青纯教育中考数学专题复习梯形含详细答案 15页

第二十二讲梯形 ‎【基础知识回顾】‎ 一、 梯形的定义、分类和面积：‎ ‎ 1、定义：一组对边平行，而另一组对边 的四边形，叫做梯形。其中，平行的两边叫做 ，不平行的两边叫做 ，两底间的距离叫做梯形的 。‎ 直角梯形：一腰与底 的梯形叫做直角梯形 一般梯形 等腰梯形：两腰 的梯形叫做等腰梯形 特殊梯形 ‎2、分类：梯形 ‎3、梯形的面积：S梯形= （上底+下底）×高 ‎ ‎【名师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要证明它有一组对边 外，还需注明另一组对边不平行或平行的这组对边不相等】‎ 二、等腰梯形的性质和判定：‎ ‎ 1、性质：⑴等腰梯形的两腰相等， 相等 ‎⑵等腰梯形的对角线 ‎ ‎⑶等腰梯形是 对称图形 ‎ 2、判定： ⑴用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等 ‎ ⑵同一底上两个角 的梯形是等腰梯形 ‎ ⑶对角线 的梯形是等腰梯形 ‎【名师提醒：1、梯形的性质和判定中“同一底上的两个角相等”不能说成“两底角相等” 2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形 3、解决梯 形 问 题 的 基 本思 路 是 通过做辅助线将梯形转化为 形或 形常见的辅助线作法有 要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】‎ ‎【重点考点例析】‎ ‎ 考点一：梯形的基本概念和性质 例1 （2013•广州）如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，则tanB=（　　）‎ A．2 B．2 C． D．‎ 思路分析：先判断DA=DC，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，由等腰三角形的性质，可得点F是AC中点，继而可得EF是△CAB的中位线，继而得出EF、DF的长度，在Rt△ADF中求出AF，然后得出AC，tanB的值即可计算．‎ 解：∵CA是∠BCD的平分线， ∴∠DCA=∠ACB， 又∵AD∥BC， ∴∠ACB=∠CAD， ∴∠DAC=∠DCA， ∴DA=DC， 如图，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，‎ ‎ ∵AB⊥AC， ∴DE⊥AC（等腰三角形三线合一的性质）， ∴点F是AC中点， ∴AF=CF， ∴EF是△CAB的中位线， ∴EF=AB=2， ∵=1， ∴EF=DF=2， 在Rt△ADF中，AF=， 则AC=2AF=8， tanB=． 故选B．‎ 点评：本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，判断点F是AC中点，难度较大．‎ 对应训练 ‎1．（2013•宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎1．B 考点二：等腰梯形的性质 例2 （2013•柳州）如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，连结AC、BD．在平面内将△DBC沿BC翻折得到△EBC． （1）四边形ABEC一定是什么四边形？ （2）证明你在（1）中所得出的结论．‎ 思路分析：（1）首先观察图形，然后由题意可得四边形ABEC一定是平行四边形； （2）由四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，可得AB=DC，AC=BD，又由在平面内将△DBC沿BC翻折得到△EBC，可得EC=DC，DB=BE，继而可得：EC=AB，BE=AC，则可证得四边形ABEC是平行四边形．‎ 解答：（1）解：四边形ABEC一定是平行四边形； （2）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC， ∴AB=DC，AC=BD， 由折叠的性质可得：EC=DC，DB=BE， ∴EC=AB，BE=AC， ∴四边形ABEC是平行四边形．‎ 点评：此题考查了等腰梯形的性质、折叠的性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．‎ 对应训练 ‎2．（2013•杭州）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF． 求证：△GAB是等腰三角形．‎ ‎2．