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- 2021-05-10 发布
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湖南省邵阳市2014年中考数学试卷
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)(2014•邵阳)介于( )
A.
﹣1和0之间
B.
0和1之间
C.
1和2之间
D.
2和3之间
考点:
估算无理数的大小
分析:
根据,可得答案.
解答:
解:∵2,
故选:C.
点评:
本题考查了无理数比较大小,比较算术平方根的大小是解题关键.
2.(3分)(2014•邵阳)下列计算正确的是( )
A.
2x﹣x=x
B.
a3•a2=a6
C.
(a﹣b)2=a2﹣b2
D.
(a+b)(a﹣b)=a2+b2
考点:
完全平方公式;合并同类项;同底数幂的乘法;平方差公式有
专题:
计算题.
分析:
A、原式合并同类项得到结果,即可作出判断;
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可作出判断;
C、原式利用完全平方公式展开得到结果,即可作出判断;
D、原式利用平方差公式计算得到结果,即可作出判断.
解答:
解:A、原式=x,正确;
B、原式=x5,错误;
C、原式=a2﹣2ab+b2,错误;
D、原式=a2﹣b2,
故选A
点评:
此题考查了完全平方公式,合并同类项,同底数幂的乘法,以及平方差公式,熟练掌握公式是解本题的关键.
3.(3分)(2014•邵阳)如图的罐头的俯视图大致是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
简单几何体的三视图
分析:
俯视图即为从上往下所看到的图形,据此求解.
解答:
解:从上往下看易得俯视图为圆.
故选D.
点评:
本题考查了三视图的知识,俯视图即从上往下所看到的图形.
4.(3分)(2014•邵阳)如图是小芹6月1日﹣7日每天的自主学习时间统计图,则小芹这七天平均每天的自主学习时间是( )
A.
1小时
B.
1.5小时
C.
2小时
D.
3小时
考点:
算术平均数;折线统计图
分析:
根据算术平均数的概念求解即可.
解答:
解:由图可得,这7天每天的学习时间为:2,1,1,1,1,1.5,3,
则平均数为:=1.5.
故选B.
点评:
本题考查了算术平均数,平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它是反映数据集中趋势的一项指标.
5.(3分)(2014•邵阳)如图,在△ABC中,∠B=46°,∠C=54°,AD平分∠BAC,交BC于D,DE∥AB,交AC于E,则∠ADE的大小是( )
A.
45°
B.
54°
C.
40°
D.
50°
考点:
平行线的性质;三角形内角和定理
分析:
根据三角形的内角和定理求出∠BAC,再根据角平分线的定义求出∠BAD,然后根据两直线平行,内错角相等可得∠ADE=∠BAD.
解答:
解:∵∠B=46°,∠C=54°,
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°,
∵DE∥AB,
∴∠ADE=∠BAD=40°.
故选C.
点评:
本题考查了平行线的性质,三角形的内角和定理,角平分线的定义,熟记性质与概念是解题的关键.
6.(3分)(2014•邵阳)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组
分析:
先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,然后把不等式的解集表示在数轴上即可.
解答:
解:,解得,
故选:B.
点评:
把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.
7.(3分)(2014•邵阳)地球的表面积约为511000000km2,用科学记数法表示正确的是( )
A.
5.11×1010km2
B.
5.11×108km2
C.
51.1×107km2
D.
0.511×109km2
考点:
科学记数法—表示较大的数
分析:
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于511000000有9位,所以可以确定n=9﹣1=8.
解答:
解:511 000 000=5.11×108.
故选B.
点评:
此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定a与n值是关键.
8.(3分)(2014•邵阳)如图,△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点,且经过圆心O,边AB与⊙O相切,切点为B.已知∠A=30°,则∠C的大小是( )
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
40°
考点:
切线的性质
专题:
计算题.
分析:
根据切线的性质由AB与⊙O相切得到OB⊥AB,则∠ABO=90°,利用∠A=30°得到∠AOB=60°,再根据三角形外角性质得∠AOB=∠C+∠OBC,由于∠C=∠OBC,所以∠C=AOB=30°.
