中考数学重要公式全归纳 14页

重要公式 代数部分 一．数与式 ‎1. 2. 3. ‎ ‎4.,特别地，‎ ‎5. 6.‎ ‎ =‎ ‎2.分母有理化 ‎① ‎ ‎②‎ 3. 非负数的算术平方根 例：的算术平方根是 ‎4.（1）①分式有意义，分母不为0,例如：要使有意义，则；‎ ‎②如果分子分母中有开平方，则分子根号下的式子必须≥0，分母根号下的式子必须＞0，‎ 例如：要使有意义，则3x+12≥0 解得x＞2‎ ‎ 2x-4＞0‎ （2） 要使分式值为0，必须保证分子为0的同时分母不为0.‎ 例如：的值为0，则，解得x=3 ‎ 二．一元二次方程 ‎1.一元二次方程求根公式：‎ ‎2.根与系数的关系（韦达定理）：‎ 若一元二次方程的两根分别为，则 ‎ ‎ ‎3.△的作用 ‎△‎ 一元二次方程 二次函数 ‎＞0‎ 有两个不同的实数根 与x轴有两个不同的交点 ‎＝0‎ 有两个相等的实数根 与x轴只有一个不同的交点 ‎＜0‎ 无实数根 x轴无交点 三．函数 ‎1.一次函数的图像和性质：‎ 名称 K、b的符号 图像 经过象限 增减性 一次函数y=kx+b(k≠0，b≠0)‎ k＞0‎ b＞0‎ 一、二、三 y随x的增大而增大 b＜0‎ 一、三、四 k＜0‎ b＞0‎ 一、二、四 y随x的增大而减小 b＜0‎ 二、三、四 正比例函数y=kx(k≠0)‎ ‎【是特殊的一次函数】‎ k＞0‎ 一、三 y随x的增大而增大 k＜0‎ 二、四 y随x的增大而减小 ‎2.（1）反比例函数的图像和性质 反比例函数 k的符号 k>0‎ k<0‎ 图像 性质 ‎①x的取值范围是x0，‎ ‎ y的取值范围是y0；‎ ‎②当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小.‎ ‎①x的取值范围是x0，‎ ‎ y的取值范围是y0；‎ ‎②当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x 的增大而增大.‎ 对称性 ‎①的图象是轴对称图形，对称轴为或 ‎②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）； ‎ ‎③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．‎ ‎（2）反比例函数中反比例系数的几何意义 ‎①过双曲线(k≠0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线段，所得矩形(如图)面积为.‎ ‎②过双曲线(k≠0) 上任意一点作任一坐标轴的垂线段，连接该点和原点，所得三角形（如图）的面积为．‎ ‎③双曲线(k≠0) 同一支上任意两点、与原点组成的 三角形（如图）的面积=直角梯形的面积．‎ ‎（3）正比例函数如果与反比例函数相交,交点坐标关于原点对称.（即：若正比例函数y=‎ x与反比例函数y=相交于A(，)，B（，）两点，则点A与点B关于原点对称.‎ ‎3.二次函数的图像和性质 ‎(1)顶点式的图像和性质 a的符号 图像特征 函数性质 开口向上，图像有最低点（顶点），顶点（h,k）；‎ 当x=h时，函数有最小值k.‎ 是轴对称图形；‎ 对称轴是直线x=h；‎ 在对称轴的左边，图像从左至右呈下降趋势；‎ 当x＜h时，y随x增大而减小；‎ 在对称轴的右边，图像从左至右呈上升趋势；‎ 当x＞h时，y随x增大而增大；‎ 开口向下，图像有最高点（顶点），顶点（h,k）；‎ 当x=h时，函数有最大值k.‎ 是轴对称图形；‎ 对称轴是直线x=h；‎ 在对称轴的左边，图像从左至右呈上升趋势；‎ 当x＜h时，y随x增大而增大；‎ 在对称轴的右边，图像从左至右呈下降趋势；‎ 当x＞h时，y随x增大而减小.‎ 可知抛物线【】可由向右平移个单位，再向上平移个单位得到. 平移规律：左加右减，上加下减.‎ ‎（2）一般式的图像和性质 a的符号 图像特征 函数性质 开口向上，图像有最低点(顶点)，顶点（,）；‎ 当x=时，函数有最小值.‎ 是轴对称图形；‎ 对称轴是直线x=；‎ 在对称轴的左边，图像从左至右呈下降趋势；‎ 当x＜时，y随x增大而减小；‎ 在对称轴的右边，图像从左至右呈上升趋势；‎ 当x＞时，y随x增大而增大；‎ 开口向下，图像有最高点（顶点），顶点（,）；‎ 当x=时，函数有最大值.‎ 是轴对称图形；‎ 对称轴是直线x=；‎ 在对称轴的左边，图像从左至右呈上升趋势；‎ 当x＜时，y随x增大而增大；‎ 在对称轴的右边，图像从左至右呈下降趋势.‎ 当x＞时，y随x增大而减小.‎ 二次函数的图象与各项系数之间的关系 ‎ （1）二次项系数 ‎ ① 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；‎ ‎ ②当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．