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- 2021-05-10 发布
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2014年中考数学圆专题训练
一.选择题(共11小题)
1.(2014•呼和浩特)已知⊙O的面积为2π,则其内接正三角形的面积为( )
A.
3
B.
3
C.
D.
2.(2014•舟山)如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为( )
2题 4题 5题 6题
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
3.(2014•凉山州)已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB=8cm,且AB⊥CD,垂足为M,则AC的长为( )
A.
cm
B.
cm
C.
cm或cm
D.
cm或cm
4.(2014•泸州)如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为3,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为,则a的值是( )
A.
4
B.
C.
D.
5.(2014•贵港)如图,AB是⊙O的直径,==,∠COD=34°,则∠AEO的度数是( )
A.
51°
B.
56°
C.
68°
D.
78°
6.(2013•内江)如图,半圆O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,AD平分∠BAC,则AD的长为( )
A.
cm
B.
cm
C.
cm
D.
4cm
7.(2014•重庆)如图,△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上,若∠ABC+∠AOC=90°,则∠AOC的大小是( )
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
70°
8.(2011•武汉)如图,铁路MN和公路PQ在点O处交汇,∠QON=30°,公路PQ上A处距离O点240米,如果火车行驶时,周围200米以内会受到噪音的影响,那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时,A处受到噪音影响的时间为( )
A.
12秒
B.
16秒
C.
20秒
D.
24秒
9.(2014•东营)如图,已知扇形的圆心角为60°,半径为,则图中弓形的面积为( )
9题 10题
A.
B.
C.
D.
10.(2014•牡丹江)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CDB=30°,CD=2,则S阴影=( )
A.
π
B.
2π
C.
D.
π
11.(2014•眉山)一个立体图形的三视图如图,根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为( )
A.
12π
B.
15π
C.
18π
D.
24π
二.填空题(共17小题)
12.(2014•张家界)如图,AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为 _________ .
12题 13题 14题 15题
13.(2014•湘西州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,OC=5cm,CD=6cm,则OE= _________ cm.
14.(2014•黄冈)如图,在⊙O中,弦CD垂直于直径AB于点E,若∠BAD=30°,且BE=2,则CD= _________ .
15.(2012•枣庄)如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切于点C,若AB的长为8cm,则图中阴影部分的面积为 _________ cm2.
16.(2014•绍兴)把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其主视图如图.⊙O与矩形ABCD的边BC,AD分别相切和相交(E,F是交点),已知EF=CD=8,则⊙O的半径为 _________ .
17.(2014•菏泽)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=25°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则的度数为 _________ .
17题 21题 22题
18.(2014•龙东地区)直径为10cm的⊙O中,弦AB=5cm,则弦AB所对的圆周角是 _________ .
19.(2014•盘锦)已知,AB是⊙O直径,半径OC⊥AB,点D在⊙O上,且点D与点C在直径AB的两侧,连结CD,BD.若∠OCD=22°,则∠ABD的度数是 _________ .
20.(2013•牡丹江)在圆中,30°的圆周角所对的弦的长度为2,则这个圆的半径是 _________ .
21.(2011•江津区)已知如图,在圆内接四边形ABCD中,∠B=30°,则∠D= _________ .
22.(2014•宁夏)如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上,用一个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 _________ .
23.(2012•绥化)⊙O为△ABC的外接圆,∠BOC=100°,则∠A= _________ .
24.(2012•资阳)直角三角形的两边长分别为16和12,则此三角形的外接圆半径是 _________ .
25.(2014•西宁)⊙O的半径为R,点O到直线l的距离为d,R,d是方程x2﹣4x+m=0的两根,当直线l与⊙O相切时,m的值为 _________ .
26.(2014•南充)如图,两圆圆心相同,大圆的弦AB与小圆相切,AB=8,则图中阴影部分的面积是 _________ .(结果保留π)
27.(2014•湘潭)如图,⊙O的半径为3,P是CB延长线上一点,PO=5,PA切⊙O于A点,则PA= _________ .
28.(2014•扬州)如图,以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E,连结OD、OE,若∠A=65°,则∠DOE= _________ .
