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  • 2021-05-10 发布

有关中考数学试题分类汇编综合型问题

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‎20、(2010年浙江省东阳县)如图,BD为⊙O的直径,点A是弧BC的中点,AD交BC于E点,AE=2,ED=4. ‎ ‎(1)求证: ~;‎ ‎(2) 求的值; ‎ ‎(3)延长BC至F,连接FD,使的面积等于,‎ 求的度数.‎ ‎【关键词】圆、相似三角形、三角形函数问题 ‎【答案】(1)∵点A是弧BC的中点 ∴∠ABC=∠ADB 又∵∠BAE=∠BAE  ∴△ABE∽△ABD ‎(2)∵△ABE∽△ABD ∴AB2=2×6=12 ∴AB=2‎ 在Rt△ADB中,tan∠ADB=‎ ‎(3)连接CD,可得BF=8,BE=4,则EF=4,△DEF是正三角形,‎ ‎∠EDF=60°‎ ‎20.(2010年山东省青岛市)某学校组织八年级学生参加社会实践活动,若单独租用35座客车若干辆,则刚好坐满;若单独租用55座客车,则可以少租一辆,且余45个空座位.‎ ‎(1)求该校八年级学生参加社会实践活动的人数;‎ ‎(2)已知35座客车的租金为每辆320元,55座客车的租金为每辆400元.根据租车资金不超过1500元的预算,学校决定同时租用这两种客车共4辆(可以坐不满).请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金.‎ ‎【关键词】不等式与方程问题 ‎【答案】解:(1)设单独租用35座客车需x辆,由题意得:‎ ‎,‎ 解得:.‎ ‎∴(人). ‎ 答:该校八年级参加社会实践活动的人数为175人. 3分 ‎(2)设租35座客车y辆,则租55座客车()辆,由题意得: ‎ ‎, 6分 解这个不等式组,得.‎ ‎∵y取正整数,‎ ‎∴y = 2.‎ ‎∴4-y = 4-2 = 2.‎ ‎∴320×2+400×2 = 1440(元).‎ 所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元.‎ ‎(2010年安徽省B卷)23.(本小题满分12分)‎ 如图, 内接于,的平分线与交于点,与交于点,延长,与的延长线交于点,连接是的中点,连结.‎ ‎(1)判断与的位置关系,写出你的结论并证明;‎ ‎(2)求证:;‎ ‎(3)若,求的面积.‎ ‎【关键词】圆 等腰三角形 三角形全等 三角形相似 勾股定理 ‎【答案】(1)猜想:.‎ 证明:如图,连结OC、OD.‎ ‎∵,G是CD的中点,‎ ‎∴由等腰三角形的性质,有.‎ ‎(2)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.‎ 而∠CAE=∠CBF(同弧所对的圆周角相等).‎ 在Rt△ACE和Rt△BCF中,‎ ‎∵∠ACE=∠BCF=90°,AC=BC,∠CAE=∠CBF,‎ ‎∴Rt△ACE≌Rt△BCF (ASA)‎ ‎∴. ‎ ‎ (3)解:如图,过点O作BD的垂线,垂足为H.则H为BD的中点.‎ ‎∴OH=AD,即AD=2OH.‎ F D G E B C A O H 又∠CAD=∠BADCD=BD,∴OH=OG.‎ ‎ 在Rt△BDE和Rt△ADB中,‎ ‎∵∠DBE=∠DAC=∠BAD,‎ ‎∴Rt△BDE∽Rt△ADB ‎∴,即 ‎∴‎ 又,∴.‎ ‎∴ … ① ‎ 设,则,AB=.‎ ‎∵AD是∠BAC的平分线,‎ ‎∴.‎ 在Rt△ABD和Rt△AFD中,‎ ‎∵∠ADB=∠ADF=90°,AD=AD,∠FAD=∠BAD,‎ ‎∴Rt△ABD≌Rt△AFD(ASA).‎ ‎∴AF=AB=,BD=FD.‎ ‎∴CF=AF-AC=‎ 在Rt△BCF中,由勾股定理,得 ‎ …② ‎ 由①、②,得.‎ ‎∴.解得或(舍去).‎ ‎∴‎ ‎∴⊙O的半径长为. ‎ ‎∴ ‎ ‎(2010年安徽省B卷)24.(本小题满分12分)‎ 已知:抛物线的对称轴为与轴交于两点,与轴交于点其中、‎ ‎(1)求这条抛物线的函数表达式.‎ ‎(2)已知在对称轴上存在一点P,使得的周长最小.请求出点P的坐标.‎ ‎(3)若点是线段上的一个动点(不与点O、点C重合).过点D作交轴于点连接、.设的长为,的面积为.求与之间的函数关系式.