‎ ‎ 即|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大.‎ ‎【注：抛物线形状相同，指的是|a|相同】‎ ‎（2）一次项系数 ‎ 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．（左同右异 b为0对称轴为y轴）‎ ‎ 注意：当对称轴在y轴左侧时，a与b同号（即ab>0）；当对称轴在y轴右侧时，a与b异号（即ab＜0）.‎ ‎ （3）常数项 ‎ ①当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；‎ ‎ ②当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；‎ ‎ ③当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．‎ ‎ 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．‎ 四．二次函数与一元二次方程的关系：‎ 一元二次方程ax²+bx+c=0是二次函数y=ax²+bx+c当函数值y=0时的特殊情况.‎ 当△＜0时，图象与x轴没有交点.‎ ‎①当a＞0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y＞0；‎ ‎②当a＜0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y＜0．‎ 函数的平移（平移对一次函数来说不改变一次项系数k，对二次函数来说不改变二次项系数a）‎ 1. 图像的平移和图像上点的平移（一样）：左减右加，上加下减.‎ 2. 解析式的平移：左加右减，上加下减.‎ ‎①一般式的平移：如将二次函数向右平移m(m＞0)个单位，再向下平移n（n＞0）个单位，得到 ‎②顶点式的平移：如将二次函数向右平移m(m＞0)个单位，再向下平移n（n＞0）个单位，得到 五．二次函数图像的三大变换（平移、轴对称、旋转）‎ 抛物线解析式常见的三种形式 名称 解析式 使用范围 一般式 ‎（a≠0）‎ 已知任意三点 顶点式 ‎（a≠0）‎ 已知顶点（h,k）及另一点 交点式 ‎（a≠0）‎ 已知与x轴的两个交点（）、（）及另一个点 ‎2.二次函数抛物线简单的图形变换 ‎（1）顶点式【（a≠0）】‎ 名称 a 顶点（h，k）‎ 平移 a ‎(h， k)‎ ‎↓ ↓‎ 左加右减 上加下减 对 称 关于x轴对称 ‎-a ‎(h，-k)‎ 关于y轴对称 a ‎(-h，k)‎ 关于原点对称 ‎-a ‎(-h，-k)‎ 旋转（绕顶点旋转180°）‎ ‎-a ‎(h，k)‎ ‎（2）一般式【（a≠0）】‎ ‎①平移：如将二次函数向右平移m(m＞0)个单位，再向下平移n（n＞0）个单位，得到 ‎②对称 名称 a、b、c的变化 关于x轴对称 a→-a; b→-b; c→-c 关于y轴对称 a→不变；b→-b；c→不变 关于原点对称 a→-a；b→不变；c→-c 注：无论是平移、轴对称还是旋转，最好先把二次函数化成顶点式，然后再根据需要进行求解.‎ 五．两点间距离公式 A()，B()是平面直角坐标系中的两点，那么A、B两点的距离为：‎ ‎|AB|=‎ 六．两点关于一条直线对称：即这两点的连线被该直线垂直平分.‎ 已知点A和A'关于直线对称，则AA'被直线垂直平分.‎ 七．已知直线和直线，‎ 若，则 八．三点共线，且中间的点是中点，则中间点的横坐标=，中间点的纵坐标= 【图形旋转180°后求点的坐标常用到】‎ 若A()，B()，M()共线，且M为线段AB的终点，则有 十．平均数、中位数、众数 平均数 ‎（1）算术平均数：一般地，对于n个数那么 ‎（2）加权平均数：，其中分别表示出现的次数，.‎ 中位数：将n个数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果n是奇数，则中间位置的数是中位数；如果n是偶数，则中间两个数的平均数是中位数.‎ 众数：一组数据中出现次数最多的数据，可能不唯一.(也就是众数可能不止一个)‎ 十一．方差和标准差 方差： 【其中，是样本数据，是样本容量，是样本平均数】‎ 标准差（S）：是方差的算术平方根 无论是方差还是标准差,都可以反映数据的波动性，越大，数据越不稳定；越小，数据越稳定.‎ 十二．一元一次不等式组解集的表示方法 十三．列表法或画树状图求随机事件的概率 ‎1.利用树状图法求随机事件发生的概率，需备具两个条件：‎ ‎（1）两步或两步以上试验的事件发生的概率，且各种情况出现的总次数不是很大；‎ ‎（2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等．‎ ‎ 2.