中考数学真题分类汇编第三期专题9一元二次方程及其应用试题含解析 8页

一元二次方程及其应用 一.选择题 ‎1.（2018·云南省昆明·4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．m＜3 B．m＞3 C．m≤3 D．m≥3‎ ‎【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根可得△=（﹣2）2﹣4m＞0，求出m的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△=（﹣2）2﹣4m＞0，‎ ‎∴m＜3，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．‎ ‎2. （2018•呼和浩特•3分）下列运算及判断正确的是（　　）#ERR1‎ A．﹣5×÷（﹣）×5=1‎ B．方程（x2+x﹣1）x+3=1有四个整数解 C．若a×5673=103，a÷103=b，则a×b=‎ D．有序数对（m2+1，m）在平面直角坐标系中对应的点一定在第一象限 ‎【解答】解：A．﹣5×÷（﹣）×5=﹣1×（﹣5）×5=25，故错误；‎ B．方程（x2+x﹣1）x+3=1有四个整数解：x=1，x=﹣2，x=﹣3，x=﹣1，故正确；‎ C．若a×5673=103，a÷103=b，则a×b=×=，故错误；‎ D．有序数对（m2+1，m）在平面直角坐标系中对应的点一定在第一象限或第四象限或x轴正半轴上，故错误；‎ 故选：B．‎ ‎3.（2018·湖北咸宁·3分）已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是（　　）‎ A. x1+x2=1 B. x1•x2=﹣1 C. |x1|＜|x2| D. x12+x1=‎ ‎【答案】D ‎【解析】【分析】直接利用根与系数的关系对A.B进行判断；由于x1+x2＜0，x1x2＜0，则利 用有理数的性质得到x1.x2异号，且负数的绝对值大，则可对C进行判断；利用一元二次方程解的定义对D进行判断．‎ ‎【详解】根据题意得x1+x2=﹣=﹣1，x1x2=﹣，故A.B选项错误；‎ ‎∵x1+x2＜0，x1x2＜0，‎ ‎∴x1.x2异号，且负数的绝对值大，故C选项错误；‎ ‎∵x1为一元二次方程2x2+2x﹣1=0的根，‎ ‎∴2x12+2x1﹣1=0，‎ ‎∴x12+x1=，故D选项正确，故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关内容是解题的关键.‎ ‎4.（2018·辽宁大连·3分）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　）‎ A．10×6﹣4×6x=32　　　　　　B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32　　　　　　C．（10﹣x）（6﹣x）=32　　　　　　D．10×6﹣4x2=32‎ 解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）=32．故选B．‎ 二.填空题 ‎1. （2018·湖北荆州·3分）关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1.x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是　 　．‎ ‎【解答】解：∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1.x2，‎ ‎∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣k，‎ ‎∵x12+x22=4，‎ ‎∴=4，‎ ‎（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，‎ ‎2k2+2k﹣4=0，‎ k2+k﹣2=0，‎ k=﹣2或1，‎ ‎∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，‎ k≥0，‎ ‎∴k=1，‎ ‎∴x1•x2=k2﹣k=0，‎ ‎∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎2.（2018·云南省曲靖·3分）关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，那么负整数a=　﹣2　（一个即可）．‎ ‎【解答】解：∵关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，‎ ‎∴△=42+8a≥0，‎ 解得a≥﹣2，‎ ‎∴负整数a=﹣1或﹣2．‎ 故答案为﹣2．‎ ‎3.（2018·浙江省台州·5分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个相等的实数根，则m=　　．‎ ‎【分析】利用判别式的意义得到△=32﹣4m=0，然后解关于m的方程即可，‎ ‎【解答】解：根据题意得△=32﹣4m=0，‎ 解得m=．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．‎ ‎4. （4分）已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，则x12+x22=　　．‎ ‎【分析】找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．‎ ‎【解答】解：∵x1.x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，‎ ‎∴x1+x2=．x1x2=﹣，‎ ‎∴x12+x22=，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键．‎ 三.解答题 ‎1. （2018·广西梧州·6分）解方程：2x2﹣4x﹣30=0．‎ ‎【分析】利用因式分解法解方程即可；‎ ‎【解答】解：∵2x2﹣4x﹣30=0，‎ ‎∴x2﹣2x﹣15=0，‎ ‎∴（x﹣5）（x+3）=0，‎ ‎∴x1=5，x2=﹣3．‎ ‎【点评】本题考查一元二次方程的解法﹣因式分解法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法，属于中考基础题．‎ ‎2. （2018·湖北江汉·7分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0．‎ ‎（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；‎ ‎（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值．‎ ‎【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；‎ ‎（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2=21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，‎ 解得m≥﹣，‎ 所以m的最小整数值为﹣2；‎ ‎（2）根据题意得x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，‎ ‎∵（x1﹣x2）2+m2=21，‎ ‎∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2=21，‎ ‎∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，‎ 整理得m2+4m﹣12=0，解得m1=2，m2=﹣6，‎ ‎∵m≥﹣，‎ ‎∴m的值为2．