中考数学试题分类汇编考点15：反比例函数 56页

中考数学试题分类汇编：考点 15 反比例函数 一．选择题（共 21 小题） 1．（2018•玉林）等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（ ） A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数 【分析】根据一次函数的定义，可得答案． 【解答】解：设等腰三角形的底角为 y，顶角为 x，由题意，得 y=﹣ x+90°， 故选：B． 2．（2018•怀化）函数 y=kx﹣3 与 y= （k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据当 k＞0、当 k＜0 时，y=kx﹣3 和 y= （k≠0）经过的象限，二者 一致的即为正确答案． 【解答】解：∵当 k＞0 时，y=kx﹣3 过一、三、四象限，反比例函数 y= 过一、 三象限， 当 k＜0 时，y=kx﹣3 过二、三、四象限，反比例函数 y= 过二、四象限， ∴B 正确； 故选：B． 3．（2018•永州）在同一平面直角坐标系中，反比例函数 y= （b≠0）与二次函 数 y=ax2+bx（a≠0）的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出 a，b 的值取值范围，进而利用 反比例函数的性质得出答案． 【解答】解：A、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向上，则 a＞0，对称轴位于 y 轴的右 侧，则 a、b 异号，即 b＜0．所以反比例函数 y= 的图象位于第二、四象限，故 本选项错误； B、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向上，则 a＞0，对称轴位于 y 轴的左侧，则 a、b 同号，即 b＞0．所以反比例函数 y= 的图象位于第一、三象限，故本选项错误； C、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向下，则 a＜0，对称轴位于 y 轴的右侧，则 a、b 异号，即 b＞0．所以反比例函数 y= 的图象位于第一、三象限，故本选项错误； D、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向下，则 a＜0，对称轴位于 y 轴的右侧，则 a、b 异号，即 b＞0．所以反比例函数 y= 的图象位于第一、三象限，故本选项正确； 故选：D． 4．（2018•菏泽）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y=bx+a 与反比例函数 y= 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出 a，b，c 的取值范围，进而利用 一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【解答】解：∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上， ∴a＞0， ∵该抛物线对称轴位于 y 轴的右侧， ∴a、b 异号，即 b＜0． ∵当 x=1 时，y＜0， ∴a+b+c＜0． ∴一次函数 y=bx+a 的图象经过第一、二、四象限， 反比例函数 y= 的图象分布在第二、四象限， 故选：B． 5．（2018•大庆）在同一直角坐标系中，函数 y= 和 y=kx﹣3 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分 k＞0 和 k＜0 两种情 况讨论．当两函数系数 k 取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为 正确答案． 【解答】解：分两种情况讨论： ①当 k＞0 时，y=kx﹣3 与 y 轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数 的图象在第一、三象限； ②当 k＜0 时，y=kx﹣3 与 y 轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数 的图象在第二、四象限． 故选：B． 6．（2018•香坊区）对于反比例函数 y= ，下列说法不正确的是（ ） A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大D．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小 【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答． 【解答】解：A、把点（﹣2，﹣1）代入反比例函数 y= 得﹣1=﹣1，故 A 选项 正确； B、∵k=2＞0，∴图象在第一、三象限，故 B 选项正确； C、当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小，故 C 选项错误； D、当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小，故 D 选项正确． 故选：C． 7．（2018•衡阳）对于反比例函数 y=﹣ ，下列说法不正确的是（ ） A．图象分布在第二、四象限 B．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 C．图象经过点（1，﹣2） D．若点 A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且 x1＜x2，则 y1＜y2 【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、k=﹣2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确； B、k=﹣2＜0，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，故本选项正确； C、∵﹣ =﹣2，∴点（1，﹣2）在它的图象上，故本选项正确； D、点 A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数 y=﹣ 的图象上，若 x1＜x2＜0， 则 y1＜y2，故本选项错误． 故选：D． 8．（2018•柳州）已知反比例函数的解析式为 y= ，则 a 的取值范围是（ ） A．a≠2 B．a≠﹣2 C．a≠±2 D．a=±2 【分析】根据反比例函数解析式中 k 是常数，不能等于 0 解答即可． 【解答】解：由题意可得：|a|﹣2≠0， 解得：a≠±2， 故选：C． 9．（2018•德州）给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述 函数中符合条作“当 x＞1 时，函数值 y 随自变量 x 增大而增大“的是（ ） A．①③ B．③④ C．②④ D．②③ 【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析 得出答案． 【解答】解：①y=﹣3x+2，当 x＞1 时，函数值 y 随自变量 x 增大而减小，故此 选项错误； ②y= ，当 x＞1 时，函数值 y 随自变量 x 增大而减小，故此选项错误； ③y=2x2，当 x＞1 时，函数值 y 随自变量 x 增大而减小，故此选项正确； ④y=3x，当 x＞1 时，函数值 y 随自变量 x 增大而减小，故此选项正确； 故选：B． 10．（2018•嘉兴）如图，点 C 在反比例函数 y= （x＞0）的图象上，过点 C 的 直线与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，且 AB=BC，△AOB 的面积为 1，则 k 的值为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据题意可以设出点 A 的坐标，从而以得到点 C 和点 B 的坐标，再根 据△AOB 的面积为 1，即可求得 k 的值． 