中考数学一模试卷含解析41 14页

‎2016年海南省临高县中考数学一模试卷 一、选择题（本大题满分42分，每小题3分）‎ ‎1．|﹣5+3|=（　　）‎ A．﹣8 B．8 C．﹣2 D．2‎ ‎2．下列计算正确的是（　　）‎ A．x2+x3=x5 B．x2•x3=x6 C．x6÷x3=x3 D．（x3）2=x9‎ ‎3．已知a﹣2b+3=0，则代数式5+2b﹣a的值是（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎4．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（　　）‎ A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 ‎5．已知一组数据5、2、3、x、4的众数为4，则这组数据的中位数为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．4.5‎ ‎6．如图所示的工件的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．从﹣1、﹣2、3、4这四个数中，随机抽取两个数相乘，积为负数的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（　　）‎ A．16 B．17 C．18 D．19‎ ‎9．如图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，若∠BGE=130°，则∠GEF等于（　　）‎ A．60° B．65° C．70° D．75°‎ ‎10．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=DB，BC=10，则DE的长为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎11．如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=7，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF的长是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎12．如图，直线y=x与双曲线y=相交于A（﹣2，n）、B两点，则k的值为（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1‎ ‎13．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连结AC、BC．若∠BAC=2∠BCO，AC=3，则PA的长为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎14．如图，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），P为反比例函数y=（x＞0）图象上的动点，PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，则四边形ABCD面积的最小值为（　　）‎ A．12 B．13 C．24 D．26‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题满分16分，每小题4分）‎ ‎15．已知a﹣b=2，a=3，则a2﹣ab=　　　　　　．‎ ‎16．方程=1﹣的解是　　　　　　．‎ ‎17．如图，OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于E，若∠O=70°，则∠A+∠C=　　　　　　度．‎ ‎18．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（0，﹣3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间．你确定的b的值是　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题满分62分）‎ ‎19．（1）计算：（﹣1）3+（）﹣2﹣×；‎ ‎（2）化简：（+1）•．‎ ‎20．有一批机器零件共400个，若甲先做1天，然后甲、乙两人再共做2天，则还有60个未完成；若两人合作3天，则可超产20个．问甲、乙两人每天各做多少个零件？‎ ‎21．某社区要调查社区居民双休日的学习状况，采用下列调查方式：‎ ‎①选取社区内200名在校学生；‎ ‎②从一幢高层住宅楼中选取200名居民；‎ ‎③从不同住宅楼中随机选取200名居民．‎ ‎（1）上述调查方式最合理的是　　　　　　（填写序号）；‎ ‎（2）将最合理的调查方式得到的数据绘制成扇形统计图（如图1）和频数分布直方图（如图2）．在图1中，“在图书馆等场所学习”部分所占的圆心角是　　　　　　度；在这个调查中，200名居民双休日在家学习的有　　　　　　人；‎ ‎（3）请估计该社区1800名居民双休日学习时间不少于4小时的人数．‎ ‎22．