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- 2021-05-10 发布
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年 级
八年级
学 科
数学
版 本
通用版
课程标题
中考中的统计问题
编稿老师
王长远
一校
付秋花
二校
黄楠
审核
郭莹
一、描述数据特征的统计量
从两方面描述:①数据的集中趋势;②数据的波动大小。
二、用样本估计总体的思想
1. 用样本的平均数估计总体的平均数;
2. 用样本的方差估计总体的方差。
三、平均数和方差的算法
1. 平均数:(算术)平均数=总和÷个数
2. 方差:
原数据变化引起的平均数和方差的变化规律:
平均数
方差
原数据
s2
原数据+a (原数据-a)
+a , (-a)
s2
原数据×n
n
n2s2
例题1 如果数据x1,x2,…,xn的平均数是方差是S2,则2x1+3,2x2+3,…,2xn+3的平均数是 方差是
解析:根据所给的数据的平均数和方程写出表示它们的公式,把要求方差的这组数据先求出平均数,再用方差的公式表示出来,首先合并同类项,再提公因式,同原来的方差的表示式进行比较,得到结果。
答案:∵数据x1,x2,…,xn的平均数是,方差是S2,
∴2x1+3,2x2+3,…,2xn+3的方差是
答案:,4s2。
点拨:本题考查平均数的变化特点和方差的变化特点,是一个统计问题,解题的关键是熟练掌握平均数和方差的公式。
例题2 我们约定:如果身高在选定标准的±2%范围之内都称为“普通身高”。为了解某校九年级男生中具有“普通身高”的人数,我们从该校九年级男生中随机选出10名男生,分别测量出他们的身高(单位:cm)收集并整理如下统计表:
男生序号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
身高
163
171
173
159
161
174
164
166
169
164
根据以上表格信息,解答如下问题:
(1)计算这组数据的三个统计量:平均数、中位数和众数;
(2)请你选择一个统计量作为选定标准,找出这10名中具有“普通身高”的是哪几位男生?并说明理由;
(3)若该年级共有280名男生,按(2)中选定标准,请你估算出该年级男生中“普通身高”的人数约有多少名?
解析:(1)根据平均数、中位数和众数的定义分别进行计算,即可求出答案;
(2)根据选平均数作为标准,得出身高x满足166.4×(1-2%)≤x≤166.4×(1+2%)为“普通身高”,从而得出⑦、⑧、⑨、⑩几位男生具有“普通身高”;
根据选中位数作为标准,得出身高x满足165×(1-2%)≤x≤165×(1+2%),为“普通身高”,从而得出①、⑦、⑧、⑩几位男生具有“普通身高”;
根据选众数作为标准,得出身高x满足164×(1-2%)≤x≤164×(1+2%)为“普通身高”,此时得出①、⑤、⑦、⑧、⑩几位男生具有“普通身高”。
(3)分三种情况讨论,(1)以平均数作为标准(2)以中位数作为标准(3)以众数数作为标准;分别用总人数乘以所占的百分比,即可得出普通身高的人数。
答案:(1)平均数为:
10名同学身高从小到大排列如下:
159,161,163,164,164,166,169,171,173,174。
众数为:164(cm);
(2)选平均数作为标准:
身高x满足:166.4×(1-2%)≤x≤166.4×(1+2%),
即163.072≤x≤169.728时为“普通身高”,
此时⑦、⑧、⑨、⑩几位男生具有“普通身高”,
(3)以平均数作为标准,估计全年级男生中“普通身高”的人数约为:
点拨:此题考查了中位数、众数、平均数,考查了确定一组数据的中位数和众数的能力。注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数。
例题3 某校为了迎接中考,老师安排了五次数学模拟考试,对李明、王亮两位同学的成绩进行统计后,绘制成图①、图②的统计图。
(1)在图②中画出表示王亮这5次数学成绩的变化情况的折线统计图;
(2)填写表格:
平均成绩(分)
中位数(分)
极差(分)
方差(分2)
李 明
90
92
16
36.8
王 亮
90
88
19
46
(3)请你根据上述统计情况,从“平均成绩、折线走势、方差”三方面进行分析,估计谁在中考中会取得较好的成绩?
