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- 2021-05-10 发布
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宜宾市 2018 年高中阶段招生统一考试
数 学 试 题 参 考 答 案 及 解 析
第 I 卷 选择题(共 24 分)
一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分)在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡对应题目上。
(注意:在试题卷上作答无效)
1 2 3 4 5 6 7 8
C B A D B C A D
1.3 的相反数是( )
A. B.3 C. D.
【解答】只有符号不同的两个数互为相反数,故选 C.
2.我国首艘国产航母于 2018 年 4 月 26 日正式下水,排水量为 65000 吨.将 65000 用科学记
数法表示为( )
A. B. C. D.
【解答】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形
式,其中 1≤|a|<10,n 为整数,故选 B.
3.一个立体图形的三视图如图所示,则该立体图形是( )
A.圆柱 B.圆锥 C.长方体 D.球
【解答】解:圆柱的三视图分别是长方形,长方形,圆,故选 A.
4.一元二次方程 的两根分别为 和 ,则 为( )
A. B. 1 C. 2 D. 0
【解答】本题考查了根与系数的关系,牢记两根之积等于 是解题的关键,
∴x1 x2 = 0,故选 D.
3
1 3−
3
1±
4105.6 −× 4105.6 × 4105.6 ×− 41065.0 ×
022 =− xx 1x 2x 21xx
2−
5.在 中,若 与 的角平分线交于点 ,则 的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
【解答】解:如图,∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠BAD+∠ADC=180°,
∵∠EAD= ∠BAD,∠ADE= ∠ADC,
∴∠EAD+∠ADE= (∠BAD+∠ADC)=90°,
∴∠E=90°,
∴△ADE 是直角三角形,故选:B.
6.某市从 2017 年开始大力发展“竹文化”旅游产业.据统计,该市 2017 年“竹文
化”旅游收入约为 2 亿元.预计 2019“竹文化”旅游收入达到 2.88 亿元,据此估计
该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为( )
A.2% B.4.4% C.20% D.44%
【解答】解:设该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为 x,
根据题意得:2(1+x)2=2.88,
解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去).
答:该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为 20%.
故选:C.
7.如图,将△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC 的
面积为 9,阴影部分三角形的面积为 4.若 AA'=1,则 A'D 等于( )
A.2 B.3 C. D.
【解答】解:如图,
∵S△ABC=9、S△A′EF=4,且 AD 为 BC 边的中线,
ABCD BAD∠ CDA∠ E AED△
∴S△A′DE= S△A′EF=2,S△ABD= S△ABC= ,
∵将△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到△A'B'C',
∴A′E∥AB,
∴△DA′E∽△DAB,
则( )2= ,即( )2= ,
解得 A′D=2 或 A′D=﹣ (舍),故选:A.
8.在△ABC 中,若 O 为 BC 边的中点,则必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2 成立.依
据以上结论,解决如下问题:如图,在矩形 DEFG 中,已知 DE=4,EF=3,点 P
在以 DE 为直径的半圆上运动,则 PF2+PG2 的最小值为( )
A. B.
C.34 D.10
【解答】 解:设点 M 为 DE 的中点,点 N 为 FG 的中点,连接 MN 交半圆于点
P,此时 PN 取最小值.
∵DE=4,四边形 DEFG 为矩形,
∴GF=DE,MN=EF,
∴MP=FN= DE=2,
∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1,
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10.
故选:D.
第 II 卷 非选择题(共 96 分)
二、填空题:(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分)请把答案直接填写在
答题卡对应题中横线上。(注意:在试题卷上作答无效)
9.分解因式:2a3b﹣4a2b2+2ab3= 2ab(a﹣b)2 .
【解答】解:2a3b﹣4a2b2+2ab3,
=2ab(a2﹣2ab+b2),
=2ab(a﹣b)2.
10.不等式组 1< x﹣2≤2 的所有整数解的和为 15 .
【解答】解:由题意可得 ,
解不等式①,得:x>6,
解不等式②,得:x≤8,
则不等式组的解集为 6<x≤8,
所以不等式组的所有整数解的和为 7+8=15,故答案为:15.
11.某校拟招聘一名优秀数学教师,现有甲、乙、丙三名教师入围,三名教师师
笔试、面试成绩如右表所示,综合成绩按照笔试占 60%、面试占 40%进行计算,
学校录取综合成绩得分最高者,则被录取教师的综合成绩为分 78.8 分 .
