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- 2021-05-10 发布
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北京市西城区2013年初三二模试卷
数 学 2013. 6
一、选择题(本题共32分,每小题4分)
1.的倒数是
A. B.3 C. D.
2.下列运算中正确的是
A. B. C. D.
3.若一个多边形的内角和是720°,则这个多边形的边数是
A.5 B.6 C.7 D.8
4.若,则的值为
A.8 B.6 C.5 D.9
5.下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A B C D
6.对于一组统计数据:3,3,6,3,5,下列说法中错误的是
A.中位数是6 B.众数是3 C.平均数是4 D.方差是1.6
7.如图,边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30 °后得到正方形EFCG,
EF交AD于点H,则四边形DHFC的面积为
A. B. C. 9 D.
8.如图,点A,B,C是正方体三条相邻的棱的中点,沿着A,B,C三点所在的平面将该正方体的一个角切掉,然后将其展开,其展开图可能是
A B C D
二、填空题(本题共16分,每小题4分)
9.函数中,自变量的取值范围是 .
10.若把代数式化为的形式,其中,为常数,则= .
11.如图,在△ABC中,∠ACB=52°,点D,E分别是AB, AC的中点.若点F在线段DE上,且∠AFC=90°,则∠FAE的度数为 °.
12.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在第一象限,点B在x轴的正半轴上,∠OAB=90°.⊙P1是△OAB的内切圆,且P1的坐标为(3,1).
(1) OA的长为 ,OB的长为 ;
(2) 点C在OA的延长线上,CD∥AB交x轴于点D.将⊙P1沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P2,将⊙P2沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P3,按照同样的方法继续操作,依次得到⊙P4,……⊙Pn.若⊙P1,⊙P2,……⊙Pn均在△OCD的内部,且⊙Pn恰好与CD相切,则此时OD的长为 .(用含n的式子表示)
三、解答题(本题共30分,每小题5分)
13.计算:.
14.如图,点C是线段AB的中点,点D,E在直线AB的同侧,
∠ECA=∠DCB,∠D=∠E.
求证:AD=BE.
15.已知,求代数式的值.
16.已知关于的一元二次方程有实数根.
(1) 求的取值范围;
(2) 当为负整数时,求方程的两个根.
17.列方程(组)解应用题:
水上公园的游船有两种类型,一种有4个座位,另一种有6个座位.这两种游船的收费标准是:一条4座游船每小时的租金为60元,一条6座游船每小时的租金为100元.某公司组织38名员工到水上公园租船游览,若每条船正好坐满,并且1小时共花费租金600元,求该公司分别租用4座游船和6座游船的数量.
18.为了解“校本课程”开展情况,某校科研室随机选取了若干学生进行问卷调查(要求每位学生只能填写一种自己喜欢的课程),并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图:
调查结果的条形统计图 调查结果的扇形统计图
请根据以上信息回答下列问题:
(1) 参加问卷调查的学生共有 人;
(2) 在扇形统计图中,表示“C”的扇形的圆心角为 度;
(3) 统计发现,填写“喜欢手工制作”的学生中,男生人数∶女生人数=1∶6.如果从所有参加问卷调查的学生中随机选取一名学生,那么这名学生是填写“喜欢手工制作”的女生的概率为 .
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
19.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象与轴交于点A(,0), 与轴交于点B,且与正比例函数的图象的交点为C(,4) .
(1) 求一次函数的解析式;
(2) 若点D在第二象限,△DAB是以AB为直角边的
等腰直角三角形,直接写出点D的坐标.
20.如图,四边形ABCD中,∠BAD=135°,∠BCD=90°,AB=BC=2,
tan∠BDC= .
(1) 求BD的长;
(2) 求AD的长.
21.如图,以△ABC的一边AB为直径作⊙O, ⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点, 过点D作⊙O的切线交AC边于点E.
(1) 求证:DE⊥AC;
(2) 连结OC交DE于点F,若,求的值.
22.在平面直角坐标系xOy中,点经过变换得到点,该变换记作,其中为常数.例如,当,且时,.
(1) 当,且时,= ;
(2) 若,则= ,= ;
(3) 设点是直线上的任意一点,点经过变换得到点.若点与点重合,求和的值.
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)
23.在平面直角坐标系xOy中, A,B两点在函数的图象上,
其中.AC⊥轴于点C,BD⊥轴于点D,且 AC=1.
(1) 若=2,则AO的长为 ,△BOD的面积为 ;
(2) 如图1,若点B的横坐标为,且,当AO=AB时,求的值;
(3) 如图2,OC=4,BE⊥轴于点E,函数的图象分别与线段BE,
BD交于点M,N,其中.将△OMN的面积记为,△BMN的面积记为,若,求与的函数关系式以及的最大值.
图2
图1
24.在△ABC中,AB=AC,AD,CE分别平分∠BAC和∠ACB,且AD与CE交于点M.点N在射线AD上,且NA=NC.过点N作NF⊥CE于点G,且与AC交于点F,再过点F作FH∥CE,且与AB交于点H.