解答:
解:连结OB,如图,
∵AB与⊙O相切,
∴OB⊥AB,
∴∠ABO=90°,
∵∠A=30°,
∴∠AOB=60°,
∵∠AOB=∠C+∠OBC,
而∠C=∠OBC,
∴∠C=AOB=30°.
故选A.
点评:
本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.
9.(3分)(2014•邵阳)某数学兴趣小组开展动手操作活动,设计了如图所示的三种图形,现计划用铁丝按照图形制作相应的造型,则所用铁丝的长度关系是( )
A.
甲种方案所用铁丝最长
B.
乙种方案所用铁丝最长
C.
丙种方案所用铁丝最长
D.
三种方案所用铁丝一样长
考点:
生活中的平移现象
分析:
分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度,进而得出答案.
解答:
解:由图形可得出:甲所用铁丝的长度为:2a+2b,
乙所用铁丝的长度为:2a+2b,
丙所用铁丝的长度为:2a+2b,
故三种方案所用铁丝一样长.
故选:D.
点评:
此题主要考查了生活中的平移现象,得出各图形中铁丝的长是解题关键.
10.(3分)(2014•邵阳)已知点M(1,a)和点N(2,b)是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点,则a与b的大小关系是( )
A.
a>b
B.
a=b
C.
a<b
D.
以上都不对
考点:
一次函数图象上点的坐标特征
分析:
根据一次函数的增减性,k<0,y随x的增大而减小解答.
解答:
解:∵k=﹣2<0,
∴y随x的增大而减小,
∵1<2,
∴a>b.
故选A.
点评:
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,利用一次函数的增减性求解更简便.
二、填空题(共8个小题,每小题3分,共24分)
11.(3分)(2014•邵阳)已知∠α=13°,则∠α的余角大小是 77° .
考点:
余角和补角.
分析:
根据互为余角的两个角的和等于90°列式计算即可得解.
解答:
解:∵∠α=13°,
∴∠α的余角=90°﹣13°=77°.
故答案为:77°.
点评:
本题考查了余角的定义,是基础题,熟记概念是解题的关键.
12.(3分)(2014•邵阳)将多项式m2n﹣2mn+n因式分解的结果是 n(m﹣1)2 .
考点:
提公因式法与公式法的综合运用
分析:
先提取公因式n,再根据完全平方公式进行二次分解.
解答:
解:m2n﹣2mn+n,
=n(m2﹣2m+1),
=n(m﹣1)2.
故答案为:n(m﹣1)2.
点评:
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
13.(3分)(2014•邵阳)若反比例函数的图象经过点(﹣1,2),则k的值是 ﹣2 .
考点:
待定系数法求反比例函数解析式
分析:
因为(﹣1,2)在函数图象上,k=xy,从而可确定k的值.
解答:
解:∵图象经过点(﹣1,2),
∴k=xy=﹣1×2=﹣2.
故答案为:﹣2.
点评:
本题考查待定系数法求反比例函数解析式,关键知道反比例函数式的形式,从而得解.
14.(3分)(2014•邵阳)如图,在▱ABCD中,F是BC上的一点,直线DF与AB的延长线相交于点E,BP∥DF,且与AD相交于点P,请从图中找出一组相似的三角形: △ABP∽△AED .
考点:
相似三角形的判定;平行四边形的性质
专题:
开放型.
分析:
可利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似判断△ABP∽△AED.
解答:
解:∵BP∥DF,
∴△ABP∽△AED.
故答案为△ABP∽△AED.
点评:
本题考查了相似三角形的判定与性质:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;
15.(3分)(2014•邵阳)有一个能自由转动的转盘如图,盘面被分成8个大小与性状都相同的扇形,颜色分为黑白两种,将指针的位置固定,让转盘自由转动,当它停止后,指针指向白色扇形的概率是 .
考点:
几何概率
分析:
求出白色扇形在整个转盘中所占的比例即可解答.
解答:
解:∵每个扇形大小相同,因此阴影面积与空白的面积相等,
∴落在白色扇形部分的概率为:=.
故答案为:.
点评:
此题主要考查了几何概率,用到的知识点为:概率=相应的面积与总面积之比.
16.(3分)(2014•邵阳)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,4),将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′,则点A′的坐标是 (﹣4,3) .
