- 655.50 KB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2017年四川省成都市中考数学试卷(A卷)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)(2017•成都)《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是:今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数,若气温为零上10℃记作+10℃,则﹣3℃表示气温为( )
A.零上3℃ B.零下3℃ C.零上7℃ D.零下7℃
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量:若零上记为正,则零下就记为正,直接得出结论即可.
【解答】解:若气温为零上10℃记作+10℃,则﹣3℃表示气温为零下3℃.
故选:B.
【点评】此题主要考查正负数的意义,正数与负数表示意义相反的两种量,看清规定哪一个为正,则和它意义相反的就为负.
2.(3分)(2017•成都)如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成,其俯视图是( )
A. B. C. D.
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图,可得答案.
【解答】解:从上边看一层三个小正方形,
故选:C.
【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从上边看得到的图形是俯视图.
3.(3分)(2017•成都)总投资647亿元的西域高铁预计2017年11月竣工,届时成都到西安只需3小时,上午游武侯区,晚上看大雁塔将成为现实,用科学记数法表示647亿元为( )
A.647×108 B.6.47×109 C.6.47×1010 D.6.47×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥1时,n是非负数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:647亿=647 0000 0000=6.47×1010,
故选:C.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4.(3分)(2017•成都)二次根式中,x的取值范围是( )
A.x≥1 B.x>1 C.x≤1 D.x<1
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
【解答】解:由题意可知:x﹣1≥0,
∴x≥1,
故选(A)
【点评】本题考查二次根式有意义的条件,解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件,本题属于基础题型.
5.(3分)(2017•成都)下列图标中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
【解答】解:A、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项错误;
B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误;
C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
D、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项正确.
故选D.
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
6.(3分)(2017•成都)下列计算正确的是( )
A.a5+a5=a10 B.a7÷a=a6 C.a3•a2=a6 D.(﹣a3)2=﹣a6
【分析】利用同底数幂的乘法和除法法则以及合并同类项的法则运算即可.
【解答】解:A.a5+a5=2a5,所以此选项错误;
B.a7÷a=a6,所以此选项正确;
C.a3•a2=a5,所以此选项错误;
D.(﹣a3)2=a6,所以此选项错误;
故选B.
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法、除法、幂的乘方及合并同类项等,关键是熟记,同底数幂的除法法则:底数不变,指数相减;合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变;同底数幂相乘,底数不变,指数相加;幂的乘方法则:底数不变,指数相乘.
7.(3分)(2017•成都)学习全等三角形时,数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛,全班同学的比赛结果统计如下表:
得分(分)
60
70
80
90
100
人数(人)
7
12
10
8
3
则得分的众数和中位数分别为( )
A.70分,70分 B.80分,80分 C.70分,80分 D.80分,70分
【分析】
根据众数的定义,找到该组数据中出现次数最多的数即为众数;根据中位数定义,将该组数据按从小到大依次排列,处于中间位置的两个数的平均数即为中位数.
【解答】解:70分的有12人,人数最多,故众数为70分;
处于中间位置的数为第20、21两个数,都为80分,中位数为80分.
故选:C.
【点评】本题为统计题,考查众数与中位数的意义,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数,如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错.
8.(3分)(2017•成都)如图,四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形,若OA:OA′=2:3,则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为( )
A.4:9 B.2:5 C.2:3 D.:
【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比,根据相似多边形的性质解答.
【解答】解:∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形,OA:OA′=2:3,
∴DA:D′A′=OA:OA′=2:3,
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为:()2=,
故选:A.
【点评】本题考查的是位似变换的性质,掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键.
9.(3分)(2017•成都)已知x=3是分式方程﹣=2的解,那么实数k的值为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
【分析】将x=3代入原方程即可求出k的值.
【解答】解:将x=3代入﹣=2,
∴
解得:k=2,
故选(D)
【点评】本题考查一元一次方程的解,解题的关键是将x=3代入原方程中,本题属于基础题型.
10.(3分)(2017•成都)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是( )
A.abc<0,b2﹣4ac>0 B.abc>0,b2﹣4ac>0
C.abc<0,b2﹣4ac<0 D.abc>0,b2﹣4ac<0
【分析】首先根据图象中抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴交点的位置来判断出a、b、c的位置,进而判断各结论是否正确.