三.解答题(共2小题)
29.(2014•大庆)如图①,已知等腰梯形ABCD的周长为48,面积为S,AB∥CD,∠ADC=60°,设AB=3x.
(1)用x表示AD和CD;
(2)用x表示S,并求S的最大值;
(3)如图②,当S取最大值时,等腰梯形ABCD的四个顶点都在⊙O上,点E和点F分别是AB和CD的中点,求⊙O的半径R的值.
30.(2014•天水)如图,点D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)判断直线CD和⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E,若AC=2,⊙O的半径是3,求BE的长.
2014年中考数学圆专题训练
参考答案与试题解析
一.选择题(共11小题)
1.(2014•呼和浩特)已知⊙O的面积为2π,则其内接正三角形的面积为( )
A.
3
B.
3
C.
D.
考点:
垂径定理;等边三角形的性质.菁优网版权所有
分析:
先求出正三角形的外接圆的半径,再求出正三角形的边长,最后求其面积即可.
解答:
解:如图所示,
连接OB、OC,过O作OD⊥BC于D,
∵⊙O的面积为2π
∴⊙O的半径为
∵△ABC为正三角形,
∴∠BOC==120°,∠BOD=∠BOC=60°,OB=,
∴BD=OB•sin∠BOD==,
∴BC=2BD=,
∴OD=OB•cos∠BOD=•cos60°=,
∴△BOC的面积=•BC•OD=××=,
∴△ABC的面积=3S△BOC=3×=.
故选C.
点评:
本题考查的是三角形的外接圆与外心,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答此题的关键.
2.(2014•舟山)如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为( )
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
考点:
垂径定理;勾股定理.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
根据CE=2,DE=8,得出半径为5,在直角三角形OBE中,由勾股定理得BE,根据垂径定理得出AB的长.
解答:
解:∵CE=2,DE=8,
∴OB=5,
∴OE=3,
∵AB⊥CD,
∴在△OBE中,得BE=4,
∴AB=2BE=8.
故选:D.
点评:
本题考查了勾股定理以及垂径定理,是基础知识要熟练掌握.
3.(2014•凉山州)已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB=8cm,且AB⊥CD,垂足为M,则AC的长为( )
A.
cm
B.
cm
C.
cm或cm
D.
cm或cm
考点:
垂径定理;勾股定理.菁优网版权所有
专题:
分类讨论.
分析:
先根据题意画出图形,由于点C的位置不能确定,故应分两种情况进行讨论.
解答:
解:连接AC,AO,
∵⊙O的直径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm,
∴AM=AB=×8=4cm,OD=OC=5cm,
当C点位置如图1所示时,
∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB,
∴OM===3cm,
∴CM=OC+OM=5+3=8cm,
∴AC===4cm;
当C点位置如图2所示时,同理可得OM=3cm,
∵OC=5cm,
∴MC=5﹣3=2cm,
在Rt△AMC中,AC===2cm.
故选:C.
点评:
本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
4.(2014•泸州)如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为3,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为,则a的值是( )
A.
4
B.
C.
D.
考点:
垂径定理;一次函数图象上点的坐标特征;勾股定理.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
PC⊥x轴于C,交AB于D,作PE⊥AB于E,连结PB,由于OC=3,PC=a,易得D点坐标为(3,3),则△OCD为等腰直角三角形,△PED也为等腰直角三角形.由PE⊥AB,根据垂径定理得AE=BE=AB=2,在Rt△PBE中,利用勾股定理可计算出PE=1,则PD=PE=,所以a=3+.
解答:
解:作PC⊥x轴于C,交AB于D,作PE⊥AB于E,连结PB,如图,
∵⊙P的圆心坐标是(3,a),
∴OC=3,PC=a,
把x=3代入y=x得y=3,
∴D点坐标为(3,3),
∴CD=3,
∴△OCD为等腰直角三角形,
∴△PED也为等腰直角三角形,
∵PE⊥AB,
∴AE=BE=AB=×4=2,
在Rt△PBE中,PB=3,
∴PE=,
∴PD=PE=,
∴a=3+.