试说明是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【关键词】二次函数解析式 对称点 相似三角形 三角形面积 ‎【答案】(1)由题意得 解得 ‎∴此抛物线的解析式为 ‎(2)连结、.因为的长度一定,所以周长最小,就是使最小.点关于对称轴的对称点是点,与对称轴的交点即为所求的点.‎ O A C x y B E P D 设直线的表达式为 则 解得 ‎∴此直线的表达式为 把代入得 ‎∴点的坐标为 ‎(3)存在最大值 理由:∵即 ‎∴‎ ‎∴即 ‎∴‎ 连结 ‎ =‎ ‎=‎ ‎∵‎ ‎∴当时,‎ A O x B C M y ‎(2010年福建省晋江市)已知:如图,把矩形放置于直角坐标系中,, ,取的中点,连结,把沿轴的负方向平移的长度后得到.‎ ‎(1)试直接写出点的坐标;‎ ‎(2)已知点与点在经过原点的抛物线上,点在第一象限内的该抛物线上移动,过点作轴于点,连结.‎ ‎①若以、、为顶点的三角形与相似,试求出点的坐标;‎ ‎②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点,使得的值最大.‎ ‎【关键词】二次函数、相似三角形、最值问题 A O x D B C M y E P T Q 答案:解:(1)依题意得:;‎ ‎ (2) ① ∵,,‎ ‎∴.‎ ‎ ∵抛物线经过原点,‎ ‎∴设抛物线的解析式为 又抛物线经过点与点 ‎∴ 解得:‎ ‎∴抛物线的解析式为.‎ ‎∵点在抛物线上,‎ ‎∴设点.‎ ‎1)若∽,则, ,解得:(舍去)或,‎ ‎∴点.‎ ‎2)若∽,则, ,解得:(舍去)或,‎ ‎∴点.‎ ‎②存在点,使得的值最大.‎ 抛物线的对称轴为直线,设抛物线与轴的另一个交点为,则点 ‎.‎ ‎∵点、点关于直线对称,‎ ‎∴‎ 要使得的值最大,即是使得的值最大,‎ 根据三角形两边之差小于第三边可知,当、、三点在同一直线上时,的值最大. ‎ 设过、两点的直线解析式为,‎ ‎∴ 解得:‎ ‎∴直线的解析式为.‎ 当时,.‎ ‎∴存在一点使得最大. ‎ ‎2. (2010年福建省晋江市)如图,在等边中,线段为边上的中线. 动点在直线上时,以为一边且在的下方作等边,连结.‎ ‎(1) 填空:度;‎ ‎(2) 当点在线段上(点不运动到点)时,试求出的值;‎ ‎(3)若,以点为圆心,以5为半径作⊙与直线相交于点、两点,在点运动的过程中(点与点重合除外),试求的长.‎ ‎【关键词】三角形全等、等边三角形、垂径定理 答案: (1)60; ‎ ‎(2)∵与都是等边三角形 ‎∴,,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴≌‎ ‎∴,∴.‎ ‎ (3)①当点在线段上(不与点重合)时,由(2)可知≌,则,作于点,则,连结,则.‎ 在中,,,则.‎ 在中,由勾股定理得:,则.‎ ‎②当点在线段的延长线上时,∵与都是等边三角形 ‎∴,,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴≌‎ ‎∴,同理可得:.‎ ‎③当点在线段的延长线上时,‎ ‎∵与都是等边三角形 ‎∴,,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴≌‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ 同理可得:.‎ 综上,的长是6. ‎ C O A B D N M P x y ‎1.(2010年浙江省东阳市)如图,P为正方形ABCD的对称中心,A(0,3),B(1,0),直线OP交AB于N,DC于M,点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动,同时,点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动,运动时间为t。求:‎ ‎(1)C的坐标为 ▲ ;‎ ‎(2)当t为何值时,△ANO与△DMR相似?‎ ‎(3)△HCR面积S与t的函数关系式;‎ 并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形 时t的值及S的最大值。