【解答】解：设点 A 的坐标为（a，0）， ∵过点 C 的直线与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，且 AB=BC，△AOB 的面积为 1， ∴点 C（﹣a， ）， ∴点 B 的坐标为（0， ）， ∴ =1， 解得，k=4， 故选：D． 11．（2018•温州）如图，点 A，B 在反比例函数 y= （x＞0）的图象上，点 C， D 在反比例函数 y= （k＞0）的图象上，AC∥BD∥y 轴，已知点 A，B 的横坐标 分别为 1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为 ，则 k 的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D． 【分析】先求出点 A，B 的坐标，再根据 AC∥BD∥y 轴，确定点 C，点 D 的坐标， 求出 AC，BD，最后根据，△OAC 与△ABD 的面积之和为 ，即可解答． 【解答】解：∵点 A，B 在反比例函数 y= （x＞0）的图象上，点 A，B 的横坐 标分别为 1，2， ∴点 A 的坐标为（1，1），点 B 的坐标为（2， ）， ∵AC∥BD∥y 轴， ∴点 C，D 的横坐标分别为 1，2， ∵点 C，D 在反比例函数 y= （k＞0）的图象上， ∴点 C 的坐标为（1，k），点 D 的坐标为（2， ）， ∴AC=k﹣1，BD= ， ∴S△OAC= （k﹣1）×1= ，S△ABD= • ×（2﹣1）= ， ∵△OAC 与△ABD 的面积之和为 ， ∴ ， 解得：k=3． 故选：B． 12．（2018•宁波）如图，平行于 x 轴的直线与函数 y= （k1＞0，x＞0），y= （k2＞0，x＞0）的图象分别相交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上 的一个动点，若△ABC 的面积为 4，则 k1﹣k2 的值为（ ） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 【分析】设 A（a，h），B（b，h），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出 ah=k1，bh=k2．根据三角形的面积公式得到 S△ABC= AB•yA= （a﹣b）h= （ah﹣ bh）= （k1﹣k2）=4，求出 k1﹣k2=8． 【解答】解：∵AB∥x 轴， ∴A，B 两点纵坐标相同． 设 A（a，h），B（b，h），则 ah=k1，bh=k2． ∵S△ABC= AB•yA= （a﹣b）h= （ah﹣bh）= （k1﹣k2）=4， ∴k1﹣k2=8． 故选：A． 13．（2018•郴州）如图，A，B 是反比例函数 y= 在第一象限内的图象上的两点， 且 A，B 两点的横坐标分别是 2 和 4，则△OAB 的面积是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及 A，B 两点的横坐标，求出 A （2，2），B（4，1）．再过 A，B 两点分别作 AC⊥x 轴于 C，BD⊥x 轴于 D，根 据反比例函数系数 k 的几何意义得出 S△AOC=S△BOD= ×4=2．根据 S 四边形 AODB=S△AOB+S △BOD=S△AOC+S 梯形 ABDC，得出 S△AOB=S 梯形 ABDC，利用梯形面积公式求出 S 梯形 ABDC= （BD+AC）•CD= （1+2）×2=3，从而得出 S△AOB=3． 【解答】解：∵A，B 是反比例函数 y= 在第一象限内的图象上的两点，且 A，B 两点的横坐标分别是 2 和 4， ∴当 x=2 时，y=2，即 A（2，2）， 当 x=4 时，y=1，即 B（4，1）． 如图，过 A，B 两点分别作 AC⊥x 轴于 C，BD⊥x 轴于 D，则 S△AOC=S△BOD= ×4=2． ∵S 四边形 AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S 梯形 ABDC， ∴S△AOB=S 梯形 ABDC， ∵S 梯形 ABDC= （BD+AC）•CD= （1+2）×2=3， ∴S△AOB=3． 故选：B． 14．（2018•无锡）已知点 P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数 y= 的图象 上，且 a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（ ） A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n 【分析】根据反比例函数的性质，可得答案． 【解答】解：y= 的 k=﹣2＜0，图象位于二四象限， ∵a＜0， ∴P（a，m）在第二象限， ∴m＞0； ∵b＞0， ∴Q（b，n）在第四象限， ∴n＜0． ∴n＜0＜m， 即 m＞n， 故 D 正确； 故选：D． 15．（2018•淮安）若点 A（﹣2，3）在反比例函数 y= 的图象上，则 k 的值是 （ ） A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6 【分析】根据待定系数法，可得答案． 【解答】解：将 A（﹣2，3）代入反比例函数 y= ，得 k=﹣2×3=﹣6， 故选：A． 16．（2018•岳阳）在同一直角坐标系中，二次函数 y=x2 与反比例函数 y= （x ＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点 A（x1，m），B（x2， m），C（x3，m），其中 m 为常数，令ω=x1+x2+x3，则ω的值为（ ） A．1 B．m C．m2 D． 【分析】三个点的纵坐标相同，由图象可知 y=x2 图象上点横坐标互为相反数， 则 x1+x2+x3=x3，再由反比例函数性质可求 x3． 【解答】解：设点 A、B 在二次函数 y=x2 图象上，点 C 在反比例函数 y= （x＞0） 的图象上．因为 AB 两点纵坐标相同，则 A、B 关于 y 轴对称，则 x1+x2=0，因为 点 C（x3，m）在反比例函数图象上，则 x3= ∴ω=x1+x2+x3=x3= 故选：D． 17．（2018•遵义）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若 点 A 在反比例函数 y= （x＞0）的图象上，则经过点 B 的反比例函数解析式为 （ ） A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y= 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出 = ，进而得出 S△AOD=2， 即可得出答案． 【解答】解：过点 B 作 BC⊥x 轴于点 C，过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D， ∵∠BOA=90°， ∴∠BOC+∠AOD=90°， ∵∠AOD+∠OAD=90°， ∴∠BOC=∠OAD， 又∵∠BCO=∠ADO=90°， ∴△BCO∽△ODA， ∴ =tan30°= ， ∴ = ， ∵ ×AD×DO= xy=3， ∴S△BCO= ×BC×CO= S△AOD=1， ∴S△AOD=2， ∵经过点 B 的反比例函数图象在第二象限， 故反比例函数解析式为：y=﹣ ． 故选：C． 18．（2018•湖州）如图，已知直线 y=k1x（k1≠0）与反比例函数 y= （k2≠0） 的图象交于 M，N 两点．若点 M 的坐标是（1，2），则点 N 的坐标是（ ） A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣2，﹣1） 【分析】直接利用正比例函数的性质得出 M，N 两点关于原点对称，进而得出答 案． 【解答】解：∵直线 y=k1x（k1≠0）与反比例函数 y= （k2≠0）的图象交于 M， N 两点， ∴M，N 两点关于原点对称， ∵点 M 的坐标是（1，2）， ∴点 N 的坐标是（﹣1，﹣2）． 