解析:
(1)根据条形图就可以得到甲,乙的成绩,注意观察次数所对应的点的纵坐标,就是成绩;
(2)根据这两组数就可以求出每组的中位数、极差;
(3)根据平均数的大小确定成绩的好坏,根据方差确定成绩哪个稳定。
答案:解:(1)利用条形图即可得出王亮的5次成绩,进而画出折线图即可,如图所示:
(2)李明的成绩按大小排列为:82,84,92,94,98,
王亮的成绩按大小排列为:99,96,88,87,80,
故李明的成绩中位数为:92,王亮的成绩中位数为:88,
李明的成绩的极差为:98-82=16,王亮的成绩的极差为:99-80=19,
平均成绩(分)
中位数(分)
极差(分)
方差(分2)
李 明
92
16
王 亮
88
19
(3)从平均成绩看,两人都是90分;从折线走势看,李明成绩呈上升趋势,王亮成绩呈下降趋势;从方差来看,李明比王亮稳定。综合分析结果,李明在本次中考中会取得较高的成绩。
点拨:本题主要考查了平均数、中位数、极差的概念,方差是描述一组数据波动大小的量,利用条形图得出两人成绩进而进行分析是解题关键。
平均数是表示数据集中程度的量之一,它随着数据的变化而变化;而方差是表示数据波动大小的量之一,当数据都加上一个数(或减去一个数)时,方差不变,即数据的波动情况不变。当每个数都乘以n,则方差是原来的n的平方倍。
例题 观察与探究:
(1)观察下列各组数据并填空:
A. 1,2,3,4,5 , ;
B. 11,12,13,14,15 , ;
C. 10,20,30,40,50 , ;
(2)分别比较A与B,C的计算结果,你能发现什么规律?
解析:方差是用来衡量一组数据波动大小的量,每个数都加了10,所以平均数加10,方差不变;每个数都乘以10,所以平均数乘以10,方差乘以102。
答案:(1),;
(2)规律:有两组数据,设其平均数分别为方差分别为;
①当第二组数每个数据比第一组每个数据都增加m个单位时,则有 ;
②当第二组数每个数据是第一组每个数据的n倍时,则有 。
点拨:当数据都加上一个数(或减去一个数)时,方差不变,即数据的波动情况不变。当每个数都乘以n,则方差是原来的n的平方倍。
(答题时间:45分钟)
一、选择题
1. 株洲市关心下一代工作委员会为了了解全市初三学生的视力状况,从全市30000名初三学生中随机抽取了500人进行视力测试,发现其中视力不良的学生有100人,则可估计全市30000名初三学生中视力不良的约有( )
A. 100人
B. 500人
C. 6000人
D. 5000人
2. 某种品牌的水果糖的售价为15元/千克,该品牌的酥糖的售价为18元/千克.现将两种糖均匀混合,为了估算这种糖的售价,称了十份糖,每份糖1千克,其中水果糖的质量如下(单位:千克)0.58;0.52;0.59;0.49;0.60;0.55;0.56;0.49;0.52;0.54。
你认为这种糖比较合理的定价为( )元/千克。
A. 16.6
B. 16.4
C. 16.5
D. 16.3
*3. 为鼓励市民珍惜每一滴水,某居委会表扬了100个节约用水模范户,8月份节约用水的情况如表:
每户节水量(单位:吨)
1
1.2
1.5
节水户数
52
30
18
那么,8月份这100户平均节约用水的吨数为(精确到0.01t)( )
A.1.05t
B.1.20t
C.1.15t
D.1t
*4. 安安班上有九位同学,他们的体重资料如下:
57,54,47,42,49,48,45,47,50.(单位:公斤)
关于此数据的中位数与众数的叙述,下列何者正确?( )
