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- 2021-05-10 发布
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《一元二次方程》考点解析
一、选择题
1.（新疆乌鲁木齐）关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a的值为（ ）
A、－1 B、0C、1 D、－1或1
考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。
分析：先把x＝0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a＝1舍去．
解答：把x＝0代入方程得：|a|－1＝0，∴a＝±1，∵a－1≠0，∴a＝－1．故选A．
点评：本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到a的值，再由二次项系数不为0，确定正确的选项．
2.（台湾）若一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2的两根为0．2，则|3a＋4b|之值为何（ ）
A．2 B．5 C．7 D．8
考点：解二元一次方程组；绝对值。
分析：先根据一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2的根确定a．b的关系式．然后根据a．b的关系式得出3a＋4b＝－5．用求绝对值的方法求出所需绝对值．
解答：将两根0．2分别代入ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2中计算得3a＋4b＝－5，所以|3a＋4b|＝5．故选B．
点评：此题考查了一元二次方程和二元一次方程及绝对值的运用．
3.（台湾）关于方程式88（x﹣2）2=95的两根，下列判断何者正确（ ）
A、一根小于1，另一根大于3 B、一根小于﹣2，另一根大于2
C、两根都小于0D、两根都大于2
考点：估算一元二次方程的近似解；解一元二次方程-直接开平方法。
分析：本题需先根据一元二次方程的解法，对方程进行计算，分别解出x1和x2的值，再进行估算即可得出结果．
解答：∵88（x﹣2）2=95，（x﹣2）2=，x﹣2=±，∴x=±+2，
∴x1=+2，∴x1＞3，∴x2=-+2，∴x2＜1．故选A．
点评：本题主要考查了对一元二次方程的近似解的估算，解题时要注意在开方的时候不要漏掉方程根，这是解题的关键．
4.某品牌服装原价173元，连续两次降价后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（）
A． B．
C． D．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
分析：根据降价后的价格＝原价（1－降低的百分率），本题可先用173（1－x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
解答：当商品第一次降价x%时，其售价为173－173x%＝173（1－x%）；当商品第二次降价x%后，其售价为
173（1－x%）－173（1－x%）x%＝173（1－x%）2．∴173（1－x%）2＝127．故选C．
点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于127即可．
5.（湖南张家界）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（ ）
A、1 B、﹣1C、0 D、无法确定
考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。
分析：把x=1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．
解答：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B．
点评：本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．
6.（甘肃兰州）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）
A． B．
C． D．
考点：一元二次方程的定义．
分析：一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解答：A，由原方程，得x4+1=0，未知数的最高次数是4；故本选项错误；
B，当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；
C，由原方程，得x2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；
D，方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C．
点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
7.（黑龙江省哈尔滨）若x=2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8=0的一个解．则m的值是（ ）
A.6 B.5 C.2 D.﹣6
考点：一元二次方程的解。
分析：先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一方程即可．
解答：把x=2代入方程得：4﹣2m+8=0，解得m=6．故选A．
点评：本题考查了一元二次方程的解，此题比较简单，易于掌握．
8.（江苏苏州）下列四个结论中，正确的是
A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根
C．方程有两个不相等实数根D．方程（其中a为常数，且）有两个不相等实数根
考点：根的判别式．
分析：把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，判断解的个数即可．
解答：A、整理得：x2+2x+1=0，△=0，∴原方程有2个相等的实数根，故错误，不合题意；B、整理得：x2-x+1=0，△＜0，∴原方程没有实数根，故错误，不合题意；
C、整理得：x2-2x+1=0，△=0，∴原方程有2个相等的实数根，故错误，不合题意；
D、整理得：x2-ax+1=0，△＞0，∴原方程有2个b不相等的实数根，故正确，符合题意．故选D．
点评：考查方程的实数根的问题；用到的知识点为：一元二次方程根的判别式大于0，方程有2个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有2个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．
9.（重庆江津区）已知关于x的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A、a＜2 B、a＞2 C、a＜2且a≠l D、a＜﹣2
考点：根的判别式。
分析：利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出a的取值范围．
解答：△＝4﹣4（a﹣1）＝8﹣4a＞0，得：a＜2．又a﹣1≠0，∴a＜2且a≠1．故选C．
点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两不等的实数根，得到判别式大于零，求出a的取值范围，同时方程是一元二次方程，二次项系数不为零．
10.（湖北荆州）关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，则a的值是（ ）
A、1 B、-1 C、1或-1 D、2考点：根与系数的关系；根的判别式．
分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=- ba，x1x2= ca，整理原式即可得出关于a的方程求出即可．
解答：依题意△＞0，即（3a+1）2-8a（a+1）＞0，即a2-2a+1＞0，（a-1）2＞0，a≠1，∵关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，∴x1-x1x2+x2=1-a，∴x1+x2-x1x2=1-a，∴3a+1a- 2a+2a=1-a，解得：a=±1，又a≠1，∴a=-1．故选：B．
点评：此题主要考查了根与系数的关系，由x1-x1x2+x2=1-a，得出x1+x2-x1x2=1-a是解决问题的关键．
11.（青海）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是（ ）
A、k≥4 B、k≤4C、k＞4 D、k=4
考点：根的判别式；解一元一次不等式。
分析：根据方程解的情况和根的判别式得到b2﹣4ac≥0，求出即可．
解答：∵关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，∴b2﹣4ac=42﹣4×1×k≥0，解得：k≤4，故选B．
点评：本题主要考查对根的判别式，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能熟练地运用根的判别式进行计算是解此题的关键．
12.（山东省威海市）关于x的一元二次方程x2+（m–2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A、0 B、8 C、4±2D、0或8
考点：根的判别式．
分析：根据一元二次方程根的判别式的意义，由程x2+（m–2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则有△=0，得到关于m的方程，解方程即可．
解答：∵一元二次方程x2+（m–2）x+m+1=0有两个相等的实数根，∴△=0，即（m–2）2–4×1×（m+1）=0，解方程得m1=0，m2=8．故选D．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2–4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
13.（山东省潍坊）关千x的方程的根的情况描述正确的是( )．
A．k为任何实数．方程都没有实数根
B，k为任何实数．方程都有两个不相等的实数根
C．k为任何实数．方程都有两个相等的实数根
D．根据k的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
考点：根的判别式．
分析：本题需先求出方程的根的判别式的值，然后得出判别式大于0，从而得出答案．
解答：∵关于x的方程x2+2kx+k-1=0中，△=（2k）2-4×（k-1）=4k2-4k+4=（2k-1）2+3＞0∴k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根故选B．
点评：本题主要考查了根的判别式的概念，在解题时要能对根的判别式进行整理变形是本题的关键．
14.（成都）已知关于x的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0（m≠0）有两个实数根，则下列关于判别式n2－4mk的判断正确的是（ ）
A．n2－4mk＜0 B．n2－4mk＝0 C．n2－4mk＞0 D．n2－4mk≥0
考点：根的判别式。
分析：根据一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，（a≠0）根的判别式△＝b2－4ac直接得到答案．
解答：∵关于x的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0（m≠0）有两个实数根，∴△＝n2－4mk≥0，故选D．
点评：本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，（a≠0）根的判别式△＝b2－4ac：当△＞0，原方程有两个不相等的实数根；当△＝0，原方程有两个相等的实数根；当△＜0，原方程没有实数根．
15.（包头）一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（ ）
A、有两个不等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定
考点：根的判别式。
分析：先计算△=b2﹣4ac，然后根据△的意义进行判断根的情况．
解答：∵△=b2﹣4ac=12﹣4•1•=0，∴原方程有两个相等的实数根．故选B．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的根判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
16.（福建福州）一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根
考点：根的判别式；解一元二次方程-因式分解法．
分析：先把原方程变形为：x2﹣2x=0，然后计算△，得到△=4＞0，根据△的含义即可判断方程根的情况．
解答：原方程变形为：x2﹣2x=0，∵△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选A．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0，（a≠0）根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，原方程有两个不相等的实数根；当△=0，原方程有两个相等的实数根；当△＜0，原方程没有实数根．
17.（南通）若3是关于方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A、﹣2 B、2 C、﹣5 D、5
考点：根与系数的关系。
分析：由根与系数的关系，即3加另一个根等于5，计算得．
解答：由根与系数的关系，设另一个根为x，则3+x=5，即x=2．故选B．
点评：本题考查了根与系数的关系，从两根之和出发计算得．
18.（南昌）已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A.1B.2 C.﹣2D.﹣1
考点：根与系数的关系.