故选:B.
点评:
本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质.
5.(2014•贵港)如图,AB是⊙O的直径,==,∠COD=34°,则∠AEO的度数是( )
A.
51°
B.
56°
C.
68°
D.
78°
考点:
圆心角、弧、弦的关系.菁优网版权所有
专题:
数形结合.
分析:
由==,可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°,继而可求得∠AOE的度数;然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数.
解答:
解:如图,∵==,∠COD=34°,
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°,
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°.
又∵OA=OE,
∴∠AEO=∠OAE,
∴∠AEO=×(180°﹣78°)=51°.
故选:A.
点评:
此题考查了弧与圆心角的关系.此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用.
6.(2013•内江)如图,半圆O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,AD平分∠BAC,则AD的长为( )
A.
cm
B.
cm
C.
cm
D.
4cm
考点:
圆心角、弧、弦的关系;全等三角形的判定与性质;勾股定理.菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
连接OD,OC,作DE⊥AB于E,OF⊥AC于F,运用圆周角定理,可证得∠DOB=∠OAC,即证△AOF≌△OED,所以OE=AF=3cm,根据勾股定理,得DE=4cm,在直角三角形ADE中,根据勾股定理,可求AD的长.
解答:
解:连接OD,OC,作DE⊥AB于E,OF⊥AC于F,
∵∠CAD=∠BAD(角平分线的性质),
∴=,
∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD,
∴△AOF≌△ODE,
∴OE=AF=AC=3(cm),
在Rt△DOE中,DE==4(cm),
在Rt△ADE中,AD==4(cm).
故选A.
点评:
本题考查了翻折变换及圆的有关计算,涉及圆的题目作弦的弦心距是常见的辅助线之一,注意熟练运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理.
7.(2014•重庆)如图,△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上,若∠ABC+∠AOC=90°,则∠AOC的大小是( )
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
70°
考点:
圆周角定理.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
先根据圆周角定理得到∠ABC=∠AOC,由于∠ABC+∠AOC=90°,所以∠AOC+∠AOC=90°,然后解方程即可.
解答:
解:∵∠ABC=∠AOC,
而∠ABC+∠AOC=90°,
∴∠AOC+∠AOC=90°,
∴∠AOC=60°.
故选C.
点评:
本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
8.(2011•武汉)如图,铁路MN和公路PQ在点O处交汇,∠QON=30°,公路PQ上A处距离O点240米,如果火车行驶时,周围200米以内会受到噪音的影响,那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时,A处受到噪音影响的时间为( )
A.
12秒
B.
16秒
C.
20秒
D.
24秒
考点:
点与圆的位置关系.菁优网版权所有
专题:
应用题.
分析:
过点A作AC⊥ON,求出AC的长,当火车到B点时开始对A处有噪音影响,直到火车到D点噪音才消失.
解答:
解:如图:过点A作AC⊥ON,AB=AD=200米,
∵∠QON=30°,OA=240米,
∴AC=120米,
当火车到B点时对A处产生噪音影响,此时AB=200米,
∵AB=200米,AC=120米,
∴由勾股定理得:BC=160米,CD=160米,即BD=320米,
∵72千米/小时=20米/秒,
∴影响时间应是:320÷20=16秒.
故选B.
点评:
本题考查的是点与圆的位置关系,根据火车行驶的方向,速度,以及它在以A为圆心,200米为半径的圆内行驶的BD的弦长,求出对A处产生噪音的时间,难度适中.
9.(2014•东营)如图,已知扇形的圆心角为60°,半径为,则图中弓形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
扇形面积的计算.菁优网版权所有
专题:
几何图形问题.
分析:
过A作AD⊥CB,首先计算出BC上的高AD长,再计算出三角形ABC的面积和扇形面积,然后再利用扇形面积减去三角形的面积可得弓形面积.
解答:
解:过A作AD⊥CB,
∵∠CAB=60°,AC=AB,
∴△ABC是等边三角形,
∵AC=,
∴AD=AC•sin60°=×=,
∴△ABC面积:=,
∵扇形面积:=,
∴弓形的面积为:﹣=,
故选:C.
