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- 2021-05-10 发布
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相似三角形
知识考点:
本节知识包括相似三角形的判定定理、三角形相似的判定及应用,这是中考必考内容。掌握好相似三角形的基础知识尤为重要。
精典例题:
【例1】如图,点O是△ABC的两条角平分线的交点,过O作AO的垂线交AB于D。求证:△OBD∽△CBO。
分析:此题不易得到边的比例关系,但O点是三角形的角平分线的交点,有多对相等的角,故宜从角相等方面去考虑。
由角平分线及三角形内角和定理知:∠1+∠2+∠DAO=900,再由AO⊥DO可得∠5=∠1+∠2,而∠5=∠3+∠4,从而∠1+∠2=∠3+∠4,由∠1=∠3可得∠2=∠4,于是结论得证。
变式1:已知如图,在△ABC中,AD=AE,AO⊥DE于O,DE交AB于D,交AC于E,BO平分∠ABC。求证:。
变式2:已知如图(同变式1图),在△ABC中,O为两内角平分线的交点,过点O作直线交AB于D,交AC于E,且AD=AE。
求证:(1)△BDO∽△OEC;(2)。
【例2】如图,在△ABC中,∠BAC=900,AD⊥BC于D,E为AC中点,DE交BA的延长线于F。求证:AB∶AC=BF∶DF。
分析:由于△ABC和△FBD一个是直角三角形,一个是钝角三角形,不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论,势必要找“过渡”的线段或线段比,这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧。
证明:∵AB⊥AC,AD⊥BC
∴Rt△ABD∽Rt△CAD,∠DAC=∠B
∴………①
又∵AD⊥BC,E为AC中点
∴DE=AE,∠DAE=∠ADE
∴∠B=∠ADE
又∵∠F=∠F
∴△FAD∽△FDB
∴………②
由①②得
变式:本题条件、结论不变,而只改变图形的位置时,如下图所示,本题又该怎样证明呢?
【例3】如图,梯形ABCD中,AD∥BC,BE⊥CD于E,且BC=BD,对角线AC、BD相交于G,AC、BE相交于F。求证:。
分析:由于FG、FA、FC三条线段在同一直线上,不能直接证明一对三角形相似而得结论。根据题设条件易得BE是DC的垂直平分线,于是连结FD得FD=FC,再证△FDG∽△FAD即可。21世纪教育网
探索与创新:
【问题一】如图,∠ACB=∠ADC=900,AC=,AD=2。问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似?
略解:∵AC=,AD=2
∴CD=
要使这两个直角三角形相似,有两种情况:
(1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时,有
∴
(2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时,有
∴
故当AB的长为3或时,这两个直角三角形相似。
【问题二】已知如图,正方形ABCD的边长为1,P是CD边的中点,点Q在线段BC上,设BQ=,是否存在这样的实数,使得Q、C、P为顶点的三角形与△ADP相似,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。
略解:假设存在满足条件的实数,则在正方形ABCD中,∠D=∠C=
900,由Rt△ADP∽Rt△QCP或Rt△ADP∽Rt△PCQ得:
或
由此解得:CQ=1或CQ=,从而或
故当或时,△ADP与△QCP。
跟踪训练:
一、填空题:
1、如图,在△ABC中,P是边AB上一点,连结CP,使△ACP∽△ABC的条件是 。
2、在直角坐标系中,已知A(-3,0)、B(0,-4)、C(0,1),过C点作直线交轴于D,使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似,这样的直线有 条。
3、如图,在△ABC中,∠C=900,AC=8,CB=6,在斜边AB上取一点M,使MB=CB,过M作MN⊥AB交AC于N,则MN= 。
4、一个钢筋三角架长分别为20cm、50 cm、60 cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边,则不同的载法有 种。
5、如图,在锐角△ABC中,BD⊥AC,DE⊥BC,AB=14,AD=4,BE∶EC=5∶1,则CD= 。
二、选择题:[来源:21世纪教育网21世纪教育网
1、下面两个三角形一定相似的是( )
A、两个等腰三角形 B、两个直角三角形21世纪教育网
C、两个钝角三角形 D、两个等边三角形
2、如图,点E是平行四边形ABCD的边CB延长线上一点,EA分别交CD、BD的延长线于点F、G,则图中相似三角形共有( )21世纪教育网
A、3对 B、4对 C、5对 D、6对
三、解答题:
1、如图,在Rt△ABC中,∠B=900,AB=BE=EF=FC。求证:△AEF∽△CEA。
2、如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥DC,DE⊥AC于E,交AB于F。求证:△AFD∽△ADB。
3、如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=900,AB=3,DC=7,AD=15,请你在AD上找一点P,使得以P、A、B和以P、D、C为顶点的两个三角形相似吗?若能,这样的P点有几个?并求出AP的长;若不能,请说明理由。
4、在边长为1的正方形网格中有A、B、C、D、E五个点,问△ABC与△ADE是否相似?为什么?由此,你还能找出图中相似的三角形吗?若能,请找出来,并说明理由。
跟踪训练参考答案
一、填空题:
1、∠ACP=∠B或∠APC=∠ACB或;2、4条;3、3,5;
4、2种;5、6
二、选择题:DD
三、解答题:
1、设AB=BE=EF=FC=,∵∠B=900,∴AE=
∵,
∴且∠AEF=∠CEA
∴△AEF∽△CEA
2、证△AED∽△ADC,△FAE∽△CAB,△FAD∽△DAB
3、能,有三个,AP=4.5或
4、△ABC∽△ADE,还有△ABD∽△ACE。