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2362米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1464米到达B点后测得F点俯角为45°，请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值： =1.732， =1.414）‎ ‎23．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC上的两个动点（与点A、B、C不重合）且始终保持BP=BQ，AQ⊥QE，QE交正方形外角平分线CE于点E，AE交CD于点F，连结PQ．‎ ‎（1）求证：△APQ≌△QCE；‎ ‎（2）求∠QAE的度数；‎ ‎（3）设BQ=x，当x为何值时，QF∥CE，并求出此时△AQF的面积．‎ ‎24．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．‎ ‎（1）求线段OA所在直线的函数解析式；‎ ‎（2）设抛物线顶点M的横坐标为m，‎ ‎①用m的代数式表示点P的坐标；‎ ‎②当m为何值时，线段PB最短；‎ ‎（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016年海南省临高县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题满分42分，每小题3分）‎ ‎1．|﹣5+3|=（　　）‎ A．﹣8 B．8 C．﹣2 D．2‎ ‎【考点】有理数的加法；绝对值．‎ ‎【分析】原式先利用异号两数相加的法则计算，再利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=|﹣2|‎ ‎=2．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．下列计算正确的是（　　）‎ A．x2+x3=x5 B．x2•x3=x6 C．x6÷x3=x3 D．（x3）2=x9‎ ‎【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．‎ ‎【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加；同底数幂的除法底数不变指数相减；幂的乘方底数不变指数相乘；可得答案．‎ ‎【解答】解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A错误；‎ B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B错误；‎ C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C正确；‎ D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D错误；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．已知a﹣2b+3=0，则代数式5+2b﹣a的值是（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【考点】代数式求值．‎ ‎【分析】根据题意得出a﹣2b=﹣3，再代入代数式进行计算即可．‎ ‎【解答】解：∵a﹣2b+3=0，‎ ‎∴a﹣2b=﹣3，‎ ‎∴原式=5﹣（a﹣2b）‎ ‎=5+3‎ ‎=8．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（　　）‎ A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 ‎【考点】估算无理数的大小；算术平方根．‎ ‎【分析】先根据正方形的面积是15计算出其边长，在估算出该数的大小即可．‎ ‎【解答】解：∵一个正方形的面积是15，‎ ‎∴该正方形的边长为，‎ ‎∵9＜15＜16，‎ ‎∴3＜＜4．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．已知一组数据5、2、3、x、4的众数为4，则这组数据的中位数为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．4.5‎ ‎【考点】众数；中位数．‎ ‎【分析】先根据众数定义求出x，再把这组数据从小到大排列，找出正中间的那个数就是中位数．‎ ‎【解答】解：∵数据5、2、3、x、4的众数为4，‎ ‎∴4出现的次数是2次，‎ ‎∴x=4，‎ 数据重新排列是：2、3、4、4、5，‎ 由于5个数中4在正中间，所以中位数是4．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．如图所示的工件的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形，本题找到从正面看所得到的图形即可．‎ ‎【解答】解：从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．从﹣1、﹣2、3、4这四个数中，随机抽取两个数相乘，积为负数的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】根据题意可以计算出任意两个数的乘积，从而可以得到随机抽取两个数相乘，积为负数的概率．