点评:
此题主要考查了扇形面积的计算,关键是掌握扇形的面积公式:S=.
10.(2014•牡丹江)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CDB=30°,CD=2,则S阴影=( )
A.
π
B.
2π
C.
D.
π
考点:
扇形面积的计算;勾股定理;垂径定理.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
求出CE=DE,OE=BE=1,得出S△BED=S△OEC,所以S阴影=S扇形BOC.
解答:
解:如图,CD⊥AB,交AB于点E,
∵AB是直径,
∴CE=DE=CD=,
又∵∠CDB=30°
∴∠COE=60°,
∴OE=1,OC=2,
∴BE=1,
∴S△BED=S△OEC,
∴S阴影=S扇形BOC==.
故选:D.
点评:
本题考查了垂径定理、扇形面积的计算,图形的转化是解答本题的关键.
11.(2014•眉山)一个立体图形的三视图如图,根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为( )
A.
12π
B.
15π
C.
18π
D.
24π
考点:
圆锥的计算;由三视图判断几何体.菁优网版权所有
分析:
从主视图以及左视图都为一个三角形,俯视图为一个圆形看,可以确定这个几何体为一个圆锥,由三视图可知圆锥的底面半径为3,高为4,故母线长为5,据此可以求得其侧面积.
解答:
解:由三视图可知圆锥的底面半径为3,高为4,所以母线长为5,
所以侧面积为πrl=3×5π=15π,
故选:B.
点评:
本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的侧面积.牢记公式是解题的关键,难度不大.
二.填空题(共17小题)
12.(2014•张家界)如图,AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为 .
考点:
垂径定理;等腰梯形的性质.菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
A、B两点关于MN对称,因而PA+PC=PB+PC,即当B、C、P在一条直线上时,PA+PC的最小,即BC的值就是PA+PC的最小值
解答:
解:连接OA,OB,OC,作CH垂直于AB于H.
根据垂径定理,得到BE=AB=4,CF=CD=3,
∴OE===3,
OF===4,
∴CH=OE+OF=3+4=7,
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7,
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7,
则PA+PC的最小值为.
故答案为:
点评:
正确理解BC的长是PA+PC的最小值,是解决本题的关键.
13.(2014•湘西州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,OC=5cm,CD=6cm,则OE= 4 cm.
考点:
垂径定理;勾股定理.菁优网版权所有
分析:
先根据垂径定理得出CE的长,再在Rt△OCE中,利用勾股定理即可求得OE的长.
解答:
解:∵CD⊥AB
∴CE=CD=×6=3cm,
∵在Rt△OCE中,OE=cm.
故答案为:4.
点评:
本题主要考查了垂径定理以及勾股定理,是基础知识要熟练掌握.
14.(2014•黄冈)如图,在⊙O中,弦CD垂直于直径AB于点E,若∠BAD=30°,且BE=2,则CD= 4 .
考点:
垂径定理;解直角三角形.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
连结OD,设⊙O的半径为R,先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BAD=60°,再根据垂径定理由CD⊥AB得到DE=CE,在Rt△ODE中,OE=OB﹣BE=R﹣2,利用余弦的定义得cos∠EOD=cos60°=,即=,解得R=4,则OE=2,DE=OE=2,所以CD=2DE=4.
解答:
解:连结OD,如图,设⊙O的半径为R,
∵∠BAD=30°,
∴∠BOD=2∠BAD=60°,
∵CD⊥AB,
∴DE=CE,
在Rt△ODE中,OE=OB﹣BE=R﹣2,OD=R,
∵cos∠EOD=cos60°=,
∴=,解得R=4,
∴OE=4﹣2=2,
∴DE=OE=2,
∴CD=2DE=4
故答案为:4.
点评:
本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了圆周角定理和解直角三角形.
15.(2012•枣庄)如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切于点C,若AB的长为8cm,则图中阴影部分的面积为 16π cm2.