分析：根据根与系数的关系得出x1x2==﹣2，即可得出另一根的值．
解答：∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，∴x1x2==﹣2，∴1×x2=﹣2，则方程的另一个根是：﹣2，故选C．
点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．
19.（湖北荆州）关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，则a的值是（ ）
A、1 B、-1 C、1或-1 D、2考点：根与系数的关系；根的判别式．
分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=- ba，x1x2= ca，整理原式即可得出关于a的方程求出即可．
解答：依题意△＞0，即（3a+1）2-8a（a+1）＞0，即a2-2a+1＞0，（a-1）2＞0，a≠1，∵关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，∴x1-x1x2+x2=1-a，∴x1+x2-x1x2=1-a，∴3a+1a- 2a+2a=1-a，解得：a=±1，又a≠1，∴a=-1．故选：B．
点评：此题主要考查了根与系数的关系，由x1-x1x2+x2=1-a，得出x1+x2-x1x2=1-a是解决问题的关键．
20.（湖北咸宁）若关于x的方程x2﹣2x+m=0的一个根为﹣1，则另一个根为（ ）
A、﹣3 B、﹣1C、1 D、3
考点：根与系数的关系。
分析：设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+（﹣1）=2，解此方程即可．
解答：设方程另一个根为x1，∴x1+（﹣1）=2，解得x1=3．故选D．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，
x1•x2=．
21.（贵港）若关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的一个根为﹣1，则另一个根为（ ）
A、1 B、﹣1C、2 D、﹣2
考点：根与系数的关系。
分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．
解答：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的两个根，∴由韦达定理，得x1•x2=﹣2，即﹣x2=﹣2，解得，x2=2．即方程的另一个根是2．故选C．
点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．
22.（四川省绵阳市）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（ ）
A、x1＜x2＜a＜b B、x1＜a＜x2＜b C、x1＜a＜b＜x2 D、a＜x1＜b＜x2
考点：抛物线与x轴的交点．
分析：因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x-a）（x-b）=1，再有已知条件x1＜x2、a＜b可得到x1，x2，a，b的大小关系．
解答：∵x1和x2为方程的两根，∴（x1-a）（x1-b）=1且（x2-a）（x2-b）=1，∴（x1-a）和（x1-b）同号且（x2-a）和（x2-b）同号；∵x1＜x2，∴（x1-a）和（x1-b）同为负号而（x2-a）和（x2-b）同为正号，可得：x1-a＜0且x1-b＜0，x1＜a且x1＜b，∴x1＜a，∴x2-a＞0且x2-b＞0，∴x2＞a且x2＞b，∴x2＞b，
∴综上可知a，b，x1，x2的大小关系为：x1＜a＜b＜x2．故选C．
点评：本题考查了一元二次方程根的情况，若x1和x2为方程的两根则代入一定满足方程，对于此题要掌握同号两数相乘为正；异号两数相乘为负．
23.（江西省）已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A.1 B.2 C.-2 D.-1
考点：根与系数的关系．
分析：根据根与系数的关系得出x1x2=-2，即可得出另一根的值．
解答：∵x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，∴x1x2=-2，∴1×x2=-2，则方程的另一个根是：-2，故选C．
点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．
24.（湖北武汉）若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两个根，则x1•x2的值是（ ）
A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3
考点：根与系数的关系。
分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=解答并作出选择．
解答：∵一元二次方程x2+4x+3=0的二次项系数a=1，常数项c=3，∴x1•x2==3．故选B．
点评：此题主要考查了根与系数的关系．解答此题时，注意，一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=中的a与c的意义．
25.（泰州）一元二次方程x2=2x的根是（ ）
A、x=2 B、x=0 C、x1=0，x2=2 D、x1=0，x2=﹣2
考点：解一元二次方程-因式分解法。
分析：利用因式分解法即可将原方程变为x（x﹣2）=0，即可得x=0或x﹣2=0，则求得原方程的根．
解答：∵x2=2x，∴x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，∴x=0或x﹣2=0，∴一元二次方程x2=2x的根x1=0，x2=2．故选C．
点评：此题考查了因式分解法解一元二次方程．题目比较简单，解题需细心．
26.（湖北荆州）将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（ ）
A、（x-2）2+3 B、（x+2）2-4 C、（x+2）2-5 D、（x+2）2+4考点：配方法的应用．
分析：根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．
解答：x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=x+22-5，故选C．
点评：本题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值，难度适中．
27.（柳州）方程x2﹣4=0的解是（ ）
A、x=2 B、x=﹣2 C、x=±2 D、x=±4
考点：解一元二次方程-直接开平方法。
分析：方程变形为x2=4，再把方程两边直接开方得到x=±2．
解答：x2=4，∴x=±2．故选C．
点评：本题考查了直接开平方法解一元二次方程：先把方程变形为x2=a（a≥0），再把方程两边直接开方，然后利用二次根式的性质化简得到方程的解．
28.（湘西州）小华在解一元二次方程x2﹣x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（ ）
A、x=4 B、x=3C、x=2 D、x=0
考点：解一元二次方程-因式分解法。
分析：把原方程的左边利用提取公因式的方法变为两个一次因式乘积的形式，根据两因式积为0，两因式中至少有一个为0，得到两个一元一次方程，求出两方程的解即为原方程的解，进而得到被漏掉的根．
解答：x2﹣x=0，提公因式得：x（x﹣1）=0，可化为：x=0或x﹣1=0，解得：x1=0，x2=1，则被漏掉的一个根是0．故选D．
点评：此题考查了解一元二次方程的一种方法：因式分解法．一元二次方程的解法还有：直接开平方法；公式法；配方法等，根据实际情况选择合适的方法．
29.（台湾）若方程式（3x﹣c）2﹣60=0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？（ ）
A、1 B、8C、16 D、61
考点：解一元二次方程-直接开平方法。
分析：利用平方根观念求出x，再根据一元二次方程的两根都为正数，求出c的最小值即可．
解答：（3x﹣c）2﹣60=0（3x﹣c）2=60，3x﹣c=±3x=c±x=，又两根均为正数，且＞7．
所以整数c的最小值为8，故选B．
点评：本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，要根据方程的特点选择适当的方法．
30.（山东淄博）已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则的值为（ ）
A. B. C.﹣1 D.1
考点：分式的化简求值；一元二次方程的解。
分析：先化简，由a是方程x2+x﹣1=0的一个根，得a2+a﹣1=0，则a2+a=1，再整体代入即可．
解答：原式==，∵a是方程x2+x﹣1=0的一个根，∴a2+a﹣1=0，
即a2+a=1，∴原式==1．故选D．
点评：本题考查了分式的化简求值，以及解一元二次方程，是基础知识要熟练掌握．
31.（四川眉山）已知三角形的两边长是方程x2﹣5x+6的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（ ）
A．1＜L＜5 B．2＜L＜6C．5＜L＜9 D．6＜L＜10
考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系。
分析：先利用因式分解法解方程x2﹣5x+6=0，得到x=2或x=3，即三角形的两边长是2和3，再根据三角形三边的关系确定第三边的取值范围，从而得到三角形的周长L的取值范围．
解答：∵x2﹣5x+6=0，∴（x﹣2）（x﹣3）=0，∴x=2或x=3，即三角形的两边长是2和3，
∴第三边a的取值范围是：1＜a＜5，∴该三角形的周长L的取值范围是6＜L＜10．故选D．
点评：本题考查了用因式分解法解一元二次方程的方法：把方程左边分解成两个一次式的乘积，右边为0，从而方程就转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．也考查了三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边．
32．（南充）方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是（ ）
A、2 B、3 C、﹣1，2 D、﹣1，3
考点：解一元二次方程-因式分解法。
分析：先移项得到（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）=0，然后利用提公因式因式分解，再化为两个一元一次方程，解方程即可．
解答：（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）=0，∴（x+1）（x﹣2﹣1）=0，即（x+1）（x﹣3）=0，∴x+1=0，或x﹣3=0，
∴x1=﹣1，x2=3．故选D．
点评：本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．
33.（黔南）分三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）
A、11 B、13 C、11或13 D、不能确定
考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系。
分析：先用因式分解求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长，计算出三角形的周长．
解答：（x﹣2）（x﹣4）=0，x﹣2=0或x﹣4=0，∴x1=2，x2=4．
因为三角形两边的长分别为3和6，所以第三边的长为4，周长=3+6+4=13．故选B．
点评：本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，先求出方程的根，再根据三角形三边的关系确定第三边的长，然后求出三角形的周长．
34.（湖南省湘潭市）一元二次方程（x-3）（x-5）=0的两根分别为（ ）
A、3，-5 B、-3，-5 C、-3，5 D、3，5
考点：解一元二次方程-因式分解法．
分析：由（x-3）（x-5）=0得，两个一元一次方程，从而得出x的值．
解答：∵（x-3）（x-5）=0，∴x-3=0或x-5=0，解得x1=3，x2=5．故选D．
点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
35.（辽宁本溪）一元二次方程的根（）
A．B．C．D．
考点：解一元二次方程-配方法。
分析：运用配方法，将原方程左边写出完全平方式即可．
解答：原方程左边配方，得，∴故选D．
点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
36.一元二次方程x（x-2）=2-x的根是（ ）
A、-1B、2C、1和2D、-1和2
考点：解一元二次方程-因式分解法．
分析：先移项得到x（x-2）+（x-2）=0，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可．
解答：x（x-2）+（x-2）=0，∴（x-2）（x+1）=0，∴x-2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=-1．故选D．
点评：本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．
37.（福建福州）一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根
考点：根的判别式；解一元二次方程-因式分解法．
分析：先把原方程变形为：x2﹣2x=0，然后计算△，得到△=4＞0，根据△的含义即可判断方程根的情况．
解答：原方程变形为：x2﹣2x=0，∵△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选A．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0，（a≠0）根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，原方程有两个不相等的实数根；当△=0，原方程有两个相等的实数根；当△＜0，原方程没有实数根．
38.（福建龙岩）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=33﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是（ ）
A.﹣4或﹣1 B.4或﹣1C.4或﹣2 D.﹣4或2
考点：解一元二次方程-因式分解法.
