中考数学真题分类汇编150套专题二十七等腰三角形 19页

一、选择题 ‎1．（2010浙江宁波） 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，‎ ‎ 则图中的等腰三角形有 ‎ (A)5个 (B)4个 (C)3个 (D)2个 ‎(第10题)‎ ‎【答案】A ‎ ‎2．（2010 浙江义乌）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（ ▲ ）‎ A B C D P A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎【答案】B ‎3．（2010江苏无锡）下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是 （ ）‎ A．两边之和大于第三边 B．有一个角的平分线垂直于这个角的对边 C．有两个锐角的和等于90° D．内角和等于180°‎ ‎【答案】B ‎ ‎4.（2010 黄冈）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　　）‎ A．　　B．　　C．　　D．不能确定 ‎　　　　　第15题图 ‎【答案】B．‎ ‎5．（2010山东烟台）如图，等腰△ ABC中，AB=AC，∠A=20°。线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于 A、80° B、 70° C、60° D、50°‎ ‎【答案】C ‎ ‎6．（2010江西）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是( )‎ A．8 B．7 C． 4 D．3‎ ‎【答案】B ‎7．（2010湖北武汉）如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是（ ）‎ A.100° B.80°‎ C.70° D.50°‎ ‎【答案】A ‎8．（2010山东威海）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点， ‎ 连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是 ‎ A D B E A．BC＝2BE ‎ B．∠A＝∠EDA ‎ C C．BC＝2AD ‎ D．BD⊥AC ‎ ‎【答案】C ‎ ‎9．（2010 湖南株洲）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、‎ 是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是 第8题图 A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】C ‎ ‎10．（2010云南楚雄）已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是（ ）‎ A．55°，55° B．70°，40° C．55°，55°或70°，40° D．以上都不对 ‎【答案】C ‎11．（2010湖北随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　　）‎ A．　　B．　　C．　　D．不能确定 ‎　　　　　第15题图 ‎【答案】B ‎ ‎12．（2010湖北襄樊）已知：一等腰三角形的两边长x、y满足方程组则此等腰三角形的周长为（ ）‎ A．5 B．4 C．3 D．5或4‎ ‎ ‎ ‎【答案】A ‎ ‎13．（2010 山东东营）如图，点C是线段AB上的一个动点，△ACD和△BCE是在AB同侧的两个等边三角形，DM，EN分别是△ACD和△BCE的高，点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动(不与点A，B重合)，连接DE，得到四边形DMNE．这个四边形的面积变化情况为（ ）‎ ‎（A）逐渐增大 (B) 逐渐减小 (C) 始终不变 (D) 先增大后变小 ‎【答案】C ‎ ‎14．（2010 广东汕头）如图，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC 上的点E处．下面结论错误的是（　　）‎ A．AB＝BE B．AD＝DC　 C．AD＝DE　 D．AD＝EC ‎【答案】B ‎ ‎15．（2010 重庆江津）已知：△ABC中，AB=AC=，BC=6，则腰长的 取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎16．（2010 重庆江津）如图，在Rt△ABC 中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接．下列结论中正确的个数有（ ）‎ ‎① ②△∽△‎ ‎③平分 ④‎ A．１个　 B．２个　 C．３个　　 D．４个　　　　　　　　‎ ‎【答案】C ‎ ‎17．（2010广东茂名）如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E、F分别是边AB、AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是 ‎(第5题图)‎ A、15米 B、20米 C、25米 D、30米 ‎【答案】C ‎ ‎18．（2010广东深圳）如图1，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°。则∠B的度数是 A．40° B．35° C．25° D．20°‎ ‎【答案】C ‎ ‎19．