考点:
垂径定理的应用;切线的性质.菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
设AB于小圆切于点C,连接OC,OB,利用垂径定理即可求得BC的长,根据圆环(阴影)的面积=π•OB2﹣π•OC2=π(OB2﹣OC2),以及勾股定理即可求解.
解答:
解:设AB于小圆切于点C,连接OC,OB.
∵AB于小圆切于点C,
∴OC⊥AB,
∴BC=AC=AB=×8=4cm.
∵圆环(阴影)的面积=π•OB2﹣π•OC2=π(OB2﹣OC2)
又∵直角△OBC中,OB2=OC2+BC2
∴圆环(阴影)的面积=π•OB2﹣π•OC2=π(OB2﹣OC2)=π•BC2=16πcm2.
故答案是:16π.
点评:
此题考查了垂径定理,切线的性质,以及勾股定理,解题的关键是正确作出辅助线,注意到圆环(阴影)的面积=π•OB2﹣π•OC2=π(OB2﹣OC2),利用勾股定理把圆的半径之间的关系转化为直角三角形的边的关系.
16.(2014•绍兴)把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其主视图如图.⊙O与矩形ABCD的边BC,AD分别相切和相交(E,F是交点),已知EF=CD=8,则⊙O的半径为 5 .
考点:
垂径定理的应用;勾股定理;切线的性质.菁优网版权所有
专题:
几何图形问题.
分析:
首先由题意,⊙O与BC相切,记切点为G,作直线OG,分别交AD、劣弧于点H、I,再连接OF,易求得FH的长,然后设求半径为r,则OH=8﹣r,然后在Rt△OFH中,r2﹣(16﹣r)2=82,解此方程即可求得答案.
解答:
解:由题意,⊙O与BC相切,记切点为G,作直线OG,分别交AD、劣弧于点H、I,再连接OF,
在矩形ABCD中,AD∥BC,而IG⊥BC,
∴IG⊥AD,
∴在⊙O中,FH=EF=4,
设求半径为r,则OH=8﹣r,
在Rt△OFH中,r2﹣(8﹣r)2=42,
解得r=5,
故答案为:5.
点评:
此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.
17.(2014•菏泽)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=25°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则的度数为 50° .
考点:
圆心角、弧、弦的关系;三角形内角和定理;直角三角形的性质.菁优网版权所有
专题:
几何图形问题.
分析:
连接CD,求出∠B=65°,再根据CB=CD,求出∠BCD的度数即可.
解答:
解:连接CD,
∵∠A=25°,
∴∠B=65°,
∵CB=CD,
∴∠B=∠CDB=65°,
∴∠BCD=50°,
∴的度数为50°.
故答案为:50°.
点评:
此题考查了圆心角、弧之间的关系,用到的知识点是三角形内角和定理、圆心角与弧的关系,关键是做出辅助线求出∠BCD的度数.
18.(2014•龙东地区)直径为10cm的⊙O中,弦AB=5cm,则弦AB所对的圆周角是 30°或150° .
考点:
圆周角定理;含30度角的直角三角形;垂径定理.菁优网版权所有
专题:
分类讨论.
分析:
连接OA、OB,根据等边三角形的性质,求出∠AOB的度数,再根据圆周定理求出∠C的度数,再根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数.
解答:
解:连接OA、OB,
∵AB=OB=OA,
∴∠AOB=60°,
∴∠C=30°,
∴∠D=180°﹣30°=150°.
故答案为:30°或150°.
点评:
本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质,作出辅助线是解题的关键.
19.(2014•盘锦)已知,AB是⊙O直径,半径OC⊥AB,点D在⊙O上,且点D与点C在直径AB的两侧,连结CD,BD.若∠OCD=22°,则∠ABD的度数是 23°或67° .
考点:
圆周角定理.菁优网版权所有
专题:
分类讨论.
分析:
按点D在直线OC左侧、右侧两种情形分类讨论,利用圆周角定理求解.
解答:
解:由题意,
①当点D在直线OC左侧时,如答图1所示.