分析：根据新定义a★b=a2﹣3a+b，将方程x★2=6转化为一元二次方程求解．
解答：依题意，原方程化为x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0，分解因式（x+1）（x﹣4）=0，解得x1=﹣1，x2=4．故选B．
点评：本题考查了因式分解法解一元二次方程．根据新定义，将方程化为一般式，将方程左边因式分解，得出两个一次方程求解．
39.（甘肃兰州）用配方法解方程时，原方程应变形为（）
A． B． C． D．
考点：解一元二次方程-配方法．
分析：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解答：由原方程，得x2-2x=5，方程的两边同时加上一次项系数-2的一半的平方1，得x2-2x+1=6∴（x-1）2=6．故选C．
点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
40.（广西百色）关于x的方程x2+mx﹣2m2=0的一个根为1，则m的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或﹣
考点：一元二次方程的解．
分析：根据关于x的方程x2+mx﹣2m2=0的一个根为1，可将x=1代入方程，即可得到关于m的方程，解方程即可求出m值．
解答：把x=1代入方程得1+m﹣2m2=0，∴2m2﹣m﹣1=0，m=，解得：m=1或﹣．故选：D．
点评：此主要考查了方程的解的意义和一元二次方程的解法．熟练运用公式法求得一元二次方程的解是解决问题的关键．
41.（恩施州）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）
+3=0的解为（ ）
A、x1=1，x2=3 B、x1=﹣2，x2=3 C、x1=﹣3，x2=﹣1 D、x1=﹣1，x2=﹣2
考点：换元法解一元二次方程。
分析：首先根据题意可以设y=2x+5，方程可以变为 y2﹣4y+3=0，然后解关于y的一元二次方程，接着就可以求出x．
解答：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，设y=2x+5，方程可以变为 y2﹣4y+3=0，∴y1=1，y2=3，
当y=1时，即2x+5=1，解得x=﹣2；当y=3时，即2x+5=3，解得x=﹣1，
所以原方程的解为：x1=﹣2，x2=﹣1．故选D．
点评：此题主要考查了利用换元法解一元二次方程，解题的关键是利用换元法简化方程，然后利用一元二次方程的解法解决问题．
42.（浙江嘉兴）方程x（x﹣1）=0的解是（ ）
A．x=0B．x=1C．x=0或x=1D．x=0或x=﹣1
考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元一次方程．
分析：一元二次方程转化成两个一元一次方程x=0或x﹣1=0，求出方程的解即可．
解答：x（x﹣1）=0，x=0或x﹣1=0，x1=0 或x2=1，故选C．
点评：本题主要考查对解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
43.（浙江舟山）方程x（x－1）＝0的解是（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝0或x＝1 D．x＝0或x＝－1
考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元一次方程。
分析：一元二次方程转化成两个一元一次方程x＝0或x－1＝0，求出方程的解即可．
解答：x（x－1）＝0，x＝0或x－1＝0，x1＝0 或x2＝1，故选C．
点评：本题主要考查对解一元二次方程－因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
44.（四川凉山）某品牌服装原价173元，连续两次降价后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（）
A． B．
C． D．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
分析：根据降价后的价格＝原价（1－降低的百分率），本题可先用173（1－x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
解答：当商品第一次降价x%时，其售价为173－173x%＝173（1－x%）；当商品第二次降价x%后，其售价为173（1－x%）－173（1－x%）x%＝173（1－x%）2．∴173（1－x%）2＝127．故选C．
点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于127即可．
45.（台湾）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分（ ）
A、11 B、12C、13 D、14
考点：一元二次方程的应用。
分析：可设方格纸的边长是x，灰色三角形的面积等于方格纸的面积减去周围三个直角三角形的面积，列出方程可求解．
解答：方格纸的边长是x，，x2﹣•x•x﹣•x•x﹣•x•x=
x2=12．所以方格纸的面积是12，故选B．
点评：本题考查识图能力，关键看到灰色三角形的面积等于正方形方格纸的面积减去周围三个三角形的面积得解．
46.（甘肃兰州）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（）
A． B．C．D．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
分析：根据题意得：每人要赠送x-1张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．
解答：根据题意得：每人要赠送x-1张相片，有x个人，∴全班共送：（x-1）x=2070，故选：A．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x-1张相片，有x个人是解决问题的关键．
47.（贵州毕节）广州亚运会期间，某纪念品原价168元，连续两次降价后售价为128元，下列所列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。专题：增长率问题。
分析：本题可先用168（1﹣a%）表示第一次降价后某纪念品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于a的方程．
解答：当某纪念品第一次降价a%时，其售价为168﹣168a%=168（1﹣a%）；当某纪念品第二次降价a%后，
其售价为168（1﹣a%）﹣168（1﹣a%）a%=168（1﹣a%）2．∴168（1﹣a%）2=128．故选B．
点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于128即可．
48.（广西百色）某工厂今年元月份的产量是50万元，3月份的产值达到了72万元．若求2、3
月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x，依题意可列方程（ ）
A．72（x+1）2=50 B．50（x+1）2=72 C．50（x﹣1）2=72 D．72（x﹣1）2=50
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
分析：根据这两个月的产值平均月增长率为x，则2月份的产值是50（1+x），3月份的产值是50（1+x）（1+x），从而列方程即可．
解答：根据题意，得50（x+1）2=72．故选B．
点评：此题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，此题中的等量关系是3月份的产值达到了72万元．
49.（湖北黄石）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线．则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
考点：一元二次方程的应用。
分析：这是个规律性题目，关键是找到不在同一直线上的n个点，可以确定多少条直线这个规律，当有n个点时，就有，从而可得出n的值．
解答：设有n个点时，=21，n=7或n=﹣6（舍去）．故选C．
点评：本题是个规律性题目，关键知道当不在同一平面上的n个点时，可确定多少条直线，代入21可求出解．
50.（云南保山）据调查，某市2011年的房价为4000元/m2，预计2013年将达到4840元/m2，求这两年的年平均增长率.设年平均增长率为x，根据题意，所列方程为（）
A．4000(1+x)=4840 B．4000(1+x)2=4840C．4000(1-x)=4840 D．4000(1-x)2=4840
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
分析：根据下一年的房价等于上一年的房价乘以（1+x），可以列出2013年的房价，而预计2013年将达到4840元/m2，故可得到一个一元二次方程．
解答：设年平均增长率为x，那么2012年的房价为：4000（1+x），2013年的房价为：4000（1+x）2=4840．故选B．
点评：本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程：解决实际问题时，要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
二、填空题
1.（江苏镇江常州）已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m=，另一个根是．
考点：一元二次方程的解；根与系数的关系．
分析：根据一元二次方程的解定义，将x=2代入关于x的方程x2+mx﹣6=0，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2=﹣解出方程的另一个根．
解答：根据题意，得4+2m﹣6=0，即2m﹣2=0，解得，m=1；
由韦达定理，知x1+x2=﹣m；∴2+x2=﹣1，解得，x2=﹣3．故答案是：1．﹣3．
点评：本题主要考查了一元二次方程的解．根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣．x1•x2=来计算时，要弄清楚a．b．c的意义．
2.（山东滨州）若x=2是关于x的方程的一个根，则a的值为______.
