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- 2021-05-10 发布
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2018春中考数学《线段和的最小值》专题练习
1. 如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上,顶点B的坐标为(,),点C的坐标为(1,0),点P为斜边OB上的一动点,则PA+PC的最小值为( )
A. B. C.3 D.
第1题图
2. 如图,菱形的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边AB、BC的中点,点P为AC上的一动点,则PM+PN的最小值是( )
第2题图
A.4 B.5 C.6 D.3
3. (2017遵义模拟)如图,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有点P,使PD+PE最小,则这个最小值为( )
A. B. 2 C. 2 D.
第3题图
4. (2017菏泽)如图,矩形ABOC的顶点A的坐标为(-4,5),D是OB的中点,E是OC上的一点,当△ADE的周长最小时,点E的坐标是( )
第4题图
A.(0,) B.(0,) C.(0,2) D.(0,)
5. (2017黔东南州模拟)如图,边长为2的正六边形ABCDEF中,点P是其对角线BE上一动点,连接PC、PD,则△PCD周长的最小值是________.
第5题图
6. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是( )
第6题图
A. B. 4 C. 5 D.
7. 如图,在▱ABCD中,AB=2,BC=4,∠D=60°,点P、Q分别是AC和BC上的动点,在点P和点Q运动的过程中,PB+PQ的最小值为( )
A.4 B.3 C.2 D.4
第7题图
8. (2017宿迁)如图,正方形ABCD的边长为3,点E在边AB上,且BE=1,若点P在对角线BD上移动,则PA+PE的最小值是________.
第8题图
9. (2017新疆内高)如图,在Rt△ABC中,AB=BC=5,点D,E分别在边AB,BC上,AD=1,CE=2,P是斜边AC上的一个动点,则△PDE周长的最小值是________.
第9题图
10. (2016随州)如图,直线y=x+4与双曲线y=(k≠0)相交于A(-1,a)、B两点,在y轴上找一点P,当PA+PB的值最小时,点P的坐标为________.
第10题图
11. 在矩形ABCD中,AB=3,BC=3,∠ABC=90°,BD为矩形的对角线,M、N分别是BD、BC上的动点,则CM+MN的最小值是________.
第11题图
12. 已知正方形ABCD的边长为2,点P、Q分别为AD、CD的中点,E、F分别为AB、BC边上的两个动点,求四边形PQFE周长的最小值为______.
第12题图
13. (2017徐州)如图,将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠,展平后,得折痕AD、BE(如图①),点O为其交点.
(1)探求AO与OD的数量关系,并说明理由;
(2)如图②,若P、N分别为BE、BC上的动点.
①当PN+PD的长度取得最小值时,求BP的长度;
②如图③,若点Q在线段BO上,BQ=1,则QN+NP+PD的最小值=________.
第13题图
答案
1. B 【解析】作点A关于OB的对称点D,连接CD交OB于点P,连接AP,则此时PA+PC的值最小,∵DP=PA,∴PA+PC=PD+PC=CD,∵B(,),∴AB=,OA=,∵∠OAB=90°,∴∠B=∠AOB=45°,由勾股定理得,OB=AD=2,∵C(1,0),∴CD=,即PA+PC的最小值是.
第1题解图
2. B 【解析】如解图,作ME⊥AC交AD于点E,连接EN,则EN就是PM+PN的最小值,∵M、N分别是AB、BC的中点,∴BN=BM=AM,∵ME⊥AC交AD于点E,∴AE=AM,∴AE=BN,AE∥BN,∴四边形ABNE是平行四边形,∴EN=AB,∵菱形的两条对角线分别为6和8,∴AB==5,∴PM+PN的最小值为5.
第2题解图
3. B 【解析】∵点B与点D关于AC对称,∴PD=PB.当B、E、P三点共线时,PB+PE值最小,此时P为线段BE与AC
交点.又∵S正方形ABCD=12,∴AB==2,∴BE=2,此时PD+PE最小,最小值为2.
4. B 【解析】∵四边形ABOC是矩形,且A(-4,5),∴AB=5,且B(-4,0).∵点D为OB的中点,∴D(-2,0),∴BD=2,∴AD==,要使得△ADE的周长最小,AD为定长,∴只需DE+AE最小即可.如解图,作点D关于y轴对称的点F(2,0),连接AF,则AF与y轴的交点即为点E.设直线AF的解析式为y=kx+b,∴,解得,∴E(0,).
第4题解图
5. 6 【解析】如解图,连接AP,AD.
