中考数学圆习题 15页

中考数学圆习题 ‎1、如图，AB是⊙O的弦，BC切⊙O于点B，AD⊥BC，垂足为D，OA是⊙O的半径，且OA=3．‎ ‎（1）求证：AB平分∠OAD；（2）若点E是优弧上一点，且∠AEB=60°，求扇形OAB的面积．（计算结果保留π）‎ ‎2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．（1）若∠BCD=36°，BC=10，求BD的长；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）求证：2CE2=AB•EF．‎ ‎3、在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为 点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)分别延长CB，FD，相交于点G，∠A=60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积.‎ ‎ ‎ ‎4、如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．‎ ‎（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BC=，AC=5，求圆的直径AD及切线BE的长．‎ ‎5、如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点．（1）求证：∠B=∠ACD．（2）已知点E在AB上，且BC2=AB•BE．（i）若tan∠ACD=，BC=10，求CE的长；（ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．‎ ‎6、如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD、OB．（1）求证：△AEC∽△DEB；‎ ‎（2）若CD⊥AB，AB=8，DE=2，求⊙O的半径．‎ ‎7、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的长．‎ ‎8、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠CAD．（1）求证：直线MN是⊙O的切线；（2）若CD=3，∠CAD=30°，求⊙O的半径．‎ ‎9、如图，OA，OD是⊙O半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）如果D点是BC的中点，⊙O的半径为‎3cm，求的长度（结果保留π）‎ ‎10、在平面直角坐标中，△ABC三个顶点坐标为A（﹣，0）、B（，0）、C（0，3）．‎ ‎（1）求△ABC内切圆⊙D的半径．（2）过点E（0，﹣1）的直线与⊙D相切于点F（点F在第一象限），求直线EF的解析式．（3）以（2）为条件，P为直线EF上一点，以P为圆心，以2为半径作⊙P．若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，求此时圆心P的坐标．‎ ‎11、如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF． （1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值． ‎ ‎12、如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于 点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；（2）当AB=3，BP=2PC，求QM的长；（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长．‎ ‎13、已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．‎ ‎14、如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．‎ ‎15、如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．‎ ‎16、如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．‎ ‎（1）求证：BE=CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．‎ ‎17、如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．‎ ‎（1）求证：ED是⊙O的切线．（2）当OA=3，AE=4时，求BC的长度．‎ ‎18、如图，E是长方形ABCD的边AB上的点，EF⊥DE交BC于点F；（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）设H是ED上一点，以EH为直径作⊙O，DF与⊙O相切于点G，若DH=OH=3，求图中阴影部分的面积（结果保留到小数点后面第一位，≈1.73，π≈3.14）．‎ ‎19、如图，点A是⊙O上一点，OA⊥AB，且OA=1，AB=，OB交⊙O于点D，作AC⊥OB，垂足为M，并交⊙O于点C，连接BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）过点B作BP⊥OB，交OA的延长线于点P，连接PD，求sin∠BPD的值．‎ 中考数学圆习题答案 ‎1、（1）证明：连接OB，如图所示：∵BC切⊙O于点B，‎ ‎∴OB⊥BC，∵AD⊥BC，∴AD∥OB，∴∠DAB=∠OBA，‎ ‎∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠DAB=∠OAB，‎ ‎∴AB平分∠OAD；‎ ‎（2）解：∵点E是优弧上一点，且∠AEB=60°，‎ ‎∴∠AOB=2∠AEB=120°，∴扇形OAB的面积==3π．