证明：∵在等腰梯形中ABCD中，AD=BC， ∴∠D=∠C，∠DAB=∠CBA， 在△ADE和△BCF中， ， ∴△ADE≌△BCF（SAS）， ∴∠DAE=∠CBF， ∴∠GAB=∠GBA， ∴GA=GB， 即△GAB为等腰三角形．‎ 考点三：等腰梯形的判定 例3 （2013•钦州）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，∠DEC=∠C，求证：梯形ABCD是等腰梯形．‎ 思路分析：由AB∥DE，∠DEC=∠C，易证得∠B=∠C，又由同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，即可证得结论．‎ 证明：∵AB∥DE， ∴∠DEC=∠B， ∵∠DEC=∠C， ∴∠B=∠C， ∴梯形ABCD是等腰梯形．‎ 点评：此题考查了等腰梯形的判定．此题比较简单，注意掌握同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形定理的应用，注意数形结合思想的应用．‎ 对应训练 ‎3．（2013•上海）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（　　）‎ A．∠BDC=∠BCD B．∠ABC=∠DAB C．∠ADB=∠DAC D．∠AOB=∠BOC ‎3．C 考点四：梯形的综合应用 例4 34．（2013•扬州）如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．设BP=x，CE=y． （1）求y与x的函数关系式； （2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围； （3）如图2，若m=4，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长． ‎ 思路分析：（1）证明△ABP∽△PCE，利用比例线段关系求出y与x的函数关系式； （2）根据（1）中求出的y与x的关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定m的取值范围； （3）根据翻折的性质及已知条件，构造直角三角形，利用勾股定理求出BP的长度．解答中提供了三种解法，可认真体会．‎ 解：（1）∵∠APB+∠CPE=90°，∠CEP+∠CPE=90°， ∴∠APB=∠CEP，又∵∠B=∠C=90°， ∴△ABP∽△PCE， ∴，即， ∴y=-x2+x． （2）∵y=-x2+x=-（x-）2+， ∴当x=时，y取得最大值，最大值为． ∵点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上， ∴≤1，解得m≤2． ∴m的取值范围为：0＜m≤2． （3）由折叠可知，PG=PC，EG=EC，∠GPE=∠CPE， 又∵∠GPE+∠APG=90°，∠CPE+∠APB=90°， ∴∠APG=∠APB． ∵∠BAG=90°，∴AG∥BC， ∴∠GAP=∠APB， ∴∠GAP=∠APG， ∴AG=PG=PC． ‎ ‎ 解法一：如解答图所示，分别延长CE、AG，交于点H， 则易知ABCH为矩形，HE=CH-CE=2-y，GH=AH-AG=4-（4-x）=x， 在Rt△GHE中，由勾股定理得：GH2+HE2=GH2， 即：x2+（2-y）2=y2，化简得：x2-4y+4=0  ① 由（1）可知，y=-x2+x，这里m=4，∴y=-x2+2x， 代入①式整理得：x2-8x+4=0，解得：x=或x=2， ∴BP的长为或2． 解法二：如解答图所示，连接GC． ∵AG∥PC，AG=PC， ∴四边形APCG为平行四边形，∴AP=CG． 易证△ABP≌GNC，∴CN=BP=x． 过点G作GN⊥PC于点N，则GH=2，PN=PC-CN=4-2x． 在Rt△GPN中，由勾股定理得：PN2+GN2=PG2， 即：（4-2x）2+22=（4-x）2， 整理得：x2-8x+4=0，解得：x=或x=2， ∴BP的长为或2． 解法三：过点A作AK⊥PG于点K， ∵∠APB=∠APG， ∴AK=AB． 易证△APB≌△APK， ∴PK=BP=x， ∴GK=PG-PK=4-2x． 在Rt△AGK中，由勾股定理得：GK2+AK2=AG2， 即：（4-2x）2+22=（4-x）2， 整理得：x2-8x+4=0， 解得：x=或x=2， ∴BP的长为或2．‎ 点评：‎ 本题是代数几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折叠、函数关系式、二次函数最值等知识点，所涉及考点众多，有一定的难度．注意第（2）问中求m取值范围时二次函数性质的应用，以及第（3）问中构造直角三角形的方法．‎ 对应训练 ‎4．