A. 中位数为49
B. 中位数为47
C. 众数为57
D. 众数为47
**5. 小明和小兵两人参加学校组织的理化实验操作测试,近期的5次测试成绩如图所示,则下列说法正确的是( )
A. 小兵的平均成绩好,但没有小明稳定
B. 小明的平均成绩好,但没有小兵稳定
C. 两人的平均成绩一样好,小明的方差大
D. 两人的平均成绩一样好,小兵的方差大
**6. 已知样本x1,x2,x3,…,xn的方差是1,那么样本2x1+3,2x2+3,2x3+3,…,2xn+3的方差是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题
7. 某居民小区为了了解本小区100户居民家庭平均月使用塑料袋的数量情况,随机调査了10户居民家庭月使用塑料袋的数量,结果如下(単位:只)
65 70 85 74 86 78 74 92 82 94
根据统计情况,估计该小区这100户家庭平均使用塑料袋为_______只。
*8. 有一组数据:2,3,5,5,x,它们的平均数是10,则这组数据的众数是________。
*9. 为从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加全运会,教练把他们的10次比赛成绩作了统计:平均成绩为9.3环:方差分别为S2甲=1.22,S2乙=1.68,S2丙=0.44,则应该选________参加全运会。
**10. 某市号召居民节约用水,为了解居民用水情况,随机抽查了20户家庭某月的用水量,结果如表,则这20户家庭这个月的平均用水量是____吨。
用水量(吨)
4
5
6
8
户数
3
8
4
5
三、解答题
11. 某校为了招聘一名优秀教师,对入选的三名候选人进行教学技能与专业知识两种考核,现将甲、乙、丙三人的考核成绩统计如下:
候选人
百分制
教学技能考核成绩
专业知识考核成绩
甲
85
92
乙
91
85
丙
80
90
(1)如果校方认为教师的教学技能水平与专业知识水平同等重要,则候选人____将被录取。
(2)如果校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要,因此分别赋予它们6和4的权。计算他们赋权后各自的平均成绩,并说明谁将被录取。
*12. 七年级一班和二班各推选10名同学进行投篮比赛,按照比赛规则,每人各投了10个球,两个班选手的进球数统计如下表,请根据表中数据回答问题。
进球数
10
9
8
7
6
5
一班(人数)
1
1
1
4
0
3
二班(人数)
0
1
2
5
0
2
(1)分别求一班和二班选手进球数的平均数、众数、中位数;
(2)如果要从这两个班中选出一个班代表级部参加学校的投篮比赛,争取夺得总进球数团体第一名,你认为应该选择哪个班?如果要争取个人进球数进入学校前三名,你认为应该选择哪个班?
**13. 经市场调查,某种优质西瓜质量为(5±0.25)kg的最为畅销。为了控制西瓜的质量,农科所采用A、B两种种植技术进行试验。现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20颗,记录它们的质量如下(单位:kg):
A:
B:
(1)若质量为(5±0.25)kg的为优等品,根据以上信息完成下表:
(2)请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对A、B两种技术作出评价;从市场销售的角度看,你认为推广哪种种植技术较好?