‎ ‎2、解：（1）∵BC是直径，∴∠BDC=90°，‎ 在Rt△BCD中，∵BC=10，∠BCD=36°，∴BD=BC•sin36°=10•sin36°≈5.9．‎ ‎（2）连接OD．∵AE=EC，OB=OC，∴OE∥AB，∵CD⊥AB，‎ ‎∴OE⊥CD，∵OD=OC，∴∠DOE=∠COE，在△EOD和△EOC中，‎ ∴△EOD≌△EOC，∴∠EDO=∠ECO=90°，∴OD⊥DE，‎ ‎∴DE是⊙O的切线．‎ ‎（3）∵OE⊥CD，∴DF=CF，∵AE=EC，∴AD=2EF，‎ ‎∵∠CAD=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ACD∽△ABC，‎ ‎∴AC2=AD•AB，∵AC=2CE，∴4CE2=2EF•AB，∴2CE2=EF•AB．‎ ‎3、⑴连接OD，CD，∵BC是⊙O的直径∴∠BDC=90°即CD⊥AB ‎∵AC=BC∴CD平分AB，即点D是AB的中点 又∵点O是BC的中点 ‎∴OD∥AC 又∵DF⊥AC∴DF⊥OD 又∵OD是⊙O的半径 ∴DF是⊙O的切线 ‎ ‎（2）∠A=600，AC=BC ∴∠OBD=∠A=600‎ ‎∵OD=OB ∴△BOD为等边三角形 ∴∠BOD=600 ∵⊙O的半径为6 ∴OD=6‎ ‎∵DF是⊙O的切线 ∴∠ODG=900 ∴tan600=‎ 即：DG=tan600·OD= ∴S阴影=S△ODG-S扇形BOD = =‎ ‎ =‎ ‎4、解：如图，连接OB，∵BD=BC，∴∠CAB=∠BAD，∵∠EBD=∠CAB，‎ ‎∴∠BAD=∠EBD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，OA=BO，‎ ‎∴∠BAD=∠ABO，∴∠EBD=∠ABO，‎ ‎∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°，∵点B在⊙O上，‎ ‎∴BE是⊙O的切线，‎ ‎（2）如图2，设圆的半径为R，连接CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACCD=90°，‎ ‎∵BC=BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA=OD，∴OF=AC=，‎ ‎∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠BDE=∠ACB， ∵∠DBE=∠ACB，‎ ‎∴△DBE∽△CAB， ∴， ∴， ∴DE=，‎ ‎∵∠OBE=∠OFD=90°，∴DF∥BE，∴，∴，∵R＞0，∴R=3，‎ ‎∴AB== ∵=， ∴BE=．‎ ‎5、解：（1）∵∠ACB=∠DCO=90°，∴∠ACB﹣∠ACO=∠DCO﹣∠ACO，‎ 即∠ACD=∠OCB，又∵点O是AB的中点，∴OC=OB，∴∠OCB=∠B，‎ ‎∴∠ACD=∠B，‎ ‎（2）（i）∵BC2=AB•BE，∴=，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBE，‎ ‎∴∠ACB=∠CEB=90°，∵∠ACD=∠B，‎ ‎∴tan∠ACD=tan∠B=，‎ 设BE=4x，CE=3x，由勾股定理可知：BE2+CE2=BC2，‎ ‎∴（4x）2+（3x）2=100，∴解得x=2，∴CE=6；‎ ‎（ii）过点A作AF⊥CD于点F，∵∠CEB=90°，‎ ‎∴∠B+∠ECB=90°，∵∠ACE+∠ECB=90°，∴∠B=∠ACE，‎ ‎∵∠ACD=∠B，∴∠ACD=∠ACE，∴CA平分∠DCE，‎ ‎∵AF⊥CE，AE⊥CE，∴AF=AE，∴直线CD与⊙A相切．‎ ‎6、（1）证明：∵∠AEC=∠DEB，∠ACE=∠DBE，∴△AEC∽△DEB．‎ ‎（2）解：设⊙O的半径为r，则CE=2r﹣2．∵CD⊥AB，AB=8，‎ ‎∴AE=BE=AB=4．∵△AEC∽△DEB，∴，即， 解得：r=5．‎ ‎7、（1）证明：连接OC，如图所示：∵BD是⊙O的切线，‎ ‎∴∠CBE=∠A，∠ABD=90°，∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，‎ ‎∵E是BD中点，∴CE=BD=BE，∴∠BCE=∠CBE=∠A，‎ ‎∵OA=OC，∴∠ACO=∠A，∴∠ACO=∠BCE，‎ ‎∴∠BCE+∠BCO=90°，即∠OCE=90°，CE⊥OC，‎ ‎∴CE是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵∠ACB=90°，∴AB===2，‎ ‎∵tanA====，∴BD=AB=，∴CE=BD=．‎ ‎8、（1）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠BAC=∠ACO．‎ 因为AC平分∠BAD，所以∠BAC=∠CAD，故∠ACO=∠CAD．‎ 所以OC∥AD，又已知AD丄MN，所以OC丄MN，‎ 所以，直线MN是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：已知AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，又AD丄MN，‎ 则∠ADC=90°．因为CD=3，∠CAD=30°，‎ 所以AD=3，AB=6 在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠BAC=∠CAD，‎ 所以Rt△ABC∽Rt△ACD，则， 则AB=4，所以⊙O的半径为2．