考点:
坐标与图形变化-旋转
分析:
过点A作AB⊥x轴于B,过点A′作A′B′⊥x轴于B′,根据旋转的性质可得OA=OA′,利用同角的余角相等求出∠OAB=∠A′OB′,然后利用“角角边”证明△AOB和△OA′B′全等,根据全等三角形对应边相等可得OB′=AB,A′B′=OB,然后写出点A′的坐标即可.
解答:
解:如图,过点A作AB⊥x轴于B,过点A′作A′B′⊥x轴于B′,
∵OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′,
∴OA=OA′,∠AOA′=90°,
∵∠A′OB′+∠AOB=90°,∠AOB+∠OAB=90°,
∴∠OAB=∠A′OB′,
在△AOB和△OA′B′中,
,
∴△AOB≌△OA′B′(AAS),
∴OB′=AB=4,A′B′=OB=3,
∴点A′的坐标为(﹣4,3).
故答案为:(﹣4,3).
点评:
本题考查了坐标与图形变化﹣旋转,熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键,也是本题的难点.
17.(3分)(2014•邵阳)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,DE⊥AC于点E.∠A=30°,AB=8,则DE的长度是 2 .
考点:
三角形中位线定理;含30度角的直角三角形.
分析:
根据D为AB的中点可求出AD的长,再根据在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出DE的长度.
解答:
解:∵D为AB的中点,AB=8,
∴AD=4,
∵DE⊥AC于点E,∠A=30°,
∴DE=AD=2,
故答案为:2.
点评:
本题考查了直角三角形的性质:直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.
18.(3分)(2014•邵阳)如图,A点的初始位置位于数轴上的原点,现对A点做如下移动:第1次从原点向右移动1个单位长度至B点,第2次从B点向左移动3个单位长度至C点,第3次从C点向右移动6个单位长度至D点,第4次从D点向左移动9个单位长度至E点,…,依此类推,这样至少移动 28 次后该点到原点的距离不小于41.
考点:
规律型:图形的变化类;数轴
专题:
规律型.
分析:
根据数轴上点的坐标变化和平移规律(左减右加),分别求出点所对应的数,进而求出点到原点的距离;然后对奇数项、偶数项分别探究,找出其中的规律(相邻两数都相差3),写出表达式;然后根据点到原点的距离不小于41建立不等式,就可解决问题.
解答:
解:由题意可得:
移动1次后该点对应的数为0+1=1,到原点的距离为1;
移动2次后该点对应的数为1﹣3=﹣2,到原点的距离为2;
移动3次后该点对应的数为﹣2+6=4,到原点的距离为4;
移动4次后该点对应的数为4﹣9=﹣5,到原点的距离为5;
移动5次后该点对应的数为﹣5+12=7,到原点的距离为7;
移动6次后该点对应的数为7﹣15=﹣8,到原点的距离为8;
…
∴移动(2n﹣1)次后该点到原点的距离为3n﹣2;
移动2n次后该点到原点的距离为3n﹣1.
①当3n﹣2≥41时,
解得:n≥
∵n是正整数,
∴n最小值为15,此时移动了29次.
②当3n﹣1≥41时,
解得:n≥14.
∵n是正整数,
∴n最小值为14,此时移动了28次.
纵上所述:至少移动28次后该点到原点的距离不小于41.
故答案为:28.
点评:
本题考查了用正负数可以表示具有相反意义的量,考查了数轴上点的坐标变化和平移规律(左减右加),考查了一列数的规律探究.对这列数的奇数项、偶数项分别进行探究是解决这道题的关键.
三、解答题(共3小题,每小题8分,共24分)
19.(8分)(2014•邵阳)计算:()﹣2﹣+2sin30°.
考点:
实数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值
分析:
本题涉及负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简三个考点.针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.
解答:
解:原式=4﹣2+1
=3.
点评:
本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值,熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算.
20.(8分)(2014•邵阳)先化简,再求值:(﹣)•(x﹣1),其中x=2.
考点:
分式的化简求值
专题:
计算题.
分析:
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,约分得到最简结果,将x的值代入计算即可求出值.
解答:
解:原式=•(x﹣1)=,
当x=2时,原式=.
