中考数学一模试卷含解析43 12页

‎2016年湖南省邵阳市邵阳县中考数学一模试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．﹣的相反数是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．﹣‎ ‎2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．关于x的方程mx﹣1=2x的解为正实数，则m的取值范围是（　　）‎ A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2‎ ‎4．下列四个几何体中，已知某个几何体的主视图、左视图、俯视图分别为长方形、长方形、圆，则该几何体是（　　）‎ A．球体 B．长方体 C．圆锥体 D．圆柱体 ‎5．某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎6．下列运算正确的是（　　）‎ A．5m+2m=7m2 B．﹣2m2•m3=2m5‎ C．（﹣a2b）3=﹣a6b3 D．（b+2a）（2a﹣b）=b2﹣4a2‎ ‎7．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=71°，∠CAB=53°，点D在AC弧上，则∠ADB的大小为（　　）‎ A．46° B．53° C．56° D．71°‎ ‎8．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（　　）‎ A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里 ‎9．反比例函数y=的图象如图所示，以下结论：‎ ‎①常数m＜﹣1；‎ ‎②在每个象限内，y随x的增大而增大；‎ ‎③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；‎ ‎④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．‎ 其中正确的是（　　）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎10．如图，在直角坐标系中，直线AB经点P（3，4），与坐标轴正半轴相交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，△AOB的内切圆的半径是（　　）‎ A．2 B．3.5 C． D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共24分）‎ ‎11． +（y﹣2012）2=0，则xy=______．‎ ‎12．已知m2﹣m=6，则3﹣2m2+2m=______．‎ ‎13．一种花粉颗粒的直径约为0.0000065米，将0.0000065用科学记数法表示为______．‎ ‎14．一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和1个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．则两次都摸到红球的概率是______．‎ ‎15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=______．‎ ‎16．在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为______．‎ ‎17．抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为______．‎ ‎18．边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为______．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19．计算：﹣12+4sin60°﹣+（﹣2015）0．‎ ‎20．化简求值：[﹣]•，其中x=+1．‎ ‎21．父亲节快到了，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同．‎ ‎（1）求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率；‎ ‎（2）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性是否会增大？请说明理由．‎ ‎22．为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？‎ ‎23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．‎ ‎（1）求n的值；‎ ‎（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．‎ ‎24．如图，甲船在港口P的南偏东60°方向，距港口30海里的A处，沿AP方向以每小时5海里的速度驶向港口P；乙船从港口P出发，沿南偏西45°方向驶离港口P．现两船同时出发，2小时后甲船到达B处，乙船到达C处，此时乙船恰好在甲船的正西方向，求乙船的航行距离（≈1.41，≈1.73，结果保留整数）．‎ ‎25．如图，抛物线y=ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．