【解答】解:∵甲的综合成绩为 80×60%+76×40%=78.4(分),
乙的综合成绩为 82×60%+74×40%=78.8(分),
丙的综合成绩为 78×60%+78×40%=78(分),
∴被录取的教师为乙,其综合成绩为 78.8 分,故答案为:78.8 分.
12.已知点 A 是直线 y=x+1 上一点,其横坐标为﹣ ,若点 B 与点 A 关于 y 轴对
称,则点 B 的坐标为 ( , ). .
【解答】解:由题意 A(﹣ , ),
∵A、B 关于 y 轴对称,
∴B( , ),故答案为( , ).
13.刘徽是中国古代卓越的数学家之一,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,
即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,设圆 O 的半径为 1,
若用圆 O 的外切正六边形的面积来近似估计圆 O 的面积,则 S= 2 .(结果
保留根号)
【解答】解:依照题意画出图象,如图所示.
∵六边形 ABCDEF 为正六边形,
∴△ABO 为等边三角形,
∵⊙O 的半径为 1,
∴OM=1,
∴BM=AM= ,
∴AB= ,∴S=6S△ABO=6× × ×1=2 .
故答案为:2 .
14.已知:点 P(m,n)在直线 y=﹣x+2 上,也在双曲线 y=﹣ 上,则 m2+n2 的
值为 6
【解答】解:∵点 P(m,n)在直线 y=﹣x+2 上,
∴n+m=2,
∵点 P(m,n)在双曲线 y=﹣ 上,
∴mn=﹣1,
∴m2+n2=(n+m)2﹣2mn=4+2=6.故答案为:6.
15.如图,AB 是半圆的直径,AC 是一条弦,D 是 AC 的中点,DE⊥AB 于点 E
且 DE 交 AC 于点 F,DB 交 AC 于点 G,若 = ,则 = .
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【分析】由 AB 是直径,推出∠ADG=∠GCB=90°,因为∠AGD=∠CGB,推出
cos∠CGB=cos∠AGD,可得 = ,设 EF=3k,AE=4k,则 AF=DF=FG=5k,DE=8k,
想办法求出 DG、AG 即可解决问题;
【解答】解:连接 AD,BC.
∵AB 是半圆的直径,
∴∠ADB=90°,又 DE⊥AB,
∴∠ADE=∠ABD,
∵D 是 的中点,
∴∠DAC=∠ABD,
∴∠ADE=∠DAC,
∴FA=FD;
∵∠ADE=∠DBC,∠ADE+∠EDB=90°,∠DBC+∠CGB=90°,
∴∠EDB=∠CGB,又∠DGF=∠CGB,
∴∠EDB=∠DGF,
∴FA=FG,
∵ = ,设 EF=3k,AE=4k,则 AF=DF=FG=5k,DE=8k,
在 Rt△ADE 中,AD= =4 k,
∵AB 是直径,
∴∠ADG=∠GCB=90°,
∵∠AGD=∠CGB,
∴cos∠CGB=cos∠AGD,
∴ = ,
在 Rt△ADG 中,DG= =2 k,
∴ = = ,
故答案为: .
16.如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,CB=2,点 E 为线段 AB 上的动点,将△CBE
沿 CE 折叠,使点 B 落在矩形内点 F 处,下列结论正确的是 ①②③ (写出所
有正确结论的序号)
①当 E 为线段 AB 中点时,AF∥CE;
②当 E 为线段 AB 中点时,AF= ;
③当 A、F、C 三点共线时,AE= ;
④当 A、F、C 三点共线时,△CEF≌△AEF.
【解答】解:如图 1 中,当 AE=EB 时,
∵AE=EB=EF,
∴∠EAF=∠EFA,
∵∠CEF=∠CEB,∠BEF=∠EAF+∠EFA,
∴∠BEC=∠EAF,
∴AF∥EC,故①正确,
作 EM⊥AF,则 AM=FM,
在 Rt△ECB 中,EC= = ,
∵∠AME=∠B=90°,∠EAM=∠CEB,
∴△CEB∽△EAM,
∴ = ,
∴ = ,
∴AM= ,∴AF=2AM= ,故②正确,
如图 2 中,当 A、F、C 共线时,设 AE=x.