‎ 关键词:相似三角形、动态问题、二次函数 答案:(1)C(4,1)‎ ‎(2)当∠MDR=450时,t=2,点H(2,0)‎ 当∠DRM=450时,t=3,点H(3,0)‎ ‎(3)S=-t2+2t(0<t≤4);S=t2-2t(t>4)‎ 当CR∥AB时,t=, S= ‎ 当AR∥BC时,t=, S= ‎ 当BR∥AC时,t=, S= ‎ x O P y ‎1、(2010年宁波市)如图,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线上运动,当⊙P与轴相切时,圆心P的坐标为___________。‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系,二次函数 ‎【答案】‎ ‎(,2)或(,2)(对珍一个得2分)‎ ‎2、(2010年宁波市)如图1、在平面直角坐标系中,O是坐标原点,□ABCD的顶点A的坐标为(-2,0),点D的坐标为(0,),点B在轴的正半轴上,点E为线段AD的中点,过点E的直线与轴交于点F,与射线DC交于点G。‎ ‎(1)求的度数;‎ ‎(2)连结OE,以OE所在直线为对称轴,△OEF经轴对称变换后得到△,记直线与射线DC的交点为H。‎ ‎①如图2,当点G在点H的左侧时,求证:△DEG∽△DHE;‎ y x C D A O B E G F ‎(图1)‎ x C D A O B E G H F y ‎(图2)‎ x C D A O B E y ‎(图3)‎ ‎②若△EHG的面积为,请直接写出点F的坐标。‎ ‎【关键词】平行四边形,相似 ‎【答案】‎ 解:(1)‎ ‎ (2)(2,)‎ ‎ (3)①略 ‎ ②过点E作EM⊥直线CD于点M ‎∵CD∥AB x C D A O B E y ‎(图3)‎ M ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵△DHE∽△DEG ‎∴即 当点H在点G的右侧时,设,‎ ‎∴‎ 解:‎ ‎∴点F的坐标为(,0)‎ 当点H在点G的左侧时,设,‎ ‎∴‎ 解:,(舍)‎ ‎∵△DEG≌△AEF ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴点F的坐标为(,0)‎ 综上可知,点F的坐标有两个,分别是(,0),(,0)‎ ‎(2010辽宁省丹东市).如图,已知在⊙O中,AB=4,AC是⊙O的直径,AC⊥BD于F,∠A=30°.‎ ‎(1)求图中阴影部分的面积;‎ ‎(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.‎ ‎【关键词】圆锥侧面积 ‎【答案】‎ 解:(1)法一:过O作OE⊥AB于E,‎ 则AE=AB=2. 1分 F E ‎ 在RtAEO中,∠BAC=30°,cos30°=.‎ ‎∴OA===4. …………………………3分 又∵OA=OB,∴∠ABO=30°.∴∠BOC=60°. ‎ ‎∵AC⊥BD,∴.‎ ‎∴∠COD =∠BOC=60°.∴∠BOD=120°. 5分 ‎∴S阴影==. 6分 法二:连结AD. 1分 ‎∵AC⊥BD,AC是直径,‎ F ‎∴AC垂直平分BD. ……………………2分 ‎∴AB=AD,BF=FD,. ‎ ‎∴∠BAD=2∠BAC=60°,‎ ‎∴∠BOD=120°. ……………………3分 ‎∵BF=AB=2,sin60°=,‎ AF=AB·sin60°=4×=6.‎ ‎∴OB2=BF2+OF2.即.‎ ‎∴OB=4. 5分 ‎∴S阴影=S圆=. 6分 法三:连结BC.………………………………………………………………………………1分 ‎ ∵AC为⊙O的直径, ∴∠ABC=90°.‎ F ‎∵AB=4,‎ ‎∴. ……………………3分 ‎∵∠A=30°, AC⊥BD, ∴∠BOC=60°, ‎ ‎∴∠BOD=120°.‎ ‎∴S阴影=π·OA2=×42·π=.……………………6分 以下同法一.‎ ‎(2)设圆锥的底面圆的半径为r,则周长为2πr,‎ ‎ ∴. ‎ ‎∴. ‎ ‎(2010辽宁省丹东市).如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH,点H的坐标为(-8,0),点N的坐标为(-6,-4).‎ ‎(1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC,并写出顶点A,B,C的坐标(点M的对应点为A, 点N的对应点为B, 点H的对应点为C);‎ ‎(2)求出过A,B,C三点的抛物线的表达式; ‎ ‎(3)截取CE=OF=AG=m,且E,F,G分别在线段CO,OA,AB上,求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;面积S是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由;‎ ‎ (4)在(3)的情况下,四边形BEFG是否存在邻边相等的情况,若存在,请直接写出此时m的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由.