点评:
此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
21.(8分)(2014•邵阳)如图,已知点A、F、E、C在同一直线上,AB∥CD,∠ABE=∠CDF,AF=CE.
(1)从图中任找两组全等三角形;
(2)从(1)中任选一组进行证明.
考点:
全等三角形的判定
分析:
(1)根据题目所给条件可分析出△ABE≌△CDF,△AFD≌△CEB;
(2)根据AB∥CD可得∠1=∠2,根据AF=CE可得AE=FC,然后再证明△ABE≌△CDF即可.
解答:
解:(1)△ABE≌△CDF,△AFD≌△CEB;
(2)∵AB∥CD,
∴∠1=∠2,
∵AF=CE,
∴AF+EF=CE+EF,
即AE=FC,
在△ABE和△CDF中,
,
∴△ABE≌△CDF(AAS).
点评:
此题主要考查了三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
四、应用题(共3个小题,每小题8分,共24分)
22.(8分)(2014•邵阳)网瘾低龄化问题已引起社会各界的高度关注,有关部门在全国范围内对12﹣35岁的网瘾人群进行了简单的随机抽样调查,得到了如图所示的两个不完全统计图.
请根据图中的信息,解决下列问题:
(1)求条形统计图中a的值;
(2)求扇形统计图中18﹣23岁部分的圆心角;
(3)据报道,目前我国12﹣35岁网瘾人数约为2000万,请估计其中12﹣23岁的人数.
考点:
条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图
专题:
图表型.
分析:
(1)用30~35岁的人数除以所占的百分比求出被调查的人数,然后列式计算即可得解;
(2)用360°乘以18~23岁的人数所占的百分比计算即可得解;
(3)用网瘾总人数乘以12~23岁的人数所占的百分比计算即可得解.
解答:
解:(1)被调查的人数=330÷22%=1500人,
a=1500﹣450﹣420﹣330=1500﹣1200=300人;
(2)360°××100%=108°;
(3)∵12﹣35岁网瘾人数约为2000万,
∴12~23岁的人数约为2000万×=400万.
点评:
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
23.(8分)(2014•邵阳)小武新家装修,在装修客厅时,购进彩色地砖和单色地砖共100块,共花费5600元.已知彩色地砖的单价是80元/块,单色地砖的单价是40元/块.
(1)两种型号的地砖各采购了多少块?
(2)如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块,且采购地砖的费用不超过3200元,那么彩色地砖最多能采购多少块?
考点:
二元一次方程组的应用;一元一次不等式的应用
分析:
(1)设彩色地砖采购x块,单色地砖采购y块,根据彩色地砖和单色地砖的总价为5600及地砖总数为100建立二元一次方程组求出其解即可;
(2)设购进彩色地砖a块,则单色地砖购进(60﹣a)块,根据采购地砖的费用不超过3200元建立不等式,求出其解即可.
解答:
解:(1)设彩色地砖采购x块,单色地砖采购y块,由题意,得
,
解得:.
答:彩色地砖采购40块,单色地砖采购60块;
(2)设购进彩色地砖a块,则单色地砖购进(60﹣a)块,由题意,得
80a+40(60﹣a)≤3200,
解得:a≤20.
∴彩色地砖最多能采购20块.
点评:
本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用,列一元一次不等式解实际问题的运用,解答时认真分析单价×数量=总价的关系建立方程及不等式是关键.
24.(8分)(2014•邵阳)一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光,航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故,立即发出了求救信号,一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号,测得事故船在它的北偏东37°方向,马上以40海里每小时的速度前往救援,求海警船到大事故船C处所需的大约时间.(温馨提示:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6)
考点:
解直角三角形的应用-方向角问题
分析:
过点C作CD⊥AB交AB延长线于D.先解Rt△ACD得出CD=AC=40
海里,再解Rt△CBD中,得出BC=≈50,然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间.
解答:
解:如图,过点C作CD⊥AB交AB延长线于D.
在Rt△ACD中,∵∠ADC=90°,∠CAD=30°,AC=80海里,
∴CD=AC=40海里.
在Rt△CBD中,∵∠CDB=90°,∠CBD=90°﹣37°=53°,
∴BC=≈=50(海里),
∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为:50÷40=(小时).