考点：一元二次方程的解．
分析：方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=2代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求得a值．
解答：把x=2代入方程x2-x-a2+5=0得：4-2-a2+5=0，解得：a=±．故答案为：±．
点评：本题主要考查了方程的解得定义，是需要掌握的基本内容．
3.（梧州）一元二次方程x2+5x+6=0的根是．
考点：解一元二次方程-因式分解法；等式的性质；解一元一次方程。
分析：分解因式得到x+2）（x+3）=0，推出x+2=0，x+3=0，求出方程的解即可．
解答：x2+5x+6=0，分解因式得：（x+2）（x+3）=0，即x+2=0，x+3=0，解方程得：x1=﹣2，x2=﹣3．
故答案为：x1=﹣2，x2=﹣3．
点评：本题主要考查对等式的性质，解一元一次方程，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
4.（甘肃兰州）关于x的方程的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程的解是.
考点：一元二次方程的解.
分析：直接由向左平移加，向右平移减可得出x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1．
解答：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1．故答案为：x1=﹣4，x2=﹣1．
点评：此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
5.（江苏徐州）若方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，则k=．
考点：根的判别式。
分析：根据根判别式△=b2﹣4ac的意义得到△=0，即k2﹣4×1×9=0，然后解方程即可．
解答：∵方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，∴△=0，即k2﹣4•1•9=0，解得k=±6．故答案为±6．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的根判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
6.如果关于x的方程x2-2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根，那么m=．
考点：根的判别式．
分析：本题需先根据已知条件列出关于m的等式，即可求出m的值．
解答：∵x的方程x2-2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根，∴（-2）2-4×1•m=0，4-4m=0，m=1，故答案为：1
点评：本题主要考查了根的判别式，在解题时要注意对根的判别式进行灵活应用是本题的关键．
7.（新疆建设兵团）若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有实数根，则a的取值范围是．
考点：根的判别式．
分析：在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
（1）二次项系数不为零；
（2）在有实数根下必须满足△＝b2﹣4ac≥0．
解答：因为关于x的一元二次方程有实根，所以△＝b2﹣4ac＝4﹣4a≥0，解之得a≤1．故答案为a≤1．
点评：本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
8.如果方程x2+2x+a=0有两个相等的实数根，则实数a的值为．
考点：根的判别式．
分析：由于方程x2+2x+a=0有两个相等的实数根，由此得到方程的判别式为0，由此可以得到关于a的方程，解方程即可求解．
解答：∵方程x2+2x+a=0有两个相等的实数根，∴△=22-4a=0，∴a=1．故答案为：1．
点评：此题主要考查了一元二次方程的判别式，利用方程的判别式与一元二次方程的根的关系得到关于a的方程是解题的关键．
9.（江苏苏州）巳知a、b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根，则代数式（a-b）（a+b-2）+ab的值等于____．
考点：根与系数的关系．
分析：欲求（a-b）（a+b-2）+ab的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
解答：∵a、b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根，∴ab=-1，a+b=2，
∴（a-b）（a+b-2）+ab=（a-b）（2-2）+ab=0+ab=-1，故答案为：-1．
点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
10.（江苏镇江常州）已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m=，另一个根是．
考点：一元二次方程的解；根与系数的关系．
分析：根据一元二次方程的解定义，将x=2代入关于x的方程x2+mx﹣6=0，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2=﹣解出方程的另一个根．
解答：根据题意，得4+2m﹣6=0，即2m﹣2=0，解得，m=1；由韦达定理，知x1+x2=﹣m；∴2+x2=﹣1，解得，x2=﹣3．故答案是：1．﹣3．
点评：本题主要考查了一元二次方程的解．根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣．x1•x2=来计算时，要弄清楚a．b．c的意义．
11.（山东日照）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是．
考点：根与系数的关系；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。
分析：连接AD，BD，OD，由AB为直径与四边形DCFE是正方形，即可证得△ACD∽△DCB，则可求得AC•BC=DC2=1，又由勾股定理求得AB的值，即可得AC+BC=AB，根据根与系数的关系即可求得答案．注意此题答案不唯一．
解答：连接AD，BD，OD，
∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵四边形DCFE是正方形，∴DC⊥AB，∴∠ACD=∠DCB=90°，
∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°，∴∠A=∠CDB，∴△ACD∽△DCB，∴，
又∵正方形CDEF的边长为1，∵AC•BC=DC2=1，∵AC+BC=AB，
在Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2，∴OD=，∴AC+BC=AB=，
以AC和BC的长为两根的一元二次方程是x2﹣x+1=0．故答案为：此题答案不唯一，如：x2﹣x+1=0．
点评：此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用．
12.（德州）若x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，则x12+x22=．
考点：根与系数的关系。
分析：先根据根与系数的关系求出x1+x2和x1•x2的值，再利用完全平方公式对所求代数式变形，然后把x1+x2和x1•x2的值整体代入计算即可．
解答：∵x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，∴x1+x2=﹣=﹣1，x1•x2==﹣1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=1+2=3．故答案是：3．
点评：本题考查了根与系数的关系、完全平方公式．解题的关键是先求出x1+x2和x1•x2的值．
13.（四川眉山）已知一元二次方程y2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1、y2，则（y1﹣1）（y2﹣1）的值为．
考点：根与系数的关系。
分析：先根据一元二次方程y2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1、y2，求出y1+y2及y1•y2的值，再代入（y1﹣1）（y2﹣1）进行计算即可．
解答：∵一元二次方程y2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1．y2，∴y1+y2=3，y1•y2=1，
∴（y1﹣1）（y2﹣1）=y1y2﹣y1﹣y2+1=y1y2﹣（y1+y2）+1=1﹣3+1=﹣1．故答案为：﹣1．
点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
14.（四川泸州）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为．
考点：根与系数的关系；解一元二次方程，因式分解法；根的判别式．
分析：由题意设方程x2+（2k+1）x+k2-2=0两根为x1，x2，得x1+x2=-（2k+1），x1•x2=k2-2，然后再根据两实根的平方和等于11，从而解出k值．
解答：设方程两根为x1，x2，得x1+x2=－（2k+1），x1•x2=k2-2，
△=（2k+1）2-4×（k2-2）=4k+9＞0，∴k＞－，
∵x12+x22=11，∴（x1+x2）2－2 x1•x2=11，∴（2k+1）2－2（k2－2）=11，
解得k=1或－3；∵k＞－，故答案为k=1．
点评：此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．
15.（四川遂宁）若x1、x2是方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则x12+x1x2+x22=．
考点：根与系数的关系。
分析：由于方程x2﹣2x﹣5=0的两个实数根为x1，x2，所以直接利用根与系数的关系即可得到两根之和和两根之积，然后利用完全平方公式就可以求出x12+x1x2+x22的值．
解答：∵x1、x2是方程x2-2x-5=0两根，∴x1+x2=2，x1•x2=﹣5， x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2=4+5=9．故答案为9．
点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
16.（四川省宜宾市）已知一元二次方程x2–6x–5=0两根为a、b，则+的值是
考点：根与系数的关系．
分析：根据根与系数的关系，得到a+b=6，ab=-5，把a+b和ab的值代入化简后的代数式，求出代数式的值．
答案：∵a，b是一元二次方程的两根，∴a+b=6，ab=-5，+ = = =- ．故答案是：- ．
点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求出代数式的值．
17．（杭州）已知分式，当x=2时，分式无意义，则a=；当a＜6时，使分式无意义的x的值共有个．
考点：分式有意义的条件；根与系数的关系．
分析：根据分式无意义的条件：分母等于零求解．
解答：由题意，知当x=2时，分式无意义，∴分母=x2-5x+a=22-5×2+a=-6+a=0，∴a=6；当x2-5x+a=0时，△=52-4a=25-4a，∵a＜6，∴△＞0，∴方程x2-5x+a=0有两个不相等的实数根，即x有两个不同的值使分式无意义．故当a＜6时，使分式无意义的x的值共有2个．故答案为6，2．
点评：本题主要考查了分式无意义的条件及一元二次方程根与系数的关系．（2）中要求当a＜6时，使分式无意义的x的值的个数，就是判别当a＜6时，一元二次方程x2-5x+a=0的根的情况．
18.（广西来宾）已知一元二次方程的两个实数根分别是。则=
考点：根与系数的关系。
分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=即可得到答案．
解答：∵一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1•x2==﹣2．故答案为﹣2．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
19.（江苏淮安）一元二次方程x2-4=0的解是.