连接OD,则∠1=∠2=22°,
∴∠COD=180°﹣∠1﹣∠2=136°,
∴∠AOD=∠COD﹣∠AOC=136°﹣90°=46°,
∴∠ABD=∠AOD=23°;
②当点D在直线OC右侧时,如答图2所示.
连接OD,则∠1=∠2=22°;
并延长CO,则∠3=∠1+∠2=44°.
∴∠AOD=90°+∠3=90°+44°=134°,
∴∠ABD=∠AOD=67°.
综上所述,∠ABD的度数是23°或67°,
故答案为:23°或67°.
点评:
此题考查圆周角定理及分类讨论的数学思想,画出图形,直观解决问题.
20.(2013•牡丹江)在圆中,30°的圆周角所对的弦的长度为2,则这个圆的半径是 2 .
考点:
圆周角定理;等边三角形的判定与性质.菁优网版权所有
分析:
先求出弦所对的圆心角为60°,则可判断这条弦与两半径所组成的三角形是等边三角形,从而得出圆的半径.
解答:
解:
∵∠BAC=30°,
∴∠BOC=60°,
∴△BOC是等边三角形,
∴OB=OC=BC=2,即这个圆的半径为2.
故答案为:2.
点评:
本题考查了圆周角定理,解答本题的关键是熟练掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.
21.(2011•江津区)已知如图,在圆内接四边形ABCD中,∠B=30°,则∠D= 150° .
考点:
圆内接四边形的性质.菁优网版权所有
分析:
根据圆内接四边形对角互补,直接求出即可.
解答:
解:∵圆内接四边形ABCD中,∠B=30°,
∴∠D=180°﹣30°=150°.
故答案为:150°.
点评:
此题主要考查了圆内接四边形的性质,灵活应用圆内接四边形的性质是解决问题的关键.
22.(2014•宁夏)如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上,用一个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 .
考点:
三角形的外接圆与外心.菁优网版权所有
专题:
网格型.
分析:
根据题意得出△ABC的外接圆的圆心位置,进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径.
解答:
解:如图所示:点O为△ABC外接圆圆心,则AO为外接圆半径,
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是:.
故答案为:.
点评:
此题主要考查了三角形的外接圆与外心,得出外接圆圆心位置是解题关键.
23.(2012•绥化)⊙O为△ABC的外接圆,∠BOC=100°,则∠A= 50°或130° .
考点:
三角形的外接圆与外心;圆周角定理;圆内接四边形的性质.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
分为两种情况:当O在△ABC内部时,根据圆周角定理求出∠A=50°;当O在△ABC外部时,根据圆内接四边形性质求出∠A′=180°﹣∠A即可.
解答:
解:分为两种情况:当O在△ABC内部时,
根据圆周角定理得:∠A=∠BOC=×100°=50°;
当O在△ABC外部时,如图在A′时,
∵A、B、A′、C四点共圆,
∴∠A+∠A′=180°,
∴∠A′=180°﹣50°=130°,
故答案为:50°或130°.
点评:
本题考查了三角形的内切圆与内心,圆周角定理,圆内接四边形等知识点,注意:本题分为圆心O在△ABC内部和外部两种情况,题目比较好,但是一道比较容易出错的题目.
24.(2012•资阳)直角三角形的两边长分别为16和12,则此三角形的外接圆半径是 10或8 .
考点:
三角形的外接圆与外心;勾股定理.菁优网版权所有
专题:
探究型.
分析:
直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点,那么半径为斜边的一半,分两种情况:①16为斜边长;②16和12为两条直角边长,由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长,进而可求得外接圆的半径.
解答:
解:由勾股定理可知:
①当直角三角形的斜边长为16时,这个三角形的外接圆半径为8;
②当两条直角边长分别为16和12,则直角三角形的斜边长==20,
因此这个三角形的外接圆半径为10.
综上所述:这个三角形的外接圆半径等于8或10.
故答案为:10或8.
点评:
本题考查的是直角三角形的外接圆半径,重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心,斜边长的一半为半径的圆.
25.(2014•西宁)⊙O的半径为R,点O到直线l的距离为d,R,d是方程x2﹣4x+m=0的两根,当直线l与⊙O相切时,m的值为 4 .