‎ ‎（1）求抛物线的对称轴；‎ ‎（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；‎ ‎（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016年湖南省邵阳市邵阳县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．﹣的相反数是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．﹣‎ ‎【考点】相反数．‎ ‎【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．‎ ‎【解答】解：﹣的相反数是．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】轴对称图形．‎ ‎【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；‎ B、不是轴对称图形，故B不符合题意；‎ C、不是轴对称图形，故C不符合题意；‎ D、不是轴对称图形，故D不符合题意．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．关于x的方程mx﹣1=2x的解为正实数，则m的取值范围是（　　）‎ A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2‎ ‎【考点】解一元一次不等式；一元一次方程的解．‎ ‎【分析】根据题意可得x＞0，将x化成关于m的一元一次方程，然后根据x的取值范围即可求出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：由mx﹣1=2x，‎ 移项、合并，得（m﹣2）x=1，‎ ‎∴x=．‎ ‎∵方程mx﹣1=2x的解为正实数，‎ ‎∴＞0，‎ 解得m＞2．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．下列四个几何体中，已知某个几何体的主视图、左视图、俯视图分别为长方形、长方形、圆，则该几何体是（　　）‎ A．球体 B．长方体 C．圆锥体 D．圆柱体 ‎【考点】由三视图判断几何体．‎ ‎【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形．‎ ‎【解答】解：A、球体的三视图都是圆，不符合题意；‎ B、长方体的三视图都是矩形，不符合题意；‎ C、圆锥体的主视图，左视图都是等腰三角形，俯视图是圆和中间一点，不符合题意；‎ D、圆柱体的主视图，左视图都是长方形，俯视图是圆，符合题意．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎【考点】中位数；算术平均数．‎ ‎【分析】本题可先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．‎ ‎【解答】解：∵某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7．已知这组数据的平均数是5，‎ ‎∴x=5×7﹣4﹣4﹣5﹣6﹣6﹣7=3，‎ ‎∴这一组数从小到大排列为：3，4，4，5，6，6，7，‎ ‎∴这组数据的中位数是：5．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．下列运算正确的是（　　）‎ A．5m+2m=7m2 B．﹣2m2•m3=2m5‎ C．（﹣a2b）3=﹣a6b3 D．（b+2a）（2a﹣b）=b2﹣4a2‎ ‎【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；单项式乘单项式；平方差公式．‎ ‎【分析】A、依据合并同类项法则计算即可；B、依据单项式乘单项式法则计算即可；C、依据积的乘方法则计算即可；D、依据平方差公式计算即可．‎ ‎【解答】解：A、5m+2m=（5+2）m=7m，故A错误；‎ B、﹣2m2•m3=﹣2m5，故B错误；‎ C、（﹣a2b）3=﹣a6b3，故C正确；‎ D、（b+2a）（2a﹣b）=（2a+b）（2a﹣b）=4a2﹣b2，故D错误．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=71°，∠CAB=53°，点D在AC弧上，则∠ADB的大小为（　　）‎ A．46° B．53° C．56° D．71°‎ ‎【考点】圆周角定理．‎ ‎【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据圆周角定理得出∠C，求出即可．‎ ‎【解答】解：∵∠ABC=71°，∠CAB=53°，‎ ‎∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=56°，‎ ‎∵弧AB对的圆周角是∠ADB和∠ACB，‎ ‎∴∠ADB=∠ACB=56°，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（　　）‎ A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里 ‎【考点】等腰三角形的判定与性质；方向角；平行线的性质．‎ ‎【分析】根据方向角的定义即可求得∠M=70°，∠N=40°，则在△MNP中利用内角和定理求得∠NPM的度数，证明三角形MNP是等腰三角形，即可求解．‎ ‎【解答】解：MN=2×40=80（海里），‎ ‎∵∠M=70°，∠N=40°，‎ ‎∴∠NPM=180°﹣∠M﹣∠N=180°﹣70°﹣40°=70°，‎ ‎∴∠NPM=∠M，‎ ‎∴NP=MN=80（海里）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．