中考圆知识点总结复习 13页

初中圆复习 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；‎ ‎ 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；‎ ‎ 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：‎ ‎1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；‎ ‎2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；‎ ‎ 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；‎ ‎ 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；‎ ‎ 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。‎ 二、点与圆的位置关系 ‎1、点在圆内 点在圆内；‎ ‎2、点在圆上 点在圆上；‎ ‎3、点在圆外 点在圆外；‎ 三、直线与圆的位置关系 ‎1、直线与圆相离 无交点；‎ ‎2、直线与圆相切 有一个交点；‎ ‎3、直线与圆相交 有两个交点；‎ 四、圆与圆的位置关系 外离（图1） 无交点 ；‎ 外切（图2） 有一个交点 ；‎ 相交（图3） 有两个交点 ；‎ 内切（图4） 有一个交点 ；‎ 内含（图5） 无交点 ；‎ ‎ ‎ 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。‎ 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；‎ ‎ （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；‎ ‎ （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 ‎ 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。‎ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。‎ ‎ 即：在⊙中，∵∥‎ ‎ ∴弧弧 六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，‎ 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，‎ 即：①；②；‎ ‎③；④ 弧弧 七、圆周角定理 ‎1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。‎ 即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角 ‎∴‎ ‎2、圆周角定理的推论：‎ 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；‎ 即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角 ‎ ∴‎ 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。‎ 即：在⊙中，∵是直径 或∵‎ ‎ ∴ ∴是直径 ‎ ‎ 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。‎ 即：在△中，∵‎ ‎ ∴△是直角三角形或 注意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。‎ 八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。‎ ‎ 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ‎ ∴ ‎ ‎ ‎ 九、切线的性质与判定定理 ‎1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；‎ ‎ 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 ‎ 即：∵且过半径外端 ‎ ∴是⊙的切线 ‎2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）‎ ‎ 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。‎ ‎ 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。‎ 以上三个定理及推论也称二推一定理：‎ 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。‎ 十、切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。‎ 即：∵、是的两条切线 ‎ ∴；平分 十一、圆幂定理 ‎1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。‎ 即：在⊙中，∵弦、相交于点，‎ ‎ ∴‎ 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。‎ 即：在⊙中，∵直径，‎ ‎ ∴‎ ‎2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。‎ 即：在⊙中，∵是切线，是割线 ‎ ∴ ‎ ‎3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图）。‎ 即：在⊙中，∵、是割线 ‎ ∴‎ 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。‎ 如图：垂直平分。‎ 即：∵⊙、⊙相交于、两点 ‎ ∴垂直平分 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：‎ ‎（1）公切线长：中，；‎ ‎（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 ‎ 十四、圆内正多边形的计算 ‎（1）正三角形 ‎ ‎ 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；‎ ‎（2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，：‎ ‎（3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，.‎ 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 ‎1、扇形：（1）弧长公式：；‎ ‎（2）扇形面积公式： ‎ ‎：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 ‎2、圆柱： ‎ ‎（1）圆柱侧面展开图 ‎ =‎ ‎（2）圆柱的体积：‎ ‎3、圆锥侧面展开图 ‎（1）=‎ ‎（2）圆锥的体积：‎ 十六、内切圆及有关计算。‎ ‎（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。