最新数学中考压轴题大全含答案 详细解析版 153页

【最新】中考数学压轴题大全 （安徽）按右图所示的流程，输入一个数据 x，根据 y 与 x 的关系式就输 出 一 个 数 据 y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在 20～100 （含 20 和 100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求： （Ⅰ）新数据都在 60～100（含 60 和 100）之间； （Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大 的 对 应 的 新数据也较大。 （1）若 y 与 x 的关系是 y＝x＋p(100－x)，请说明：当 p＝ 时，这种变 换 满 足 上 述两个要求； （2）若按关系式 y=a(x－h)2＋k　(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求 对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程） 【解】（1）当 P= 时，y=x＋ ,即 y= 。 ∴y 随着 x 的增大而增大，即 P= 时，满足条件（Ⅱ）……3 分 又当 x=20 时，y= =100。而原数据都在 20～100 之间，所以新数据都在 60～100 之间，即满足 条件（Ⅰ），综上可知，当 P= 时，这种变换满足要求；……6 分 （2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若 x=20,100 时，y 的 对应值 m，n 能落在 60～100 之间，则这样的关系式都符合要求。 如取 h=20,y= ,……8 分 ∵a＞0，∴当 20≤x≤100 时，y 随着 x 的增大…10 分 令 x=20,y=60，得 k=60 　 ① 令 x=100,y=100，得 a×802＋k=100 ② 1 2 1 2 ( )1 1002 x− 1 502 x + 1 2 1 100 502 × + 1 2 ( )220a x k− + 开始 y 与 x 的关系式 结束 输入 x 输出 y 由①②解得 ， ∴ 。………14 分 2、（常州）已知 与 是反比例函数 图象上的两个点． （1）求 的值； （2）若点 ，则在反比例函数 图象上是否存在 点 ，使得以 四点为顶点的四边形为梯形？若存在， 求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由 ，得 ，因此 ． ