数据特征的统计量 从两方面描述:①数据的集中趋势;②数据的波动大小。‎ 二、用样本估计总体的思想 ‎1. 用样本的平均数估计总体的平均数;‎ ‎2. 用样本的方差估计总体的方差。‎ 三、平均数和方差的算法 ‎1. 平均数:(算术)平均数=总和÷个数 ‎2. 方差:‎ 原数据变化引起的平均数和方差的变化规律:‎ 平均数 ‎ 方差 原数据 ‎ s2‎ 原数据+a (原数据-a)‎ ‎+a , (-a)‎ ‎ s2‎ ‎ 原数据×n n ‎ n2s2‎ 例题1 如果数据x1,x2,…,xn的平均数是方差是S2,则2x1+3,2x2+3,…,2xn+3的平均数是 方差是 ‎ 解析:根据所给的数据的平均数和方程写出表示它们的公式,把要求方差的这组数据先求出平均数,再用方差的公式表示出来,首先合并同类项,再提公因式,同原来的方差的表示式进行比较,得到结果。‎ 答案:∵数据x1,x2,…,xn的平均数是,方差是S2,‎ ‎∴2x1+3,2x2+3,…,2xn+3的方差是 答案:,4s2。‎ 点拨:本题考查平均数的变化特点和方差的变化特点,是一个统计问题,解题的关键是熟练掌握平均数和方差的公式。‎ 例题2 我们约定:如果身高在选定标准的±2%范围之内都称为“普通身高”。为了解某校九年级男生中具有“普通身高”的人数,我们从该校九年级男生中随机选出10名男生,分别测量出他们的身高(单位:cm)收集并整理如下统计表:‎ 男生序号 ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎⑤‎ ‎⑥‎ ‎⑦‎ ‎⑧‎ ‎⑨‎ ‎⑩‎ 身高 ‎163‎ ‎171‎ ‎173‎ ‎159‎ ‎161‎ ‎174‎ ‎164‎ ‎166‎ ‎169‎ ‎164‎ 根据以上表格信息,解答如下问题:‎ ‎(1)计算这组数据的三个统计量:平均数、中位数和众数;‎ ‎(2)请你选择一个统计量作为选定标准,找出这10名中具有“普通身高”的是哪几位男生?并说明理由;‎ ‎(3)若该年级共有280名男生,按(2)中选定标准,请你估算出该年级男生中“普通身高”的人数约有多少名?‎ 解析:(1)根据平均数、中位数和众数的定义分别进行计算,即可求出答案;‎ ‎(2)根据选平均数作为标准,得出身高x满足166.4×(1-2%)≤x≤166.4×(1+2%)为“普通身高”,从而得出⑦、⑧、⑨、⑩几位男生具有“普通身高”;‎ 根据选中位数作为标准,得出身高x满足165×(1-2%)≤x≤165×(1+2%),为“普通身高”,从而得出①、⑦、⑧、⑩几位男生具有“普通身高”;‎ 根据选众数作为标准,得出身高x满足164×(1-2%)≤x≤164×(1+2%)为“普通身高”,此时得出①、⑤、⑦、⑧、⑩几位男生具有“普通身高”。‎ ‎(3)分三种情况讨论,(1)以平均数作为标准(2)以中位数作为标准(3)以众数数作为标准;分别用总人数乘以所占的百分比,即可得出普通身高的人数。‎ 答案:(1)平均数为:‎ ‎10名同学身高从小到大排列如下:‎ ‎159,161,163,164,164,166,169,171,173,174。‎ 众数为:164(cm);‎ ‎(2)选平均数作为标准:‎ 身高x满足:166.4×(1-2%)≤x≤166.4×(1+2%),‎ 即163.072≤x≤169.728时为“普通身高”,‎ 此时⑦、⑧、⑨、⑩几位男生具有“普通身高”,‎ ‎(3)以平均数作为标准,估计全年级男生中“普通身高”的人数约为:‎ 点拨:此题考查了中位数、众数、平均数,考查了确定一组数据的中位数和众数的能力。注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数。‎ 例题3 某校为了迎接中考,老师安排了五次数学模拟考试,对李明、王亮两位同学的成绩进行统计后,绘制成图①、图②的统计图。‎ ‎(1)在图②中画出表示王亮这5次数学成绩的变化情况的折线统计图;‎ ‎(2)填写表格:‎ 平均成绩(分)‎ 中位数(分)‎ 极差(分)‎ 方差(分2)‎ 李 明 ‎90‎ ‎92‎ ‎16‎ ‎36.8‎ 王 亮 ‎90‎ ‎88‎ ‎19‎ ‎46‎ ‎(3)请你根据上述统计情况,从“平均成绩、折线走势、方差”三方面进行分析,估计谁在中考中会取得较好的成绩?‎ 解析:‎ ‎(1)根据条形图就可以得到甲,乙的成绩,注意观察次数所对应的点的纵坐标,就是成绩;‎ ‎(2)根据这两组数就可以求出每组的中位数、极差;‎ ‎(3)根据平均数的大小确定成绩的好坏,根据方差确定成绩哪个稳定。‎ 答案:解:(1)利用条形图即可得出王亮的5次成绩,进而画出折线图即可,如图所示:‎ ‎(2)李明的成绩按大小排列为:82,84,92,94,98,‎ 王亮的成绩按大小排列为:99,96,88,87,80,‎ 故李明的成绩中位数为:92,王亮的成绩中位数为:88,‎ 李明的成绩的极差为:98-82=16,王亮的成绩的极差为:99-80=19,‎ 平均成绩(分)‎ 中位数(分)‎ 极差(分)‎ 方差(分2)‎ 李  明 ‎92‎ ‎16‎ 王  亮 ‎88‎ ‎19‎ ‎(3)从平均成绩看,两人都是90分;从折线走势看,李明成绩呈上升趋势,王亮成绩呈下降趋势;从方差来看,李明比王亮稳定。综合分析结果,李明在本次中考中会取得较高的成绩。‎ 点拨:本题主要考查了平均数、中位数、极差的概念,方差是描述一组数据波动大小的量,利用条形图得出两人成绩进而进行分析是解题关键。‎ 平均数是表示数据集中程度的量之一,它随着数据的变化而变化;而方差是表示数据波动大小的量之一,当数据都加上一个数(或减去一个数)时,方差不变,即数据的波动情况不变。当每个数都乘以n,则方差是原来的n的平方倍。‎ 例题 观察与探究:‎ ‎(1)观察下列各组数据并填空:‎ A. 1,2,3,4,5 , ;‎ B. 11,12,13,14,15 , ;‎ C. 10,20,30,40,50 , ;‎ ‎(2)分别比较A与B,C的计算结果,你能发现什么规律?‎ 解析:方差是用来衡量一组数据波动大小的量,每个数都加了10,所以平均数加10,方差不变;每个数都乘以10,所以平均数乘以10,方差乘以102。‎ 答案:(1),; ‎ ‎(2)规律:有两组数据,设其平均数分别为方差分别为;‎ ‎①当第二组数每个数据比第一组每个数据都增加m个单位时,则有 ;‎ ‎②当第二组数每个数据是第一组每个数据的n倍时,则有 。‎ ‎ 点拨:当数据都加上一个数(或减去一个数)时,方差不变,即数据的波动情况不变。当每个数都乘以n,则方差是原来的n的平方倍。‎ ‎(答题时间:45分钟)‎ 一、选择题 ‎1. 株洲市关心下一代工作委员会为了了解全市初三学生的视力状况,从全市30000名初三学生中随机抽取了500人进行视力测试,发现其中视力不良的学生有100人,则可估计全市30000名初三学生中视力不良的约有( )‎ A. 100人 B. 500人 C. 6000人 D. 5000人 ‎2. 某种品牌的水果糖的售价为15元/千克,该品牌的酥糖的售价为18元/千克.现将两种糖均匀混合,为了估算这种糖的售价,称了十份糖,每份糖‎1千克,其中水果糖的质量如下(单位:千克)0.58;0.52;0.59;0.49;0.60;0.55;0.56;0.49;0.52;0.54。‎ 你认为这种糖比较合理的定价为(  )元/千克。 ‎ A. 16.6‎ B. 16.4‎ C. 16.5‎ D. 16.3‎ ‎*3. 为鼓励市民珍惜每一滴水,某居委会表扬了100个节约用水模范户,8月份节约用水的情况如表:‎ 每户节水量(单位:吨)‎ ‎1‎ ‎1.2‎ ‎1.5‎ 节水户数 ‎52‎ ‎30‎ ‎18‎ 那么,8月份这100户平均节约用水的吨数为(精确到0.01t)(  )‎ A.1.05t B.1.20t C.1.15t D.1t ‎*4. 安安班上有九位同学,他们的体重资料如下:‎ ‎57,54,47,42,49,48,45,47,50.(单位:公斤)‎ 关于此数据的中位数与众数的叙述,下列何者正确?(  )‎ A. 中位数为49‎ B. 中位数为47‎ C. 众数为57‎ D. 众数为47‎ ‎**5. 小明和小兵两人参加学校组织的理化实验操作测试,近期的5次测试成绩如图所示,则下列说法正确的是( )‎ A. 小兵的平均成绩好,但没有小明稳定 B. 小明的平均成绩好,但没有小兵稳定 C. 两人的平均成绩一样好,小明的方差大 D. 两人的平均成绩一样好,小兵的方差大 ‎**6. 已知样本x1,x2,x3,…,xn的方差是1,那么样本2x1+3,2x2+3,2x3+3,…,2xn+3的方差是(  )‎ A. 1‎ B. 2‎ C. 3‎ D. 4‎ 二、填空题 ‎7. 某居民小区为了了解本小区100户居民家庭平均月使用塑料袋的数量情况,随机调査了10户居民家庭月使用塑料袋的数量,结果如下(単位:只)‎ ‎65 70 85 74 86 78 74 92 82 94‎ 根据统计情况,估计该小区这100户家庭平均使用塑料袋为_______只。‎ ‎*8. 有一组数据:2,3,5,5,x,它们的平均数是10,则这组数据的众数是________。‎ ‎*9. 为从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加全运会,教练把他们的10次比赛成绩作了统计:平均成绩为9.3环:方差分别为S2甲=1.22,S2乙=1.68,S2丙=0.44,则应该选________参加全运会。‎ ‎**10. 某市号召居民节约用水,为了解居民用水情况,随机抽查了20户家庭某月的用水量,结果如表,则这20户家庭这个月的平均用水量是____吨。‎ 用水量(吨)‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ 户数 ‎3‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎5‎ 三、解答题 ‎11. 某校为了招聘一名优秀教师,对入选的三名候选人进行教学技能与专业知识两种考核,现将甲、乙、丙三人的考核成绩统计如下: ‎ 候选人 百分制 教学技能考核成绩 专业知识考核成绩 甲 ‎85‎ ‎92‎ 乙 ‎91‎ ‎85‎ 丙 ‎80‎ ‎90‎ ‎(1)如果校方认为教师的教学技能水平与专业知识水平同等重要,则候选人____将被录取。‎ ‎(2)如果校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要,因此分别赋予它们6和4的权。计算他们赋权后各自的平均成绩,并说明谁将被录取。‎ ‎*12. 七年级一班和二班各推选10名同学进行投篮比赛,按照比赛规则,每人各投了10个球,两个班选手的进球数统计如下表,请根据表中数据回答问题。‎ 进球数 ‎10‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ 一班(人数)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎3‎ 二班(人数)‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎(1)分别求一班和二班选手进球数的平均数、众数、中位数;‎ ‎(2)如果要从这两个班中选出一个班代表级部参加学校的投篮比赛,争取夺得总进球数团体第一名,你认为应该选择哪个班?如果要争取个人进球数进入学校前三名,你认为应该选择哪个班?‎ ‎**13. 经市场调查,某种优质西瓜质量为(5±0.25)kg的最为畅销。为了控制西瓜的质量,农科所采用A、B两种种植技术进行试验。现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20颗,记录它们的质量如下(单位:kg):‎ A:‎ B:‎ ‎(1)若质量为(5±0.25)kg的为优等品,根据以上信息完成下表:‎ ‎(2)请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对A、B两种技术作出评价;从市场销售的角度看,你认为推广哪种种植技术较好?‎ ‎**14. 甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次,每次射靶的成绩情况如图所示。‎ ‎(1)请你根据图中的数据填写下表:‎ 姓名 平均数(环)‎ 众数(环)‎ 方差 甲 乙 ‎2.8‎ ‎(2)从平均数和方差相结合看,分析谁的成绩好些。‎ ‎1. C 解析:首先计算出样本中视力不良的学生所占的百分比,再用30000名初三学生×视力不良的学生所占的百分比即可得到答案。100÷500=20%,30000×20%=6000,故选C。‎ ‎2. B 解析:首先求出十份糖中水果糖的平均质量,然后即可求出十份糖其中酥糖的平均质量,再利用各自的价格即可计算出这种糖比较合理的定价。十份糖中水果糖的平均质量为 那么十份糖中酥糖的平均质量为1-0.544=‎0.456千克,‎ ‎∴这种糖比较合理的定价为0.456×18+0.544×15=16.368≈16.4元/千克。