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- 2021-05-10 发布
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南京市2011年初中毕业生学业考试
数 学
一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分,)
1.的值等于
A.3 B.-3 C.±3 D.
2.下列运算正确的是
A.a2+a3=a5 B.a2•a3=a6 C.a3÷a2=a D.(a2)3=a8
3.在第六次全国人口普查中,南京市常住人口约为800万人,其中65岁及以上人口占9.2%.则该市65岁及以上人口用科学记数法表示约为
A.0.736×106人 B.7.36×104人 C.7.36×105人 D.7.36×106 人
4.为了解某初中学校学生的视力情况,需要抽取部分学生进行调查,下列抽取学生的方法最合适的是
A.随机抽取该校一个班级的学生
B.随机抽取该校一个年级的学生
C.随机抽取该校一部分男生
D.分别从该校初一、初二、初三年级中各班随机抽取10%的学生
(第6题)
A
B
B
P
x
y
y=x
5.如图是一个三棱柱,下列图形中,能通过折叠围成一个三棱柱的是
A.
B.
C.
D.
(第5题)
6.如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是(2,a)(a>2),半径为2,函数y=x的图象被⊙P的弦AB的长为,则a的值是
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分,)
7.-2的相反数是________.
8.如图,过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥CD,则∠1=____________.
(第12题)
B
A
D
C
E
(第11题)
B
A
M
O
(第8题)
B
A
C
D
E
l
1
9.计算=_______________.
10.等腰梯形的腰长为5㎝,它的周长是22㎝,则它的中位线长为___________㎝.
11.如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画射线OB,则cos∠AOB的值等于___________.
12.如图,菱形ABCD的连长是2㎝,E是AB中点,且DE⊥AB,则菱形ABCD的面积为_________㎝2.
(第14题)
A
B
C
D
F
E
A
B
O
P
(第12题)
13.如图,海边有两座灯塔A、B,暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内,∠AOB=80°,为了避免触礁,轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为______°.
14.如图,E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,BE=CF,连接AE、BF,将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向转到△BCF,旋转角为a(0°<a<180°),则∠a=______.
15.设函数与的图象的交战坐标为(a,b),则的值为__________.
16.甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数,规定:
①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4,接着甲报5、乙报6……按此规律,后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1,当报到的数是50时,报数结束;
②若报出的数为3的倍数,则报该数的同学需拍手一次,在此过程中,甲同学需要拍手的次数为____________.
三、解答题(本大题共12小题,共88分,)
17.(6分)解不等式组,并写出不等式组的整数解.
18.(6分)计算
19.(6分)解方程x2-4x+1=0
20.(7分)某校部分男生分3组进行引体向上训练,对训练前后的成绩进行统计分析,相应数据的统计图如下.
2
4
6
8
10
12
0
第一组
第二组
第三组
组别
6
5
3
9
9
11
训练前
训练后
①
训练前后各组平均成绩统计图
训练后第二组男生引体
向上增加个数分布统计图
10%
50%
20%
20%
增加8个
增加6个
增加5个
个数没有变化
②
(第20题)
平均成绩(个)
⑴求训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数;
⑵小明在分析了图表后,声称他发现了一个错误:“
训练后第二组男生引体向上个数没有变化的人数占该组人数的50%,所以第二组的平均数不可能提高3个这么多.”你同意小明的观点吗?请说明理由;
⑶你认为哪一组的训练效果最好?请提出一个解释来支持你的观点.
A
B
C
D
E
F
(第21题)
21.(7分)如图,将□ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.
⑴求证:△ABF≌△ECF
⑵若∠AFC=2∠D,连接AC、BE.求证:四边形ABEC是矩形.
22.(7分)小颖和小亮上山游玩,小颖乘会缆车,小亮步行,两人相约在山顶的缆车终点会合.已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍,小颖在小亮出发后50 min才乘上缆车,缆车的平均速度为180 m/min.设小亮出发x min后行走的路程为y m.图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系.
⑴小亮行走的总路程是____________㎝,他途中休息了________min.
⑵①当50≤x≤80时,求y与x的函数关系式;
②当小颖到达缆车终点为时,小亮离缆车终点的路程是多少?
30
50
1950
3000
80
x/min
y/m
O
(第22题)
23.(7分)从3名男生和2名女生中随机抽取2014年南京青奥会志愿者.求下列事件的概率:
⑴抽取1名,恰好是女生;
⑵抽取2名,恰好是1名男生和1名女生.
24.(7分)已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).
⑴求证:不论m为何值,该函数的图象都经过y轴上的一个定点;
⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值.
25.(7分)如图,某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度,他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量,在点C处塔顶B的仰角为45°,在点E处测得B的仰角为37°(B、D、E三点在一条直线上).求电视塔的高度h.
(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
A
B
E
C
D
h
37°
45°
(第25题)
26.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6㎝,BC=8㎝,P为BC的中点.动点Q从点P出发,沿射线PC方向以2㎝/s的速度运动,以P为圆心,PQ长为半径作圆.设点Q运动的时间为t s.
⑴当t=1.2时,判断直线AB与⊙P的位置关系,并说明理由;
⑵已知⊙O为△ABC的外接圆,若⊙P与⊙O相切,求t的值.
A
B
C
P
Q
O
(第26题)
27.(9分)如图①,P为△ABC内一点,连接PA、PB、PC,在△PAB、△PBC和△PAC中,如果存在一个三角形与△ABC相似,那么就称P为△ABC的自相似点.
⑴如图②,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ACB>∠A,CD是AB上的中线,过点B作BE⊥CD,垂足为E,试说明E是△ABC的自相似点.
⑵在△ABC中,∠A<∠B<∠C.
①如图③,利用尺规作出△ABC的自相似点P(写出作法并保留作图痕迹);
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点,求该三角形三个内角的度数.