则 EB=EF=3﹣x,AF= ﹣2,在 Rt△AEF 中,∵AE2=AF2+EF2,
∴x2=( ﹣2)2+(3﹣x)2,
∴x= ,
∴AE= ,故③正确,
如果,△CEF≌△AEF,则∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°,显然不符合题意,故④
错误,故答案为①②③.
三、解答题:(本大题共 8 小题,共 72 分)解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤。(注意:在试题卷上作答无效)
17.(10 分)(1)计算:sin30°+(2018﹣ )0﹣2﹣1+|﹣4|;
(2)化简:(1﹣ )÷ .
【解答】解:(1)原式= +1﹣ +4 = 5;
(2)原式= •
= x+1.
18.(6 分)如图,已知∠1=∠2,∠B=∠D,求证:CB=CD.
【解答】证明:如图,∵∠1=∠2,
∴∠ACB=∠ACD.
在△ABC 与△ADC 中,
,
∴△ABC≌△ADC(AAS),
∴CB=CD.
【点评】考查了全等三角形的判定与性质.在应用全等三角形的判定时,要注意
三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造三角形.
19.某高中进行“选科走班”教学改革,语文、数学、英语三门为必修学科,另外
还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理(分别记为 A、B、C、D、E、F)
六门选修学科中任选三门,现对该校某班选科情况进行调查,对调查结果进行了
分析统计,并制作了两幅不完整的统计图.
请根据以上信息,完成下列问题:
(1)该班共有学生人;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)该班某同学物理成绩特别优异,已经从选修学科中选定物理,还需从余下
选修学科中任意选择两门,请用列表或画树状图的方法,求出该同学恰好选中化
学、历史两科的概率.
【解答】解:(1)该班学生总数为 10÷20%=50 人;
(2)历史学科的人数为 50﹣(5+10+15+6+6)=8 人,
补全图形如下:
(3)列表如下:
化学 生物 政治 历史 地理
化学 生物、化学 政治、化学 历史、化学 地理、化学
生物 化学、生物 政治、生物 历史、生物 地理、生物
政治 化学、政治 生物、政治 历史、政治 地理、政治
历史 化学、历史 生物、历史 政治、历史 地理、历史
地理 化学、地理 生物、地理 政治、地理 历史、地理
由表可知,共有 20 种等可能结果,其中该同学恰好选中化学、历史两科的有 2
种结果,所以该同学恰好选中化学、历史两科的概率为 = .
20.我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产 300 万部智能手机的订单,
为了尽快交货,增开了一条生产线,实际每月生产能力比原计划提高了 50%,结
果比原计划提前 5 个月完成交货,求每月实际生产智能手机多少万部.
【解答】解:设原计划每月生产智能手机 x 万部,则实际每月生产智能手机
(1+50%)x 万部,
根据题意得: ﹣ =5,
解得:x=20,
经检验,x=20 是原方程的解,且符合题意,
∴(1+50%)x=30.
答:每月实际生产智能手机 30 万部.
21.某游乐场一转角滑梯如图所示,滑梯立柱 AB、CD 均垂直于地面,点 E 在
线段 BD 上,在 C 点测得点 A 的仰角为 30°,点 E 的俯角也为 30°,测得 B、E
间距离为 10 米,立柱 AB 高 30 米.求立柱 CD 的高(结果保留根号)
【解答】解:作 CH⊥AB 于 H,
则四边形 HBDC 为矩形,
∴BD=CH,
由题意得,∠ACH=30°,∠CED=30°,
设 CD=x 米,则 AH=(30﹣x)米,
在 Rt△AHC 中,HC= = (30﹣x),
则 BD=CH= (30﹣x),
∴ED= (30﹣x)﹣10,
在 Rt△CDE 中, =tan∠CED,即 = ,
解得,x=15﹣ ,
答:立柱 CD 的高为(15﹣ )米.
22.如图,已知反比例函数 y= (m≠0)的图象经过点(1,4),一次函数 y=﹣x+b
的图象经过反比例函数图象上的点 Q(﹣4,n).
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)一次函数的图象分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点,与反比例函数图象的另
一个交点为 P 点,连结 OP、OQ,求△OPQ 的面积.