（2010贵州铜仁）如图，小红作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积，用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积……，由此可得，第8个正△A8B8C8的面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ ‎20．（2010四川广安）等腰三角形的两边长为4、9，则它的周长是 ‎ A．17 B．17或22 C．20 D．22‎ ‎【答案】D ‎ ‎21．（2010黑龙江绥化）如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC、FG，则下列结论：①AE＝BD ②AG＝BF ③FG∥BE ④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数（ ）‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【答案】D ‎ ‎22．（2010广东清远）等腰三角形的底角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( )‎ A．40° B．80° C．100° D．100°或40°‎ ‎【答案】C ‎ 二、填空题 ‎1．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是__________________。（把所有正确答案的序号都填写在横线上）‎ ‎①∠BAD＝∠ACD ②∠BAD＝∠CAD，‎ ‎③AB+BD＝AC+CD ④AB-BD＝AC-CD ‎【答案】﹝2﹞﹝3﹞﹝4﹞‎ ‎2．（2010广东广州，16，3分）如图4，BD是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°，∠C＝72°，则图中的等腰三角形有_____个．‎ ‎【答案】3‎ ‎3．（2010江苏无锡）如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，‎ ‎∠ACB=80°，则∠BCE= ▲ °．‎ ‎（第16题）‎ ‎【答案】50° ‎ ‎4．（2010江苏泰州）等腰△ABC的两边长分别为2和5，则第三边长为 ．‎ ‎【答案】5‎ ‎5．（2010四川眉山）如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．‎ ‎……‎ ‎【答案】17‎ ‎6．（2010浙江绍兴）做如下操作：在等腰三角形ABC中,AB= AC,AD平分∠BAC,‎ 交BC于点D.将△ABD作关于直线AD的轴对称变换,所得的 像与△ACD重合.‎ 第15题图 对于下列结论:①在同一个三角形中,等角对等边;②在同一个三角形中,等边对等角;③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和高互相重合.‎ 由上述操作可得出的是 (将正确结论的序号都填上). ‎ ‎【答案】②③‎ ‎7．（2010江苏淮安）已知周长为8的等腰三角形，有一个腰长为3，则最短的一条串位线长为 ．‎ ‎【答案】1.5‎ ‎8．（2010 山东滨州）如图,等边△‎ ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 . ‎ ‎【答案】‎ ‎9．（2010四川内江）下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形有　　　　　个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形有　　　　　个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形有　　　　　个.‎ 图2‎ 图1‎ 图4‎ 图3‎ ‎【答案】10，28，50　‎ ‎10．（2010 湖南湘潭）△ABC中，若∠A=80o， ∠B=50o，AC=5，则AB= .‎ ‎【答案】5‎ ‎11．（2010广西桂林）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2； P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是________．‎ ‎【答案】3‎ ‎12．（2010 广西钦州市）如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD0⊥BC，垂足为点D0．过点D0作D0D1⊥AB，垂足为点D1；再过点D1作D1D2⊥AD0，垂足为点D2；又过点D2作D2D3⊥AB，垂足为点D3；……；这样一直作下去，得到一组线段：D0D1，D1D2，D2D3，……，则线段Dn-1Dn的长为_ ▲ _（n为正整数）． ‎ 第10题 D1‎ D5‎ D2‎ D3‎ D4‎ D0‎ ‎ 全品中考网 ‎【答案】‎ ‎13．（2010年山西）如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，则DE的长是 。‎ ‎【答案】‎ ‎14．（2010天门、潜江、仙桃）从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于 .‎ ‎【答案】72°，（）°‎ ‎15．（2010四川攀枝花）如图8，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90,‎ 直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F．给出以下四个结论：‎ ‎①BE=AF,②Ｓ△EPF的最小值为,③tan∠PEF=，④Ｓ四边形AEPF=１.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论始终正确是 ．（将正确的命题序号全部写上）‎ C A 图8‎ P E F B ‎【答案】①②④‎ ‎16．