故选：A． 19．（2018•江西）在平面直角坐标系中，分别过点 A（m，0），B（m+2，0） 作 x 轴的垂线 l1 和 l2，探究直线 l1，直线 l2 与双曲线 y= 的关系，下列结论错误 的是（ ） A．两直线中总有一条与双曲线相交 B．当 m=1 时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等 C．当﹣2＜m＜0 时，两直线与双曲线的交点在 y 轴两侧 D．当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是 2 【分析】A、由 m、m+2 不同时为零，可得出：两直线中总有一条与双曲线相交； B、找出当 m=1 时两直线与双曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式可得出： 当 m=1 时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等； C、当﹣2＜m＜0 时，0＜m+2＜2，可得出：当﹣2＜m＜0 时，两直线与双曲线 的交点在 y 轴两侧； D、由 y 与 x 之间一一对应结合两交点横坐标之差为 2，可得出：当两直线与双 曲线都有交点时，这两交点的距离大于 2．此题得解． 【解答】解：A、∵m、m+2 不同时为零， ∴两直线中总有一条与双曲线相交； B、当 m=1 时，点 A 的坐标为（1，0），点 B 的坐标为（3，0）， 当 x=1 时，y= =3， ∴直线 l1 与双曲线的交点坐标为（1，3）； 当 x=3 时，y= =1， ∴直线 l2 与双曲线的交点坐标为（3，1）． ∵ = ， ∴当 m=1 时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等； C、当﹣2＜m＜0 时，0＜m+2＜2， ∴当﹣2＜m＜0 时，两直线与双曲线的交点在 y 轴两侧； D、∵m+2﹣m=2，且 y 与 x 之间一一对应， ∴当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的距离大于 2． 故选：D． 20．（2018•铜仁市）如图，已知一次函数 y=ax+b 和反比例函数 y= 的图象相交 于 A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式 ax+b＜ 的解集为（ ） A．x＜﹣2 或 0＜x＜1 B．x＜﹣2 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0 或 x＞1 【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即 可得出不等式的解集． 【解答】解：观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0 或 x＞1 时，一次函数图象在 反比例函数图象的下方， ∴不等式 ax+b＜ 的解集是﹣2＜x＜0 或 x＞1． 故选：D． 21．（2018•聊城）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视 的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消 毒的过程中，先经过 5min 的集中药物喷洒，再封闭宿舍 10min，然后打开门窗 进行通风，室内每立方米空气中含药量 y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间 x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后 又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（ ） A．经过 5min 集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 10mg/m3 B．室内空气中的含药量不低于 8mg/m3 的持续时间达到了 11min C．当室内空气中的含药量不低于 5mg/m3 且持续时间不低于 35 分钟，才能有效 杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效 D．当室内空气中的含药量低于 2mg/m3 时，对人体才是安全的，所以从室内空 气中的含药量达到 2mg/m3 开始，需经过 59min 后，学生才能进入室内 【分析】利用图中信息一一判断即可； 【解答】解：A、正确．不符合题意． B、由题意 x=4 时，y=8，∴室内空气中的含药量不低于 8mg/m3 的持续时间达到 了 11min，正确，不符合题意； C、y=5 时，x=2.5 或 24，24﹣2.5=21.5＜35，故本选项错误，符合题意； D、正确．不符合题意， 故选：C． 二．填空题（共 9 小题） 22．（2018•上海）已知反比例函数 y= （k 是常数，k≠1）的图象有一支在 第二象限，那么 k 的取值范围是 k＜1 ． 【分析】由于在反比例函数 y= 的图象有一支在第二象限，故 k﹣1＜0，求出 k 的取值范围即可． 【解答】解：∵反比例函数 y= 的图象有一支在第二象限， ∴k﹣1＜0， 解得 k＜1． 故答案为：k＜1． 23．（2018•齐齐哈尔）已知反比例函数 y= 的图象在第一、三象限内，则 k 的值可以是 1 ．（写出满足条件的一个 k 的值即可） 【分析】根据反比例函数的性质：反比例函数 y= 的图象在第一、三象限内， 则可知 2﹣k＞0，解得 k 的取值范围，写出一个符合题意的 k 即可． 【解答】解：由题意得，反比例函数 y= 的图象在第一、三象限内， 则 2﹣k＞0， 故 k＜2，满足条件的 k 可以为 1， 故答案为：1． 24．（2018•连云港）已知 A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数 y=﹣ 图 象上的两个点，则 y1 与 y2 的大小关系为 y1＜y2 ． 【分析】根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断 y1 与 y2 的大小， 从而可以解答本题． 【解答】解：∵反比例函数 y=﹣ ，﹣4＜0， ∴在每个象限内，y 随 x 的增大而增大， ∵A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数 y=﹣ 图象上的两个点，﹣4＜﹣1， ∴y1＜y2， 故答案为：y1＜y2． 25．（2018•南京）已知反比例函数 y= 的图象经过点（﹣3，﹣1），则 k= 3 ． 【分析】根据反比例函数 y= 的图象经过点（﹣3，﹣1），可以求得 k 的值． 【解答】解：∵反比例函数 y= 的图象经过点（﹣3，﹣1）， ∴﹣1= ， 解得，k=3， 故答案为：3． 26．（2018•陕西）若一个反比例函数的图象经过点 A（m，m）和 B（2m，﹣1）， 则这个反比例函数的表达式为 ． 【分析】设反比例函数的表达式为 y= ，依据反比例函数的图象经过点 A（m， m）和 B（2m，﹣1），即可得到 k 的值，进而得出反比例函数的表达式为 ． 【解答】解：设反比例函数的表达式为 y= ， ∵反比例函数的图象经过点 A（m，m）和 B（2m，﹣1）， ∴k=m2=﹣2m， 解得 m1=﹣2，m2=0（舍去）， ∴k=4， ∴反比例函数的表达式为 ． 故答案为： ． 27．（2018•东营）如图，B（3，﹣3），C（5，0），以 OC，CB 为边作平行四 边形 OABC，则经过点 A 的反比例函数的解析式为 y= ． 【分析】设 A 坐标为（x，y），根据四边形 OABC 为平行四边形，利用平移性质 确定出 A 的坐标，利用待定系数法确定出解析式即可． 【解答】解：设 A 坐标为（x，y）， ∵B（3，﹣3），C（5，0），以 OC，CB 为边作平行四边形 OABC， ∴x+5=0+3，y+0=0﹣3， 解得：x=﹣2，y=﹣3，即 A（﹣2，﹣3）， 设过点 A 的反比例解析式为 y= ， 把 A（﹣2，﹣3）代入得：k=6， 则过点 A 的反比例解析式为 y= ， 故答案为：y= 28．