‎ ‎【关键词】旋转抛物线的表达式;存在性问题 ‎【答案】(1) 利用中心对称性质,画出梯形OABC. 1分 ‎∵A,B,C三点与M,N,H分别关于点O中心对称,‎ ‎∴A(0,4),B(6,4),C(8,0) 3分 ‎(写错一个点的坐标扣1分)‎ O M N H A C E F D B ‎↑‎ ‎→‎ ‎-8‎ ‎(-6,-4)‎ x y ‎(2)设过A,B,C三点的抛物线关系式为,‎ ‎∵抛物线过点A(0,4), ‎ ‎∴.则抛物线关系式为. 4分 将B(6,4), C(8,0)两点坐标代入关系式,得 ‎ 5分 ‎ 解得 6分 所求抛物线关系式为:. 7分 ‎(3)∵OA=4,OC=8,∴AF=4-m,OE=8-m. 8分 ‎ ∴ ‎ ‎ OA(AB+OC)AF·AGOE·OFCE·OA ‎ ‎ ‎ ( 0<<4) 10分 ‎∵. ∴当时,S的取最小值.‎ 又∵0<m<4,∴不存在m值,使S的取得最小值. 12分 ‎(4)当时,GB=GF,当时,BE=BG. 14分 ‎(2010江苏宿迁)(本题满分12分)已知抛物线交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点,交y轴于点C,其顶点为D. ‎ ‎(1)求b、c的值并写出抛物线的对称轴;‎ ‎(2)连接BC,过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E.‎ 求证:四边形ODBE是等腰梯形;‎ ‎(3)抛物线上是否存在点Q,使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的?若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【关键词】抛物线关系式及图形的存在性问题 ‎【答案】(1)求出:,,抛物线的对称轴为:x=2 ………………3分 ‎(2) 抛物线的解析式为,易得C点坐标为(0,3),D点坐标为(2,-1)‎ 设抛物线的对称轴DE交x轴于点F,易得F点坐标为(2,0),连接OD,DB,BE ‎∵OBC是等腰直角三角形,DFB 也是等腰直角三角形,E点坐标为(2,2),‎ ‎∴∠BOE= ∠OBD= ∴OE∥BD ‎∴四边形ODBE是梯形 ………………5分 在和中,‎ OD= ,BE=‎ ‎∴OD= BE ‎∴四边形ODBE是等腰梯形 ………………7分 ‎(3) 存在, ………………8分 由题意得: ………………9分 设点Q坐标为(x,y),‎ 由题意得:=‎ ‎∴‎ 当y=1时,即,∴ , ,‎ ‎∴Q点坐标为(2+,1)或(2-,1) ………………11分 当y=-1时,即, ∴x=2,‎ ‎∴Q点坐标为(2,-1)‎ 综上所述,抛物线上存在三点Q(2+,1),Q (2-,1) ,Q(2,-1)‎ 使得=. ………………12分 ‎ (2010年浙江省绍兴市)如图,设抛物线C1:, C2:,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是-2.‎ 第24题图 ‎ (1)求的值及点B的坐标; ‎ ‎(2)点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,‎ 在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点M的 直线为,且与x轴交于点N.‎ ‎① 若过△DHG的顶点G,点D的坐标为 ‎(1, 2),求点N的横坐标;‎ ‎② 若与△DHG的边DG相交,求点N的横 坐标的取值范围.‎ ‎【答案】解:(1)∵ 点A在抛物线C1上,∴ 把点A坐标代入得 =1. ‎ ‎∴ 抛物线C1的解析式为,‎ ‎ 设B(-2,b), ∴ b=-4, ∴ B(-2,-4) . ‎ ‎(2)①如图1,‎ ‎∵ M(1, 5),D(1, 2), 且DH⊥x轴,∴ 点M在DH上,MH=5. ‎ 过点G作GE⊥DH,垂足为E,‎ 由△DHG是正三角形,可得EG=, EH=1,‎ ‎∴ ME=4. ‎ 第24题图1‎ 设N ( x, 0 ), 则 NH=x-1,‎ 由△MEG∽△MHN,得 ,‎ ‎∴ , ∴ ,‎ ‎∴ 点N的横坐标为. ‎ ‎② 当点D移到与点A重合时,如图2,‎ 第24题图2‎ 直线与DG交于点G,此时点N的横坐标最大.