（2013•青岛模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5cm，AD=4cm，BC=10cm，点E从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向点B移动，点F从点B出发以2cm/s的速度沿BA方向向点A移动，当点F到达点A时，点E停止运动；设运动的时间为t（s） （0＜t＜2.5）．问： （1）当t为何值时，EF平分等腰梯形ABCD的周长？ （2）若△BFE的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使五边形AFECD的面积与△BFE的面积之比是3：2？若存在求出t的值；若不存在，说明理由． （4）在点E、F运动的过程中，若线段EF=cm，此时EF能否垂直平分AB？‎ ‎4．解：（1）∵EF平分等腰梯形ABCD的周长， ∴BE+BF=（AD+BC+CD+AB）=12， ∴10-t+2t=12， t=2； 答：当t为2s时，EF平分等腰梯形ABCD的周长； （2）如图，过A作AN⊥BC于N，过F作FG⊥BC于G，‎ ‎ 则BN=（BC-AD）=×（10-4）=3（cm）， ∵AN⊥BC，FG⊥BC， ∴FG∥AN， △ABN∽△FGB， ∴， ∴， FG=t， ∴S△BEF=×BE×FG=（10-t）•t， S=-t2‎ ‎+8t； （3）假设存在某一时刻t，使五边形AFECD的面积与△BFE的面积之比是3：2， S五边形AFECD=S梯形ABCD-S△BFE=×（4+10）×4-（-t2+8t）=28+t2-8t， 即2（28+t2-8t）=3（-t2+8t）， 解得：t=5+（大于2.5，舍去），t=5-； 即存在某一时刻t，使五边形AFECD的面积与△BFE的面积之比是3：2，t的值是（5-）s； （4）假设存在EF垂直平分AB，‎ ‎ 则△ABN∽△BEF， ， ， EF=≠， 即线段EF=cm，此时EF不能垂直平分AB．‎ ‎【聚焦山东中考】‎ ‎1．（2013•烟台）如图，四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC=60°，若其四边满足长度的众数为5，平均数为，上、下底之比为1：2，则BD= ．‎ ‎1．‎ ‎2．（2013•临沂）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，BD⊥DC，垂足分别为E，D，DE=3，BD=5，则腰长AB= ．‎ ‎2．‎ ‎3．（2013•滨州模拟）我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论．‎ ‎3．解：结论为：EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．理由如下： 连接AF并延长交BC于点G．‎ ‎ ∵AD∥BC， ∴∠DAF=∠G， 在△ADF和△GCF中， ， ∴△ADF≌△GCF（AAS）， ∴AF=FG，AD=CG． 又∵AE=EB， ∴EF∥BG，EF=BG， 即EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．‎ ‎【备考真题过关】‎ 一、选择题 ‎1．（2013•绵阳）下列说法正确的是（　　）‎ A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ‎1．D ‎2．（2013•十堰）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，则下底BC的长为（　　）‎ A．8 B．9 C．10 D．11‎ ‎2．A 二、填空题 ‎3．（2013•扬州）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，BC=12，∠ABC=60°，则梯形ABCD的周长为 30‎ ‎．‎ ‎3．30‎ ‎4．（2013•盘锦）如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°．若梯形的周长为10，则AD的长为 2‎ ‎．‎ ‎4．2‎ ‎5．（2013•六盘水）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=10，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于 19‎ ‎．‎ ‎5．19‎ ‎6．（2013•长沙）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AE∥CD交BC于点E，若AD=2，BC=5，则边CD的长是 3‎ ‎．