（2018•成都）设双曲线 y= （k＞0）与直线 y=x 交于 A，B 两点（点 A 在第 三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线 BA 的方向平移，使其经过点 A， 将双曲线在第三象限的一支沿射线 AB 的方向平移，使其经过点 B，平移后的两 条曲线相交于 P，Q 两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影 部分）为双曲线的“眸”，PQ 为双曲线的“眸径“，当双曲线 y= （k＞0）的眸径为 6 时，k 的值为 ． 【分析】以 PQ 为边，作矩形 PQQ′P′交双曲线于点 P′、Q′，联立直线 AB 及双曲 线解析式成方程组，通过解方程组可求出点 A、B 的坐标，由 PQ 的长度可得出 点 P 的坐标（点 P 在直线 y=﹣x 上找出点 P 的坐标），由图形的对称性结合点 A、 B 和 P 的坐标可得出点 P′的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得 出关于 k 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：以 PQ 为边，作矩形 PQQ′P′交双曲线于点 P′、Q′，如图所示． 联立直线 AB 及双曲线解析式成方程组， ， 解得： ， ， ∴点 A 的坐标为（﹣ ，﹣ ），点 B 的坐标为（ ， ）． ∵PQ=6， ∴OP=3，点 P 的坐标为（﹣ ， ）． 根据图形的对称性可知：AB=OO′=PP′， ∴点 P′的坐标为（﹣ +2 ， +2 ）． 又∵点 P′在双曲线 y= 上， ∴（﹣ +2 ）•（ +2 ）=k， 解得：k= ． 故答案为： ． 29．（2018•安顺）如图，已知直线 y=k1x+b 与 x 轴、y 轴相交于 P、Q 两点，与 y= 的图象相交于 A（﹣2，m）、B（1，n）两点，连接 OA、OB，给出下列结 论：①k1k2＜0；②m+ n=0；③S△AOP=S△BOQ；④不等式 k1x+b 的解集是 x＜ ﹣2 或 0＜x＜1，其中正确的结论的序号是 ②③④ ． 【分析】根据一次函数和反比例函数的性质得到 k1k2＞0，故①错误；把 A（﹣2， m）、B（1，n）代入 y= 中得到﹣2m=n 故②正确；把 A（﹣2，m）、B（1， n）代入 y=k1x+b 得到 y=﹣mx﹣m，求得 P（﹣1，0），Q（0，﹣m），根据三 角形的面积公式即可得到 S △ AOP=S △ BOQ ；故③正确；根据图象得到不等式 k1x+b 的解集是 x＜﹣2 或 0＜x＜1，故④正确． 【解答】解：由图象知，k1＜0，k2＜0， ∴k1k2＞0，故①错误； 把 A（﹣2，m）、B（1，n）代入 y= 中得﹣2m=n， ∴m+ n=0，故②正确； 把 A（﹣2，m）、B（1，n）代入 y=k1x+b 得 ， ∴ ， ∵﹣2m=n， ∴y=﹣mx﹣m， ∵已知直线 y=k1x+b 与 x 轴、y 轴相交于 P、Q 两点， ∴P（﹣1，0），Q（0，﹣m）， ∴OP=1，OQ=m， ∴S△AOP= m，S△BOQ= m， ∴S△AOP=S△BOQ；故③正确； 由图象知不等式 k1x+b 的解集是 x＜﹣2 或 0＜x＜1，故④正确； 故答案为：②③④． 30．（2018•安徽）如图，正比例函数 y=kx 与反比例函数 y= 的图象有一个交点 A（2，m），AB⊥x 轴于点 B．平移直线 y=kx，使其经过点 B，得到直线 l，则直 线 l 对应的函数表达式是 y= x﹣3 ． 【分析】首先利用图象上点的坐标特征得出 A 点坐标，进而得出正比例函数解析 式，再利用平移的性质得出答案． 【解答】解：∵正比例函数 y=kx 与反比例函数 y= 的图象有一个交点 A（2，m）， ∴2m=6， 解得：m=3， 故 A（2，3）， 则 3=2k， 解得：k= ， 故正比例函数解析式为：y= x， ∵AB⊥x 轴于点 B，平移直线 y=kx，使其经过点 B， ∴B（2，0）， ∴设平移后的解析式为：y= x+b， 则 0=3+b， 解得：b=﹣3， 故直线 l 对应的函数表达式是：y= x﹣3． 故答案为：y= x﹣3． 三．解答题（共 20 小题） 31．（2018•贵港）如图，已知反比例函数 y= （x＞0）的图象与一次函数 y=﹣ x+4 的图象交于 A 和 B（6，n）两点． （1）求 k 和 n 的值； （2）若点 C（x，y）也在反比例函数 y= （x＞0）的图象上，求当 2≤x≤6 时， 函数值 y 的取值范围． 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 n 值，进而可得出点 B 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 k 值； （2）由 k=6＞0 结合反比例函数的性质，即可求出：当 2≤x≤6 时，1≤y≤3． 【解答】解：（1）当 x=6 时，n=﹣ ×6+4=1， ∴点 B 的坐标为（6，1）． ∵反比例函数 y= 过点 B（6，1）， ∴k=6×1=6． （2）∵k=6＞0， ∴当 x＞0 时，y 随 x 值增大而减小， ∴当 2≤x≤6 时，1≤y≤3． 32．（2018•泰安）如图，矩形 ABCD 的两边 AD、AB 的长分别为 3、8，E 是 DC 的中点，反比例函数 y= 的图象经过点 E，与 AB 交于点 F． （1）若点 B 坐标为（﹣6，0），求 m 的值及图象经过 A、E 两点的一次函数的 表达式； （2）若 AF﹣AE=2，求反比例函数的表达式． 【分析】（1）根据矩形的性质，可得 A，E 点坐标，根据待定系数法，可得答案； （2）根据勾股定理，可得 AE 的长，根据线段的和差，可得 FB，可得 F 点坐标， 根据待定系数法，可得 m 的值，可得答案． 【解答】解：（1）点 B 坐标为（﹣6，0），AD=3，AB=8，E 为 CD 的中点， ∴点 A（﹣6，8），E（﹣3，4）， 函数图象经过 E 点， ∴m=﹣3×4=﹣12， 设 AE 的解析式为 y=kx+b， ， 解得 ， 一次函数的解析是为 y=﹣ x； （2）AD=3，DE=4， ∴AE= =5， ∵AF﹣AE=2， ∴AF=7， BF=1， 设 E 点坐标为（a，4），则 F 点坐标为（a﹣3，1）， ∵E，F 两点在函数 y= 图象上， ∴4a=a﹣3，解得 a=﹣1， ∴E（﹣1，4）， ∴m=﹣1×4=﹣4， ∴y=﹣ ． 33．（2018•岳阳）如图，某反比例函数图象的一支经过点 A（2，3）和点 B（点 B 在点 A 的右侧），作 BC⊥y 轴，垂足为点 C，连结 AB，AC． （1）求该反比例函数的解析式； （2）若△ABC 的面积为 6，求直线 AB 的表达式． 【分析】（1）把 A 的坐标代入反比例函数的解析式即可求得； （2）作 AD⊥BC 于 D，则 D（2，b），即可利用 a 表示出 AD 的长，然后利用三 角形的面积公式即可得到一个关于 b 的方程求得 b 的值，进而求得 a 的值，根据 待定系数法，可得答案． 【解答】解：（1）由题意得，k=xy=2×3=6 ∴反比例函数的解析式为 y= ． （2）设 B 点坐标为（a，b），如图 ， 作 AD⊥BC 于 D，则 D（2，b） ∵反比例函数 y= 的图象经过点 B（a，b） ∴b= ∴AD=3﹣ ． ∴S△ABC= BC•AD = a（3﹣ ）=6 解得 a=6 ∴b= =1 ∴B（6，1）． 设 AB 的解析式为 y=kx+b， 将 A（2，3），B（6，1）代入函数解析式，得 ， 解得 ， 直线 AB 的解析式为 y=﹣ x+4． 34．（2018•柳州）如图，一次函数 y=mx+b 的图象与反比例函数 y= 的图象交 于 A（3，1），B（﹣ ，n）两点． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求 n 的值及该一次函数的解析式． 【分析】（1）根据反比例函数 y= 的图象经过 A（3，1），即可得到反比例函 数的解析式为 y= ； （2）把 B（﹣ ，n）代入反比例函数解析式，可得 n=﹣6，把 A（3，1），B（﹣ ，﹣6）代入一次函数 y=mx+b，可得一次函数的解析式为 y=2x﹣5． 