【解答】解:根据二次函数的图象知:
抛物线开口向上,则a>0;
抛物线的对称轴在y轴右侧,则x=﹣>0,即b<0;
抛物线交y轴于负半轴,则c<0;
∴abc>0,
∵抛物线与x轴有两个不同的交点,
∴△=b2﹣4ac>0,
故选B.
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系,由图象找出有关a,b,c的相关信息以及抛物线与x轴交点情况,是解题的关键.
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
11.(4分)(2017•成都)(﹣1)0= 1 .
【分析】直接利用零指数幂的性质求出答案.
【解答】解:(﹣1)0=1.
故答案为:1.
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质,正确把握定义是解题关键.
12.(4分)(2017•成都)在△ABC中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,则∠A的度数为 40° .
【分析】直接用一个未知数表示出∠A,∠B,∠C的度数,再利用三角形内角和定理得出答案.
【解答】解:∵∠A:∠B:∠C=2:3:4,
∴设∠A=2x,∠B=3x,∠C=4x,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴2x+3x+4x=180°,
解得:x=20°,
∴∠A的度数为:40°.
故答案为:40°.
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理,正确表示出各角度数是解题关键.
13.(4分)(2017•成都)如图,正比例函数y1=k1x和一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A(2,1),当x<2时,y1 < y2.(填“>”或“<”).
【分析】由图象可以知道,当x=2时,两个函数的函数值是相等的,再根据函数的增减性即可得到结论.
【解答】解:由图象知,当x<2时,y2的图象在y1上右,
∴y1>y2.
故答案为:<.
【点评】本题考查了两条直线相交与平行,正确的识别图象是解题的关键.
14.(4分)(2017•成都)如图,在平行四边形ABCD中,按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;③作AP射线,交边CD于点Q,若DQ=2QC,BC=3,则平行四边形ABCD周长为 15 .
【分析】根据角平分线的性质可知∠DAQ=∠BAQ,再由平行四边形的性质得出CD∥AB,BC=AD=3,∠BAQ=∠DQA,故可得出△AQD是等腰三角形,据此可得出DQ=AD,进而可得出结论.
【解答】解:∵由题意可知,AQ是∠DAB的平分线,
∴∠DAQ=∠BAQ.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥AB,BC=AD=3,∠BAQ=∠DQA,
∴∠DAQ=∠DAQ,
∴△AQD是等腰三角形,
∴DQ=AD=3.
∵DQ=2QC,
∴QC=DQ=,
∴CD=DQ+CQ=3+=,
∴平行四边形ABCD周长=2(DC+AD)=2×(+3)=15.
故答案为:15.
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图,熟知角平分线的作法是解答此题的关键.
三、解答题(本大题共6小题,共54分)
15.(12分)(2017•成都)(1)计算:|﹣1|﹣+2sin45°+()﹣2;
(2)解不等式组:.
【分析】(1)原式利用二次根式性质,特殊角的三角函数值,以及负整数指数幂法则计算即可得到结果.
(2)分别求得两个不等式的解集,然后取其公共部分即可.
【解答】解:(1)原式=﹣1﹣2+2×+4
=﹣1﹣2++4
=3;
(2),
①可化简为2x﹣7<3x﹣3,
﹣x<4,
x>﹣4,
②可化简为2x≤1﹣3,则x≤﹣1.
不等式的解集是﹣4<x≤﹣1.
【点评】本题考查了解一元一次不等式组,实数的运算,负整数指数幂以及特殊角的三角函数值.熟练掌握运算法则是解本题的关键.
16.(6分)(2017•成都)化简求值:÷(1﹣),其中x=﹣1.
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把已知代入计算即可求出值.
【解答】解:÷(1﹣)=•=,
∵x=﹣1,
∴原式==.
【点评】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
17.(8分)(2017•成都)随着经济的快速发展,环境问题越来越受到人们的关注,某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况,随机调查了部分学生,调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类,并将调查结果绘制成下面两个统计图.
(1)本次调查的学生共有 50 人,估计该校1200名学生中“不了解”的人数是 360 人;
(2)“非常了解”的4人有A1,A2两名男生,B1,B2两名女生,若从中随机抽取两人向全校做环保交流,请利用画树状图或列表的方法,求恰好抽到一男一女的概率.
【分析】(1)用“非常了解”人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数;
(2)用总人数乘以“不了解”人数所占的百分比即可得出答案;
(3)先画树状图展示所有12个等可能的结果数,再找出恰好是一位男同学和一位女同学的结果数,然后根据概率公式求解.
