各地中考数学解析版试卷分类汇编第2期专题20 三角形的边与角 10页

三角形的边与角 一.选择题 ‎1．（2016·山东省滨州市·3分）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（　　）‎ A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°‎ ‎【考点】等腰三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE，根据平角的定义即可求出选项．‎ ‎【解答】解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，‎ ‎∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，‎ ‎∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，‎ ‎∴∠B=25°，‎ ‎∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，‎ ‎∴∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°，‎ ‎∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．‎ ‎2．（2016东营市，3，3分（2016·山东省东营市·3分））如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A等于( )‎ A.30° B．35° C.40° D．50°‎ ‎【知识点】平行线——平行线的性质；与三角形有关的线段、角——三角形的外角.‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】∵m∥n，∴∠3＝∠1＝70°.∵∠3是△ABD的一个外角，∴∠3＝∠2＋∠A.∴∠A＝∠3－∠2＝70°－30°＝40°. 故选C. ‎ ‎【点拨】掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解决此类题的关键：1.平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.2.三角形的外角等于和它不相邻的两个外角的和.‎ ‎3．（2016·山东省德州市·3分）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）‎ A．65° B．60° C．55° D．45°‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质．‎ ‎【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，‎ 则AD=DC，故∠C=∠DAC，‎ ‎∵∠C=30°，‎ ‎∴∠DAC=30°，‎ ‎∵∠B=55°，‎ ‎∴∠BAC=95°，‎ ‎∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．‎ ‎4. （2016·青海西宁·3分）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　）‎ A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm ‎【考点】三角形三边关系．‎ ‎【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．‎ ‎【解答】解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；‎ B、8+7=15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；‎ C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；‎ D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．‎ 故选D．‎ ‎5.（2016·广西百色·3分）三角形的内角和等于（　　）‎ A．90° B．180° C．300° D．360°‎ ‎【考点】三角形内角和定理．‎ ‎【分析】利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解本题 ‎【解答】解：因为三角形的内角和为180度．‎ 所以B正确．‎ 故选B．‎ ‎6．（2016贵州毕节3分）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（　　）‎ A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 ‎【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．‎ ‎【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．‎ ‎【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，‎ 故选：D．‎ ‎7．（2016河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎【考点】三角形中位线定理；线段垂直平分线的性质．‎ ‎【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理求得BC边的长度，然后由三角形中位线定理知DE=BC．‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，‎ ‎∴BC=6．‎ 又∵DE垂直平分AC交AB于点E，‎ ‎∴DE是△ACB的中位线，‎ ‎∴DE=BC=3．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．‎ 二、 填空题 ‎1.（2016·福建龙岩·3分）如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=　π　．‎ ‎【考点】三角形的内切圆与内心；规律型：图形的变化类．‎ ‎【分析】（1）图1，作辅助线构建正方形OECF，设圆O的半径为r，根据切线长定理表示出AD和BD的长，利用AD+BD=5列方程求出半径r=（a、b是直角边，c为斜边），运用圆面积公式=πr2求出面积=π；‎ ‎（2）图2，先求斜边上的高CD的长，再由勾股定理求出AD和BD，利用半径r=（a、b是直角边，c为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和=π；‎ ‎（3）图3，继续求高DM和CM、BM，利用半径r=（a、b是直角边，c为斜边）求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和=π；‎ 综上所述：发现S1+S2+S3+…+S10=π．‎ ‎【解答】解：（1）图1，过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90°‎ ‎∵∠C=90°‎ ‎∴四边形OECF为矩形 ‎∵OE=OF ‎∴矩形OECF为正方形 设圆O的半径为r，则OE=OF=r，AD=AE=3﹣r，BD=4﹣r ‎∴3﹣r+4+r=5，r==1‎ ‎∴S1=π×12=π ‎（2）图2，由S△ABC=×3×4=×5×CD ‎∴CD=‎ 由勾股定理得：AD==，BD=5﹣=‎ 由（1）得：⊙O的半径==，⊙E的半径==‎ ‎∴S1+S2=π×+π×=π ‎（3）图3，由S△CDB=××=×4×MD ‎∴MD=‎ 由勾股定理得：CM==，MB=4﹣=‎ 由（1）得：⊙O的半径=，：⊙E的半径==，：⊙F的半径==‎ ‎∴S1+S2+S3=π×+π×+π×=π ‎∴图4中的S1+S2+S3+S4=π 则S1+S2+S3+…+S10=π 故答案为：π．‎ ‎2.（2016·贵州安顺·4分）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3， AD=2，EF=EH，那么EH的长为　　．‎ ‎【分析】设EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ ‎∵四边形EFGH是矩形，‎ ‎∴EH∥BC，‎ ‎∴△AEH∽△ABC，‎ ‎∵AM⊥EH，AD⊥BC，‎ ‎∴，‎ 设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，‎ ‎∴，‎ 解得：x=，‎ 则EH=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．‎ ‎3. （2016·青海西宁·2分）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD=　2　．‎ ‎【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形．‎ ‎【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．‎ ‎【解答】解：作PE⊥OA于E，‎ ‎∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，‎ ‎∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），‎ ‎∵∠BOP=∠AOP=15°，‎ ‎∴∠AOB=30°，‎ ‎∵PC∥OB，‎ ‎∴∠ACP=∠AOB=30°，‎ ‎∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），‎ ‎∴PD=PE=2，‎ 故答案是：2．‎ ‎4.（2016·四川内江）将一副直角三角板如图1放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为( )‎ A．75° B．65° C．45° D．30°‎ ‎[答案]A ‎[考点]三角形的内角和、外角定理。‎ ‎[解析]方法一：∠1的对顶角所在的三角形中另两个角的度数分别为60°，45°，∴∠1＝180°－(60°＋45°)＝75°．‎ 方法二：∠1可看作是某个三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算．‎ 故选A．‎ 图1‎ ‎30°‎ ‎45°‎ ‎1‎ ‎5.（2016·湖北荆门·3分）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（　　）‎ A．7 B．10 C．11 D．10或11‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．‎ ‎【分析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．‎ ‎【解答】解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，‎ 解得m=6，‎ 则原方程为x2﹣7x+12=0，‎ 解得x1=3，x2=4，‎ 因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，‎ ‎①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；‎ ‎②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．‎ 综上所述，该△ABC的周长为10或11．‎ 故选：D．‎ 三.解答题 ‎1．（2016·四川内江）(12分)问题引入：‎ ‎(1)如图13①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝______(用α表示)；如图13②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝______(用α表示)．‎ ‎(2)如图13③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______(用α表示)，并说明理由．‎ 类比研究：‎ ‎(3)BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______．‎ O C B A 图13②‎ A B C O 图13①‎ O C B A E D 图13③‎ ‎[考点]三角形的内角和，猜想、推理。‎ 解：(1)第一个空填：90°＋； 2分 第一个空填：90°＋． 4分 第一空的过程如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)＝90°＋．‎ 第二空的过程如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－ (180°－∠A)＝120°＋．‎ ‎(2)答案：120°－．过程如下：‎ ‎∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠DBC＋∠ECB)＝180°－(180°＋∠A)＝120°－． 8分 ‎(3)答案：120°－．过程如下：‎ ‎∠BOC＝180°－ (∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠DBC＋∠ECB)＝180°－(180°＋∠A)＝·180°－． 12分