【解答】解：（1）∵反比例函数 y= 的图象经过 A（3，1）， ∴k=3×1=3， ∴反比例函数的解析式为 y= ； （2）把 B（﹣ ，n）代入反比例函数解析式，可得 ﹣ n=3， 解得 n=﹣6， ∴B（﹣ ，﹣6）， 把 A（3，1），B（﹣ ，﹣6）代入一次函数 y=mx+b，可得 ， 解得 ， ∴一次函数的解析式为 y=2x﹣5． 35．（2018•白银）如图，一次函数 y=x+4 的图象与反比例函数 y= （k 为常数 且 k≠0）的图象交于 A（﹣1，a），B 两点，与 x 轴交于点 C． （1）求此反比例函数的表达式； （2）若点 P 在 x 轴上，且 S△ACP= S△BOC，求点 P 的坐标． 【分析】（1）利用点 A 在 y=﹣x+4 上求 a，进而代入反比例函数 y= 求 k． （2）联立方程求出交点，设出点 P 坐标表示三角形面积，求出 P 点坐标． 【解答】解：（1）把点 A（﹣1，a）代入 y=x+4，得 a=3， ∴A（﹣1，3） 把 A（﹣1，3）代入反比例函数 y= ∴k=﹣3， ∴反比例函数的表达式为 y=﹣ （2）联立两个函数的表达式得 解得 或 ∴点 B 的坐标为 B（﹣3，1） 当 y=x+4=0 时，得 x=﹣4 ∴点 C（﹣4，0） 设点 P 的坐标为（x，0） ∵S△ACP= S△BOC ∴ 解得 x1=﹣6，x2=﹣2 ∴点 P（﹣6，0）或（﹣2，0） 36．（2018•菏泽）如图，已知点 D 在反比例函数 y= 的图象上，过点 D 作 DB ⊥y 轴，垂足为 B（0，3），直线 y=kx+b 经过点 A（5，0），与 y 轴交于点 C， 且 BD=OC，OC：OA=2：5． （1）求反比例函数 y= 和一次函数 y=kx+b 的表达式； （2）直接写出关于 x 的不等式 ＞kx+b 的解集． 【分析】（1）由 OC、OA、BD 之间的关系结合点 A、B 的坐标可得出点 C、D 的 坐标，由点 D 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出 a 值，进而可得 出反比例函数的表达式，再由点 A、C 的坐标利用待定系数法，即可求出一次函 数的表达式； （2）将一次函数表达式代入反比例函数表达式中，利用根的判别式△＜0 可得 出两函数图象无交点，再观察图形，利用两函数图象的上下位置关系即可找出不 等式 ＞kx+b 的解集． 【解答】解：（1）∵BD=OC，OC：OA=2：5，点 A（5，0），点 B（0，3）， ∴OA=5，OC=BD=2，OB=3， 又∵点 C 在 y 轴负半轴，点 D 在第二象限， ∴点 C 的坐标为（0，﹣2），点 D 的坐标为（﹣2，3）． ∵点 D（﹣2，3）在反比例函数 y= 的图象上， ∴a=﹣2×3=﹣6， ∴反比例函数的表达式为 y=﹣ ． 将 A（5，0）、B（0，﹣2）代入 y=kx+b， ，解得： ， ∴一次函数的表达式为 y= x﹣2． （2）将 y= x﹣2 代入 y=﹣ ，整理得： x2﹣2x+6=0， ∵△=（﹣2）2﹣4× ×6=﹣ ＜0， ∴一次函数图象与反比例函数图象无交点． 观察图形，可知：当 x＜0 时，反比例函数图象在一次函数图象上方， ∴不等式 ＞kx+b 的解集为 x＜0． 37．（2018•湘西州）反比例函数 y= （k 为常数，且 k≠0）的图象经过点 A（1， 3）、B（3，m）． （1）求反比例函数的解析式及 B 点的坐标； （2）在 x 轴上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，求满足条件的点 P 的坐标． 【分析】（1）先把 A 点坐标代入 y= 求出 k 得到反比例函数解析式；然后把 B （3，m）代入反比例函数解析式求出 m 得到 B 点坐标； （2）作 A 点关于 x 轴的对称点 A′，连接 BA′交 x 轴于 P 点，则 A′（1，﹣3）， 利用两点之间线段最短可判断此时此时 PA+PB 的值最小，再利用待定系数法求 出直线 BA′的解析式，然后求出直线与 x 轴的交点坐标即可得到 P 点坐标． 【解答】解：（1）把 A（1，3）代入 y= 得 k=1×3=3， ∴反比例函数解析式为 y= ； 把 B（3，m）代入 y= 得 3m=3，解得 m=1， ∴B 点坐标为（3，1）； （2）作 A 点关于 x 轴的对称点 A′，连接 BA′交 x 轴于 P 点，则 A′（1，﹣3）， ∵PA+PB=PA′+PB=BA′， ∴此时此时 PA+PB 的值最小， 设直线 BA′的解析式为 y=mx+n， 把 A′（1，﹣3），B（3，1）代入得 ，解得 ， ∴直线 BA′的解析式为 y=2x﹣5， 当 y=0 时，2x﹣5=0，解得 x= ， ∴P 点坐标为（ ，0）． 38．（2018•大庆）如图，A（4，3）是反比例函数 y= 在第一象限图象上一点， 连接 OA，过 A 作 AB∥x 轴，截取 AB=OA（B 在 A 右侧），连接 OB，交反比例函 数 y= 的图象于点 P． （1）求反比例函数 y= 的表达式； （2）求点 B 的坐标； （3）求△OAP 的面积． 【分析】（1）将点 A 的坐标代入解析式求解可得； （2）利用勾股定理求得 AB=OA=5，由 AB∥x 轴即可得点 B 的坐标； （3）先根据点 B 坐标得出 OB 所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点 P 的坐标，再利用割补法求解可得． 【解答】解：（1）将点 A（4，3）代入 y= ，得：k=12， 则反比例函数解析式为 y= ； （2）如图，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C， 则 OC=4、AC=3， ∴OA= =5， ∵AB∥x 轴，且 AB=OA=5， ∴点 B 的坐标为（9，3）； （3）∵点 B 坐标为（9，3）， ∴OB 所在直线解析式为 y= x， 由 可得点 P 坐标为（6，2）， 过点 P 作 PD⊥x 轴，延长 DP 交 AB 于点 E， 则点 E 坐标为（6，3）， ∴AE=2、PE=1、PD=2， 则△OAP 的面积= ×（2+6）×3﹣ ×6×2﹣ ×2×1=5． 39．（2018•枣庄）如图，一次函数 y=kx+b（k、b 为常数，k≠0）的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点，且与反比例函数 y= （n 为常数，且 n≠0）的图象在 第二象限交于点 C．CD⊥x 轴，垂足为 D，若 OB=2OA=3OD=12． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）记两函数图象的另一个交点为 E，求△CDE 的面积； （3）直接写出不等式 kx+b≤ 的解集． 【分析】（1）根据三角形相似，可求出点 C 坐标，可得一次函数和反比例函数 解析式； （2）联立解析式，可求交点坐标； （3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系． 【解答】解：（1）由已知，OA=6，OB=12，OD=4 ∵CD⊥x 轴 ∴OB∥CD ∴△ABO∽△ACD ∴ ∴ ∴CD=20 ∴点 C 坐标为（﹣4，20） ∴n=xy=﹣80 ∴反比例函数解析式为：y=﹣ 把点 A（6，0），B（0，12）代入 y=kx+b 得： 解得： ∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12 （2）当﹣ =﹣2x+12 时，解得 x1=10，x2=﹣4 当 x=10 时，y=﹣8 ∴点 E 坐标为（10，﹣8） ∴S△CDE=S△CDA+S△EDA= （3）不等式 kx+b≤ ，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数 图象 ∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜0 40．