【解答】解:(1)4÷8%=50(人),
1200×(1﹣40%﹣22%﹣8%)=360(人);
故答案为:50,360;
(2)画树状图,共有12根可能的结果,恰好抽到一男一女的结果有8个,
∴P(恰好抽到一男一女的)==.
【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图;通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.
18.(8分)(2017•成都)科技改变生活,手机导航极大方便了人们的出行,如图,小明一家自驾到古镇C游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地,再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向,求B,C两地的距离.
【分析】过B作BD⊥AC于点D,在直角△ABD中利用三角函数求得BD的长,然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长.
【解答】解:过B作BD⊥AC于点D.
在Rt△ABD中,AD=AB•cos∠BAD=4cos60°=4×=2(千米),
BD=AB•sin∠BAD=4×=2(千米),
∵△BCD中,∠CBD=45°,
∴△BCD是等腰直角三角形,
∴CD=BD=2(千米),
∴BC=BD=2(千米).
答:B,C两地的距离是2千米.
【点评】此题考查了方向角问题.此题难度适中,解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识,利用三角函数的知识求解.
19.(10分)(2017•成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象交于A(a,﹣2),B两点.
(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标;
(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点,过点P作y轴的平行线,交直线AB于点C,连接PO,若△POC的面积为3,求点P的坐标.
【分析】(1)把A(a,﹣2)代入y=x,可得A(﹣4,﹣2),把A(﹣4,﹣2)代入y=,可得反比例函数的表达式为y=,再根据点B与点A关于原点对称,即可得到B的坐标;
(2)过P作PE⊥x轴于E,交AB于C,先设P(m,),则C(m,m),根据△POC的面积为3,可得方程m×|m﹣|
=3,求得m的值,即可得到点P的坐标.
【解答】解:(1)把A(a,﹣2)代入y=x,可得a=﹣4,
∴A(﹣4,﹣2),
把A(﹣4,﹣2)代入y=,可得k=8,
∴反比例函数的表达式为y=,
∵点B与点A关于原点对称,
∴B(4,2);
(2)如图所示,过P作PE⊥x轴于E,交AB于C,
设P(m,),则C(m,m),
∵△POC的面积为3,
∴m×|m﹣|=3,
解得m=2或2,
∴P(2,)或(2,4).
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解题时注意:反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式.
20.(12分)(2017•成都)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点D作DH⊥AC于点H,连接DE交线段OA于点F.
(1)求证:DH是圆O的切线;
(2)若A为EH的中点,求的值;
(3)若EA=EF=1,求圆O的半径.
【分析】(1)根据同圆的半径相等和等边对等角证明:∠ODB=∠OBD=∠ACB,则DH⊥OD,DH是圆O的切线;
(2)如图2,先证明∠E=∠B=∠C,则H是EC的中点,设AE=x,EC=4x,则AC=3x,由OD是△ABC的中位线,得:OD=AC=,证明△AEF∽△ODF,列比例式可得结论;
(3)如图2,设⊙O的半径为r,即OD=OB=r,证明DF=OD=r,则DE=DF+EF=r+1,BD=CD=DE=r+1,证明△BFD∽△EFA,列比例式为:,则=,求出r的值即可.
【解答】证明:(1)连接OD,如图1,
∵OB=OD,
∴△ODB是等腰三角形,
∠OBD=∠ODB①,
在△ABC中,∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB②,
由①②得:∠ODB=∠OBD=∠ACB,
∴OD∥AC,
∵DH⊥AC,
∴DH⊥OD,
∴DH是圆O的切线;
(2)如图2,在⊙O中,∵∠E=∠B,
∴由(1)可知:∠E=∠B=∠C,
∴△EDC是等腰三角形,
∵DH⊥AC,且点A是EH中点,
设AE=x,EC=4x,则AC=3x,
连接AD,则在⊙O中,∠ADB=90°,AD⊥BD,
∵AB=AC,
∴D是BC的中点,
∴OD是△ABC的中位线,
∴OD∥AC,OD=AC=×3x=,
∵OD∥AC,
∴∠E=∠ODF,
在△AEF和△ODF中,
∵∠E=∠ODF,∠OFD=∠AFE,
∴△AEF∽△ODF,
∴,
∴==,
∴=;
(3)如图2,设⊙O的半径为r,即OD=OB=r,
∵EF=EA,
∴∠EFA=∠EAF,
∵OD∥EC,
∴∠FOD=∠EAF,
则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD,
∴DF=OD=r,
∴DE=DF+EF=r+1,
∴BD=CD=DE=r+1,
在⊙O中,∵∠BDE=∠EAB,
∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE,
∴BF=BD,△BDF是等腰三角形,
∴BF=BD=r+1,
∴AF=AB﹣BF=2OB﹣BF=2r﹣(1+r)=r﹣1,
在△BFD和△EFA中,
∵,
∴△BFD∽△EFA,
∴,
∴=,
解得:r1=,r2=(舍),
综上所述,⊙O的半径为.