‎ ‎（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 ‎ B ‎ O A D ‎（3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。‎ ‎（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。‎ ‎ 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 C 练习题 ‎1．若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是( )‎ A．点A在圆内 B．点A在圆上 c．点A在圆外 D．不能确定 ‎2．已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是 ‎ ‎3．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN弧的中点，点P是直径MN上一个动点，则求PA+PB的最小值 ‎_‎ N ‎_‎ M ‎_‎ B ‎_‎ A ‎_‎ ‎_‎ P ‎_‎ O ‎4如图2，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为 ‎ ‎5．与直线L相切于已知点的圆的圆心的轨迹是______．‎ ‎6．已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则它的外接圆半径R=______，内切圆半径r=______．‎ ‎7．⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB为6，以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是 ．‎ ‎8．PA、 PB是⊙O的切线，切点是A 、B，∠APB=50°，过A作⊙O直径AC，连接CB，则∠‎ PBC=______．‎ ‎9．如图4，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于P，则CD∶AB等于 A．sinBPC B．cosBPC C．tanBPC D．cotBPC 图4　　　　　　　 图5　‎ ‎10．如图5，点P为弦AB上一点，连结OP，过PC作PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP=4， PB=2，则PC的长是 A． B．2 C．2 D．3‎ ‎11．圆的最大的弦长为12 cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么 A．d<6 cm B．6 cm12 cm ‎12．如图6，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，设AB=12，则两圆构成圆环面积为______．‎ ‎　　　　　　　　 图6　　　　　　　　　 图7 ‎ ‎13．如图7，PE是⊙O的切线，E为切点，PAB、PCD是割线，AB=35，CD=50，AC∶DB=1∶2，则PA=______．‎ ‎14．如图8，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，点C在⊙O上，∠CAB=30°，求证：DC是⊙O的切线．‎ ‎ ‎ ‎ 图8‎ ‎15.如图，AB既是⊙C的切线也是⊙D的切线，⊙C与⊙D相外切，⊙C的半径r=2，⊙D的半径R=6，求四边形ABCD的面积。‎ ‎16．如图10，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E，求证：‎ ‎(1) AC是⊙O的切线．(2)若AD∶DB=3∶2，AC=15，求⊙O的直径．(12分)‎ ‎ ‎ ‎ 图10‎ ‎17．如图11，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC2=PE·PO．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若OE∶EA=1∶2， PA=6，求⊙O的半径；(3)求sinPCA的值．(12分)‎ ‎ ‎ ‎ 图11‎ ‎18．如图，⊙O的两条割线AB、AC分别交圆O于 D、B、E、C，弦DF//AC交 BC于C．‎ ‎ （1）求证：；‎ ‎（2）若CF＝AE．求证：△ABC为等腰三角形．‎ ‎19.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，‎ ‎ （1）求证：CB∥PD；‎ ‎（2）若BC=3，sinP=，求⊙O的直径。‎ ‎20．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC＝∠B．‎ ‎ （l）求证：PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交 PA于F，AC＝8，CE：ED＝6：5，AE：EB＝2：3，‎ 求AB的长和∠ECB的正切值． ‎ ‎ ‎ ‎21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，‎ 求证：（l）AC是⊙D的切线；‎ ‎（2）AB＋EB＝AC．‎ ‎22．如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙；与⊙O的弦AC相交于D， DE⊥OC，垂足为E．‎ ‎ （l）求证： AD＝DC；‎ ‎ （2）求证： DE是⊙的切线；‎ ‎（3）如果OE＝EC，请判断四边形OED是什么四边形，并证明你的结论．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点一：与圆相关概念的应用 利用与圆相关的概念来解决一些问题是必考的内容，在复习中准确理解与圆有关的概念，注意分清它们之间的区别和联系.  1.运用圆与角（圆心角，圆周角），弦，弦心距，弧之间的关系进行解题 ‎【例1】 已知：如图所示，在△ABO中，∠AOB=90°，∠B=25°，以O为圆心，OA长为半径的圆交AB于D，求弧AD的度数.‎ ‎【例2】 如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOC=100°，则∠ABC的度数为（     ）.   Ａ. 30°        Ｂ. 45°       Ｃ. 50°        Ｄ. 60°     ‎ ‎ 2.利用圆的定义判断点与圆，直线与圆、圆与圆的位置关系 【例3】 已知⊙O的半径为3cm，A为线段OM的中点，当OA满足： （1）当OA=1cm时，点M与⊙O的位置关系是          .     （2）当OA=1.5cm时，点M与⊙O的位置关系是               .     （3）当OA=3cm时，点M与⊙O的位置关系是                 . 【例4】 ⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（     ）.     Ａ. 相交      Ｂ. 相切    Ｃ. 相离   Ｄ. 无法确定 ‎【例5】 两圆的半径分别为3cm和4cm，圆心距为2cm，那么两圆的位置关系是______________.‎ ‎ 3.正多边形和圆的有关计算 【例6】 已知正六边形的周长为72cm，求正六边形的半径，边心距和面积. ‎ ‎4.