‎ ‎3. B 解析:求出所有数据的和,然后除以数据的总个数。100户平均节约用水的吨数=(52×1+30×1.2+18×1.5)÷100=1.15t。故选C。‎ ‎4. D 解析:先将所有的数据值依序排列后才能取中位数。将9笔资料值由小到大依序排列如下:42,45,47,47,48,49,50,54,57,∴中位数取第5笔资料值,即中位数=48,∵‎ ‎47公斤的次数最多(2次)∴众数=47,故选D。‎ ‎5. C 解析:先从图片中读出小明和小兵的测试数据,分别求出方差后比较大小。也可从图看出来小明的成绩都在8到10之间相对小兵的波动更小。‎ ‎∴S12<S22。∴两人的平均成绩一样好,小兵的方差大,故选C。‎ ‎6. D 解析:根据方差的意义分析,数据都加3,方差不变,原数据都乘2,则方差是原来的4倍。‎ 设样本x1,x2,x3,…,xn的平均数为m,则其方差为 则样本2x1+3,2x2+3,2x3+3,…,2xn+3的平均数为‎2m,其方差为S22=4S12=4。故选D。‎ ‎7. 80 解:‎ ‎8. 5 解:由题意得,(2+3+5+5+x)÷5=10,‎ 解得:x=35,‎ 这组数据中5出现的次数最多,则这组数据的众数为5。‎ ‎9. 丙 解:∵S2甲=1.22,S2乙=1.68,S2丙=0.44,‎ ‎∴S2丙最小,‎ ‎∴则应该选丙参加全运会。‎ ‎10. 5.8‎‎ 解:根据题意得:‎ 这20户家庭这个月的平均用水量是(4×3+5×8+6×4+8×5)÷20=5.8(吨)。 ‎ ‎11. 解:(1)甲的平均数是:(85+92)÷2=88.5(分),‎ 乙的平均数是:(91+85))÷2=88(分),‎ 丙的平均数是:(80+90)÷2=85(分),‎ ‎∵甲的平均成绩最高,‎ ‎∴候选人甲将被录取.‎ 故答案为:甲。‎ ‎(2)根据题意得:‎ 甲的平均成绩为:(85×6+92×4)÷10=87.8(分),‎ 乙的平均成绩为:(91×6+85×4)÷10=88.6(分),‎ 丙的平均成绩为:(80×6+90×4)÷10=84(分),‎ 因为乙的平均分数最高,‎ 所以乙将被录取。‎ ‎12. 解:(1)一班进球平均数:(10×1+9×1+8×1+7×4+6×0+5×3)÷10=7(个),‎ 二班进球平均数:(10×0+9×1+8×2+7×5+6×0+5×2)÷10=7(个),‎ 一班投中7个球的有4人,人数最多,故众数为7(个);‎ 二班投中7个球的有5人,人数最多,故众数为7(个);‎ 一班中位数:第五第六名同学进7个球,故中位数为7(个);‎ 二班中位数:第五第六名同学进7个球,故中位数为7(个)。‎ ‎(2)一班的方差 S12=[(10-7)2+(9-7)2+(8-7)2+4×(7-7)2+0×(6-7)2+3×(5-7)2]÷10=2.6,‎ 一班的方差 S22= [0×(10-7)2+(9-7)2+2×(8-7)2+5×(7-7)2+(6-7)2+2×(5-7)2] ÷10=1.5,‎ 二班选手水平发挥更稳定,争取夺得总进球数团体第一名,应该选择二班;‎ 一班前三名选手的成绩突出,分别进10个、9个、8个球,如果要争取个人进球数进入学校前三名,应该选择一班。‎ ‎13. 解:(1)‎ ‎(2)从优等品数量的角度看,因A技术种植的西瓜优等品数量较多,所以A技术较好;‎ 从平均数的角度看,因A技术种植的西瓜质量的平均数更接近‎5kg,所以A技术较好;‎ 从方差的角度看,因B技术种植的西瓜质量的方差更小,所以B技术种植的西瓜质量更为稳定;‎ ‎∴从市场销售角度看,因优等品更畅销,A技术种植的西瓜优等品数量更多,且平均质量更接近‎5kg,因而更适合推广A种技术。‎ ‎14. 解:(1)甲的平均数=(6+7+8+7+7)÷5=7‎ 方差=[(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(7-7)2] ÷5=0.4,‎ 甲的众数是7;‎ 乙的平均数=(3+6+6+7+8)÷5=6‎ 乙的众数是6;如图,‎ 姓名 平均数(环)‎ 众数(环)‎ 方差 甲 ‎7‎ ‎7‎ ‎0.4‎ 乙 ‎6‎ ‎6‎ ‎2.8‎ ‎(2)从甲、乙两人射靶成绩的平均数来看:甲的成绩优于乙的,并且甲比乙的方差要小,说明甲的成绩较为稳定,所以甲的成绩比乙的成绩要好些。‎