【点评】本题是圆的综合题,考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理,第三问设圆的半径为r,根据等边对等角表示其它边长,利用比例列方程解决问题.
四、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
21.(4分)(2017•成都)如图,数轴上点A表示的实数是 .
【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出A点对应的实数.
【解答】解:由图形可得:AO==,
则数轴上点A表示的实数是:.
故答案为:.
【点评】此题主要考查了实数与数轴,正确得出AO的长是解题关键.
22.(4分)(2017•成都)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根,且x12﹣x22=10,则a= .
【分析】由x12﹣x22=0得x1+x2=0或x1﹣x2=0;当x1+x2=0时,运用两根关系可以得到﹣2m﹣1=0或方程有两个相等的实根,据此即可求得m的值.
【解答】解:由两根关系,得根x1+x2=5,x1•x2=a,
由x12﹣x22=10得(x1+x2)(x1﹣x2)=10,
若x1+x2=5,即x1﹣x2=2,
∴(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1•x2=25﹣4a=4,
∴a=,
故答案为:.
【点评】本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣,x1x2=.
23.(4分)(2017•成都)已知⊙O的两条直径AC,BD互相垂直,分别以AB,BC,CD,DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形,现随机地向该图形内掷一枚小针,记针尖落在阴影区域内的概率为P1,针尖落在⊙O内的概率为P2,则
= .
【分析】直接利用圆的面积求法结合正方形的性质得出P1,P2的值即可得出答案.
【解答】解:设⊙O的半径为1,则AD=,
故S圆O=π,
阴影部分面积为:π×2+×﹣π=2,
则P1=,P2=,
故=.
故答案为:.
【点评】此题主要考查了几何概率,正确得出各部分面积是解题关键.
24.(4分)(2017•成都)在平面直角坐标系xOy中,对于不在坐标轴上的任意一点P(x,y),我们把点P′(,)称为点P的“倒影点”,直线y=﹣x+1上有两点A,B,它们的倒影点A′,B′均在反比例函数y=的图象上.若AB=2,则k= ﹣ .
【分析】设点A(a,﹣a+1),B(b,﹣b+1)(a<b),则A′(,),B′(,),由AB=2可得出b=a+2,再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、a、b的方程组,解之即可得出k值.
【解答】解:设点A(a,﹣a+1),B(b,﹣b+1)(a<b),则A′(,),B′(,),
∵AB=2,
∴b﹣a=2,即b=a+2.
∵点A′,B′均在反比例函数y=的图象上,
∴,
解得:k=﹣.
故答案为:﹣.
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式,根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于k、a、b的方程组是解题的关键.
25.(4分)(2017•成都)如图1,把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD,再沿∠ADC的平分线DE折叠,如图2,点C落在点C′处,最后按图3所示方式折叠,使点A落在DE的中点A′处,折痕是FG,若原正方形纸片的边长为6cm,则FG= cm.
【分析】作GM⊥AC′于M,A′N⊥AD于N,AA′交EC′于K.易知MG=AB=AC′,首先证明△AKC′≌△GFM,可得GF=AK,由AN=4.5cm,A′N=1.5cm,C′K∥A′N,推出=,可得=,推出C′K=1.5cm,在Rt△AC′K中,根据AK=,求出AK即可解决问题.
【解答】解:作GM⊥AC′于M,A′N⊥AD于N,AA′交EC′于K.易知MG=AB=AC′,
∵GF⊥AA′,
∴∠AFG+∠FAK=90°,∠MGF+∠MFG=90°,
∴∠MGF=∠KAC′,
∴△AKC′≌△GFM,
∴GF=AK,
∵AN=4.5cm,A′N=1.5cm,C′K∥A′N,
∴=,
∴=,
∴C′K=1.5cm,
在Rt△AC′K中,AK==cm,
∴FG=AK=cm,
故答案为.