运用弧长及扇形面积公式进行有关计算 ‎ ‎【例7】 如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为                （结果保留）. ‎ ‎5.运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行计算 【例8】 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是              . ‎ 考点二：圆中计算与证明的常见类型 ‎1.利用垂径定理解题     垂径定理及其推论中的三要素是：直径、平分、过圆心，它们在圆内常常构成圆周角、等分线段、直角三角形等，从而可以应用相关定理完成其论证或计算. 【例1】 在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，夹角为30°，且分直径为1∶5两部分，AB=6，则弦CD的长为             .     Ａ. 2 Ｂ. 4   Ｃ. 4      Ｄ. 2‎ ‎2.利用“直径所对的圆周角是直角”解题     “直径所对的圆周角是直角”是非常重要的定理，在解与圆有关的问题时，常常添加辅助线构成直径所对的圆周角，以便利用上面的定理. 【例2】 如图，在⊙O的内接△ABC中，CD是AB边上的高，求证：∠ACD=∠OCB. ‎ ‎3.利用圆内接四边形的对角关系解题     圆内接四边形的对角互补，这是圆内接四边形的重要性质，也揭示了确定四点共圆的方法.‎ ‎【例3】 如图，四边形ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若∠C＝45°，AB＝，则点B到AE的距离为________. ‎ ‎4. 判断圆的切线的方法及应用     判断圆的切线的方法有三种：‎ ‎（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；   （2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；   （3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.‎ ‎ 【例4】 如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=，D是线段BC的中点.      （ 1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.     （2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.          ‎ ‎【例5】 如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.        ‎ ‎ 【例6】 如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP是半圆O的切线.‎ ‎【课堂巩固练习】‎ 一. 选择题：‎ ‎1. ⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点　　　　［　　］‎ ‎ A.在⊙O内或圆周上 B.在⊙O外 ‎ C.在圆周上 D.在⊙O外或圆周上 ‎2. 由一已知点P到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的半径为［　　］‎ ‎ A、2或3 B、3 C、4 D、2 或4‎ ‎3.如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC的度数是［　　］‎ ‎　　A.110° 　B.70°　 C.55°　 D.125° 　‎ ‎4.在⊙O中，弦AB垂直并且平分一条半径，则劣弧AB的度数等于［　　］‎ ‎　　A.30°　 B.120°　 C.150°　 D.60°‎ ‎5.直线ａ上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线ａ与⊙O的位置关系是［　　］‎ Ａ、相离　　　　Ｂ、相切　　　Ｃ、相切或相交　　　Ｄ、相交 ‎6、如图，ＰＡ切⊙O于Ａ，ＰＣ交⊙O于点Ｂ、Ｃ ‎，若PA＝5，PB＝BＣ，则ＰＣ的长是［　　］‎ Ａ、10　Ｂ、5　Ｃ、 Ｄ、‎ ‎7．如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为1m的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为［　　］‎ A． B. C. D. ‎ ‎8、已知两圆的圆心距是9，两圆的半径是方程2x2‎ ‎－17x+35=0的两根，则两圆有［　　］条切线。‎ A、 ‎1条 B、2条 C、3条 D、4条 ‎9、如果等腰梯形有一个内切圆并且它的中位线等于20cm，则梯形的腰长为［　　］‎ Ａ、１０ｃｍ Ｂ、１２ｃｍ Ｃ、１４ｃｍ Ｄ、１６ｃｍ ‎10、如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且A O1、A O2分别是两圆的切线，A是切点，若⊙O1的半径r=3，⊙O2的半径R=4，则公共弦AB的长为［　　］‎ A、2 B、4.8 C、3 D、2.4‎ ‎11、水平放置的排水管（圆柱体）截面半径是1cm，水面宽也是1cm，则截面有水部分（弓形）的面积是［　　］‎ A、 B、 C、 D、 或 ‎ 二. 填空题：‎ ‎12.6cm长的一条弦所对的圆周角为90°，则此圆的直径为 。 　　13.在⊙O中，AB是直径，弦CD与AB相交于点E，若 ，则CE=DE（只需填一个适合的条件）。‎ ‎14.在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶1，则∠D= 。‎ ‎15.若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是 。‎ ‎16.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于E点，AB=120°，CD=70°则∠AEB= 。　　　　　 　‎ ‎17．已知两个圆的半径分别为8 cm和3 cm，两个圆的圆心距为7 cm，则这两个圆的外公切线长为 。‎ ‎18.如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，若AE=8cm，EB=4cm，则OG= cm。‎ ‎　　　‎ ‎19. 已知圆锥的母线长为5厘米，底面半径为3厘米，则它的侧面积为 。‎ 四.解答题 ‎20.如图在△ABC中，∠C=90°，点O为AB上一点，以O为圆心的半圆切AC于E，交AB于D，AC=12，BC=9，求AD的长。‎ ‎21.如图在⊙O中，C为ACB的中点，CD为直径，弦AB交CD于点P，又PE ‎⊥CB于E，若BC=10，且CE∶EB=3∶2，求AB的长． 　‎ ‎　　‎ ‎　‎ ‎22.已知：如图，A是以EF为直径的半圆上的一点，作AG⊥EF交EF于G，又B为AG上一点，EB的延长线交半圆于点K，‎ 求证：‎ ‎　　‎ ‎23.已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，CD是△ABC中AB边上的高，‎ ‎　求证：AC·BC=AE·CD　　‎