‎ 过点G,M作x轴的垂线,垂足分别为点Q,F,‎ 设N(x,0),‎ ‎∵ A (2, 4), ∴ G (, 2),‎ ‎∴ NQ=,NF =, GQ=2, MF =5.‎ ‎∵ △NGQ∽△NMF,‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ ,‎ 第24题图3‎ 图4‎ ‎∴ . ‎ 当点D移到与点B重合时,如图3,‎ 直线与DG交于点D,即点B, ‎ 此时点N的横坐标最小.‎ ‎ ∵ B(-2, -4), ∴ H(-2, 0), D(-2, -4),‎ 设N(x,0), ‎ ‎∵ △BHN∽△MFN, ∴ ,‎ ‎∴ , ∴ . ‎ ‎∴ 点N横坐标的范围为 ≤x≤. ‎ ‎(2010年宁德市)(本题满分13分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,BC=6,AD=3,∠DCB=30°.点E、F同时从B点出发,沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍,以EF为一边在CB的上方作等边△EFG.设E点移动距离为x(x>0).‎ ‎⑴△EFG的边长是____(用含有x的代数式表示),当x=2时,点G的位置在_______;‎ ‎⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y,求 ‎①当0<x≤2时,y与x之间的函数关系式;‎ ‎②当2<x≤6时,y与x之间的函数关系式;‎ ‎⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时,存在最大值,并求出最大值.‎ ‎【答案】解:⑴ x,D点;‎ ‎⑵ ①当0<x≤2时,△EFG在梯形ABCD内部,所以y=x2;‎ ‎②分两种情况:‎ Ⅰ.当2<x<3时,如图1,点E、点F在线段BC上,‎ ‎△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM,‎ ‎∵∠FNC=∠FCN=30°,∴FN=FC=6-2x.∴GN=3x-6.‎ 由于在Rt△NMG中,∠G=60°,‎ 所以,此时 y=x2-(3x-6)2=.‎ Ⅱ.当3≤x≤6时,如图2,点E在线段BC上,点F在射线CH上,‎ ‎△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP,‎ ‎∵EC=6-x,‎ ‎∴y=(6-x)2=.‎ ‎⑶当0<x≤2时,∵y=x2在x>0时,y随x增大而增大,‎ ‎∴x=2时,y最大=;‎ 当2<x<3时,∵y=在x=时,y最大=;‎ 当3≤x≤6时,∵y=在x<6时,y随x增大而减小,‎ B E C F A D G P H 图2‎ ‎∴x=3时,y最大=.‎ 综上所述:当x=时,y最大=.‎ ‎24.(2010浙江省喜嘉兴市)如图,已知抛物线y=-x2+x+4交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B.‎ ‎(1)求A、B两点的坐标,并求直线AB的解析式;‎ ‎(2)设P(x,y)(x>0)是直线y=x上的一点,Q是OP的中点(O是原点),以PQ为对角线作正方形PEQF,若正方形PEQF与直线AB有公共点,求x的取值范围;‎ ‎(3)在(2)的条件下,记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S,求S关于x的函数解析式,并探究S的最大值.‎ ‎【关键词】一元二次方程、一次函数、二次函数、‎ ‎【答案】‎ ‎(1)令,得,即,‎ 解得,,所以.令,得,所以.‎ 设直线AB的解析式为,则,解得,‎ 所以直线AB的解析式为. …5分 ‎(2)当点在直线AB上时,,解得,‎ 当点在直线AB上时,,解得.‎ 所以,若正方形PEQF与直线AB有公共点,则. …4分 ‎(3)当点在直线AB上时,(此时点F也在直线AB上)‎ ‎,解得.‎ ‎①当时,直线AB分别与PE、PF有交点,设交点分别为C、D,‎ 此时,,‎ 又,‎ ‎(第24题)‎ 所以,‎ 从而,‎ ‎.