【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
五、解答题(本大题共3小题,共30分)
26.(8分)(2017•成都)随着地铁和共享单车的发展,“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择,李华从文化宫站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A,B,C,D,E中的某一站出地铁,再骑共享单车回家,设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位:千米),乘坐地铁的时间y1(单位:分钟)是关于x的一次函数,其关系如下表:
地铁站
A
B
C
D
E
x(千米)
8
9
10
11.5
13
y1(分钟)
18
20
22
25
28
(1)求y1关于x的函数表达式;
(2)李华骑单车的时间(单位:分钟)也受x的影响,其关系可以用y2=x2﹣11x+78来描述,请问:李华应选择在那一站出地铁,才能使他从文化宫回到家所需的时间最短?并求出最短时间.
【分析】(1)根据表格中的数据,运用待定系数法,即可求得y1关于x的函数表达式;
(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y,则y=y1+y2=x2﹣9x+80,根据二次函数的性质,即可得出最短时间.
【解答】解:(1)设y1=kx+b,将(8,18),(9,20),代入得:
,
解得:,
故y1关于x的函数表达式为:y1=2x+2;
(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y,则
y=y1+y2=2x+2+x2﹣11x+78=x2﹣9x+80,
∴当x=9时,y有最小值,ymin==39.5,
答:李华应选择在B站出地铁,才能使他从文化宫回到家所需的时间最短,最短时间为39.5分钟.
【点评】本题主要考查了二次函数的应用,解此类题的关键是通过题意,确定出二次函数的解析式,然后确定其最大值最小值,在求二次函数的最值时,一定要注意自变量x的取值范围.
27.(10分)(2017•成都)问题背景:如图1,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,作AD⊥BC于点D,则D为BC的中点,∠BAD=∠BAC=60°,于是==;
迁移应用:如图2,△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠
ADE=120°,D,E,C三点在同一条直线上,连接BD.
①求证:△ADB≌△AEC;
②请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式;
拓展延伸:如图3,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,在∠ABC内作射线BM,作点C关于BM的对称点E,连接AE并延长交BM于点F,连接CE,CF.
①证明△CEF是等边三角形;
②若AE=5,CE=2,求BF的长.
【分析】迁移应用:①如图②中,只要证明∠DAB=∠CAE,即可根据SAS解决问题;
②结论:CD=AD+BD.由△DAB≌△EAC,可知BD=CE,在Rt△ADH中,DH=AD•cos30°=AD,由AD=AE,AH⊥DE,推出DH=HE,由CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD,即可解决问题;
拓展延伸:①如图3中,作BH⊥AE于H,连接BE.由BC=BE=BD=BA,FE=FC,推出A、D、E、C四点共圆,推出∠ADC=∠AEC=120°,推出∠FEC=60°,推出△EFC是等边三角形;
②由AE=5,EC=EF=2,推出AH=HE=2.5,FH=4.5,在Rt△BHF中,由∠BHF=30°,可得=cos30°,由此即可解决问题.
【解答】迁移应用:①证明:如图②
∵∠BAC=∠ADE=120°,
∴∠DAB=∠CAE,
在△DAE和△EAC中,
,
∴△DAB≌△EAC,
②解:结论:CD=AD+BD.
理由:如图2﹣1中,作AH⊥CD于H.
∵△DAB≌△EAC,
∴BD=CE,
在Rt△ADH中,DH=AD•cos30°=AD,
∵AD=AE,AH⊥DE,
∴DH=HE,
∵CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD.
拓展延伸:①证明:如图3中,作BH⊥AE于H,连接BE.
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,
∴△ABD,△BDC是等边三角形,
∴BA=BD=BC,
∵E、C关于BM对称,
∴BC=BE=BD=BA,FE=FC,
∴A、D、E、C四点共圆,
∴∠ADC=∠AEC=120°,
∴∠FEC=60°,
∴△EFC是等边三角形,
②解:∵AE=5,EC=EF=2,
∴AH=HE=2.5,FH=4.5,
在Rt△BHF中,∵∠BHF=30°,
∴=cos30°,
∴BF==3.
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识,解题的关键是灵活应用所学知识解决问题,学会添加辅助圆解决问题,属于中考压轴题.