反比例函数y=的图象如图所示，以下结论：‎ ‎①常数m＜﹣1；‎ ‎②在每个象限内，y随x的增大而增大；‎ ‎③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；‎ ‎④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．‎ 其中正确的是（　　）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎【考点】反比例函数的性质．‎ ‎【分析】根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数的图象位于一三象限，‎ ‎∴m＞0‎ 故①错误；‎ 当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故②错误；‎ 将A（﹣1，h），B（2，k）代入y=得到h=﹣m，2k=m，‎ ‎∵m＞0‎ ‎∴h＜k 故③正确；‎ 将P（x，y）代入y=得到m=xy，将P′（﹣x，﹣y）代入y=得到m=xy，‎ 故P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上 故④正确，‎ 故选C ‎　‎ ‎10．如图，在直角坐标系中，直线AB经点P（3，4），与坐标轴正半轴相交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，△AOB的内切圆的半径是（　　）‎ A．2 B．3.5 C． D．4‎ ‎【考点】三角形的内切圆与内心；坐标与图形性质．‎ ‎【分析】设直线AB的解析式是y=kx+b，把P（3，4）代入求出直线AB的解析式是y=kx+4﹣3k，求出OA=4﹣3k，OB=，求出△AOB的面积是•OB•OA=12﹣=12﹣（9k+），根据﹣9k﹣≥2=24和当且仅当﹣9k=﹣时，取等号求出k=﹣，求出OA=4﹣3k=8，OB==6，设三角形AOB的内切圆的半径是R，由三角形面积公式得：×6×8=×6R+×8R+×10R，求出即可．‎ ‎【解答】解：设直线AB的解析式是y=kx+b，‎ 把P（3，4）代入得：4=3k+b，‎ b=4﹣3k，‎ 即直线AB的解析式是y=kx+4﹣3k，‎ 当x=0时，y=4﹣3k，‎ 当y=0时，x=，‎ 即A（0，4﹣3k），B（，0），‎ ‎△AOB的面积是•OB•OA=••（4﹣3k）=12﹣=12﹣（9k+），‎ ‎∵要使△AOB的面积最小，‎ ‎∴必须最大，‎ ‎∵k＜0，‎ ‎∴﹣k＞0，‎ ‎∵﹣9k﹣≥2=2×12=24，‎ 当且仅当﹣9k=﹣时，取等号，解得：k=±，‎ ‎∵k＜0，‎ ‎∴k=﹣，‎ 即OA=4﹣3k=8，OB==6，‎ 根据勾股定理得：AB=10，‎ 设三角形AOB的内切圆的半径是R，‎ 由三角形面积公式得：×6×8=×6R+×8R+×10R，‎ R=2，‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共24分）‎ ‎11． +（y﹣2012）2=0，则xy=　1　．‎ ‎【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．‎ ‎【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．‎ ‎【解答】解：根据题意得：，‎ 解得：，‎ 则xy=（﹣1）2012=1．‎ 故答案是：1．‎ ‎　‎ ‎12．已知m2﹣m=6，则3﹣2m2+2m=　﹣9　．‎ ‎【考点】代数式求值．‎ ‎【分析】将m2﹣m=6代入3﹣2m2+2m中，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵m2﹣m=6，‎ ‎∴3﹣2m2+2m=3﹣2（m2﹣m）=3﹣2×6=﹣9．‎ 故答案为：﹣9．‎ ‎　‎ ‎13．一种花粉颗粒的直径约为0.0000065米，将0.0000065用科学记数法表示为　6.5×10﹣6　．‎ ‎【考点】科学记数法—表示较小的数．‎ ‎【分析】根据科学记数法和负整数指数的意义求解．‎ ‎【解答】解：0.0000065=6.5×10﹣6．‎ 故答案为6.5×10﹣6．‎ ‎　‎ ‎14．一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和1个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．则两次都摸到红球的概率是　0.5　．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】列举出所有情况，看两个球颜色相同的情况数占总情况数的多少即可．‎ ‎【解答】解：列表得：‎ ‎ （红，绿）‎ ‎（ 红，绿）‎ ‎ （红，绿）‎ ‎ （红，红）‎ ‎ （红，红）‎ ‎ （绿，红）‎ ‎ （红，红）‎ ‎ （红，红）‎ ‎ （绿，红）‎ ‎ （红，红）‎ ‎ （红，红）‎ ‎ （绿，红）‎ ‎∴一共有12种情况，两次都摸到红球的6种，‎ ‎∴两次都摸到红球的概率是0.5，‎ 故答案为：0.5．‎ ‎　‎ ‎15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=　3　．‎ ‎【考点】反比例函数系数k的几何意义．‎ ‎【分析】连接OB，由矩形的性质和已知条件得出△OBD的面积=△OBE的面积=四边形ODBE的面积=3，在求出△OCE的面积，即可得出k的值．