（2018•杭州）设一次函数 y=kx+b（k，b 是常数，k≠0）的图象过 A（1，3）， B（﹣1，﹣1）两点． （1）求该一次函数的表达式； （2）若点（2a+2，a2）在该一次函数图象上，求 a 的值． （3）已知点 C（x1，y1）和点 D（x2，y2）在该一次函数图象上，设 m=（x1﹣x2） （y1﹣y2），判断反比例函数 y= 的图象所在的象限，说明理由． 【分析】（1）根据一次函数 y=kx+b（k，b 是常数，k≠0）的图象过 A（1，3）， B（﹣1，﹣1）两点，可以求得该函数的表达式； （2）根据（1）中的解析式可以求得 a 的值； （3）根据题意可以判断 m 的正负，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）∵一次函数 y=kx+b（k，b 是常数，k≠0）的图象过 A（1，3）， B（﹣1，﹣1）两点， ∴ ，得 ， 即该一次函数的表达式是 y=2x+1； （2）点（2a+2，a2）在该一次函数 y=2x+1 的图象上， ∴a2=2（2a+2）+1， 解得，a=﹣1 或 a=5， 即 a 的值是﹣1 或 5； （3）反比例函数 y= 的图象在第一、三象限， 理由：∵点 C（x1，y1）和点 D（x2，y2）在该一次函数 y=2x+1 的图象上，m=（x1 ﹣x2）（y1﹣y2）， 假设 x1＜x2，则 y1＜y1，此时 m=（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0， 假设 x1＞x2，则 y1＞y1，此时 m=（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0， 由上可得，m＞0， ∴m+1＞0， ∴反比例函数 y= 的图象在第一、三象限． 41．（2018•杭州）已知一艘轮船上装有 100 吨货物，轮船到达目的地后开始卸 货．设平均卸货速度为 v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为 t（单 位：小时）． （1）求 v 关于 t 的函数表达式． （2）若要求不超过 5 小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多 少吨？ 【分析】（1）直接利用 vt=100 进而得出答案； （2）直接利用要求不超过 5 小时卸完船上的这批货物，进而得出答案． 【解答】解：（1）由题意可得：100=vt， 则 v= ； （2）∵不超过 5 小时卸完船上的这批货物， ∴t≤5， 则 v≥ =20， 答：平均每小时至少要卸货 20 吨． 42．（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台 AB 距 x 轴（水平）18 米，与 y 轴交于点 B，与滑道 y= （x≥1）交于点 A，且 AB=1 米．运动员（看 成点）在 BA 方向获得速度 v 米/秒后，从 A 处向右下飞向滑道，点 M 是下落路 线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A 的竖直距离 h（米）与飞出时间 t（秒）的平方成正比，且 t=1 时 h=5，M，A 的水平距离是 vt 米． （1）求 k，并用 t 表示 h； （2）设 v=5．用 t 表示点 M 的横坐标 x 和纵坐标 y，并求 y 与 x 的关系式（不写 x 的取值范围），及 y=13 时运动员与正下方滑道的竖直距离； （3）若运动员甲、乙同时从 A 处飞出，速度分别是 5 米/秒、v 乙米/秒．当甲距 x 轴 1.8 米，且乙位于甲右侧超过 4.5 米的位置时，直接写出 t 的值及 v 乙的范围． 【分析】（1）用待定系数法解题即可； （2）根据题意，分别用 t 表示 x、y，再用代入消元法得出 y 与 x 之间的关系式； （3）求出甲距 x 轴 1.8 米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过 4.5 米的 v 乙． 【解答】解：（1）由题意，点 A（1，18）带入 y= 得：18= ∴k=18 设 h=at2，把 t=1，h=5 代入 ∴a=5 ∴h=5t2 （2）∵v=5，AB=1 ∴x=5t+1 ∵h=5t2，OB=18 ∴y=﹣5t2+18 由 x=5t+1 则 t= ∴y=﹣ 当 y=13 时，13=﹣ 解得 x=6 或﹣4 ∵x≥1 ∴x=6 把 x=6 代入 y= y=3 ∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是 13﹣3=10（米） （3）把 y=1.8 代入 y=﹣5t2+18 得 t2= 解得 t=1.8 或﹣1.8（负值舍去） ∴x=10 ∴甲坐标为（10，1.8）恰号落在滑道 y= 上 此时，乙的坐标为（1+1.8v 乙，1.8） 由题意：1+1.8v 乙﹣（1+5×1.8）＞4.5 ∴v 乙＞7.5 43．（2018•黄冈）如图，反比例函数 y= （x＞0）过点 A（3，4），直线 AC 与 x 轴交于点 C（6，0），过点 C 作 x 轴的垂线 BC 交反比例函数图象于点 B． （1）求 k 的值与 B 点的坐标； （2）在平面内有点 D，使得以 A，B，C，D 四点为顶点的四边形为平行四边形， 试写出符合条件的所有 D 点的坐标． 【分析】（1）将 A 点的坐标代入反比例函数 y= 求得 k 的值，然后将 x=6 代入 反比例函数解析式求得相应的 y 的值，即得点 B 的坐标； （2）使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形为平行四边形，如图所示，找出满足 题意 D 的坐标即可． 【解答】解：（1）把点 A（3，4）代入 y= （x＞0），得 k=xy=3×4=12， 故该反比例函数解析式为：y= ． ∵点 C（6，0），BC⊥x 轴， ∴把 x=6 代入反比例函数 y= ，得 y= =6． 则 B（6，2）． 综上所述，k 的值是 12，B 点的坐标是（6，2）． （2）①如图，当四边形 ABCD 为平行四边形时，AD∥BC 且 AD=BC． ∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0）， ∴点 D 的横坐标为 3，yA﹣yD=yB﹣yC 即 4﹣yD=2﹣0，故 yD=2． 所以 D（3，2）． ②如图，当四边形 ACBD′为平行四边形时，AD′∥CB 且 AD′=CB． ∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0）， ∴点 D 的横坐标为 3，yD′﹣yA=yB﹣yC 即 yD﹣4=2﹣0，故 yD′=6． 所以 D′（3，6）． ③如图，当四边形 ACD″B 为平行四边形时，AC=BD″且 AC=BD″． ∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0）， ∴xD″﹣xB=xC﹣xA 即 xD″﹣6=6﹣3，故 xD″=9． yD″﹣yB=yC﹣yA 即 yD″﹣2=0﹣4，故 yD″=﹣2． 所以 D″（9，﹣2）． 综上所述，符合条件的点 D 的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）． 44．（2018•黔南州）如图 1，已知矩形 AOCB，AB=6cm，BC=16cm，动点 P 从点 A 出发，以 3cm/s 的速度向点 O 运动，直到点 O 为止；动点 Q 同时从点 C 出发， 以 2cm/s 的速度向点 B 运动，与点 P 同时结束运动． （1）点 P 到达终点 O 的运动时间是 s，此时点 Q 的运动距离是 cm； （2）当运动时间为 2s 时，P、Q 两点的距离为 6 cm； （3）请你计算出发多久时，点 P 和点 Q 之间的距离是 10cm； （4）如图 2，以点 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，OA 所在直线为 y 轴， 1cm 长为单位长度建立平面直角坐标系，连结 AC，与 PQ 相交于点 D，若双曲线 y= 过点 D，问 k 的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出 k 的值． 