（2010湖北黄石） 如图，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为 .‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎1．（2010辽宁丹东市）如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN也随之整体移动） ．‎ ‎ （1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；‎ ‎ （2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由． ‎ 图①‎ 图②‎ 图③‎ 第25题图 A ‎·‎ B C D E F ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎【答案】（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上， 3分 ‎（说明：答对一个给2分）‎ ‎（2）成立． 4分 证明：‎ 法一：连结DE，DF． 5分 ‎∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．‎ 又∵D，E，F是三边的中点， ‎ ‎∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．‎ 又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°， ‎ ‎∴∠MDF=∠NDE． 7分 在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE，‎ ‎∴△DMF≌△DNE． 8分 N C A B F M D E N C A B F M D E ‎∴MF=NE． 　 9分 法二：‎ 延长EN，则EN过点F． 5分 ‎∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．‎ 又∵D，E，F是三边的中点， ∴EF=DF=BF． ‎ ‎ ∵∠BDM+∠MDF=60°， ∠FDN+∠MDF=60°，‎ ‎∴∠BDM=∠FDN． 7分 又∵DM=DN， ∠ABM=∠DFN=60°，‎ ‎∴△DBM≌△DFN． 8分 ‎∴BM=FN．‎ ‎∵BF=EF， ∴MF=EN． 9分 法三：‎ 连结DF，NF． 5分 ‎∵△ABC是等边三角形， ‎ ‎∴AC=BC=AC．‎ 又∵D，E，F是三边的中点， ‎ ‎∴DF为三角形的中位线，∴DF=AC=AB=DB． ‎ 又∠BDM+∠MDF=60°， ∠NDF+∠MDF=60°， ‎ ‎∴∠BDM=∠FDN． 7分 在△DBM和△DFN中，DF=DB，‎ DM=DN， ∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN． ‎ ‎∴∠B=∠DFN=60°． 8分 又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形，‎ ‎∴∠DFE=60°．‎ ‎∴可得点N在EF上，‎ ‎∴MF=EN． 9分 ‎（3）画出图形（连出线段NE）， 11分 MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）． 12分 ‎2．（2010 福建晋江）（13分）如图，在等边中，线段为边上的中线. 动点在直线上时，以为一边且在的下方作等边，连结.‎ ‎(1) 填空：度；‎ ‎(2) 当点在线段上(点不运动到点)时，试求出的值；‎ ‎(3)若，以点为圆心，以5为半径作⊙与直线相交于点、两点，在点运动的过程中(点与点重合除外)，试求的长.‎ A B C 备用图(1)‎ A B C 备用图(2)‎ ‎【答案】26.（本小题13分）‎ ‎(1)60；…………………………………………（3分）‎ ‎(2)∵与都是等边三角形 ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎∴……………………………（5分）‎ ‎∴≌‎ ‎∴，∴.………………………（7分）‎ ‎(3)①当点在线段上（不与点重合）时，由(2)可知≌，则，作于点，则，连结，则.‎ 在中，，，则.‎ 在中，由勾股定理得：，则.………………………（9分）‎ ‎②当点在线段的延长线上时，∵与都是等边三角形 ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴≌‎ ‎∴，同理可得：.…………………………（11分）‎ ‎③当点在线段的延长线上时，‎ ‎∵与都是等边三角形 ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴≌‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ 同理可得：.‎ 综上，的长是6. ………………………（13分）‎ ‎3．（2010 山东济南）（1）如图，已知．求证．‎ A C E D B ‎【答案】证明：∵AB=AC ‎∴∠B=∠C ∵AD=AE ‎∴∠ADE=∠AEC ‎∴180O -∠ADE=180O -∠AEC ‎ 即∠ADB=∠AEC ‎ 在△ABD和△ACE中 ‎∵AB=AC ‎∠B=∠C ‎∠ADB=∠AEC ‎∴△ABD≌△ACE ‎ ‎∴BD=CE ‎ ‎4．（2010湖南衡阳）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使 CE ＝ CD．求证：BD ＝ DE．‎ ‎、【答案】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵D为AC中点，∴∠DBC=30°，∵CE ＝ CD，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴BD ＝ DE.‎ ‎5．（2010 山东省德州）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．‎ ‎(1)求证：AB＝DC；‎ ‎(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．‎ A D B E F C O 第18题图 A D B E F C O ‎【答案】证明：（１）∵BE＝CF，‎ ‎∴BE＋EF＝CF＋EF， ‎ 即BF＝CE． ‎ 又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，‎ ‎∴△ABF≌△DCE（AAS）， ‎ ‎∴AB＝DC． ‎ ‎（２）△OEF为等腰三角形 ‎ 理由如下：∵△ABF≌△DCE，‎ ‎∴∠AFB=∠DEC．‎ ‎∴OE=OF．‎ ‎∴△OEF为等腰三角形． ‎ ‎6．（2010江苏常州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD=CE，‎ ‎∠DBC=∠ECB。‎ 求证：AB=AC。‎ ‎【答案】‎ ‎7．（2010四川内江）如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE，AE于点G、H.‎ 试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由. ‎ F G H ‎ ‎ ‎【答案】解：猜测 AE＝BD，AE⊥BD. 2分 ‎ 理由如下：‎ ‎∵∠ACD＝∠BCE＝90°，‎ ‎∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB. 3分 ‎∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，‎ ‎∴AC＝CD，CE＝CB. 4分 ‎∴△ACE≌△DCB（S.A.S.） 5分 ‎∴AE＝BD， 6分 ‎∠CAE＝∠CDB,. 7分 ‎∵∠AFC＝∠DFH，‎ ‎∴∠DHF＝∠ACD＝90°， 8分 ‎∴AE⊥BD. 9分 ‎ ‎8．（2010 福建三明）如图，都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点。 全品中考网 ‎ （1）求证：△ACE≌△BCD；（5分）‎ ‎ （2）若AD=5，BD=12，求DE的长。（5分）‎ ‎【答案】（1）证明：都是等腰直角三角形 ‎∴AC=BC，EC=DC …………2分 ‎ …………3分 在中，AC=BC EC=DC ‎ ‎≌ …………3分 ‎ （2）解：由（1）可得AE=BD，‎ 又 ‎，即是直角三角形…………8分 ‎ …………10分 ‎9．（2010湖北襄樊） 如图5，点E、C在BF上，BF=FC，∠ABC=∠DEF=45°，∠A=∠D=90°．‎ ‎ （1）求证：AB=DE；‎ ‎ （2）若AC交DE于M，且AB=，ME=，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数．‎ 图5‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）∵BE=FC，∴BC=EF．‎ 又∵∠ABC=∠DEF，∠A=∠D，‎ ‎∴△ABC≌△DEF．‎ ‎∴AB=DE．‎ ‎（2）∵∠DEF=∠B=45°，∴DE//AB．∴∠CME=∠A=90°．‎ ‎∴AC=AB=，MC=ME=．‎ ‎∴CG=CE=2．‎ 在Rt△CAG中，cos∠ACG=，∴∠ACG=30°．‎ ‎∴∠ECG=∠ACB－∠ACG=45°－30°=15°．‎ ‎10．（2010 内蒙古包头）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．‎ ‎（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．‎ ‎①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；‎ ‎②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？‎ ‎（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？‎ A Q C D B P ‎【答案】A Q C D B P 解：（1）①∵秒，‎ ‎∴厘米，‎ ‎∵厘米，点为的中点，‎ ‎∴厘米．‎ 又∵厘米，‎ ‎∴厘米，‎ ‎∴．‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴． （4分）‎ ‎②∵， ∴，‎ 又∵，，则，‎ ‎∴点，点运动的时间秒，‎ ‎∴厘米/秒． （7分）‎ ‎（2）设经过秒后点与点第一次相遇，‎ 由题意，得，‎ 解得秒．‎ ‎∴点共运动了厘米．‎ ‎∵，‎ ‎∴点、点在边上相遇，‎ ‎∴经过秒点与点第一次在边上相遇． （12分）‎ ‎11．（2010湖北十堰）如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，‎ CE⊥AB.‎ 求证：BD=CE.‎ A B C D E ‎（第19题）‎ ‎【答案】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB ‎ ∴∠ADB=∠AEC=90°‎ 在△ABD和△AEC中，∠ADB=∠AEC=90°，∠A=∠A，AB=AC ‎∴△ABD≌△AEC ‎∴BD=CE.‎ ‎12．（2010广东深圳）如图8，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上。‎ ‎（1）求证：△AOC≌△BOD；（4分）‎ ‎（2）若AD=1，BD=2，求CD的长。（3分）‎ ‎【答案】（1）证明：如右图，‎ 图8‎ ‎，‎ 又，‎ ‎（2）由有：，，‎ ‎，故