28.(10分)(2017•成都)如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y=ax2+bx+c与x轴相交于A,B两点,顶点为D(0,4),AB=4,设点F(m,0)是x轴的正半轴上一点,将抛物线C绕点F旋转180°,得到新的抛物线C′.
(1)求抛物线C的函数表达式;
(2)若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点,求m的取值范围.
(3)如图2,P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线C′上的对应点P′,设M是C上的动点,N是C′上的动点,试探究四边形PMP′N能否成为正方形?若能,求出m的值;若不能,请说明理由.
【分析】(1)由题意抛物线的顶点C(0,4),A(2,0),设抛物线的解析式为y=ax2+4,把A(2,0)代入可得a=﹣,由此即可解决问题;
(2)由题意抛物线C′的顶点坐标为(2m,﹣4),设抛物线C′的解析式为y=(x﹣m)2﹣4,由,消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0,由题意,抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点,则有,解不等式组即可解决问题;
(3)情形1,四边形PMP′N能成为正方形.作PE⊥x轴于E,MH⊥x轴于H.由题意易知P(2,2),当△PFM是等腰直角三角形时,四边形PMP′N是正方形,推出PF=FM,∠PFM=90°,易证△PFE≌△FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2﹣m,可得M(m+
2,m﹣2),理由待定系数法即可解决问题;情形2,如图,四边形PMP′N是正方形,同法可得M(m﹣2,2﹣m),利用待定系数法即可解决问题.
【解答】解:(1)由题意抛物线的顶点C(0,4),A(2,0),设抛物线的解析式为y=ax2+4,
把A(2,0)代入可得a=﹣,
∴抛物线C的函数表达式为y=﹣x2+4.
(2)由题意抛物线C′的顶点坐标为(2m,﹣4),设抛物线C′的解析式为y=(x﹣m)2﹣4,
由,消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0,
由题意,抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点,
则有,解得2<m<2,
∴满足条件的m的取值范围为2<m<2.
(3)结论:四边形PMP′N能成为正方形.
理由:1情形1,如图,作PE⊥x轴于E,MH⊥x轴于H.
由题意易知P(2,2),当△PFM是等腰直角三角形时,四边形PMP′N是正方形,
∴PF=FM,∠PFM=90°,
易证△PFE≌△FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2﹣m,
∴M(m+2,m﹣2),
∵点M在y=﹣x2+4上,
∴m﹣2=﹣(m+2)2+4,解得m=﹣3或﹣﹣3(舍弃),
∴m=﹣3时,四边形PMP′N是正方形.
情形2,如图,四边形PMP′N是正方形,同法可得M(m﹣2,2﹣m),
把M(m﹣2,2﹣m)代入y=﹣x2+4中,2﹣m=﹣(m﹣2)2+4,解得m=6或0(舍弃),
∴m=6时,四边形PMP′N是正方形.
【点评】
本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.
2017年四川省成都市中考数学试卷(A卷)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是:今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数,若气温为零上10℃记作+10℃,则﹣3℃表示气温为( )
A.零上3℃ B.零下3℃ C.零上7℃ D.零下7℃
2.(3分)如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成,其俯视图是( )
A. B. C. D.
3.(3分)总投资647亿元的西域高铁预计2017年11月竣工,届时成都到西安只需3小时,上午游武侯区,晚上看大雁塔将成为现实,用科学记数法表示647亿元为( )
A.647×108 B.6.47×109 C.6.47×1010 D.6.47×1011
4.(3分)二次根式中,x的取值范围是( )
A.x≥1 B.x>1 C.x≤1 D.x<1
5.(3分)下列图标中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
6.(3分)下列计算正确的是( )
A.a5+a5=a10 B.a7÷a=a6 C.a3•a2=a6 D.(﹣a3)2=﹣a6
7.(3分)学习全等三角形时,数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛,全班同学的比赛结果统计如下表:
得分(分)
60
70
80
90
100
人数(人)
7
12
10
8
3
则得分的众数和中位数分别为( )
A.70分,70分 B.80分,80分 C.70分,80分 D.80分,70分
8.(3分)如图,四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形,若OA:OA′=2:3,则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为( )
A.4:9 B.2:5 C.2:3 D.:
9.(3分)已知x=3是分式方程﹣=2的解,那么实数k的值为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
10.(3分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是( )
A.abc<0,b2﹣4ac>0 B.abc>0,b2﹣4ac>0
C.abc<0,b2﹣4ac<0 D.abc>0,b2﹣4ac<0
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
11.(4分)(﹣1)0= .