B
B
B
C
C
C
A
A
A
D
P
E
①
②
③
(第27题)
28.(11分)
问题情境
已知矩形的面积为a(a为常数,a>0),当该矩形的长为多少时,它的周长最小?最小值是多少?
数学模型
设该矩形的长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为.
探索研究
1
x
y
O
1
3
4
5
2
2
3
5
4
(第28题)
-1
-1
⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验,先探索函数的图象性质.
① 填写下表,画出函数的图象:
②
x
……
1
2
3
4
……
y
……
……
②观察图象,写出该函数两条不同类型的性质;
③在求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大(小)值时,除了通过观察图象,还可以通过配方得到.请你通过配方求函数(x>0)的最小值.
解决问题
⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题,直接写出答案.
答案:
一.选择题:ACCDBB
二.填空:
7. 2 8. 36 9. 10. 6 11. 12. 13. 40 14. 90 15. 16. 4
17.解:
解不等式①得:
解不等式②得:
所以,不等式组的解集是.
不等式组的整数解是,0,1.
18.
19. 解法一:移项,得.
配方,得,
由此可得
,
解法二:
,
,.
20.解:⑴训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数是≈67%.
⑵不同意小明的观点,因为第二组的平均成绩增加8×10%+6×20%+5×20%+0×50%=3(个).
(3)本题答案不唯一,我认为第一组训练效果最好,因为训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数最大.
21.证明:⑴∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠ABF=∠ECF.
∵EC=DC, ∴AB=EC.
在△ABF和△ECF中,∵∠ABF=∠ECF,∠AFB=∠EFC,AB=EC,
∴⊿ABF≌⊿ECF.
(2)解法一:∵AB=EC ,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.∴AF=EF, BF=CF.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠D,又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠ABC.
∵∠AFC=∠ABF+∠BAF,∴∠ABF=∠BAF.∴FA=FB.
∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC.∴口ABEC是矩形.
解法二:∵AB=EC ,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠D=∠BCE.
又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠BCE,
∵∠AFC=∠FCE+∠FEC,∴∠FCE=∠FEC.∴∠D=∠FEC.∴AE=AD.
又∵CE=DC,∴AC⊥DE.即∠ACE=90°.∴口ABEC是矩形.
22. 解⑴3600,20.
⑵①当时,设y与x的函数关系式为.
根据题意,当时,;当,.
所以,与的函数关系式为.
②缆车到山顶的路线长为3600÷2=1800(),
缆车到达终点所需时间为1800÷180=10().
小颖到达缆车终点时,小亮行走的时间为10+50=60().
把代入,得y=55×60—800=2500.
所以,当小颖到达缆车终点时,小亮离缆车终点的路程是3600-2500=1100().
23. 解⑴抽取1名,恰好是女生的概率是.
⑵分别用男1、男2、男3、女1、女2表示这五位同学,从中任意抽取2名,所有可能出现的结果有:(男1,男2),(男1,男3),(男1,女1),(男1,女2),(男2,男3),(男2,女1),(男2,女2),(男3,女1),(男3,女2),(女1,女2),共10种,它们出现的可能性相同,所有结果中,满足抽取2名,恰好是1名男生和1名女生(记为事件A)的结果共6种,所以P(A)=.
24.解:⑴当x=0时,.
所以不论为何值,函数的图象经过轴上的一个定点(0,1).
⑵①当时,函数的图象与轴只有一个交点;
②当时,若函数的图象与轴只有一个交点,则方程有两个相等的实数根,所以,.
综上,若函数的图象与轴只有一个交点,则的值为0或9.
25.在中,=.
∴EC=≈().
在中,∠BCA=45°,∴
在中,=.∴.∴().
答:电视塔高度约为120.
26.解⑴直线与⊙P相切.
如图,过点P作PD⊥AB, 垂足为D.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∵AC=6cm,BC=8cm,
∴.∵P为BC的中点,∴PB=4cm.
∵∠PDB=∠ACB=90°,∠PBD=∠ABC.∴△PBD∽△ABC.
∴,即,∴PD =2.4(cm) .
当时,(cm)
∴,即圆心到直线的距离等于⊙P的半径.
∴直线与⊙P相切.
⑵ ∠ACB=90°,∴AB为△ABC的外切圆的直径.∴.
连接OP.∵P为BC的中点,∴.
∵点P在⊙O内部,∴⊙P与⊙O只能内切.
∴或,∴=1或4.
∴⊙P与⊙O相切时,t的值为1或4.
27. 解⑴在Rt △ABC中,∠ACB=90°,CD是AB上的中线,∴,∴CD=BD.
∴∠BCE=∠ABC.∵BE⊥CD,∴∠BEC=90°,∴∠BEC=∠ACB.∴△BCE∽△ABC.
∴E是△ABC的自相似点.
⑵①作图略.
作法如下:(i)在∠ABC内,作∠CBD=∠A;
(ii)在∠ACB内,作∠BCE=∠ABC;BD交CE于点P.
则P为△ABC的自相似点.
②连接PB、PC.∵P为△ABC的内心,∴,.
∵P为△ABC的自相似点,∴△BCP∽△ABC.
∴∠PBC=∠A,∠BCP=∠ABC=2∠PBC =2∠A,
∠ACB=2∠BCP=4∠A.∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°.
∴∠A+2∠A+4∠A=180°.
∴.∴该三角形三个内角的度数分别为、、.
28. 解⑴①,,,2,,,.
函数的图象如图.
②本题答案不唯一,下列解法供参考.
当时,随增大而减小;当时,随增大而增大;当时函数的最小值为2.
③
=
=
=
当=0,即时,函数的最小值为2.
⑵当该矩形的长为时,它的周长最小,最小值为.