考点：解一元二次方程-直接开平方法。
分析：式子x2﹣4=0先移项，变成x2=4，从而把问题转化为求4的平方根．
解答：移项得x2=4，∴x=±2．故答案是：x=±2．
点评：本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
20.（江苏南京）解方程x2﹣4x+1=0．
考点：解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法。
分析：将原方程转化为完全平方的形式，利用配方法解答或利用公式法解答．
解答：（1）移项得，x2﹣4x=﹣1，配方x2﹣4x+4=﹣1+4，（x﹣2）2=3，由此可得x﹣2=±，x1=2+，x2=2﹣；
（2）a=1，B=﹣4，c=1．B2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×1=12＞0．x==2±，x1=2+，x2=2﹣．
点评：此题考查了解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．
（1）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
（2）选择公式法解一元二次方程时，找准a、B、c的值是关键．
21.（山东济南）方程x2﹣2x=0的解为．
考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元一次方程。
分析：把方程的左边分解因式得x（x﹣2）=0，得到x=0或x﹣2=0，求出方程的解即可．
解答：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0或x﹣2=0，x1=0 或x2=2．
点评：本题主要考查对解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
22.（泰安）方程2x2＋5x－3＝0的解是___________．
考点：解一元二次方程-因式分解法。
分析：先把方程化为（x＋3）（x－）＝0的形式，再求出x的值即可．
解答：原方程可化为：（x＋3）（x－）＝0，故x1＝－3，x2＝．故答案为：，
点评：本题考查的是解一元二次方程的因式分解法，能把原方程化为两个因式积的形式是解答此题的关键．
23.（山东淄博）方程x2﹣2=0的根是．
考点：解一元二次方程-直接开平方法。
分析：这个式子先移项，变成x2=2，从而把问题转化为求2的平方根，直接得出答案即可．
解答：移项得x2=2，∴x=．故答案为：．
点评：此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
24.（四川达州）已知关于x的方程x2﹣mx+n=0的两个根是0和﹣3，则m=，n=．
考点：一元二次方程的解。
分析：根据一元二次方程的解的定义，列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可．
解答：根据题意，得，解得，．故答案是：﹣3、0．
点评：本题主要考查了一元二次方程的解．一元二次方程的解都适合方程的解析式．
25.（浙江衢州）方程x2﹣2x=0的解为．
考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元一次方程。
分析：把方程的左边分解因式得x（x﹣2）=0，得到x=0或x﹣2=0，求出方程的解即可．
解答：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0或x﹣2=0，x1=0 或x2=2．
点评：本题主要考查对解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
26.（黑龙江省黑河）一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为 a1=，a2=．
考点：解一元二次方程-公式法。
分析：用公式法直接求解即可．
解答：a===2±，∴a1=2+，a2=2﹣，故答案为a1=2+，a2=2﹣．
点评：本题考查了用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
27.（宁夏）某商场在促销活动中，将原价36元的商品，连续两次降价m%后现价为25元．根据题意可列方程为．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
分析：等量关系为：原价×（1﹣降低率）2=25，把相关数值代入即可．
解答：第一次降价后的价格为36×（1﹣m%），
第二次降价后的价格为36×（1﹣m%）×（1﹣m%）=36×（1﹣m%）2，
∴列的方程为36（1﹣m%）2=25．故答案为：36（1﹣m%）2=25．
点评：本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
28.（山西）“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的主要动力．2010年全省全年旅游总收入大约1000亿元，如果到2012年全省全年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为__________．
考点：一元二次方程
分析：设年平均增长率应为x，根据题意列方程，解得，检验即可．
解答：20%
点评：增长率的基本关系式：，其中a为原有量，b为现有量，n为增长的次数，x为增长率．
29.某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 20%．
考点：一元二次方程的应用．
分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．
解答：设这个增长率是x，根据题意得：2000×（1+x）2=2880解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）故答案为：20%．
点评：本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．
30.（青海）某种药品原价为100元，经过连续两次的降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价后的百分率是．
考点：一元二次方程的应用。
分析：此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1﹣x）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1﹣x）（1﹣x），即100（1﹣x）2元，从而列出方程，求出答案．
解答：设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1﹣x）2元．
根据题意，得100（1﹣x）2=64，即（1﹣x）2=0.64，解得x1=1.8，x2=0.2．因为x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故答案为：20%．
点评：考查了一元二次方程的应用，此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍．
31.（山东省潍坊）已知线段AB的长为．以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E．以AE为边在AB的上方作正方形AKNM．过E作EF⊥CD．垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等．则AE的长为________________．
考点：一元二次方程的应用．
分析：本题需先设出AE的长，从而得出BE的长，再根据题意列出方程，求出x的值即可得出AE的长．
解答：设AE的长为x，则BE的长为a-x，根据题意得：x2=（a-x）•a，解得：x= ，故答案为：．
点评：本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件和图形列出方程是本题的关键．
32.（四川省宜宾市）某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元，则该城市两年最低生活保障的平均年增长率是.