12.(4分)在△ABC中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,则∠A的度数为 .
13.(4分)如图,正比例函数y1=k1x和一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A(2,1),当x<2时,y1 y2.(填“>”或“<”).
14.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;③作AP射线,交边CD于点Q,若DQ=2QC,BC=3,则平行四边形ABCD周长为 .
三、解答题(本大题共6小题,共54分)
15.(12分)(1)计算:|﹣1|﹣+2sin45°+()﹣2;
(2)解不等式组:.
16.(6分)化简求值:÷(1﹣),其中x=﹣1.
17.(8分)随着经济的快速发展,环境问题越来越受到人们的关注,某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况,随机调查了部分学生,调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类,并将调查结果绘制成下面两个统计图.
(1)本次调查的学生共有 人,估计该校1200名学生中“不了解”的人数是 人;
(2)“非常了解”的4人有A1,A2两名男生,B1,B2两名女生,若从中随机抽取两人向全校做环保交流,请利用画树状图或列表的方法,求恰好抽到一男一女的概率.
18.(8分)科技改变生活,手机导航极大方便了人们的出行,如图,小明一家自驾到古镇C游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地,再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向,求B,C两地的距离.
19.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象交于A(a,﹣2),B两点.
(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标;
(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点,过点P作y轴的平行线,交直线AB于点C,连接PO,若△POC的面积为3,求点P的坐标.
20.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点D作DH⊥AC于点H,连接DE交线段OA于点F.
(1)求证:DH是圆O的切线;
(2)若A为EH的中点,求的值;
(3)若EA=EF=1,求圆O的半径.
四、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
21.(4分)如图,数轴上点A表示的实数是 .
22.(4分)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根,且x12﹣x22=10,则a= .
23.(4分)已知⊙O的两条直径AC,BD互相垂直,分别以AB,BC,CD,DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形,现随机地向该图形内掷一枚小针,记针尖落在阴影区域内的概率为P1,针尖落在⊙O内的概率为P2,则= .
24.(4分)在平面直角坐标系xOy中,对于不在坐标轴上的任意一点P(x,y),我们把点P′(,)称为点P的“倒影点”,直线y=﹣x+1上有两点A,B,它们的倒影点A′,B′均在反比例函数y=的图象上.若AB=2,则k= .
25.(4分)如图1,把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD,再沿∠ADC的平分线DE折叠,如图2,点C落在点C′处,最后按图3所示方式折叠,使点A落在DE的中点A′处,折痕是FG,若原正方形纸片的边长为6cm,则FG= cm.
五、解答题(本大题共3小题,共30分)
26.(8分)随着地铁和共享单车的发展,“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择,李华从文化宫站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A,B,C,D,E中的某一站出地铁,再骑共享单车回家,设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位:千米),乘坐地铁的时间y1(单位:分钟)是关于x的一次函数,其关系如下表:
地铁站
A
B
C
D
E
x(千米)
8
9
10
11.5
13
y1(分钟)
18
20
22
25
28
(1)求y1关于x的函数表达式;
(2)李华骑单车的时间(单位:分钟)也受x的影响,其关系可以用y2=
x2﹣11x+78来描述,请问:李华应选择在那一站出地铁,才能使他从文化宫回到家所需的时间最短?并求出最短时间.
27.(10分)问题背景:如图1,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,作AD⊥BC于点D,则D为BC的中点,∠BAD=∠BAC=60°,于是==;
迁移应用:如图2,△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠ADE=120°,D,E,C三点在同一条直线上,连接BD.
①求证:△ADB≌△AEC;
②请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式;
拓展延伸:如图3,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,在∠ABC内作射线BM,作点C关于BM的对称点E,连接AE并延长交BM于点F,连接CE,CF.
①证明△CEF是等边三角形;
②若AE=5,CE=2,求BF的长.
28.(10分)如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y=ax2+bx+c与x轴相交于A,B两点,顶点为D(0,4),AB=4,设点F(m,0)是x轴的正半轴上一点,将抛物线C绕点F旋转180°,得到新的抛物线C′.
(1)求抛物线C的函数表达式;
(2)若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点,求m的取值范围.
(3)如图2,P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线C′上的对应点P′,设M是C上的动点,N是C′上的动点,试探究四边形PMP′N能否成为正方形?若能,求出m的值;若不能,请说明理由.