‎ ‎9、（1）证明：∵AC是⊙O切线，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∵CO平分∠AOD，‎ ‎∴∠AOC=∠COD，在△AOC和△DOC中，‎ ‎，∴△AOC≌△DOC，∴∠ODC=∠OAC=90°，∴OD⊥CD，∴直线CD是⊙O的切线．‎ ‎（2）∵OD⊥BC，DC=DB，∴OC=OB，∴∠OCD=∠B=∠ACO，∵∠B+∠ACB=90°，∴∠B=30°，∠DOE=60°，‎ ‎∴的长==π．‎ ‎10、解：（1）连接BD，∵B（，0），C（0，3），∴OB=，OC=3，‎ ‎∴tan∠CBO==，∴∠CBO=60°∵点D是△ABC的内心，‎ ‎∴BD平分∠CBO，∴∠DBO=30°，∴tan∠DBO=，‎ ‎∴OD=1，∴△ABC内切圆⊙D的半径为1；‎ ‎（2）连接DF，过点F作FG⊥y轴于点G，∵E（0，﹣1）‎ ‎∴OE=1，DE=2，∵直线EF与⊙D相切，∴∠DFE=90°，DF=1，‎ ‎∴sin∠DEF=，∴∠DEF=30°，∴∠GDF=60°，∴在Rt△DGF中，‎ ‎∠DFG=30°，∴DG=，由勾股定理可求得：GF=，∴F（，），‎ 设直线EF的解析式为：y=kx+b，‎ ‎∴，∴直线EF的解析式为：y=x﹣1；‎ ‎（3）∵⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，‎ ‎∴该点必为△ABC外接圆的圆心，由（1）可知：△ABC是等边三角形，‎ ‎∴△ABC外接圆的圆心为点D∴DP=2，‎ 设直线EF与x轴交于点H，∴令y=0代入y=x﹣1，‎ ‎∴x=，∴H（，0），∴FH=，‎ 当P在x轴上方时，过点P1作P1M⊥x轴于M，‎ 由勾股定理可求得：P1F=3，∴P1H=P1F+FH=，‎ ‎∵∠DEF=∠HP1M=30°，∴HM=P1H=，P1M=5，‎ ‎∴OM=2，∴P1（2，5），‎ 当P在x轴下方时，过点P2作P2N⊥x轴于点N，‎ 由勾股定理可求得：P2F=3，∴P2H=P2F﹣FH=，‎ ‎∴∠DEF=30°∴∠OHE=60°∴sin∠OHE=，‎ ‎∴P2N=4，令y=﹣4代入y=x﹣1，∴x=﹣，‎ ‎∴P2（﹣，﹣4），‎ 综上所述，若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，此时圆心P的坐标为（2，5）或（﹣，﹣4）．‎ ‎11、（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径， ∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°； ‎ ‎（2）证明：连接DO，∵∠EDC=90°，F是EC的中点，∴DF=FC，‎ ‎∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵∠OCF=90°，‎ ‎∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切线；‎ ‎（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，‎ ‎∴∠DCA=∠E，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE∽△ADC，‎ ‎∴=，∴DC2=ADDE∵AC=2DE，∴设DE=x，则AC=2x，‎ 则AC2﹣AD2=ADDE，（2x）2﹣AD2=ADx，‎ 整理得：AD2+ADx﹣20x2=0，解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），‎ 则DC==2x，故tan∠ABD=tan∠ACD===2．‎ ‎12、解：（1）AP=BQ．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，‎ ‎∴∠ABQ+∠CBQ=90°．∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA=90°，∴∠PAB=∠CBQ．‎ 在△PBA和△QCB中，‎ ‎，∴△PBA≌△QCB，∴AP=BQ；‎ ‎（2）过点Q作QH⊥AB于H，如图．∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴QH=BC=AB=3．∵BP=2PC，∴BP=2，PC=1，‎ ‎∴BQ=AP===，‎ ‎∴BH===2．∵四边形ABCD是正方形，∴DC∥AB，∴∠CQB=∠QBA．‎ 由折叠可得∠C′QB=∠CQB，∴∠QBA=∠C′QB，∴MQ=MB．设QM=x，则有MB=x，MH=x﹣2．‎ 在Rt△MHQ中，根据勾股定理可得x2=（x﹣2）2+32，解得x=．∴QM的长为；‎ ‎（3）过点Q作QH⊥AB于H，如图．∵四边形ABCD是正方形，BP=m，PC=n，‎ ‎∴QH=BC=AB=m+n．∴BQ2=AP2=AB2+PB2，∴BH2=BQ2﹣QH2=AB2+PB2﹣AB2=PB2，∴BH=PB=m．‎ 设QM=x，则有MB=QM=x，MH=x﹣m．在Rt△MHQ中，根据勾股定理可得x2=（x﹣m）2+（m+n）2，‎ 解得x=m+n+，∴AM=MB﹣AB=m+n+﹣m﹣n=．∴AM的长为．‎ ‎13、证明：（1）如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，‎ ‎∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，‎ ‎∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，‎ ‎∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，‎ 即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，‎ ‎∴FE为⊙O的切线；‎ ‎（2）如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，‎ ‎∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，‎ ‎∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．