利用列表法求随机事件发生的概率 ‎（1）涉及两步试验的随机事件发生的概率，且各种情况出现的总次数不是很大；‎ ‎（2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等．‎ 列表法注意事项 不放回实验：所列表格对角线上无数据；‎ 放回实验：所列表格对角线上有数据.‎ 注：列表或画图时，要注意不能遗漏任何一种等可能的结果，也不能重复列举．‎ 游戏公平是否公平：看游戏双方获胜的机会是否相等.‎ ‎3.用频率估计概率：当试验次数足够大时,频率将稳定在一个常数附近，此时可以用这个稳定的数值估计事件发生的概率.‎ 几何部分 一．三角形 ‎1.三角形的面积公式：‎ ‎①（a是三角形的底，h是底所对应的高）‎ ‎②(其中，三个角为∠A，∠B，∠C，对边分别为a，b，c)‎ ‎③‎ ‎④（为高所在边的中位线）‎ ‎⑤ （海伦公式）【其中，三个角为∠A，∠B，∠C，对边分别为a，b，c，】‎ ‎⑥(其中，R是外接圆半径)‎ 注：边长为a的等边三角形的面积 ‎2.三角形的四心：‎ （1） 重心：三角形三条中线的交点叫做三角形重心.‎ ‎ 性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1‎ ‎ ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.‎ ‎(2)外心 三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心.‎ 过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，外心到三顶点距离相等. 这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形有且只有一个外接圆.‎ ‎(3)内心 三角形内心为三角形三条内角平分线的交点.‎ 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边距离相等.这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形有且只有一个内切圆.‎ ‎（4）垂心 三角形三边上的三条高或其延长线交于一点，称为三角形垂心.‎ 锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外.三角形只有一个垂心.‎ （5） 直角三角形 性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.若∠BAC=90°，则AB²+AC²=BC²（勾股定理)‎ 性质2:在直角三角形中，两个锐角互余.若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°‎ 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径）.‎ 性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.(等积法)‎ 性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：‎ ‎（1）AD²=BD·DC； （2）AB²=BD·BC；（3）AC²=CD·BC 性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.‎ 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.‎ （5） 三角形全等证明方法：‎ 一般三角形：SSS、SAS、ASA、AAS； Rt三角形：SSS、SAS、ASA、AAS、HL （6） 三角形相似 ‎ 相似三角形的判定方法:‎ 一般三角形 直角三角形 基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.‎ ‎①两角对应相等;（AA）‎ ‎②两边对应成比例,且夹角相等;（SAS）‎ ‎③三边对应成比例.(SSS)‎ ‎①一个锐角对应相等;‎ ‎②两条边对应成比例:‎ a. 两直角边对应成比例;‎ b. 斜边和一直角边对应成比例.(HL)‎ 黄金分割：如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比. ‎ 相似三角形的性质 ‎①相似三角形的对应角相等；‎ ‎②相似三角形的对应边成比例；‎ ‎③相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；‎ ‎④相似三角形的周长比等于相似比；‎ ‎⑤相似三角形的面积比等于相似比的平方.