‎ ‎【解答】解：连接OB，如图所示：‎ ‎∵四边形OABC是矩形，‎ ‎∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，△OAB的面积=△OBC的面积，‎ ‎∵D、E在反比例函数y=（x＞0）的图象上，‎ ‎∴△OAD的面积=△OCE的面积，‎ ‎∴△OBD的面积=△OBE的面积=四边形ODBE的面积=3，‎ ‎∵BE=2EC，∴△OCE的面积=△OBE的面积=，‎ ‎∴k=3；‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎16．在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为　6或2或4　．‎ ‎【考点】解直角三角形．‎ ‎【分析】根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用直角三角形的性质解答．‎ ‎【解答】解：如图1：‎ 当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；‎ 如图2：‎ 当∠C=60°时，∠ABC=30°，‎ ‎∵∠ABP=30°，‎ ‎∴∠CBP=60°，‎ ‎∴△PBC是等边三角形，‎ ‎∴CP=BC=6；‎ 如图3：‎ 当∠ABC=60°时，∠C=30°，‎ ‎∵∠ABP=30°，‎ ‎∴∠PBC=60°﹣30°=30°，‎ ‎∴PC=PB，‎ ‎∵BC=6，‎ ‎∴AB=3，‎ ‎∴PC=PB===2；‎ 如图4：‎ 当∠ABC=60°时，∠C=30°，‎ ‎∵∠ABP=30°，‎ ‎∴∠PBC=60°+30°=90°，‎ ‎∴PC=BC÷cos30°=4．‎ 故答案为：6或2或4．‎ ‎　‎ ‎17．抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为　（0，﹣4）　．‎ ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】y轴上点的坐标横坐标为0，纵坐标为y=﹣4，坐标为（0，﹣4）．‎ ‎【解答】解：把x=0代入得，y=﹣4，即交点坐标为（0，﹣4）．‎ ‎　‎ ‎18．边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为　3cm　．‎ ‎【考点】等边三角形的性质；勾股定理．‎ ‎【分析】根据等边三角形三角都是60°利用三角函数可求得其高．‎ ‎【解答】解：∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠B=60°，‎ ‎∵AB=6cm，‎ ‎∴AD=3cm．‎ 故答案为：3cm．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19．计算：﹣12+4sin60°﹣+（﹣2015）0．‎ ‎【考点】实数的运算．‎ ‎【分析】原式利用乘方的意义，特殊角的三角函数值，二次根式性质，以及零指数幂法则计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=﹣1+2﹣2+1=0．‎ ‎　‎ ‎20．化简求值：[﹣]•，其中x=+1．‎ ‎【考点】分式的化简求值．‎ ‎【分析】首先将中括号内的部分进行通分，然后按照同分母分式的减法法则进行计算，再按照分式的乘法法则计算、化简，最后再代数求值即可．‎ ‎【解答】解：原式=‎ ‎=‎ ‎=，‎ 将x=+1代入得：原式==．‎ ‎　‎ ‎21．父亲节快到了，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同．‎ ‎（1）求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率；‎ ‎（2）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性是否会增大？请说明理由．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】（1）首先分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；‎ ‎（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆都是花生的情况，再利用概率公式即可求得给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率，比较大小，即可知爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性是否会增大．‎ ‎【解答】解：（1）分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，‎ 画树状图得：‎ ‎∵共有12种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的有2种情况，‎ ‎∴爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率为： =；‎ ‎（2）会增大，‎ 理由：分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得：‎ ‎∵共有20种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆都是花生的有6种情况，‎ ‎∴爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率为： =＞；‎ ‎∴给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性会增大．‎ ‎　‎ ‎22．为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？‎ ‎【考点】一元一次方程的应用．