‎ ‎14、解：（1）连接AC，∵点CD是半圆O的三等分点，∴==，∴∠DAC=∠CAB，‎ ‎∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC ‎∴∠OCE=∠E，∵CE⊥AD，∴∠OCE=90°，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；‎ ‎（2）四边形AOCD为菱形．理由是：∵=，∴∠DCA=∠CAB，‎ ‎∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四边形AOCD是平行四边形，∵OA=OC，‎ ‎∴平行四边形AOCD是菱形．‎ ‎15、解：（1）∵点A（，0）与点B（0，﹣），∴OA=，OB=，‎ ‎∴AB==2，∵∠AOB=90°，∴AB是直径，∴⊙M的半径为：；‎ ‎（2）∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，∴∠CBO=∠CBA，即BD平分∠ABO；‎ ‎（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，即AE是切线，‎ ‎∵在Rt△AOB中，tan∠OAB===，∴∠OAB=30°，‎ ‎∴∠ABO=90°﹣∠OAB=60°，∴∠ABC=∠OBC=∠ABO=30°，∴OC=OB•tan30°=×=，‎ ‎∴AC=OA﹣OC=，∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，∴∠EAC=60°，‎ ‎∴△ACE是等边三角形，∴AE=AC=，∴AF=AE=，EF=AE=，∴OF=OA﹣AF=，‎ ‎∴点E的坐标为：（，）．‎ ‎16、‎ ‎1）证明：∵AD是直径， ∴∠ABD=∠ACD=90°，‎ 在Rt△ABD和Rt△ACD中，‎ ‎，∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BE=CE；‎ ‎（2）四边形BFCD是菱形．‎ 证明：∵AD是直径，AB=AC，∴AD⊥BC，BE=CE，∵CF∥BD，∴∠FCE=∠DBE，‎ 在△BED和△CEF中 ‎，∴△BED≌△CEF，∴CF=BD，∴四边形BFCD是平行四边形，‎ ‎∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴四边形BFCD是菱形；‎ ‎（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，∴CE2=DE•AE，设DE=x，∵BC=8，AD=10，‎ ‎∴42=x（10﹣x），解得：x=2或x=8（舍去）在Rt△CED中，CD===2．‎ ‎17、（1）证明：如图，连接OD．∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．‎ 在△AOE与△DOE中，‎ ‎，∴△AOE≌△DOE（SSS），‎ ‎∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．又∵OD是⊙O的半径，‎ ‎∴ED是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：如图，在△OAE中，∠OAE=90°，OA=3，AE=4，‎ ‎∴由勾股定理易求OE=5．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．‎ 又∵由（1）知，△AOE≌△DOE，∴∠AEO=∠DEO，‎ 又∵AE=DE，∴OE⊥AD，∴OE∥BC，∴==．‎ BC=2OE=10，即BC的长度是10．‎ ‎18、（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°．∵EF⊥DE，‎ ‎∴∠DEF=90°．∴∠AED=90°﹣∠BEF=∠EFB．‎ ‎∵∠A=∠B，∠AED=∠EFB，∴△ADE∽△BEF．‎ ‎（2）解：∵DF与⊙O相切于点G，∴OG⊥DG．∴∠DGO=90°．‎ ‎∵DH=OH=OG，∴sin∠ODG==．∴∠ODG=30°．∴∠GOE=120°．‎ ‎∴S扇形OEG==3π．‎ 在Rt△DGO中，cos∠ODG===．∴DG=3．在Rt△DEF中，‎ tan∠EDF===．∴EF=3．∴S△DEF=DE•EF=×9×3=，‎ S△DGO=DG•GO=×3×3=．∴S阴影=S△DEF﹣S△DGO﹣S扇形OEG=﹣﹣3π=.9﹣3π ‎≈9×1.73﹣3×3.14=6.15≈6.2 ∴图中阴影部分的面积约为6.2．‎ ‎19、（1）证明：连结OC，如图，∵AC⊥OB，∴AM=CM，‎ ‎∴OB为线段AC的垂直平分线，∴BA=BC，‎ 在△OAB和△OCB中 ‎，∴△OAB≌△OCB，∴∠OAB=∠OCB，‎ ‎∵OA⊥AB，∴∠OAB=90°，∴∠OCB=90°，∴OC⊥BC，∴BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：在Rt△OAB中，OA=1，AB=，∴OB==2，∴∠ABO=30°，∠AOB=60°，‎ ‎∵PB⊥OB，∴∠PBO=90°，在Rt△PBO中，OB=2，∠BPO=30°，∴PB=OB=2，‎ 在Rt△PBD中，BD=OB﹣OD=2﹣1=1，PB=2，∴PD==，‎ ‎∴sin∠BPD===．‎