‎ ‎6．3‎ ‎7．（2013•曲靖）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，则CD= ．‎ ‎7．‎ ‎8．（2013•南京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于P．已知A（2，3），B（1，1），D（4，3），则点P的坐标为 ．‎ ‎8．（ 33‎ ‎， ）‎ 三、解答题 ‎9．（2013•玉林）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上，连接AF交BD于点E，AF的延长线与BC的延长线交于点G，M，N分别是BG，DF的中点． （1）求证：四边形EMCN是矩形； （2）若AD=2，S梯形ABCD= ，求矩形EMCN的长和宽．‎ ‎9．（1）证明：∵点A、F关于BD对称， ∴AD=DF，DE⊥‎ AF， 又∵AD⊥DC， ∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形， ∴∠DAF=∠EDF=45°， ∵AD∥BC， ∴∠G=∠GAD=45°， ∴△BGE是等腰直角三角形， ∵M，N分别是BG，DF的中点， ∴EM⊥BC，EN⊥CD， 又∵AD∥BC，AD⊥DC， ∴BC⊥CD， ∴四边形EMCN是矩形； （2）解：由（1）可知，∠EDF=45°，BC⊥CD， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴BC=CD， ∴S梯形ABCD=（AD+BC）•CD=（2+CD）•CD=， 即CD2+2CD-15=0， 解得CD=3，CD=-5（舍去）， ∵△ADF、△DEF是等腰直角三角形， ∴DF=AD=2， ∵N是DF的中点， ∴EN=DN=DF=×2=1， ∴CN=CD-DN=3-1=2， ∴矩形EMCN的长和宽分别为2，1．‎ ‎10．（2013•深圳）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC与BD交于点O，廷长BC到E，使得CE=AD，连接DE． （1）求证：BD=DE． （2）若AC⊥BD，AD=3，SABCD=16，求AB的长．‎ ‎10．（1）证明：∵AD∥BC，CE=AD， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC=DE， ∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC， ∴AC=BD， ‎ ‎∴BD=DE． （2）解：过点D作DF⊥BC于点F， ∵四边形ACED是平行四边形， ∴CE=AD=3，AC∥DE， ∵AC⊥BD， ∴BD⊥DE， ∵BD=DE， ∴S△BDE=BD•DE=BD2=BE•DF=（BC+CE）•DF=（BC+AD）•DF=S梯形ABCD=16， ∴BD=4， ∴BE=BD=8， ∴DF=BF=EF=BE=4， ∴CF=EF-CE=1， ∴AB=CD=．‎ ‎11．（2013•安溪县质检）已知等腰梯形中，AB=DC=2，AD∥BC，AD=3，腰与底相交所成的锐角为60°，动点P在线段BC上运动（ 点P不与B、C点重合），并且∠APQ=60°，PQ交射线CD于点Q，若CQ=y，BP=x， （1）求下底BC的长． （2）求y与x的函数解析式，并指出当点P运动到何位置时，线段CQ最长，最大值为多少？ （3）在（2）的条件下，当CQ最长时，PQ与AD交于点E，求QE的长．‎ ‎11．解：（1）如图1，过点D作DE∥AB，交BC于E，‎ ‎ ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴BE=AD=3，DE=AB=DC=2， ∵DE∥AB， ‎ ‎∴∠DEC=∠B=60°， ∴△DEC为等边三角形， ∴EC=DC=2， ∴BC=BE+EC=3+2=5； （2）如图2，在△CPQ与△BAP中，‎ ‎ ∵， ∴△CPQ∽△BAP， ∴CQ：BP=CP：BA，即y：x=（5-x）：2， ∴y=-x2+x， 当x=，即当点P运动到BC中点时，线段CQ最长， 此时最大值为； （3）如图3，‎ 在（2）的条件下，当CQ最长时，BP=CP=，CQ=， ∴QD=CQ-CD=-2=． ∵DE∥CP， ∴△QDE∽△QCP， ∴QE：QP=DE：CP=QD：QC， 即QE：QP=DE：=：=9：25， ‎ ‎∴可设QE=9k，QP=25k，且DE=， ∴PE=QP-QE=16k，AE=AD-DE=3-=． 在△DEQ与△PEA中， ∵， ∴△DEQ∽△PEA， ∴DE：PE=EQ：EA， ∴：16k=9k：， 解得k=， ∴QE=9k=．‎