【解答】解:(1)反比例函数 y= ( m≠0)的图象经过点(1,4),
∴ ,解得 m=4,故反比例函数的表达式为 ,
一次函数 y=﹣x+b 的图象与反比例函数的图象相交于点 Q(﹣4,n),
∴ ,解得 ,
∴一次函数的表达式 y=﹣x﹣5;
(2)由 ,解得 或 ,
∴点 P(﹣1,﹣4),
在一次函数 y=﹣x﹣5 中,令 y=0,得﹣x﹣5=0,解得 x=﹣5,故点 A(﹣5,0),
S△OPQ=S△OPA﹣S△OAQ= =7.5.
23.如图,AB 为圆 O 的直径,C 为圆 O 上一点,D 为 BC 延长线一点,且
BC=CD,CE⊥AD 于点 E.
(1)求证:直线 EC 为圆 O 的切线;
( 2 ) 设 BE 与 圆 O 交 于 点 F , AF 的 延 长 线 与 CE 交 于 点 P , 已 知
∠PCF=∠CBF,PC=5,PF=4,求 sin∠PEF 的值.
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【 分 析 】( 1 ) 说 明 OC 是 △BDA 的 中 位 线 , 利 用 中 位 线 的 性 质 , 得 到
∠OCE=∠CED=90°,从而得到 CE 是圆 O 的切线.
(2)利用直径上的圆周角,得到△PEF 是直角三角形,利用角相等,可得到
△PEF∽△PEA、△PCF∽△PAC,从而得到 PC=PE=5.然后求出 sin∠PEF 的
值.
【解答】解:(1)证明:∵CE⊥AD 于点 E
∴∠DEC=90°,
∵BC=CD,
∴C 是 BD 的中点,又∵O 是 AB 的中点,
∴OC 是△BDA 的中位线,
∴OC∥AD
∴∠OCE=∠CED=90°
∴OC⊥CE,又∵点 C 在圆上,
∴CE 是圆 O 的切线.
(2)连接 AC
∵AB 是直径,点 F 在圆上
∴∠AFB=∠PFE=90°=∠CEA
∵∠EPF=∠EPA
∴△PEF∽△PEA
∴PE2=PF×PA
∵∠FBC=∠PCF=∠CAF
又∵∠CPF=∠CPA
∴△PCF∽△PAC
∴PC2=PF×PA
∴PE=PC 在 Rt △PEF 中,sin∠PEF= = .
24.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点
(4,1),如图,直线 y= x 与抛物线交于 A、B 两点,直线 l 为 y=﹣1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在 l 上是否存在一点 P,使 PA+PB 取得最小值?若存在,求出点 P 的坐标;
若不存在,请说明理由.
(3)知 F(x0,y0)为平面内一定点,M(m,n)为抛物线上一动点,且点 M
到直线 l 的距离与点 M 到点 F 的距离总是相等,求定点 F 的坐标.
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【解答】解:(1)∵抛物线的顶点坐标为(2,0),
设抛物线的解析式为 y=a(x﹣2)2.
∵该抛物线经过点(4,1),
∴1=4a,解得:a= ,
∴抛物线的解析式为 y= (x﹣2)2= x2﹣x+1.
(2)联立直线 AB 与抛物线解析式成方程组,得:
,解得: , ,
∴点 A 的坐标为(1, ),点 B 的坐标为(4,1).
作点 B 关于直线 l 的对称点 B′,连接 AB′交直线 l 于点 P,此时 PA+PB 取得最小
值(如图 1 所示).
∵点 B(4,1),直线 l 为 y=﹣1,
∴点 B′的坐标为(4,﹣3).
设直线 AB′的解析式为 y=kx+b(k≠0),
将 A(1, )、B′(4,﹣3)代入 y=kx+b,得:
,解得: ,
∴直线 AB′的解析式为 y=﹣ x+ ,
当 y=﹣1 时,有﹣ x+ =﹣1,
解得:x= ,
∴点 P 的坐标为( ,﹣1).
(3)∵点 M 到直线 l 的距离与点 M 到点 F 的距离总是相等,
∴(m﹣x0)2+(n﹣y0)2=(n+1)2,
∴m2﹣2x0m+x02﹣2y0n+y02=2n+1.
∵M(m,n)为抛物线上一动点,
∴n= m2﹣m+1,
∴m2﹣2x0m+x02﹣2y0( m2﹣m+1)+y02=2( m2﹣m+1)+1,
整理得:(1﹣ ﹣ y0)m2﹣(2﹣2x0﹣2y0)m+x02+y02﹣2y0﹣3=0.
∵m 为任意值,
∴ ,
∴ ,
∴定点 F 的坐标为(2,1).