‎ ‎【解答】解：∵﹣1×3，﹣1×4，﹣2×3，﹣2×4，这四组数的乘积都是负数，‎ ‎﹣1×（﹣2），3×4这两组数的乘积是正数，‎ ‎∴从﹣1、﹣2、3、4这四个数中，随机抽取两个数相乘，积为负数的概率是：．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（　　）‎ A．16 B．17 C．18 D．19‎ ‎【考点】勾股定理．‎ ‎【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 设正方形S1的边长为x，‎ ‎∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，‎ ‎∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，‎ ‎∴AC=BC=2CD，‎ 又∵AD=AC+CD=6，‎ ‎∴CD==2，‎ ‎∴EC2=22+22，即EC=2；‎ ‎∴S1的面积为EC2=2×2=8；‎ ‎∵∠MAO=∠MOA=45°，‎ ‎∴AM=MO，‎ ‎∵MO=MN，‎ ‎∴AM=MN，‎ ‎∴M为AN的中点，‎ ‎∴S2的边长为3，‎ ‎∴S2的面积为3×3=9，‎ ‎∴S1+S2=8+9=17．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．如图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，若∠BGE=130°，则∠GEF等于（　　）‎ A．60° B．65° C．70° D．75°‎ ‎【考点】平行线的性质．‎ ‎【分析】由四边形ABCD是矩形，得到AD∥BC，根据平行线的性质得到∠DEG=∠BGE=130°，由折叠的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠DEG=∠BGE=130°，‎ 由折叠的性质得∠DEF=∠GEF，‎ ‎∴∠GEF=，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=DB，BC=10，则DE的长为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】三角形中位线定理．‎ ‎【分析】根据三角形中位线定理进行计算即可．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，DE∥BC，AD=DB，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE=BC，‎ 又BC=10，‎ ‎∴DE=5．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=7，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF的长是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】平行四边形的性质．‎ ‎【分析】根据平行四边形的对边相等且平行和利用平行四边形的性质以及平行线的基本性质求解即可．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠ABE=∠CFE，‎ ‎∵∠ABC的平分线交AD于点E，‎ ‎∴∠ABE=∠CBF，‎ ‎∴∠CBF=∠CFB，‎ ‎∴CF=CB=7，‎ ‎∴DF=CF﹣CD=7﹣4=3，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．如图，直线y=x与双曲线y=相交于A（﹣2，n）、B两点，则k的值为（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【分析】由点A在直线y=x的图象上，可求出n的值，再结合反比例函数图象上点坐标的特征可求出k值．‎ ‎【解答】解：∵点A在直线y=x的图象上，‎ ‎∴n=×（﹣2）=﹣1．‎ ‎∵点A在反比例函数y=的图象上，‎ ‎∴k=﹣2×（﹣1）=2．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎13．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连结AC、BC．若∠BAC=2∠BCO，AC=3，则PA的长为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】切线的性质．‎ ‎【分析】先证明△OAC为等边三角形得到∠AOC=60°，再根据切线的性质得到∠OAP=90°，然后根据正切的定义计算PA的长．‎ ‎【解答】解：∵OB=OC，‎ ‎∴∠B=∠BCO，‎ ‎∴∠AOC=∠B+∠BCO，‎ ‎∴∠AOC=2∠BCO，‎ 而∠BAC=2∠BCO，‎ ‎∴∠BAC=∠AOC，‎ ‎∴CA=CO，‎ 而OA=OC，‎ ‎∴OA=OC=AC=3，‎ ‎∴△OAC为等边三角形，‎ ‎∴∠AOC=60°，‎ ‎∵PA切⊙O于点A，‎ ‎∴OA⊥PA，‎ ‎∴∠OAP=90°，‎ ‎∵tan∠AOB=，‎ ‎∴PA=3tan60°=3．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎14．