考点:
直线与圆的位置关系;根的判别式.菁优网版权所有
分析:
先根据切线的性质得出方程有且只有一个根,再根据△=0即可求出m的值.
解答:
解:∵d、R是方程x2﹣4x+m=0的两个根,且直线L与⊙O相切,
∴d=R,
∴方程有两个相等的实根,
∴△=16﹣4m=0,
解得,m=4,
故答案为:4.
点评:
本题考查的是切线的性质及一元二次方程根的判别式,熟知以上知识是解答此题的关键.
26.(2014•南充)如图,两圆圆心相同,大圆的弦AB与小圆相切,AB=8,则图中阴影部分的面积是 16π .(结果保留π)
考点:
切线的性质;勾股定理;垂径定理.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
设AB与小圆切于点C,连结OC,OB,利用垂径定理即可求得BC的长,根据圆环(阴影)的面积=π•OB2﹣π•OC2=π(OB2﹣OC2),以及勾股定理即可求解.
解答:
解:设AB与小圆切于点C,连结OC,OB.
∵AB与小圆切于点C,
∴OC⊥AB,
∴BC=AC=AB=×8=4.
∵圆环(阴影)的面积=π•OB2﹣π•OC2=π(OB2﹣OC2)
又∵直角△OBC中,OB2=OC2+BC2
∴圆环(阴影)的面积=π•OB2﹣π•OC2=π(OB2﹣OC2)=π•BC2=16π.
故答案为:16π.
点评:
此题考查了垂径定理,切线的性质,以及勾股定理,解题的关键是正确作出辅助线,注意到圆环(阴影)的面积=π•OB2﹣π•OC2=π(OB2﹣OC2),利用勾股定理把圆的半径之间的关系转化为直角三角形的边的关系.
27.(2014•湘潭)如图,⊙O的半径为3,P是CB延长线上一点,PO=5,PA切⊙O于A点,则PA= 4 .
考点:
切线的性质;勾股定理.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
先根据切线的性质得到OA⊥PA,然后利用勾股定理计算PA的长.
解答:
解:∵PA切⊙O于A点,
∴OA⊥PA,
在Rt△OPA中,OP=5,OA=3,
∴PA==4.
故答案为:4.
点评:
本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了勾股定理.
28.(2014•扬州)如图,以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E,连结OD、OE,若∠A=65°,则∠DOE= 50° .
考点:
圆的认识;三角形内角和定理;等腰三角形的性质;圆周角定理.菁优网版权所有
专题:
几何图形问题.
分析:
如图,连接BE.由圆周角定理和三角形内角和定理求得∠ABE=25°,再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题.
解答:
解:如图,连接BE.
∵BC为⊙O的直径,
∴∠CEB=∠AEB=90°,
∵∠A=65°,
∴∠ABE=25°,
∴∠DOE=2∠ABE=50°,(圆周角定理)
故答案为:50°.
点评:
本题考查了圆的认识及三角形的内角和定理等知识,难度不大.
三.解答题(共2小题)
29.(2014•大庆)如图①,已知等腰梯形ABCD的周长为48,面积为S,AB∥CD,∠ADC=60°,设AB=3x.
(1)用x表示AD和CD;
(2)用x表示S,并求S的最大值;
(3)如图②,当S取最大值时,等腰梯形ABCD的四个顶点都在⊙O上,点E和点F分别是AB和CD的中点,求⊙O的半径R的值.
考点:
圆的综合题;等腰三角形的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理;垂径定理.菁优网版权所有
专题:
综合题.