(1) 如图1,当∠BAC=60°时,点M,N,G重合.
①请根据题目要求在图1中补全图形;
②连结EF,HM,则EF与HM的数量关系是__________;
(2) 如图2,当∠BAC=120°时,求证:AF=EH;
图1
图2
备用图
(3) 当∠BAC=36°时,我们称△ABC为“黄金三角形”,此时.若EH=4,
直接写出GM的长.
图1
25.如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线和抛物线W交于A,B两点,其中点A是抛物线W的顶点.当点A在直线上运动时,抛物线W随点A作平移运动.在抛物线平移的过程中,线段AB的长度保持不变.
应用上面的结论,解决下列问题:
如图2,在平面直角坐标系xOy中,已知直线.点A是直线上的一个动点,且点A的横坐标为.以A为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点B.
(1) 当时,求抛物线的解析式和AB的长;
(2) 当点B到直线OA的距离达到最大时,直接写出此时点A的坐标;
(3) 过点A作垂直于轴的直线交直线于点C.以C为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点D.
①当AC⊥BD时,求的值;
②若以A,B,C,D为顶点构成的图形是凸四边形,直接写出满足条件的的取值范围.
图2
备用图
北京市西城区2013年初三二模
数学试卷参考答案及评分标准 2013.6
一、选择题(本题共32分,每小题4分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
B
A
B
A
B
D
二、填空题(本题共16分,每小题4分)
9
10
11
12
5
2n+3
阅卷说明:第12题第一、第二个空各1分,第三个空2分.
三、解答题(本题共30分,每小题5分)
13.解:原式= ……………………………………………… 4分
=. ……………………………………………… 5分
14.证明:∵点C是线段AB的中点,
∴AC=BC. …………………………1分
∵∠ECA=∠DCB,
∴∠ECA+∠ECD=∠DCB+∠ECD,
即∠ACD=∠BCE. …………………2分
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE. ……………………………………………… 4 分
∴AD=BE . ……………………………………………… 5分
15.解:
…………………………………………… 2分
. …………………………………………………… 3分
∵, 即, ……………………………………………4分
∴原式. ……………………………… 5分
16.解:(1) ∵关于的一元二次方程有实数根,
∴. ….….…..…..…………..……………………1分
∴. …..….….…..…………..……………………2分
(2) ∵为负整数,
∴. .….……..…..…………..…………………… 3分
_
_
此时方程为. .…….…..…………………4分
解得x1= 3,x2= 4. .…….…..…………………5分
17.解:设租用4座游船条,租用6座游船条. .….…..…..…………………… 1分
依题意得 ….………..……………………3分
解得 ..…………..……………………4分
答:该公司租用4座游船5条,6座游船3条. .….….…..…..…………………5分
18.解:(1) 80; ……………………………………………………………………1分
(2) 54; ……………………………………………………………………3分
(3) . …………………………………………………………………… 5分
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
19.解:(1)∵点C(,4)在直线上,
∴,解得. ……………… 1分
∵点A(,0)与C(3,4)在直线上,
∴ ……………… 2分
解得
∴一次函数的解析式为. ……………………………………… 3分
(2) 点D的坐标为(,)或(,). ……………………………………… 5分
阅卷说明:两个点的坐标各1分.
20.解:(1)在Rt△BCD中,∠BCD=90°,BC=2,tan∠BDC= ,
∴.
∴CD=. …………………………………… 1分
∴由勾股定理得BD== . ……… 2 分
(2)如图,过点D作DE⊥AB交BA延长线于点E .
∵∠BAD=135°,
∴∠EAD=∠ADE=45°.
∴AE=ED . ………………………………………………………………… 3分
设AE=ED= x ,则AD= x .
∵DE2+BE2=BD2,
_
∴x2+(x+2)2=()2. ………………………………………………… 4分
解得x1= 3(舍),x2=1 .
∴AD= x = . ………………………………………………………… 5分
21.(1)证明:连接OD .
∵DE是⊙O的切线,
∴DE⊥OD,即∠ODE=90° . ……………………………………………1分
∵AB是⊙O的直径,
∴O是AB的中点.
又∵D是BC的中点, .
∴OD∥AC .
∴∠DEC=∠ODE= 90° .
∴DE⊥AC . ……………………………………………………………… 2分
(2)连接AD .
∵OD∥AC,
∴. …………………………………………………………………… 3分
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB= ∠ADC =90° .
又∵D为BC的中点,
∴AB=AC.
∵sin∠ABC= =,
故设AD=3x , 则AB=AC=4x , OD=2x . ………………………………………… 4分
∵DE⊥AC,
∴∠ADC= ∠AED= 90°.
∵∠DAC= ∠EAD,
∴△ADC∽△AED.
∴.
∴.
∴.
∴.
∴. ………………………………………………………………… 5分
22.解:(1)=; ……………………………………… 1分
(2)=,=; ……………………………………… 3分
(3) ∵点经过变换得到的对应点与点重合,
∴.