‎ ‎【分析】设胜了x场，那么负了（8﹣x）场，根据得分为13分可列方程求解．‎ ‎【解答】解：设胜了x场，那么负了（8﹣x）场，根据题意得：‎ ‎2x+1•（8﹣x）=13，‎ x=5，‎ ‎8﹣5=3．‎ 答：九年级一班胜、负场数分别是5和3．‎ ‎　‎ ‎23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．‎ ‎（1）求n的值；‎ ‎（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．‎ ‎【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．‎ ‎【分析】（1）利用旋转的性质得出AC=CD，进而得出△ADC是等边三角形，即可得出∠ACD的度数；‎ ‎（2）利用直角三角形的性质得出FC=DF，进而得出AD=AC=FC=DF，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，‎ ‎∴AC=DC，∠A=60°，‎ ‎∴△ADC是等边三角形，‎ ‎∴∠ACD=60°，‎ ‎∴n的值是60；‎ ‎（2）四边形ACFD是菱形；‎ 理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点，‎ ‎∴FC=DF=FE，‎ ‎∵∠CDF=∠A=60°，‎ ‎∴△DFC是等边三角形，‎ ‎∴DF=DC=FC，‎ ‎∵△ADC是等边三角形，‎ ‎∴AD=AC=DC，‎ ‎∴AD=AC=FC=DF，‎ ‎∴四边形ACFD是菱形．‎ ‎　‎ ‎24．如图，甲船在港口P的南偏东60°方向，距港口30海里的A处，沿AP方向以每小时5海里的速度驶向港口P；乙船从港口P出发，沿南偏西45°方向驶离港口P．现两船同时出发，2小时后甲船到达B处，乙船到达C处，此时乙船恰好在甲船的正西方向，求乙船的航行距离（≈1.41，≈1.73，结果保留整数）．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．‎ ‎【分析】作PD⊥BC于点D，求出PB的长，在Rt△BPD中，利用三角函数求出PD的长；再在Rt△CPD中，求出PC的长．‎ ‎【解答】解：如图，作PD⊥BC于点D．‎ 根据题意，得∠BPD=60°，∠CPD=45°，‎ PB=AP﹣AB=20海里，‎ 在Rt△BPD中，‎ ‎∴PD=PB•cos60°=10海里，‎ 在Rt△CPD中，‎ ‎∴PC==10海里．‎ ‎∴PC=14‎ 答：乙船的航行距离约是14海里．‎ ‎　‎ ‎25．如图，抛物线y=ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．‎ ‎（1）求抛物线的对称轴；‎ ‎（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；‎ ‎（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）根据抛物线的解析式，利用对称轴公式，可直接求出其对称轴．‎ ‎（2）令x=0，可求出C点坐标，由BC∥x轴可知B，C关于抛物线的对称轴对称，可求出B点坐标，根据AC=BC可求出A点坐标．‎ ‎（3）分三种情况讨论：‎ ‎①以AB为腰且顶角为∠A，先求出AB的值，再利用等腰三角形的性质结合勾股定理求出P1N的长，即可求出P1的坐标；‎ ‎②以AB为腰且顶角为角B，根据MN的长和MP2的长，求出P2的纵坐标，已知其横坐标，可得其坐标；‎ ‎③以AB为底，顶角为角P时，依据Rt△P3CK∽Rt△BAQ即可求出OK和P3K的长，可得P3坐标．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线的对称轴x=﹣=；‎ ‎（2）由抛物线y=ax2﹣5ax+4可知C（0，4），对称轴x=﹣=，‎ ‎∴BC=5，B（5，4），又AC=BC=5，OC=4，‎ 在Rt△AOC中，由勾股定理，得AO=3，‎ ‎∴A（﹣3，0）B（5，4）C（0，4）‎ 把点A坐标代入y=ax2﹣5ax+4中，‎ 解得a=﹣，（6）‎ ‎∴y=x2+x+4．‎ ‎（3）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索．‎ 设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M．‎ 过点B作BQ⊥x轴于Q，‎ 易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=．‎ ‎①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个：△P1AB．‎ ‎∴AB2=AQ2+BQ2=82+42=80‎ 在Rt△ANP1中，P1N====，‎ ‎∴P1（，﹣）．‎ ‎②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：△P2AB．‎ 在Rt△BMP2中MP2==‎ ‎=‎ ‎=，‎ ‎∴P2=（，）．‎ ‎③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即△P3AB．‎ 画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C．‎ 过点P3作P3K垂直y轴，垂足为K，‎ ‎∵∠CJF=∠AOF，∠CFJ=∠AFO，‎ ‎∴∠P3CK=∠BAQ，∠CKP3=∠AQB，‎ ‎∴Rt△P3CK∽Rt△BAQ．‎ ‎∴==．‎ ‎∵P3K=2.5‎ ‎∴CK=5于是OK=1，‎ ‎∴P3（2.5，﹣1）．‎