如图，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），P为反比例函数y=（x＞0）图象上的动点，PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，则四边形ABCD面积的最小值为（　　）‎ A．12 B．13 C．24 D．26‎ ‎【考点】反比例函数系数k的几何意义．‎ ‎【分析】设P点坐标为（x，），将四边形分割为四个三角形，四边形ABCD面积的最小，即S△AOB+S△AOD+S△DOC+S△BOC最小．‎ ‎【解答】解：设P点坐标为（x，），x＞0，‎ 则S△AOD=×|﹣3|×||=，S△DOC==6，‎ S△BOC=×|﹣4|×|x|=2x，S△AOB=×3×4=6．‎ ‎∴S△AOB+S△AOD+S△DOC+S△BOC ‎=12+2x+‎ ‎=12+2（x+）≥12+2×2×=24．‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题满分16分，每小题4分）‎ ‎15．已知a﹣b=2，a=3，则a2﹣ab=　6　．‎ ‎【考点】因式分解-提公因式法．‎ ‎【分析】首先提取公因式a，进而分解因式，将已知代入求出即可．‎ ‎【解答】解：∵a﹣b=2，a=3，‎ ‎∴a2﹣ab=a（a﹣b）=3×2=6．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎16．方程=1﹣的解是　x=2　．‎ ‎【考点】分式方程的解．‎ ‎【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程x的解，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】解： =1﹣，‎ ‎=1+，‎ ‎2﹣x=x﹣3+1，‎ ‎﹣2x=﹣4，‎ x=2，‎ 经检验x=2是原方程的解．‎ 故答案为：x=2．‎ ‎　‎ ‎17．如图，OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于E，若∠O=70°，则∠A+∠C=　55　度．‎ ‎【考点】垂径定理．‎ ‎【分析】如图，连接OB，利用等腰△OAB的性质可以求得∠ABO的度数；结合垂径定理、圆周角定理来求∠C的度数，易得∠A+∠C的值．‎ ‎【解答】解：如图，连接OB，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴∠A=∠ABO．‎ 又∵OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于E，∠O=70°，‎ ‎∴=，∠AOB=140°，‎ ‎∴∠C=∠AOD=35°，∠A=∠ABO=20°，‎ ‎∴∠A+∠C=55°．‎ 故答案是：55．‎ ‎　‎ ‎18．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（0，﹣3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间．你确定的b的值是　1（在﹣2＜b＜2范围内的任何一个数）　．‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点．‎ ‎【分析】把（0，﹣3）代入抛物线的解析式求出c的值，在（1，0）和（3，0）之间取一个点，分别把x=1和x=3它的坐标代入解析式即可得出不等式组，求出答案即可．‎ ‎【解答】解：把（0，﹣3）代入抛物线的解析式得：c=﹣3，‎ ‎∴y=x2+bx﹣3，‎ ‎∵使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间，‎ ‎∴把x=1代入y=x2+bx﹣3得：y=1+b﹣3＜0‎ 把x=3代入y=x2+bx﹣3得：y=9+3b﹣3＞0，‎ ‎∴﹣2＜b＜2，‎ 即在﹣2＜b＜2范围内的任何一个数都符合，‎ 故答案为：1（在﹣2＜b＜2范围内的任何一个数）．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题满分62分）‎ ‎19．（1）计算：（﹣1）3+（）﹣2﹣×；‎ ‎（2）化简：（+1）•．‎ ‎【考点】实数的运算；分式的混合运算；负整数指数幂．‎ ‎【分析】（1）原式利用乘方的意义，负整数指数幂法则，以及二次根式乘法法则计算即可得到结果；‎ ‎（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．‎ ‎【解答】解：（1）原式=﹣1+4﹣6=﹣7+4=﹣3；‎ ‎（2）原式=•=•=．‎ ‎　‎ ‎20．有一批机器零件共400个，若甲先做1天，然后甲、乙两人再共做2天，则还有60个未完成；若两人合作3天，则可超产20个．问甲、乙两人每天各做多少个零件？‎ ‎【考点】二元一次方程组的应用．‎ ‎【分析】设甲每天做x个零件，乙每天做y个零件，根据题意可得：甲做3天+乙做2天=400﹣60，甲乙合作3天=400+20，据此列方程组求解．‎ ‎【解答】解：设甲每天做x个零件，乙每天做y个零件，‎ 由题意得，，‎ 解得：，‎ 答：甲每天做60个零件，乙每天做80个零件．‎ ‎　‎ ‎21．