‎ 因为,所以当时,.‎ ‎②当时,直线AB分别与QE、QF有交点,设交点分别为M、N,‎ ‎(第24题 备用)‎ 此时,,‎ 又,‎ 所以,‎ 即.‎ 其中当时,.‎ 综合①②得,当时,. …5分 ‎23(2010年浙江省金华). (本题10分)‎ 已知点P的坐标为(m,0),在x轴上存在点Q(不与P点重合),以PQ为边作正方形PQMN,使点M落在反比例函数y = 的图像上.小明对上述问题进行了探究,发现不论m取何值,符合上述条件的正方形只有两个,且一个正方形的顶点M在第四象限,另一个正方形的顶点M1在第二象限.‎ ‎(1)如图所示,若反比例函数解析式为y= ,P点坐标为(1, 0),图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN,请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1,并写出点M1‎ 的坐标; ‎ ‎(温馨提示:作图时,别忘了用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑喔!)‎ y P Q M N O x ‎1‎ ‎2‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎(第23题图)‎ M1的坐标是 ▲ ‎ ‎ (2) 请你通过改变P点坐标,对直线M1 M的解析式y﹦kx+b进行探究可得 k﹦ ▲ , 若点P的坐标为(m,0)时,则b﹦ ▲ ;‎ ‎ (3) 依据(2)的规律,如果点P的坐标为(6,0),请你求出点M1和点M的坐标.‎ ‎【关键词】反比例函数、坐标、一次函数 ‎【答案】解:(1)如图;M1 的坐标为(-1,2) ‎ ‎ (2),‎ ‎ (3)由(2)知,直线M1 M的解析式为 ‎ 则(,)满足 ‎ 解得 ,‎ ‎ ∴ ,‎ ‎ ∴M1,M的坐标分别为(,),(,).‎ ‎24.(2010年浙江台州市)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8.点P,Q都是斜边AB上的动点,点P从B 向A运动(不与点B重合),点Q从A向B运动,BP=AQ.点D,E分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点, HQ⊥AB于Q,交AC于点H.当点E到达顶点A时,P,Q同时停止运动.设BP的长为x,△HDE的面积为y.‎ ‎(第24题)‎ H ‎(1)求证:△DHQ∽△ABC;‎ ‎(2)求y关于x的函数解析式并求y的最大值;‎ ‎(3)当x为何值时,△HDE为等腰三角形?‎ ‎【关键词】相似三角形、二次函数、等腰三角形 ‎【答案】(1)∵A、D关于点Q成中心对称,HQ⊥AB,‎ ‎∴=90°,HD=HA,‎ ‎∴,‎ ‎(图1)‎ ‎(图2)‎ ‎∴△DHQ∽△ABC. ‎ ‎(2)①如图1,当时, ‎ ED=,QH=,‎ 此时.‎ 当时,最大值.‎ ‎②如图2,当时,‎ ED=,QH=,‎ 此时.当时,最大值.‎ ‎∴y与x之间的函数解析式为 y的最大值是.‎ ‎(3)①如图1,当时,‎ 若DE=DH,∵DH=AH=, DE=,‎ ‎∴=,.‎ 显然ED=EH,HD=HE不可能;‎ 若DE=DH,=,; ‎ 若HD=HE,此时点D,E分别与点B,A重合,;‎ 若ED=EH,则△EDH∽△HDA,‎ ‎∴,,. ‎ ‎∴当x的值为时,△HDE是等腰三角形.‎ ‎(其他解法相应给分)‎ ‎20. (2010年益阳市)如图9,在平面直角坐标系中,已知A、B、C三点的坐标分别为A(-2,0),B(6,0),C(0,3).‎ ‎(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;‎ ‎(2)过C点作CD平行于轴交抛物线于点D,写出D点的坐标,并求AD、BC的交点E的坐标;‎ ‎(3)若抛物线的顶点为P,连结PC、PD,判断四边形CEDP的形状,并说明理由.‎ ‎【关键词】二次函数、一次函数、菱形的判定 ‎【答案】⑴ 由于抛物线经过点,可设抛物线的解析式为,则,         ‎ ‎ 解得 ‎∴抛物线的解析式为   ‎ ‎⑵ 的坐标为 ‎ 直线的解析式为 直线的解析式为 ‎ 由 ‎ 求得交点的坐标为        ‎ ‎⑶ 连结交于,的坐标为 又∵,‎ ‎  ∴,且 ‎    ∴四边形是菱形         ‎