∵点在直线上,
∴.
∴ ……………………………………… 4分
即
∵为任意的实数,
∴ 解得
∴,. ……………………………………… 5分
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)
23.解:(1) AO的长为,△BOD的面积为 1; ………………………… 2分
(2) ∵A,B两点在函数的图象上,
∴点A,B的坐标分别为,. ………………… 3分
∵AO=AB,
由勾股定理得,,
∴.
解得或. …………………………………………… 4分
∵,
∴. ………………… 5分
(3) ∵OC=4,
∴点A的坐标为.
∴.
设点B的坐标为,
∵BE⊥轴于点E,BD⊥轴于点D,
∴四边形ODBE为矩形,且,
点M的纵坐标为,点N的横坐标为.
∵点M,N在函数的图象上,
∴点M的坐标为,点N的坐标为.
∴.
∴.
∴.
∴, ………………………… 6分
其中.
∵,而,
∴当时,的最大值为1. …………………………………… 7分
图1
24.解:(1)补全图形见图1, ………1分
EF与HM的数量关系是EF=HM ; ………2分
(2)连接MF(如图2).
∵AD,CE分别平分∠BAC和∠ACB,
且∠BAC=120°,
∴∠1=∠2=60°,∠3=∠4.
∵AB=AC,
图2
∴AD⊥BC.
∵NG⊥EC,
∴∠MDC =∠NGM =90°.
∴∠4+∠6=90°,∠5+∠6=90°.
∴∠4=∠5.
∴∠3=∠5.
∵NA=NC,∠2=60°,
∴△ANC是等边三角形.
∴AN=AC.
在△AFN和△AMC中,
∴△AFN≌△AMC. …………………………………………… 3分
∴AF=AM.
∴△AMF是等边三角形.
∴AF=FM,∠7=60°.
∴∠7=∠1.
∴FM∥AE.
∵FH∥CE,
∴四边形FHEM是平行四边形. ……………………………………… 4分
∴EH=FM.
∴AF=EH. …………………………………………… 5分
(3) GM的长为. …………………………………………… 7分
25.解:(1) ∵点A在直线上,且点A的横坐标为0,
∴点A的坐标为.
∴抛物线的解析式为. …………………………… 1分
∵点B在直线上,
∴设点B的坐标为.
∵点B在抛物线:上,
∴.
解得或.
∵点A与点B不重合,
∴点B的坐标为. …………………………… 2分
∴由勾股定理得AB=. …………………… 3分
(2) 点A的坐标为. …………………………… 4分
(3) ①方法一:设AC,BD交于点E,直线分别与轴、轴交于点P和Q(如图1).则点P和点Q的坐标分别为, .
图1
∴OP=OQ=2.
∴∠OPQ =45°.
∵AC⊥轴,
∴AC∥轴.
∴∠EAB =∠OPQ =45°.
∵∠DEA =∠AEB=90°,AB =,
∴EA=EB =1.
∵点A在直线上,且点A的横坐标为,
∴点A的坐标为.
∴点B的坐标为.
∵AC∥轴,
∴点C的纵坐标为.
∵点C在直线上,
∴点C的坐标为.
∴抛物线的解析式为.
∵BD⊥AC,
∴点D的横坐标为.
∵点D在直线上,
∴点D的坐标为. …………………………………………… 5分
∵点D在抛物线:上,
∴.
解得或.
∵当时,点C与点D重合,
∴. …………………………………………… 6分
图2
方法二:设直线与轴交于点P,过点A作轴的平行线,过点B作轴的平行线,交于点N.(如图2)
则∠ANB=90°,∠ABN=∠OPB.
在△ABN中,BN=ABcos∠ABN,AN=ABsin∠ABN.
∵在抛物线随顶点A平移的过程中,
AB的长度不变,∠ABN的大小不变,
∴BN和AN的长度也不变,即点A与点B的横坐标
的差以及纵坐标的差都保持不变.
同理,点C与点D的横坐标的差以及纵坐标的差也保持不变.
由(1)知当点A的坐标为时,点B的坐标为,
∴当点A的坐标为时,点B的坐标为.
∵AC∥轴,
∴点C的纵坐标为.
∵点C在直线上,
∴点C的坐标为.
令,则点C的坐标为.
∴抛物线的解析式为.
∵点D在直线上,
∴设点D的坐标为.
∵点D在抛物线:上,
∴.
解得或.
∵点C与点D不重合,
∴点D的坐标为.
∴当点C的坐标为时,点D的坐标为.
∴当点C的坐标为时,点D的坐标为. …… 5分
∵BD⊥AC,
∴.
∴. …………………………………………… 6分
②的取值范围是或. ………………………………… 8分
说明:设直线与交于点M.随着点A从左向右运动,从点D与点M重合,到点B与点M重合的过程中,以A,B,C,D为顶点构成的图形不是凸四边形.