考点：一元二次方程的应用．
分析：设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是 x，根据最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元，可列出方程求解．
答案：设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是 x，240（1+x）2=345.6，1+x=±1.2，x=20%或x=-220%（舍去）．故答案为：20%．
点评：本题考查的是增长率问题，关键清楚增长前为240元，两年变化后为345.6元，从而求出解．
33.（江苏宿迁）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是m（可利用的围墙长度超过6m）．
考点：一元二次方程的应用。
分析：设垂直墙的篱笆的长为x，那么平行墙的篱笆长为（6﹣2x），（6﹣2x）和x就是鸡场的长和宽．然后用面积做等量关系可列方程求解．
解答：设AB长为x米，则BC长为（6﹣2x）米．依题意，得x（6﹣2x）=4．整理，得x2﹣3x+2=0．解方程，得x1=1，x2=2．（3分）所以当x=1时，6﹣2x=4；当x=2时，6﹣2x=2（不符合题意，舍去）．故答案为：1．
点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．本题是用6米的篱笆围成三个边．
34.某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到299元．若两次降价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
分析：设家用电器平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1-x），第二次后的价格是100（1-x）2，据此即可列方程求解．
解答：设降价的百分率为x，根据题意列方程得350×（1-x）2=299．故答案为：350×（1-x）2=299．
点评：考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
35.（天水）如图（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为xm，从图（2）的思考方式出发列出的方程是．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
分析：设宽为xm，从图（2）可看出剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而根据面积可列出方程．
解答：设宽为xm，（32﹣2x）（20﹣x）=570．故答案为：（32﹣2x）（20﹣x）=570．
点评：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键根据图可知道剩下的耕地为矩形，且能表示出长和宽，根据面积可列方程．
三、解答题
1.（郴州）当t取什么值时，关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0有两个相等的实数根？
考点：根的判别式。
分析：根据一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac=0列出关于t的一元二次方程，然后解方程即可．
解答：∵一元二次方程2x2+tx+2=0的二次项系数a=2，一次项系数b=t，常数项c=2，∴△=t2﹣4×2×2=t2﹣16=0，
解得，t=±4，∴当t=4或t=﹣4时，原方程有两个相等的实数根．
点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根；△=b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．
2.（南充）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．
（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．
考点：根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式组。
分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；
（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2﹣x1x2＜﹣1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．
解答：（1）∵方程有实数根，∴△=22﹣4（k+1）≥0，解得k≤0．故K的取值范围是k≤0．
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1，x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）．
由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．又由（1）k≤0，∴﹣2＜k≤0．∵k为整数，∴k的值为﹣1和0．
点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0．
3.（福建厦门）已知关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；（2）若n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．
考点：根的判别式。
分析：（1）关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于n的不等式，从而求得n的范围；
（2）利用配方法解方程，然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值．
解答：（1）∵于x的方程x2﹣2x﹣2n=0的二次项系数a=1、一次项系数b=﹣2、常数项c=﹣2n，∴△=b2-4ac=4+8n＞0，
解得，n＞﹣；
（2）由原方程，得（x﹣1）2=2n+1，∴x=1±；
∵方程的两个实数根都是整数，且n＜5，∴0＜2n+1＜11，且2n+1是完全平方形式，
∴2n+1=1，2n+1=4或2n+1=9，解得，n=0，n=1.5或n=4．
点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0方程没有实数根．
4.（湖北潜江）若关于x的一元二次方程x2—4x＋k—3＝0的两个实数根为x1、x2，且满足x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．
考点：根与系数的关系。
分析：根据根与系数的关系（x1＋x2＝—，x1•x2＝）列出等式，再由已知条件“x1＝3x2”联立组成三元一次方程组，然后解方程组即可．
解答：由根与系数的关系，得
x1＋x2＝4 ①，
x1•x2＝k—3 ②（2分）
又∵x1＝3x2 ③，
联立①、③，解方程组得（4分）
∴k＝x1·x2＋3＝3×1＋3＝6（5分）
答：方程两根为x1＝3，x2＝1；k＝6．（6分）
点评：此题主要考查了根与系数的关系：x1＋x2＝—，x1•x2＝．解答此题时，一定要弄清楚韦达定理中的a、b、c的意义．
5.（湖南张家界）阅读材料：如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么，，．这就是著名的韦达定理．现在我们利用韦达定理解决问题：
已知m与n是方程2x2﹣6x+3=0的两根
（1）填空：m+n=，m•n=；
（2）计算的值．
考点：根与系数的关系。
分析：（1）直接根据韦达定理计算即可得到m+n和mn；
（2）先把变形，用m+n和mn表示，然后把（1）的值整体代入进行计算即可．
解答：（1）答案为3，．（2）==2．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则，．
6.（湖北孝感）已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；（2）若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．
考点：根与系数的关系；根的判别式。
分析：（1）方程有两个实数根，可得△=b2﹣4ac≥0，代入可解出k的取值范围；
（2）结合（1）中k的取值范围，由题意可知，x1+x2=2（k﹣1）＜0，去绝对值号结合等式关系，可得出k的值．
解答：（1）由方程有两个实数根，可得△=b2﹣4ac=4（k﹣1）2﹣4k2≥0，解得，k≤；
（2）依据题意可得，x1+x2=2（k﹣1），由（1）可知k≤，∴2（k﹣1）＜0，∴﹣2（k﹣1）=k2﹣1，
解得k1=1（舍去），k2=﹣3，∴k的值是﹣3．
答：（1）k的取值范围是k≤；（2）k的值是﹣3．
点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解题是一种经常使用的解题方法；注意k的取值范围是正确解答的关键．
7.（玉林）已知：x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1的两个实数根．求：（x1+x2）2÷（）的值．
考点：根与系数的关系。
分析：先根据一元二次方程根与系数的关系确定出x1与x2的两根之积与两根之和的值，再根据=即可解答．
解答：∵一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根是x1、x2，∴x1+x2=4，x1•x2=1，
∴（x1+x2）2÷（）=42÷=42÷4=4．
点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一道基础题型．
8.（贵州遵义）有四张卡片（背面完全相同），分别写有数字1、2、－1、－2，把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母b、c分别表示甲、乙两同学抽出的数字。
（1）用列表法求关于的方程有实数解的概率；
（2）求（1）中方程有两个相等实数解的概率。
考点：列表法与树状图法；根的判别式．
分析：（1）根据题意列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与关于x的方程x2+bx+c=0有实数解的情况数，根据即可概率公式求解；
（2）首先求得（1）中方程有两个相等实数解的情况，然后即可根据概率公式求解．
解答：（1）列表得：
（1，-2）
（2，-2）
（-1，-2）
（-2，-2）
（1，-1）
（2，-1）
（-1，-1）
（-2，-1）
（1，2）
（2，2）
（-1，2）
（-2，2）
（1，1）
（2，1）
（-1，1）
（-2，1）
∴一共有16种等可能的结果，∵关于x的方程x2+bx+c=0有实数解，即 b2-4c≥0，∴关于x的方程x2+bx+c=0有实数解的有（1，-1），（1，-2），（2，1），（2，-1），（2，-2），（-1，-1），（-1，-2），（-2，1），（-2，-1），（-2，-2）共10种情况，∴关于x的方程x2+bx+c=0有实数解的概率为： =；（2）（1）中方程有两个相等实数解的有（-2，1），（2，1），∴（1）中方程有两个相等实数解的概率为：= ．
点评：此题考查了列表法求概率与一元二次方程根的情况的判定．注意△＞0，有两个不相等的实数根，△=0，有两个相等的实数根，△＜0，没有实数根．
9.（广西防城港）已知：x1、x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根．求（x1＋x2）2÷的值．
考点：一元二次方程的根与系数的关系
分析：先根据一元二次方程根与系数关系，确定出x1与x2的两根之积与两根之和的值，再根据即可解答．
解答：∵一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根是x1、x2，∴x1＋x2＝4，x1•x2＝1
∴（x1＋x2）2÷＝42÷＝42÷＝16÷4＝4．
点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一道基础题型．
10.（湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田）若关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且满足，试求出方程的两个实数根及k的值.
考点：根与系数的关系．
分析：根据根与系数的关系（x1+x2=- ，x1•x2= ）列出等式，再由已知条件“x1=3x2”联立组成三元一次方程组，然后解方程组即可．
答案：由根与系数的关系得:①，②，又∵③，联立①、③，解方程组得
∴答：方程两根为.
点评：此题主要考查根与系数的关系：x1+x2=- ，x1•x2= ．解答此题时，一定要弄清楚韦达定理中的a、b、c的意义．
11.（江苏无锡）（1）解方程：x2+4x﹣2=0；
考点：解一元二次方程-配方法；解一元一次不等式组。
分析：（1）利用配方法解方程，在本题中，把常数项﹣2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方．
解答：x2+4x=2，(x+2)2=6，x+2=±6, x=±6-2
点评：此题主要考查了配方法解一元二次方程和解一元一次不等式，解题时要注意解题步骤的准确应用，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
12.（山东烟台）先化简再计算：，其中x是一元二次方程的正数根.
考点：分式的化简求值；一元二次方程的解。
分析：先把原式化为最简形式，再利用公式法求出一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的根，把正根代入原式计算即可．
解答：原式===.
解方程得得，，.
所以原式==（或）.
点评：本题考查的是分式的化简求值及解一元二次方程，解答此题的关键是把原分式化为最简形式，再进行计算．
13.（清远）解方程：x2－4x－1＝0．
考点：解一元二次方程-配方法.