‎ ‎※全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 【注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.】‎ 基本类型 ‎（7）比例的基本性质 比例的基本性质是.‎ 将其进行变形，可以得到如下比例式：‎ ‎①；②；③‎ 合比性质：如果；‎ 等比性质：如果；‎ ‎【如果】‎ ‎（8）平行线分线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.‎ 如图：虽然图（1）和图(2)是两种形式，但是结论是相同的.‎ 用数学表达式表示为：‎ ‎(简记为：)； (简记为：)； (简记为：)；(简记为：)‎ 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.‎ ‎（9）位似图形 ‎ ①定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.‎ ‎②性质 a.位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比；‎ b.位似图形对应线段的比等于相似比；‎ c.位似图形的对应角都相等；‎ d.位似图形对应点连线的交点是位似中心；‎ e.位似图形面积的比等于相似比的平方；‎ f.位似图形高、周长的比都等于相似比；‎ g.位似图形对应边互相平行或在同一直线上.‎ ‎③给出一个图形和位似中心，在位似中心的两侧各有一个符合要求的图形，最好做两个.‎ 例如：如何把三角形ABC放大为原来的2倍?‎ 二．三角函数 ‎1.正弦值（sin）= 余弦值（cos）= 正切值（tan）=‎ ‎【坡度或坡比即坡角的正切值】‎ 2. 特殊角的三角函数值表 名称 ‎0°‎ ‎30°‎ ‎45°‎ ‎60°‎ ‎90°‎ sinα ‎0‎ ‎1‎ cosα ‎1‎ ‎0‎ tanα ‎0‎ ‎1‎ 不存在 ‎3.图形记忆法：‎ 三．四边形 ‎（1）平行四边形的对角线分成的四个三角形面积相等；‎ ‎（2）对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半；‎ ‎（3）一般平行四边形与特殊平行四边形的关系：‎ ‎①平行四边形+一个角是直角=矩形 ‎ 平行四边形+对角线相等=矩形 ‎②平行四边形+一组邻边相等=菱形 ‎ 平行四边形+对角线互相垂直=菱形 ‎③平行四边形+一组邻边相等+一个角等于90°=正方形 ‎ 平行四边形+对角线相等且互相垂直=正方形 四．多边形的性质 多边形 内角和定理 ‎ n边形的内角和=（n-2）×180°（n≥3）‎ 外角和定理 ‎ n边形的外角和=360°‎ 对角线 过n（n≥3）边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线 正多边形 内角 ‎ 每个内角=‎ 对称轴 ‎ n条 五．圆 ‎（1）圆的内接四边形对角互补. 圆的内接平行四边形是矩形.‎ ‎（2）圆的内接四边形中，面积和周长最大的四边形均是正方形；【注：四边形的四个角是任意度数时】‎ ‎（3）圆的外切四边形对边之和相等；圆的外切平行四边形是菱形.‎ ‎（4）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.‎ ‎（与圆相切的直线，同圆内弦相交所形成的夹角叫做弦切角）‎ 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半.等于它所夹的弧的圆周角度数.‎ ‎（5）弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数；‎ ‎☆☆尺规作图：若要作60°的角，必须先做等边三角形，再作该等边三角形的外接圆.‎ ‎（6）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.‎ 垂径定理推论 推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平.‎ 推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧.‎ 推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧.‎ 推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等.‎ ‎（7）切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.‎ （8） 圆外一点与圆上任意一点的距离：‎ AO-r≤PA≤AO+r(A为⊙O外一点，r为⊙O半径，P为⊙O上任意一点)‎ （9） 与圆有关的计算 弧长公式：①圆的周长:C=2πR ②弧长：‎ 面积公式：①圆的面积： ②扇形的面积=‎