分析:
(1)作AH⊥CD于H,BG⊥CD于G,如图①,易得四边形AHGB为矩形,则HG=AB=3x,再根据等腰梯形的性质得AD=BC,DH=CG,在Rt△ADH中,设DH=t,根据含30度的直角三角形三边的关系得AD=2t,AH=t,然后根据等腰梯形ABCD的周长为48得3x+2t+t+3x+t+2t=48,解得t=8﹣x,于是可得AD=18﹣2x,CD=16+x;
(2)根据梯形的面积公式计算可得到S=﹣2x2+8x+64,再进行配方得S=﹣2(x﹣2)2+72,然后根据二次函数的最值问题求解;
(3)连结OA、OD,如图②,由(2)得到x=2时,则AB=6,CD=18,等腰梯形的高为6,所以AE=3,DF=9,由于点E和点F分别是AB和CD的中点,根据等腰梯形的性质得直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴,所以EF垂直平分AB和CD,EF为等腰梯形ABCD的高,即EF=6,根据垂径定理的推论得等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上,设OE=a,则OF=6﹣a,在Rt△AOE中,利用勾股定理得a2+32=R2,在Rt△ODF中,利用勾股定理得(6﹣a)2+92=R2,然后消去R得到a的方程a2+32=(6﹣a)2+92,解得a=5,最后利用R2=(5)2+32求解.
解答:
解:(1)作AH⊥CD于H,BG⊥CD于G,如图①,
则四边形AHGB为矩形,
∴HG=AB=3x,
∵四边形ABCD为等腰梯形,
∴AD=BC,DH=CG,
在Rt△ADH中,设DH=t,
∵∠ADC=60°,
∴∠DAH=30°,
∴AD=2t,AH=t,
∴BC=2t,CG=t,
∵等腰梯形ABCD的周长为48,
∴3x+2t+t+3x+t+2t=48,解得t=8﹣x,
∴AD=2(8﹣x)=16﹣2x,
CD=8﹣x+3x+8﹣x=16+x;
(2)S=(AB+CD)•AH
=(3x+16+x)•(8﹣x)
=﹣2x2+8x+64,
∵S=﹣2(x﹣2)2+72,
∴当x=2时,S有最大值72;
(3)连结OA、OD,如图②,
当x=2时,AB=6,CD=16+2=18,等腰梯形的高为×(8﹣2)=6,
则AE=3,DF=9,
∵点E和点F分别是AB和CD的中点,
∴直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴,
∴EF垂直平分AB和CD,EF为等腰梯形ABCD的高,即EF=6,
∴等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上,
设OE=a,则OF=6﹣a,
在Rt△AOE中,
∵OE2+AE2=OA2,
∴a2+32=R2,
在Rt△ODF中,
∵OF2+DF2=OD2,
∴(6﹣a)2+92=R2,
∴a2+32=(6﹣a)2+92,解得a=5,
∴R2=(5)2+32=84,
∴R=2.
点评:
本题考查了圆的综合题:熟练掌握垂径定理及其推论和等腰梯形的性质;会运用二次函数的性质解决最值问题;熟练运用勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系进行计算.
30.(2014•天水)如图,点D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)判断直线CD和⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E,若AC=2,⊙O的半径是3,求BE的长.
考点:
切线的判定与性质.菁优网版权所有
分析:
(1)连接OD,根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°,求出∠CDA+∠ADO=90°,根据切线的判定推出即可;
(2)根据勾股定理求出DC,根据切线长定理求出DE=EB,根据勾股定理得出方程,求出方程的解即可.
解答:
解:(1)直线CD和⊙O的位置关系是相切,
理由是:连接OD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB+∠DBA=90°,
∵∠CDA=∠CBD,
∴∠DAB+∠CDA=90°,
∵OD=OA,
∴∠DAB=∠ADO,
∴∠CDA+∠ADO=90°,
即OD⊥CE,
∴直线CD是⊙O的切线,
即直线CD和⊙O的位置关系是相切;
(2)∵AC=2,⊙O的半径是3,
∴OC=2+3=5,OD=3,
在Rt△CDO中,由勾股定理得:CD=4,
∵CE切⊙O于D,EB切⊙O于B,
∴DE=EB,∠CBE=90°,
设DE=EB=x,
在Rt△CBE中,由勾股定理得:CE2=BE2+BC2,
则(4+x)2=x2+(5+3)2,
解得:x=6,
即BE=6.
点评:
本题考查了切线的性质和判定,勾股定理,切线长定理,圆周角定理,等腰三角形的性质和判定的应用,题目比较典型,综合性比较强,难度适中.