‎ ‎3. （2018·湖北十堰·7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．‎ ‎【分析】（1）根据方程有实数根得出△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，解之可得．‎ ‎（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．‎ ‎【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根，‎ ‎∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，‎ 解得k≤．‎ ‎（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，‎ ‎∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，‎ ‎∵x12+x22=11，‎ ‎∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，‎ ‎∵k≤，‎ ‎∴k=4（舍去），‎ ‎∴k=﹣1．‎ ‎【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．‎ ‎4．（2018·辽宁省沈阳市）（8.00分）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．‎ 假设该公司2.3.4月每个月生产成本的下降率都相同．‎ ‎（1）求每个月生产成本的下降率；‎ ‎（2）请你预测4月份该公司的生产成本．‎ ‎【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；‎ ‎（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，‎ 根据题意得：400（1﹣x）2=361，‎ 解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．‎ 答：每个月生产成本的下降率为5%．‎ ‎（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元）．‎ 答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．‎ ‎5．（2018·重庆市B卷）（10.00分）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．‎ ‎（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？‎ ‎（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．‎ ‎【分析】（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50﹣x）个垃圾集中处理点，根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；‎ ‎（2）根据单价=总价÷数量可求出修建每个沼气池的平均费用，进而可求出修建每个垃圾集中点的平均费用，设y=a%结合总价=单价×数量即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，进而可得出a的值．‎ ‎【解答】解：（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50﹣x）个垃圾集中处理点，‎ 根据题意得：x≥4（50﹣x），‎ 解得：x≥40．‎ 答：按计划，2018年前5个月至少要修建40个沼气池．‎ ‎（2）修建每个沼气池的平均费用为78÷[40+（50﹣40）×2]=1.3（万元），‎ 修建每个垃圾处理点的平均费用为1.3×2=2.6（万元）．‎ 根据题意得：1.3×（1+a%）×40×（1+5a%）+2.6×（1+5a%）×10×（1+8a%）=78×（1+10a%），‎ 设y=a%，整理得：50y2﹣5y=0，‎ 解得：y1=0（不合题意，舍去），y2=0.1，‎ ‎∴a的值为10．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍，列出关于x的一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．‎ ‎6. （2018•呼和浩特•7分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1•x2=．‎ 解：∵ax2+bx+c=0（a≠0），‎ ‎∴x2+x=﹣，‎ ‎∴x2+x+（）2=﹣+（）2，‎ 即（x+）2=，‎ ‎∵4a2＞0，‎ ‎∴当b2﹣4ac≥0时，方程有实数根，‎ ‎∴x+=±，‎ ‎∴当b2﹣4ac＞0时，x1=，x2=；‎ 当b2﹣4ac=0时，x1=x2=﹣；‎ ‎∴x1•x2====，‎ 或x1•x2=（﹣）2===，‎ ‎∴x1•x2=．‎ ‎7. （2018•乐山•10分）先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m是方程x2+x﹣2=0的根 解：原式=4m2﹣1﹣（m2﹣2m+1）+8m3÷（﹣8m）‎ ‎=4m2﹣1﹣m2+2m﹣1﹣m2‎ ‎=2m2+2m﹣2‎ ‎=2（m2+m﹣1）．‎ ‎∵m是方程x2+x﹣2=0的根，∴m2+m﹣2=0，即m2+m=2，则原式=2×（2﹣1）=2．‎ ‎7. （2018•乐山•10分）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．‎ ‎（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；‎ ‎（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；‎ ‎（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．‎ ‎（1）证明：由题意可得：‎ ‎△=（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5）‎ ‎=1+25m2﹣20m+20m ‎=25m2+1＞0，故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；‎ ‎（2）解：mx2+（1﹣5m）x﹣5=0，解得：x1=﹣，x2=5，由|x1﹣x2|=6，得|﹣﹣5|=6，解得：m=1或m=﹣；‎ ‎（3）解：由（2）得：当m＞0时，m=1，此时抛物线为y=x2﹣4x﹣5，其对称轴为：x=2，由题已知，P，Q关于x=2对称，∴ =2，即2a=4﹣n，∴4a2﹣n2+8n=（4﹣n）2﹣n2+8n=16．‎