分析：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解答：∵x2－4x－1＝0，∴x2－4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，∴（x－2）2＝5，∴x＝2±，∴x1＝2+，x2＝2－．
点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
14.（湖北武汉）解方程：x2+3x+1=0
考点：解一元二次方程-公式法。
分析：根据方程的特点可直接利用求根公式法比较简便．
解答：a=1，b=3，c=1，∴x==．
点评：本题考查了解一元二次方程的方法，此法适用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c=0（a≠0，且a，b，c都是常数），若b2﹣4ac≥0，则方程的解为x=
15.（江苏镇江常州）某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发出：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1（千克）与x的关系为y1=﹣x2+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2=at2+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：
t
1
2
3
y2
21
44
69
（1）求a．b的值；
（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？
（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？
（说明：毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）
考点：一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
分析：（1）根据表中的数据代入后，y2=at2+bt，得到关于a，b的二元一次方程，从而可求出解．
（2）设干果用n天卖完，根据两个关系式和干果共有1140千克可列方程求解．然后用售价﹣进价，得到利润．
（3）设第m天乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克，从而可列出不等式求解．
解答：（1）根据表中的数据可得，．
（2）甲级干果和乙级干果n天售完这批货．﹣n2+4n+n2+20n=1140，n=19，
当n=19时，y1=399，y2=741，毛利润=399×8+741×6﹣1140×6=798（元）．
（3）设第m天甲级干果的销售量为﹣2m+19．（2m+19）﹣（﹣2m+41）≥6，n≥7；第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克．
点评：本题考查理解题意的能力，关键是根据表格代入数列出二元一次方程方程组求出a和b，确定函数式，然后根据等量关系和不等量关系分别列方程和不等式求解．
16.（山东日照）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．
考点：一元二次方程的应用。
分析：（1）设每年市政府投资的增长率为x．根据到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，列方程求解；
（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果．
解答：（1）设每年市政府投资的增长率为x，（1分），根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，
整理，得：x2+3x﹣1.75=0，（3分），解之，得：x=，∴x1=0.5，x2=﹣3.5（舍去），（5分）
答：每年市政府投资的增长率为50%；（6分）
（2）到2012年底共建廉租房面积=9.5÷=38（万平方米）．（8分）
点评：主要考查了一元二次方程的实际应用，本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率．
17.（四川广安）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
考点：一元二次方程的应用，增长（降低）率问题，方案选择问题．
分析：（1）设平价每次下调的百分率为，则第一次下调后的价格为元，第二次下调是在元的基础上进行的，下调后的价格为元，即，由此可列出一元二次方程求解．
（2）根据题意分别计算两种优惠方案可以优惠的钱数，通过比较大小即可作出判断．
解答：（1）设平均每次下调的百分率x，则6000（1－x）2＝4860．解得：x1＝0.1，x2＝1.9（舍去）．
∴平均每次下调的百分率10%．
（2）方案①可优惠：4860×100×（1－0.98）＝9720元，方案②可优惠：100×80＝8000元．∴方案①更优惠．
点评：对于平均增长（降低）率问题，应用公式可直接列方程，为增长率（降低）前的基础数量，为增长率（降低率），为增长（降低）的次数，为增长（降低）后的数量．要注意根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
18.（新疆建设兵团）某商场推销一种书包，进价为30元，在试销中发现这种书包每天的销售量P（个）与每个书包销售价x（元）满足一次函数关系式．当定价为35元时，每天销售30个；定价为37元时，每天销售26个．问：如果要保证商场每天销售这种书包获利200元，求书包的销售单价应定为多少元？
考点：一元二次方程的应用；待定系数法求一次函数解析式．
分析：根据题意找出涨价和销售量的关系，然后根据利润200元列方程求解，设此时书包的单价是x元．
解答：（30﹣26）÷（37﹣35）＝2，每涨价1元，少卖2个．
设此时书包的单价是x元．（x﹣30）[30﹣2（x﹣35）]＝200，x＝40．故此时书包的单价是40元．
点评：本题考查理解题意的能力，关键看出涨价和销售量的关系，然后根据利润列方程求解．
19.（贵港）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．
（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后
每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．
考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用。
分析：（1）设2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，根据2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆可列方程求解．
（2）设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，根据要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，可列出不等式求解．
解答：（1）设2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，…（2分）
根据题意，75（1+x）2=108…（3分）1+x=±1.2，∴x1=0.2=20% x2=﹣2.2（不合题意，舍去）…（4分）
答：2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%．…（5分）
（2）设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，由题意得：…（6分）
（108×0.9+y）×0.9+y≤125.48…（8分）解得y≤20…（9分）
答：从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆…（10分）
点评：本题第一问考查的是一个增长率问题，知道2008年的辆数，知道2010年的辆数，发生了两年变化，可列方程求解．第二问以汽车总量做为不等量关系，根据增加的和报废的，可求出结果．
20.（西宁）国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？
考点：一元二次方程的应用。
分析：（1）关系式为：原价×（1﹣降低率）2=现在的价格，把相关数值代入后求得合适的解即可；
（2）①费用为：总房价×；②费用为：总房价﹣2×12×1.5×平米数，把相关数值代入后求出解，比较即可．
解答：（1）设平均每次下调的百分率为x．5000×（1﹣x）2=4050．（1﹣x）2=0.81，∵1﹣x=0.9，∴x=0.1=10%，
答：平均每次下调的百分率为10%；
（2）方案一总费用为：100×4050×=396900元；方案二总费用为：100×4050﹣2×12×1.5×100=401400元；
∴方案一优惠．
点评：主要考查了一元二次方程的应用；掌握增长率的变化公式是解决本题的关键．
21.（山东省东营市）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆．（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，从2011年初起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计，该市从2011年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%．假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数多不能超过多少万辆．
考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
分析：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列出方程，不合题意的解，舍去即可；
（2）设全市每年新增汽车数量为y万两，则得出2011年底和2012年底全市的汽车拥有量，从而列出不等式求解即可．
解答：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意得，15（1+x）2=21.6，
解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%；
（2）设全市每年新增汽车数量为y万两，则2011年底全市的汽车拥有量为21.6×90%+y万两，2012年底全市的汽车拥有量为（21.6×90%+y）×90%+y万两．据题意得：（21.6×90%+y）×90%+y≤23.196，解得y≤3，答：该市每年新增汽车数量最多不能超过3万两．
点评：本题考查了一元二次方程和不等式的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
22.（山东淄博）已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？
考点：一元二次方程的应用；平行四边形的性质；菱形的性质。
分析：（1）让根的判别式为0即可求得m，进而求得方程的根即为菱形的边长；
（2）求得m的值，进而代入原方程求得另一根，即易求得平行四边形的周长．
解答：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∴△=0，m2﹣4（﹣）=0，（m﹣1）2=0，解得m=1，
当m=1时，原方程为x2﹣x+=0，解得x1=x2=0.5，∴菱形的边长是0.5cm；
（2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，把m=2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1=0，解得x1=2，x2=0.5，
∴▱ABCD的周长=2×（2+0.5）=5cm．
点评：综合考查了平行四边形及菱形的有关性质；利用解一元二次方程得到两种图形的边长是解决本题的关键．
23.（广西桂林）某市为争创全国文明卫生城，2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，
2010年投入的资金是2420万元，且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同.
（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；
（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012年需投入多少万元？
考点：一元二次方程的应用．
分析：（1）等量关系为：2008年市政府对市区绿化工程投入×（1+增长率）2=2010年市政府对市区绿化工程投入，把相关数值代入求解即可；
（2）2012年该市政府对市区绿化工程投入=2010年市政府对市区绿化工程投入×（1+增长率）2．
解答：（1）设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为，
根据题意得，得，（舍去）
答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为10﹪.
（2）2012年需投入资金：（万元）
答：2012年需投入资金2928.2万元.