【分析】（1）先求出 OA，进而求出时间，即可得出结论； （2）构造出直角三角形，再求出 PE，QE，利用勾股定理即可得出结论； （3）同（2）的方法利用勾股定理建立方程求解即可得出结论； （4）先求出直线 AC 解析式，再求出点 P，Q 坐标，进而求出直线 PQ 解析式， 联立两解析式即可得出结论． 【解答】解：（1）∵四边形 AOCB 是矩形， ∴OA=BC=16， ∵动点 P 从点 A 出发，以 3cm/s 的速度向点 O 运动， ∴t= ，此时，点 Q 的运动距离是 ×2= cm， 故答案为 ， ； （2）如图 1，由运动知，AP=3×2=6cm，CQ=2×2=4cm， 过点 P 作 PE⊥BC 于 E，过点 Q 作 QF⊥OA 于 F， ∴四边形 APEB 是矩形， ∴PE=AB=6，BE=6， ∴EQ=BC﹣BE﹣CQ=16﹣6﹣4=6， 根据勾股定理得，PQ=6 ， 故答案为 6 ； （3）设运动时间为 t 秒时， 由运动知，AP=3t，CQ=2t， 同（2）的方法得，PE=6，EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t， ∵点 P 和点 Q 之间的距离是 10cm， ∴62+（16﹣5t）2=100， ∴t= 或 t= ； （4）k 的值是不会变化， 理由：∵四边形 AOCB 是矩形， ∴OC=AB=6，OA=16， ∴C（6，0），A（0，16）， ∴直线 AC 的解析式为 y=﹣ x+16①， 设运动时间为 t， ∴AP=3t，CQ=2t， ∴OP=16﹣3t， ∴P（0，16﹣3t），Q（6，2t）， ∴PQ 解析式为 y= x+16﹣3t②， 联立①②解得，x= ，y= ， ∴D（ ， ）， ∴k= × = 是定值． 45．（2018•达州）矩形 AOBC 中，OB=4，OA=3．分别以 OB，OA 所在直线为 x 轴，y 轴，建立如图 1 所示的平面直角坐标系．F 是 BC 边上一个动点（不与 B， C 重合），过点 F 的反比例函数 y= （k＞0）的图象与边 AC 交于点 E． （1）当点 F 运动到边 BC 的中点时，求点 E 的坐标； （2）连接 EF，求∠EFC 的正切值； （3）如图 2，将△CEF 沿 EF 折叠，点 C 恰好落在边 OB 上的点 G 处，求此时反 比例函数的解析式． 【分析】（1）先确定出点 C 坐标，进而得出点 F 坐标，即可得出结论； （2）先确定出点 F 的横坐标，进而表示出点 F 的坐标，得出 CF，同理表示出 CF， 即可得出结论； （3）先判断出△EHG∽△GBF，即可求出 BG，最后用勾股定理求出 k，即可得出 结论． 【解答】解：（1）∵OA=3，OB=4， ∴B（4，0），C（4，3）， ∵F 是 BC 的中点， ∴F（4， ）， ∵F 在反比例 y= 函数图象上， ∴k=4× =6， ∴反比例函数的解析式为 y= ， ∵E 点的坐标为 3， ∴E（2，3）； （2）∵F 点的横坐标为 4， ∴F（4， ）， ∴CF=BC﹣BF=3﹣ = ∵E 的纵坐标为 3， ∴E（ ，3）， ∴CE=AC﹣AE=4﹣ = ， 在 Rt△CEF 中，tan∠EFC= = ， （3）如图，由（2）知，CF= ，CE= ， ， 过点 E 作 EH⊥OB 于 H， ∴EH=OA=3，∠EHG=∠GBF=90°， ∴∠EGH+∠HEG=90°， 由折叠知，EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°， ∴∠EGH+∠BGF=90°， ∴∠HEG=∠BGF， ∵∠EHG=∠GBF=90°， ∴△EHG∽△GBF， ∴ = ， ∴ ， ∴BG= ， 在 Rt△FBG 中，FG2﹣BF2=BG2， ∴（ ）2﹣（ ）2= ， ∴k= ， ∴反比例函数解析式为 y= ． 46．（2018•泰州）平面直角坐标系 xOy 中，横坐标为 a 的点 A 在反比例函数 y1 ═ （x＞0）的图象上，点 A′与点 A 关于点 O 对称，一次函数 y2=mx+n 的图象经 过点 A′． （1）设 a=2，点 B（4，2）在函数 y1、y2 的图象上． ①分别求函数 y1、y2 的表达式； ②直接写出使 y1＞y2＞0 成立的 x 的范围； （2）如图①，设函数 y1、y2 的图象相交于点 B，点 B 的横坐标为 3a，△AA'B 的 面积为 16，求 k 的值； （3）设 m= ，如图②，过点 A 作 AD⊥x 轴，与函数 y2 的图象相交于点 D，以 AD 为一边向右侧作正方形 ADEF，试说明函数 y2 的图象与线段 EF 的交点 P 一定 在函数 y1 的图象上． 【分析】（1）由已知代入点坐标即可； （2）面积问题可以转化为△AOB 面积，用 a、k 表示面积问题可解； （3）设出点 A、A′坐标，依次表示 AD、AF 及点 P 坐标． 【解答】解：（1）①由已知，点 B（4，2）在 y1═ （x＞0）的图象上 ∴k=8 ∴y1= ∵a=2 ∴点 A 坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4） 把 B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入 y2=mx+n 解得 ∴y2=x﹣2 ②当 y1＞y2＞0 时，y1= 图象在 y2=x﹣2 图象上方，且两函数图象在 x 轴上方 ∴由图象得：2＜x＜4 （2）分别过点 A、B 作 AC⊥x 轴于点 C，BD⊥x 轴于点 D，连 BO ∵O 为 AA′中点 S△AOB= S△AOA′=8 ∵点 A、B 在双曲线上 ∴S△AOC=S△BOD ∴S△AOB=S 四边形 ACDB=8 由已知点 A、B 坐标都表示为（a， ）（3a， ） ∴ 解得 k=6 （3）由已知 A（a， ），则 A′为（﹣a，﹣ ） 把 A′代入到 y= ﹣ ∴n= ∴A′B 解析式为 y=﹣ 当 x=a 时，点 D 纵坐标为 ∴AD= ∵AD=AF， ∴点 F 和点 P 横坐标为 ∴点 P 纵坐标为 ∴点 P 在 y1═ （x＞0）的图象上 47．（2018•湖州）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ABC，∠ABC=90°， 顶点 A 在第一象限，B，C 在 x 轴的正半轴上（C 在 B 的右侧），BC=2，AB=2 ， △ADC 与△ABC 关于 AC 所在的直线对称． （1）当 OB=2 时，求点 D 的坐标； （2）若点 A 和点 D 在同一个反比例函数的图象上，求 OB 的长； （3）如图 2，将第（2）题中的四边形 ABCD 向右平移，记平移后的四边形为 A1B1C1D1，过点 D1 的反比例函数 y= （k≠0）的图象与 BA 的延长线交于点 P．问： 在平移过程中，是否存在这样的 k，使得以点 P，A1，D 为顶点的三角形是直角 三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的 k 的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）如图 1 中，作 DE⊥x 轴于 E，解直角三角形清楚 DE，CE 即可解决 问题； （2）设 OB=a，则点 A 的坐标（a，2 ），由题意 CE=1．DE= ，可得 D（3+a， ），点 A、D 在同一反比例函数图象上，可得 2 a= （3+a），清楚 a 即可； （3）分两种情形：①如图 2 中，当∠PA1D=90°时．②如图 3 中，当∠PDA1=90° 时．分别构建方程解决问题即可； 【解答】解：（1）如图 1 中，作 DE⊥x 轴于 E． ∵∠ABC=90°， ∴tan∠ACB= = ， ∴∠ACB=60°， 根据对称性可知：DC=BC=2，∠ACD=∠ACB=60°， ∴∠DCE=60°， ∴∠CDE=90°﹣60°=30°， ∴CE=1，DE= ， ∴OE=OB+BC+CE=5， ∴点 D 坐标为（5， ）． （2）设 OB=a，则点 A 的坐标（a，2 ）， 由题意 CE=1．