∵六边形ABCDEF为正六边形,∴BE所在直线为其一条对称轴.由两点之间线段最短可知,当P为AD与BE的交点时,PA+PD最小,即PC+PD最小,此时P点为AD中点,∴△PCD为等边三角形,∴周长最小值为2×3=6.
第5题解图
6. D 【解析】过点D作DE⊥AB于点E,过点E作EQ⊥AC于点Q,EQ交AD于点P,连接CP,此时PC+PQ=EQ取最小值,如解图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴AB==10.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠CAD=∠EAD,在△ACD和△AED中,,∴△ACD≌△AED(AAS),∴AE=AC=6.∵EQ⊥AC,∠ACB=90°,∴EQ∥BC,∴==,∴EQ=.
第6题解图
7. C 【解析】取BC的中点G,连接AG.
第7题解图
∵AB=BG=2,∠ABG=∠D=60°,∴△ABG是等边三角形,∴AG=GC=2,∠AGB=∠BAG=60°,∴∠GAC=∠GCA=30°,∴∠BAC=90°,作点B关于AC的对称点F,连接CF,作BE⊥CF于点E,则BE的长即为PB+PQ的最小值(垂线段最短),易知△BCF是等边三角形,则BE=×4=2,
∴BP+PQ的最小值为2.
8. 【解析】如解图,作点E关于BD的对称点F,连接AF,交BD于点P,P点即为符合题意的点.∵点E与点F关于BD对称,此时AF的长即为PA+PE的最小值.又∵AB=3,BE=BF=1,∴AF= =.
第8题解图
9. 5+ 【解析】如解图,作点D关于AC的对称点D′,过D′作D′M⊥BC于M点.∵AB=BC且△ABC为直角三角形.∴AD′=AD=1,∠DAD′=∠DAC+∠CAD′=90°,∴AD′∥BC,∴四边形ABMD′为矩形,连接D′E,与AC交于P点,由两点之间线段最短可知,PD+PE的最小值为D′E.D′E=,ME=BE-BM=2,D′M=5,∴D′E=.∴△PDE周长的最小值为DE+D′E=+D′E=5+.
第9题解图
10. (0,) 【解析】由一次函数解析式求出点A坐标为(-1,3),双曲线过点A,∴k=-1·3=-3,此时联立两函数解析式,解得x1=-1,x2=-3,∴点B坐标是(-3,1).同侧两点求最小值,作点A关于
y轴的对称点A′,则A′的坐标为(1,3),如解图所示,连接BA′,与y轴的交点即为所求的点P,设直线A′B的函数解析式为y=k1x+b1,将A′(1,3),B(-3,1)分别代入得,解得,则直线A′B的函数解析式为:y=x+,点P(0,).
第10题解图
11. 【解析】如解图所示,作点C关于BD对称点C′,连接BC′,过点C′作C′N⊥BC于点N,交BD于点M,连接MC,此时CM+NM=C′N最小,∵AB=3,BC=3,∴CD=3,∴tan∠DBC==,∴∠DBC=30°,∴∠C′BC=60°,∵BC=BC′,∴△BCC′是等边三角形,∴sin60°==,∴NC′=MN+MC=3×=.
第11题解图
12. 4 【解析】如解图,连接AC,延长DA至点M,使AM=
AP,延长DC至点N,使CN=CQ,则AM=AP=CN=CQ=1,∴DM=DN=3,在Rt△ACD中,AC==2,∵点P、Q分别为AD、CD的中点,∴PQ=AC=,当E、F分别是MN和AB、BC的交点时,四边形PQFE的周长最小,则PE+EF+FQ的最小值是MN==3,则四边形PQFE周长的最小值是3+=4.
第12题解图
13. 解:(1)AO=2OD.理由如下:
在Rt△BOD中 ,∠OBD=30°,
∴BO=2OD.
又∵∠OAB=∠OBA=30°,
∴OA=OB,
∴AO=2OD;
(2)①如解图①,过D点作BE的对称点M,过点M作MN⊥BD,交BD于点N,则点P、N就是所求的点.
∵BE垂直平分DM、BD=BM,
∴BD=BM,
∵∠ABC=60°,
∴△BMD是等边三角形,∴BN=DB=,∵∠PBN=30°,∴BP==.
第13题解图
②.
【解法提示】如解图②,作Q关于BD的对称点Q′,作D关于BE的对称点D′,连接Q′D′,Q′D′就是QN+NP+PD的最小值.连接BQ′,在△BQ′D′中,∠Q′BD′=60°+30°=90°,Q′B=QB=1,BD′=BD=3,∴D′Q′==,即QN+NP+PD的最小值为.