点评：考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
24.（湖北黄石）解方程：．
考点：高次方程；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方。
分析：根据绝对值的性质以及数的偶次方的性质得出x2﹣y2﹣4=0，，进而得出关于x的一元二次方程，求出x，即可得出y的值．
解答：∵，∴x2﹣y2﹣4=0，，
∴由，得，代入x2﹣y2﹣4=0得：
，整理得：，解得：，，
当时y1=1，当时y2=4．
点评：此题主要考查了高次方程的解法以及绝对值的性质以及数的偶次方性质，根据题意得出关于x的一元二次方程是解决问题的关键．
25.（恩施）知识背景：恩施来凤有一处野生古杨梅群落，其野生杨梅是一种具特殊价值的绿色食品．在当地市场出售时，基地要求“杨梅”用双层上盖的长方体纸箱封装（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图）
（1）实际运用：如果要求纸箱的高为0.5米，底面是黄金矩形（宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6
），体积为0.3立方米．
①按方案1（如图）做一个纸箱，需要矩形硬纸板A1B1C1D1的面积是多少平方米？
②小明认为，如果从节省材料的角度考虑，采用方案2（如图）的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优，你认为呢？请说明理由．
（2）拓展思维：北方一家水果商打算在基地购进一批“野生杨梅”，但他感觉（1）中的纸箱体积太大，搬运吃力，要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，你认为水果商的要求能办到吗？请利用函数图象验证．
考点：正方形的性质；一元二次方程的应用；一次函数的图象；二次函数的图象；菱形的性质。
分析：（1）①利用宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6，假设底面长为x，宽就为0.6x，
再利用图形得出QM=+0.5+1+0.5+=3，FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，进而求出即可；
②根据菱形的性质得出，对角线乘积的一半绝对小于矩形边长乘积即可得出答案；
（2）根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方得出即可．
解答：（1）①∵纸箱的高为0.5米，底面是黄金矩形（宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6），体积为0.3立方米，
∴假设底面长为x，宽就为0.6x，∴体积为：0.6x•x•0.5=0.3，解得：x=1，∴AD=1，CD=0.6，
DW=KA=DT=JC=0.5，FT=JH=CD=0.3，WQ=MK=AD=，∴QM=+0.5+1+0.5+=3，
FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，∴矩形硬纸板A1B1C1D1的面积是3×2.2=6.6平方米；
②从节省材料的角度考虑，采用方案2（如图）的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优，
∵如图可知△MAE，△NBG，△HCF，△FDQ面积相等，且和为2个矩形FDQD1，
又∵菱形的性质得出，对角线乘积的一半绝对小于矩形边长乘积；
∴从节省材料的角度考虑，采用方案2（如图）的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优，
（2）∵将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半时，
∴边长为：0.5，0.3，底面积将变为：0.3×0.5=0.15，将变为原来，高再变为原来一半时，体积将变为原来的，
∴水果商的要求不能办到．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用以及正方形性质与菱形性质等知识，根据题意得出DW=KA=DT=JC=0.5，FT=JH=CD=0.3，WQ=MK=AD=是解决问题的关键．
27. (襄阳)汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增如．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011的年产量为多少万辆？
考点：一元二次方程的应用。
分析：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x，由题意列出方程，求解把不符合题意的解舍去即可．
解答：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x，由题意得6.4(1＋x)2＝10，
解之，得x1＝0.25，x2＝－0.25，∵x2＝－2.25＜0，故舍去，∴x＝0.25＝25%，10×(1＋25%)＝12.5，
答：2011年的年产量为12.5万辆．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
28.（宜昌）随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资．尹进2008年的月工资为2000元，在2010年时他的月工资增加到2420元，他2011年的月工资按2008到2010年的月工资的平均增长率继续增长．
（1）尹进2011年的月工资为多少？
（2）尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2011年6月份的月工资少了242元，于是他用这242元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校．请问，尹进总共捐献了多少本工具书？
考点：一元二次方程的应用；解三元一次方程组。
分析：（1）设2008至2010年的年平均增长率为x，得到2000（1+x）2=2420，求出x，然后计算2420（1+x）得到尹进2011年的月工资．
（2）可设甲工具书单价为m元，第一次选购y本．设乙工具书单价为n元，第一次选购z本．根据等量关系：用242元购买了甲、乙两种工具书各一本；实际付款比2011年6月份的月工资少了242元；2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书．列出方程组求解即可．
解答：（1）设2008至2010年的年平均增长率为x，依题意列方程：
2000（1+x）2=2420，解得：x1=10%，x2=﹣210%．∵增产率不能是负数，∴﹣210%要舍去．
尹进2011年的月工资为：2420（1+10%）=2662元．故尹进2011年的月工资为2662元；
（2）设甲工具书单价为m元，第一次选购y本．设乙工具书单价为n元，第一次选购z本．则由题意，可列方程：
由②+③，整理得，（m+n）（y+z）=2×2662﹣242，把①代入得，242（y+z）=2×2662﹣242，
∴y+z=22﹣1=21．（9分）21+2=23本．
答：尹进捐出的这两种工具书总共有23本．
点评：本题考查的是一元二次方程的应用，先列方程求出2008至2010年的增长率，然后利用这个增长率进行计算求出2011年的利用收入．同时考查了解三元一次方程组，注意找准等量关系，及整体思想的应用．
29.（湖北十堰，20，6分）请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=.把x=代入已知方程，得（）2+－1=0.化简，得y2+2y-4=0.故所求方程为y2+2y-4=0。这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；
（1）已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数。
考点：一元二次方程的应用。
分析：根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程．
解答：（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x所以x=﹣y．把x=﹣y代入已知方程，得y2﹣y﹣2=0，
故所求方程为y2﹣y﹣2=0；
（2）设所求方程的根为y，则y=（x≠0），于是x=（y≠0）
把x=代入方程ax2+bx+c=0，得a（）2+b•+c=0，去分母，得a+by+cy2=0．
若c=0，有ax2+bx=0，于是方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不符合题意，∴c≠0，
故所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）．
点评：本题是一道材料题，考查了一元二次方程的应用，以及解法，是一种新型问题，要熟练掌握．
30.（安徽省芜湖市）
如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（x2+17）cm，正六边形的边长为（x2+2x）cm （其中x＞0）．求这两段铁丝的总长．
考点：一元二次方程的应用。
分析：直接根据围成的一个正五边形和一个正六边形的周长相等列出方程求解．
解答：∵用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，∴5（x2+17）=6（x2+2x）
整理得x2+12x﹣85=0，（x+6）2=121，解得x1=5，x2=﹣17（不合题意，舍去）．5×（52+17）×2=420cm．
答：这两段铁丝的总长为420cm．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，实质上是正五边形和正六边形的周长相等．
31.（福建省漳州市）2008年漳州市出口贸易总值为22.52亿美元，至2010年出口贸易总值达到50.67亿美元，反映了两年来漳州市出口贸易的高速增长．
（1）求这两年漳州市出口贸易的年平均增长率；
（2）按这样的速度增长，请你预测2011年漳州市的出口贸易总值．
（温馨提示：2252=4×563，5067=9×563）
考点：一元二次方程的应用。
分析：（1）设年平均增长率为x，则2009年出口贸易总值达到22.52（1+x）亿美元；
2010年出口贸易总值达到22.52（1+x）（1+x）=22.52（1+x）2亿美元，得方程求解；
（2）2011年出口贸易总值=50.67（1+x）．
解答：（1）设年平均增长率为x，依题意得：22.52 （1+x）2=50.67，1+x=±1.5，∴x1=0.5=50%，x1=﹣2.5（舍去）．
答：这两年漳州市出口贸易的年平均增长率为50%；
（2）50.67×（1+50%）=76.005（亿元）．
答：预测2011年漳州市的出口贸易总值76.005亿元．
点评：此题考查一元二次方程的应用．增长率的问题主要是搞清楚基数，再表示增长后的数据．
32.（巴彦淖尔）益趣玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利80%，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元．（1）求这种玩具的进价；（2）求平均每次降价的百分率（精确到0.1%）．
考点：一元二次方程的应用。
分析：（1）根据计划每个售价36元，能盈利80%，可求出进价．
（2）设平均每次降价的百分率为x，根据先后两次降价，售价降为25元可列方程求解．
解答：（1）36÷（1+80%）=20元．故这种玩具的进价为每个20元；
（2）设平均每次降价的百分率为x．36（1﹣x%）2=25，x≈16.7%．故平均每次降价的百分率16.7%．
点评：本题考查理解题意的能力，根据售价和盈利情况求出进价，根据原来的售价和经过两次降价后现在的售价，可求出降价的百分率．
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