DE= ，可得 D（3+a， ）， ∵点 A、D 在同一反比例函数图象上， ∴2 a= （3+a）， ∴a=3， ∴OB=3． （3）存在．理由如下： ①如图 2 中，当∠PA1D=90°时． ∵AD∥PA1， ∴∠ADA1=180°﹣∠PA1D=90°， 在 Rt△ADA1 中，∵∠DAA1=30°，AD=2 ， ∴AA1= =4， 在 Rt△APA1 中，∵∠APA1=60°， ∴PA= ， ∴PB= ， 设 P（m， ），则 D1（m+7， ）， ∵P、A1 在同一反比例函数图象上， ∴ m= （m+7）， 解得 m=3， ∴P（3， ）， ∴k=10 ． ②如图 3 中，当∠PDA1=90°时． ∵∠PAK=∠KDA1=90°，∠AKP=∠DKA1， ∴△AKP∽△DKA1， ∴ = ． ∴ = ，∵∠AKD=∠PKA1， ∴△KAD∽△KPA1， ∴∠KPA1=∠KAD=30°，∠ADK=∠KA1P=30°， ∴∠APD=∠ADP=30°， ∴AP=AD=2 ，AA1=6， 设 P（m，4 ），则 D1（m+9， ）， ∵P、A1 在同一反比例函数图象上， ∴4 m= （m+9）， 解得 m=3， ∴P（3，4 ）， ∴k=12 ． 48．（2018•金华）如图，四边形 ABCD 的四个顶点分别在反比例函数 y= 与 y= （x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线 BD∥y 轴，且 BD⊥AC 于点 P．已知点 B 的横坐标为 4． （1）当 m=4，n=20 时． ①若点 P 的纵坐标为 2，求直线 AB 的函数表达式． ②若点 P 是 BD 的中点，试判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由． （2）四边形 ABCD 能否成为正方形？若能，求此时 m，n 之间的数量关系；若不 能，试说明理由． 【分析】（1）①先确定出点 A，B 坐标，再利用待定系数法即可得出结论； ②先确定出点 D 坐标，进而确定出点 P 坐标，进而求出 PA，PC，即可得出结论； （2）先确定出 B（4， ），进而得出 A（4﹣t， +t），即：（4﹣t）（ +t） =m，即可得出点 D（4，8﹣ ），即可得出结论． 【解答】解：（1）①如图 1，∵m=4， ∴反比例函数为 y= ， 当 x=4 时，y=1， ∴B（4，1）， 当 y=2 时， ∴2= ， ∴x=2， ∴A（2，2）， 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b， ∴ ， ∴ ， ∴直线 AB 的解析式为 y=﹣ x+3； ②四边形 ABCD 是菱形， 理由如下：如图 2，由①知，B（4，1）， ∵BD∥y 轴， ∴D（4，5）， ∵点 P 是线段 BD 的中点， ∴P（4，3）， 当 y=3 时，由 y= 得，x= ， 由 y= 得，x= ， ∴PA=4﹣ = ，PC= ﹣4= ， ∴PA=PC， ∵PB=PD， ∴四边形 ABCD 为平行四边形， ∵BD⊥AC， ∴四边形 ABCD 是菱形； （2）四边形 ABCD 能是正方形， 理由：当四边形 ABCD 是正方形，记 AC，BD 的交点为 P， ∴PA=PB=PC=PD，（设为 t，t≠0）， 当 x=4 时，y= = ， ∴B（4， ）， ∴A（4﹣t， +t），C（4+t， +t）， ∴（4﹣t）（ +t）=m， ∴t=4﹣ ， ∴C（8﹣ ，4）， ∴（8﹣ ）×4=n， ∴m+n=32， ∵点 D 的纵坐标为 +2t= +2（4﹣ ）=8﹣ ， ∴D（4，8﹣ ）， ∴4（8﹣ ）=n， ∴m+n=32． 49．（2018•武汉）已知点 A（a，m）在双曲线 y= 上且 m＜0，过点 A 作 x 轴 的垂线，垂足为 B． （1）如图 1，当 a=﹣2 时，P（t，0）是 x 轴上的动点，将点 B 绕点 P 顺时针旋 转 90°至点 C， ①若 t=1，直接写出点 C 的坐标； ②若双曲线 y= 经过点 C，求 t 的值． （2）如图 2，将图 1 中的双曲线 y= （x＞0）沿 y 轴折叠得到双曲线 y=﹣ （x ＜0），将线段 OA 绕点 O 旋转，点 A 刚好落在双曲线 y=﹣ （x＜0）上的点 D （d，n）处，求 m 和 n 的数量关系． 【分析】（1）①如图 1﹣1 中，求出 PB、PC 的长即可解决问题； ②图 1﹣2 中，由题意 C（t，t+2），理由待定系数法，把问题转化为方程解决即 可； （2）分两种情形①当点 A 与点 D 关于 x 轴对称时，A（a，m），D（d，n）， 可得 m+n=0． ②当点 A 绕点 O 旋转 90°时，得到 D′，D′在 y=﹣ 上，作 D′H⊥y 轴，则△ABO ≌△D′HO，推出 OB=OH，AB=D′H，由 A（a，m），推出 D′（m，﹣a），即 D′ （m，n），由 D′在 y=﹣ 上，可得 mn=﹣8； 【解答】解：（1）①如图 1﹣1 中， 由题意：B（﹣2，0），P（1，0），PB=PC=3， ∴C（1，3）． ②图 1﹣2 中，由题意 C（t，t+2）， ∵点 C 在 y= 上， ∴t（t+2）=8， ∴t=﹣4 或 2， （2）如图 2 中， ①当点 A 与点 D 关于 x 轴对称时，A（a，m），D（d，n）， ∴m+n=0． ②当点 A 绕点 O 旋转 90°时，得到 D′，D′在 y=﹣ 上， 作 D′H⊥y 轴，则△ABO≌△D′HO， ∴OB=OH，AB=D′H， ∵A（a，m）， ∴D′（m，﹣a），即 D′（m，n）， ∵D′在 y=﹣ 上， ∴mn=﹣8， 综上所述，满足条件的 m、n 的关系是 m+n=0 或 mn=﹣8． 50．（2018•长沙）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y= （m 为常数，m ＞1，x＞0）的图象经过点 P（m，1）和 Q（1，m），直线 PQ 与 x 轴，y 轴分别 交于 C，D 两点，点 M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点 M 分别作 x 轴 和 y 轴的垂线，垂足分别为 A，B． （1）求∠OCD 的度数； （2）当 m=3，1＜x＜3 时，存在点 M 使得△OPM∽△OCP，求此时点 M 的坐标； （3）当 m=5 时，矩形 OAMB 与△OPQ 的重叠部分的面积能否等于 4.1？请说明 你的理由． 【分析】（1）想办法证明 OC=OD 即可解决问题； （2）设 M（a， ），由△OPM∽△OCP，推出 = = ，由此构建方程求出 a，再分类求解即可解决问题； （3）不存在分三种情形说明：①当 1＜x＜5 时，如图 1 中；②当 x≤1 时，如图 2 中；③当 x≥5 时，如图 3 中； 【解答】解：（1）设直线 PQ 的解析式为 y=kx+b，则有 ， 解得 ， ∴y=﹣x+m+!， 令 x=0，得到 y=m+1，∴D（0，m+1）， 令 y+0，得到 x=m+1，∴C（m+1，0）， ∴OC=OD， ∵∠COD=90°， ∴∠OCD=45°． （2）设 M（a， ）， ∵△OPM∽△OCP， ∴ = = ， ∴OP2=OC•OM， 当 m=3 时，P（3，1），C（4，0）， OP2=32+12=10，OC=4，OM= ， ∴ = ， ∴10=4 ， ∴4a4﹣25a2+36=0， （4a2﹣9）（a2﹣4）=0， ∴a=± ，a=±2， ∵1＜a＜3， ∴a= 或 2， 当 a= 时，M（ ，2）， PM= ，CP= ， ≠ （舍弃）， 当 a=2 时，M（2， ），PM= ，CP= ， ∴ = = ，成立， ∴M（2， ）． （3）不存在．理由如下： 当 m=5 时，P（5，1），Q（1，5），设 M（x， ）， OP 的解析式为：y= x，OQ 的解析式为 y=5x， ①当 1＜x＜5 时，如图 1 中， ∴E（ ， ），F（x， x）， S=S 矩形 OAMB﹣S△OAF﹣S△OBE =5﹣ •x• x﹣ • • =4.1， 化简得到：x4﹣9x2+25=0， △＜O， ∴没有实数根． ②当 x≤1 时，如图 2 中， S=S△OGH＜S△OAM=2.5， ∴不存在， ③当 x≥5 时，如图 3 中， S=S△OTS＜S△OBM=2.5， ∴不存在， 综上所述，不存在．