**14. 甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次,每次射靶的成绩情况如图所示。
(1)请你根据图中的数据填写下表:
姓名
平均数(环)
众数(环)
方差
甲
乙
2.8
(2)从平均数和方差相结合看,分析谁的成绩好些。
1. C 解析:首先计算出样本中视力不良的学生所占的百分比,再用30000名初三学生×视力不良的学生所占的百分比即可得到答案。100÷500=20%,30000×20%=6000,故选C。
2. B 解析:首先求出十份糖中水果糖的平均质量,然后即可求出十份糖其中酥糖的平均质量,再利用各自的价格即可计算出这种糖比较合理的定价。十份糖中水果糖的平均质量为
那么十份糖中酥糖的平均质量为1-0.544=0.456千克,
∴这种糖比较合理的定价为0.456×18+0.544×15=16.368≈16.4元/千克。
3. B 解析:求出所有数据的和,然后除以数据的总个数。100户平均节约用水的吨数=(52×1+30×1.2+18×1.5)÷100=1.15t。故选C。
4. D 解析:先将所有的数据值依序排列后才能取中位数。将9笔资料值由小到大依序排列如下:42,45,47,47,48,49,50,54,57,∴中位数取第5笔资料值,即中位数=48,∵
47公斤的次数最多(2次)∴众数=47,故选D。
5. C 解析:先从图片中读出小明和小兵的测试数据,分别求出方差后比较大小。也可从图看出来小明的成绩都在8到10之间相对小兵的波动更小。
∴S12<S22。∴两人的平均成绩一样好,小兵的方差大,故选C。
6. D 解析:根据方差的意义分析,数据都加3,方差不变,原数据都乘2,则方差是原来的4倍。
设样本x1,x2,x3,…,xn的平均数为m,则其方差为
则样本2x1+3,2x2+3,2x3+3,…,2xn+3的平均数为2m,其方差为S22=4S12=4。故选D。
7. 80 解:
8. 5 解:由题意得,(2+3+5+5+x)÷5=10,
解得:x=35,
这组数据中5出现的次数最多,则这组数据的众数为5。
9. 丙 解:∵S2甲=1.22,S2乙=1.68,S2丙=0.44,
∴S2丙最小,
∴则应该选丙参加全运会。
10. 5.8 解:根据题意得:
这20户家庭这个月的平均用水量是(4×3+5×8+6×4+8×5)÷20=5.8(吨)。
11. 解:(1)甲的平均数是:(85+92)÷2=88.5(分),
乙的平均数是:(91+85))÷2=88(分),
丙的平均数是:(80+90)÷2=85(分),
∵甲的平均成绩最高,
∴候选人甲将被录取.
故答案为:甲。
(2)根据题意得:
甲的平均成绩为:(85×6+92×4)÷10=87.8(分),
乙的平均成绩为:(91×6+85×4)÷10=88.6(分),
丙的平均成绩为:(80×6+90×4)÷10=84(分),
因为乙的平均分数最高,
所以乙将被录取。
12. 解:(1)一班进球平均数:(10×1+9×1+8×1+7×4+6×0+5×3)÷10=7(个),
二班进球平均数:(10×0+9×1+8×2+7×5+6×0+5×2)÷10=7(个),
一班投中7个球的有4人,人数最多,故众数为7(个);
二班投中7个球的有5人,人数最多,故众数为7(个);
一班中位数:第五第六名同学进7个球,故中位数为7(个);
二班中位数:第五第六名同学进7个球,故中位数为7(个)。
(2)一班的方差
S12=[(10-7)2+(9-7)2+(8-7)2+4×(7-7)2+0×(6-7)2+3×(5-7)2]÷10=2.6,
一班的方差
S22= [0×(10-7)2+(9-7)2+2×(8-7)2+5×(7-7)2+(6-7)2+2×(5-7)2] ÷10=1.5,
二班选手水平发挥更稳定,争取夺得总进球数团体第一名,应该选择二班;
一班前三名选手的成绩突出,分别进10个、9个、8个球,如果要争取个人进球数进入学校前三名,应该选择一班。
13. 解:(1)
(2)从优等品数量的角度看,因A技术种植的西瓜优等品数量较多,所以A技术较好;
从平均数的角度看,因A技术种植的西瓜质量的平均数更接近5kg,所以A技术较好;
从方差的角度看,因B技术种植的西瓜质量的方差更小,所以B技术种植的西瓜质量更为稳定;
∴从市场销售角度看,因优等品更畅销,A技术种植的西瓜优等品数量更多,且平均质量更接近5kg,因而更适合推广A种技术。
14. 解:(1)甲的平均数=(6+7+8+7+7)÷5=7
方差=[(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(7-7)2] ÷5=0.4,
甲的众数是7;
乙的平均数=(3+6+6+7+8)÷5=6
乙的众数是6;如图,
姓名
平均数(环)
众数(环)
方差
甲
7
7
0.4
乙
6
6
2.8
(2)从甲、乙两人射靶成绩的平均数来看:甲的成绩优于乙的,并且甲比乙的方差要小,说明甲的成绩较为稳定,所以甲的成绩比乙的成绩要好些。