点评:
本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,难度适中,作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
五、综合题(共2小题,25题8分,26题10分,共18分)
25.(8分)(2014•邵阳)准备一张矩形纸片,按如图操作:
将△ABE沿BE翻折,使点A落在对角线BD上的M点,将△CDF沿DF翻折,使点C落在对角线BD上的N点.
(1)求证:四边形BFDE是平行四边形;
(2)若四边形BFDE是菱形,AB=2,求菱形BFDE的面积.
考点:
翻折变换(折叠问题);平行四边形的判定;菱形的性质
分析:
(1)根据四边形ABCD是矩形和折叠的性质可得EB∥DF,DE∥BF,根据平行四边形判定推出即可.
(2)求出∠ABE=30°,根据直角三角形性质求出AE、BE,再根据菱形的面积计算即可求出答案.
解答:
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠C=90°,AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABD=∠CDB,
∴∠EBD=∠FDB,
∴EB∥DF,
∵ED∥BF,
∴四边形BFDE为平行四边形.
(2)解:∵四边形BFDE为菱形,
∴BE=ED,∠EBD=∠FBD=∠ABE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠ABC=90°,
∴∠ABE=30°,
∵∠A=90°,AB=2,
∴AE==,BF=BE=2AE=,
∴菱形BFDE的面积为:×2=.
点评:
本题考查了平行四边形的判定,菱形的性质,矩形的性质,含30度角的直角三角形性质的应用,主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力.
26.(10分)(2014•邵阳)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣(m+n)x+mn(m>n)与x轴相交于A、B两点(点A位于点B的右侧),与y轴相交于点C.
(1)若m=2,n=1,求A、B两点的坐标;
(2)若A、B两点分别位于y轴的两侧,C点坐标是(0,﹣1),求∠ACB的大小;
(3)若m=2,△ABC是等腰三角形,求n的值.
考点:
二次函数综合题
分析:
(1)已知m,n的值,即已知抛物线解析式,求解y=0时的解即可.此时y=x2﹣(m+n)x+mn=(x﹣m)(x﹣n),所以也可直接求出方程的解,再代入m,n的值,推荐此方式,因为后问用到的可能性比较大.
(2)求∠ACB,我们只能考虑讨论三角形ABC的形状来判断,所以利用条件易得﹣1=mn,进而可以用m来表示A、B点的坐标,又C已知,则易得AB、BC、AC边长.讨论即可.
(3)△ABC是等腰三角形,即有三种情形,AB=AC,AB=BC,AC=BC.由(2)我们可以用n表示出其三边长,则分别考虑列方程求解n即可.
解答:
解:(1)∵y=x2﹣(m+n)x+mn=(x﹣m)(x﹣n),
∴x=m或x=n时,y都为0,
∵m>n,且点A位于点B的右侧,
∴A(m,0),B(n,0).
∵m=2,n=1,
∴A(2,0),B(1,0).
(2)∵抛物线y=x2﹣(m+n)x+mn(m>n)过C(0,﹣1),
∴﹣1=mn,
∴n=﹣,
∵B(n,0),
∴B(﹣,0).
∵AO=m,BO=﹣,CO=1
∴AC==,
BC==,
AB=AO+BO=m﹣,
∵(m﹣)2=()2+()2,
∴AB2=AC2+BC2,
∴∠ACB=90°.
(3)∵A(m,0),B(n,0),C(0,mn),且m=2,
∴A(2,0),B(n,0),C(0,2n).
∴AO=2,BO=|n|,CO=|2n|,
∴AC==,
BC==|n|,
AB=xA﹣xB=2﹣n.
①当AC=BC时,=|n|,解得n=2(A、B两点重合,舍去)或n=﹣2;
②当AC=AB时,=2﹣n,解得n=0(B、C两点重合,舍去)或n=﹣;
③当BC=AB时,|n|=2﹣n,
当n>0时,n=2﹣n,解得n=,
当n<0时,﹣n=2﹣n,解得n=﹣.
综上所述,n=﹣2,﹣,﹣,时,△ABC是等腰三角形.
点评:
本题考查了因式分解、二次函数性质、利用勾股定理求点与点的距离、等腰三角形等常规知识,总体难度适中,是一道非常值得学生加强联系的题目.