某社区要调查社区居民双休日的学习状况，采用下列调查方式：‎ ‎①选取社区内200名在校学生；‎ ‎②从一幢高层住宅楼中选取200名居民；‎ ‎③从不同住宅楼中随机选取200名居民．‎ ‎（1）上述调查方式最合理的是　③　（填写序号）；‎ ‎（2）将最合理的调查方式得到的数据绘制成扇形统计图（如图1）和频数分布直方图（如图2）．在图1中，“在图书馆等场所学习”部分所占的圆心角是　108°　度；在这个调查中，200名居民双休日在家学习的有　120　人；‎ ‎（3）请估计该社区1800名居民双休日学习时间不少于4小时的人数．‎ ‎【考点】扇形统计图；全面调查与抽样调查；用样本估计总体；频数（率）分布直方图．‎ ‎【分析】（1）调查方式最合理的就是调查时抽取方式最具有随机性，样本能代表社区所有情况的调查方式；‎ ‎（2）根据“在图书馆等场所学习“占样本百分比为30%，乘以360°可得圆心角度数；利用200名居民中，在家学习的占60%即可求出答案；‎ ‎（3）用样本中学习时间不少于4小时人数占被调查人数比例乘以总人数1800即可．‎ ‎【解答】解：（1）③；‎ ‎（2）“在图书馆等场所学习”部分所占的圆心角是360°×30%=108°，‎ ‎200名居民双休日在家学习的有：200×60%=120（人）；‎ ‎（3）×1800=1278（人）．‎ 答：估计该社区1800名居民双休日学习时间不少于4小时的1278人．‎ 故答案为：（1）③；（2）108°，1278．‎ ‎　‎ ‎22．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2362米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1464米到达B点后测得F点俯角为45°，请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值： =1.732， =1.414）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】设CF=x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，分别用CF表示AC、BC的长度，然后根据AC﹣BC=1200，求得x的值，用h﹣x即可求得最高海拔．‎ ‎【解答】解：设CF=x，‎ 在Rt△ACF和Rt△BCF中，‎ ‎∵∠BAF=30°，∠CBF=45°，‎ ‎∴BC=CF=x，‎ ‎=tan30°，‎ 即AC=x，‎ ‎∵AC﹣BC=1464米，‎ ‎∴x﹣x=1464，‎ 解得：x=732（+1），‎ 则DF=h﹣x=2362﹣732（+1）≈362（米）．‎ 答：钓鱼岛的最高海拔高度约362米．‎ ‎　‎ ‎23．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC上的两个动点（与点A、B、C不重合）且始终保持BP=BQ，AQ⊥QE，QE交正方形外角平分线CE于点E，AE交CD于点F，连结PQ．‎ ‎（1）求证：△APQ≌△QCE；‎ ‎（2）求∠QAE的度数；‎ ‎（3）设BQ=x，当x为何值时，QF∥CE，并求出此时△AQF的面积．‎ ‎【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】（1）判断出△PBQ是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE，再求出AP=CQ，然后利用“角边角”证明即可；‎ ‎（2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ，判断出△AQE是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质解答；‎ ‎（3）把△ABQ绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，求出∠GAF=45°，从而得到∠GAF=∠QAF，再利用“边角边”证明△AQF和△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得QF=GF，再根据两直线平行，同位角相等求出∠CQF=45°，然求出CQ=CF，分别用x表示出CQ、CF、QF，利用勾股定理列式表示出QF，然后列出方程求出x，再求出△AGF的面积，即为△AQF的面积．‎ ‎【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠B=90°，AB=BC，‎ ‎∵BP=BQ，‎ ‎∴△PBQ是等腰直角三角形，AP=CQ，‎ ‎∴∠BPQ=45°，‎ ‎∵CE为正方形外角的平分线，‎ ‎∴∠APQ=∠QCE=135°，‎ ‎∵AQ⊥QE，‎ ‎∴∠CQE+∠AQB=90°，‎ 又∵∠PAQ+∠AQB=90°，‎ ‎∴∠PAQ=∠CQE，‎ 在△APQ和△QCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△APQ≌△QCE（ASA）；‎ ‎（2）解：∵△APQ≌△QCE，‎ ‎∴AQ=EQ，‎ ‎∵AQ⊥QE，‎ ‎∴△AQE是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠QAE=45°；‎ ‎（3）解：如图，把△ABQ绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，‎ 则AQ=AG，BQ=DG，∠BAQ=∠DAG，‎ ‎∵∠QAE=45°，‎ ‎∴∠GAF=45°，‎ ‎∴∠GAF=∠QAF，‎ 在△AQF和△AGF中，‎ ‎，‎ ‎∴△AQF≌△AGF（SAS），‎ ‎∴QF=GF，‎ ‎∵QF∥CE，‎ ‎∴∠CQF=45°，‎ ‎∴△CQF是等腰直角三角形，‎ ‎∴CQ=CF，‎ ‎∵BQ=x，‎ ‎∴CQ=CF=2﹣x，‎ ‎∴DF=2﹣（2﹣x）=x，‎ ‎∴QF=GF=2x，‎ 在Rt△CQF中，CQ2+CF2=QF2，‎ 即（2﹣x）2+（2﹣x）2=（2x）2，‎ 解得x=2﹣2，‎ ‎∴△AGF的面积=×2（2﹣2）×2=4﹣4，‎ 即△AQF的面积为4﹣4．‎ ‎　‎ ‎24．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．‎ ‎（1）求线段OA所在直线的函数解析式；‎ ‎（2）设抛物线顶点M的横坐标为m，‎ ‎①用m的代数式表示点P的坐标；‎ ‎②当m为何值时，线段PB最短；‎ ‎（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）根据A点的坐标，用待定系数法即可求出直线OA的解析式．‎ ‎（2）①由于M点在直线OA上，可根据直线OA的解析式来表示出M点的坐标，因为M点是平移后抛物线的顶点，因此可用顶点式二次函数通式来设出这个二次函数的解析式，P的横坐标为2，将其代入抛物线的解析式中即可得出P点的坐标．‎ ‎②PB的长，实际就是P点的纵坐标，因此可根据其纵坐标的表达式来求出PB最短时，对应的m的值．‎ ‎（3）根据（2）中确定的m值可知：M、P点的坐标都已确定，因此AM的长为定值，若要使△QMA的面积与△PMA的面积相等，那么Q点到AM的距离和P到AM的距离应该相等，因此可分两种情况进行讨论：‎ ‎①当Q在直线OA下方时，可过P作直线OA的平行线交y轴于C，那么平行线上的点到OA的距离可相等，因此Q点必落在直线PC上，可先求出直线PC的解析式，然后利用抛物线的解析式，看得出的方程是否有解，如果没有则说明不存在这样的Q点，如果有解，得出的x的值就是Q点的横坐标，可将其代入抛物线的解析式中得出Q点的坐标．‎ ‎②当Q在直线OA上方时，同①类似，可先找出P关于A点的对称点D，过D作直线OA的平行线交y轴于E，那么直线DE上的点到AM的距离都等于点P到AM上的距离，然后按①的方法进行求解即可．‎ ‎（本题也可通过以AP为底，找出和点M到AP的距离相等的两条直线，然后联立抛物线的解析式进行求解即可）．‎ ‎【解答】解：（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx，‎ ‎∵A（2，4），‎ ‎∴2k=4，‎ ‎∴k=2，‎ ‎∴OA所在直线的函数解析式为y=2x．‎ ‎（2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，‎ ‎∴y=2m（0≤m≤2）．‎ ‎∴顶点M的坐标为（m，2m）．‎ ‎∴抛物线函数解析式为y=（x﹣m）2+2m．‎ ‎∴当x=2时，y=（2﹣m）2+2m=m2﹣2m+4（0≤m≤2）．‎ ‎∴点P的坐标是（2，m2﹣2m+4）．‎ ‎②∵PB=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3，‎ 又∵0≤m≤2，‎ ‎∴当m=1时，PB最短．‎ ‎（3）当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为y=（x﹣1）2+2‎ 即y=x2﹣2x+3．‎ 假设在抛物线上存在点Q，使S△QMA=S△PMA．‎ 设点Q的坐标为（x，x2﹣2x+3）．‎ ‎①点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC∥AO，交y轴于点C，‎ ‎∵PB=3，AB=4，‎ ‎∴AP=1，‎ ‎∴OC=1，‎ ‎∴C点的坐标是（0，﹣1）．‎ ‎∵点P的坐标是（2，3），‎ ‎∴直线PC的函数解析式为y=2x﹣1．‎ ‎∵S△QMA=S△PMA，‎ ‎∴点Q落在直线y=2x﹣1上．‎ ‎∴x2﹣2x+3=2x﹣1．‎ 解得x1=2，x2=2，‎ 即点Q（2，3）．‎ ‎∴点Q与点P重合．‎ ‎∴此时抛物线上不存在点Q（2，3），使△QMA与△APM的面积相等．‎ ‎②当点Q落在直线OA的上方时，‎ 作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DE∥AO，交y轴于点E，‎ ‎∵AP=1，‎ ‎∴EO=DA=1，‎ ‎∴E、D的坐标分别是（0，1），（2，5），‎ ‎∴直线DE函数解析式为y=2x+1．‎ ‎∵S△QMA=S△PMA，‎ ‎∴点Q落在直线y=2x+1上．‎ ‎∴x2﹣2x+3=2x+1．‎ 解得：x1=2+，x2=2﹣．‎ 代入y=2x+1得：y1=5+2，y2=5﹣2．‎ ‎∴此时抛物线上存在点Q1（2+，5+2），Q2（2﹣，5﹣2）‎ 使△QMA与△PMA的面积相等．‎ 综上所述，抛物线上存在点，Q1（2+，5+2），Q2（2﹣，5﹣2）使△QMA与△PMA的面积相等．‎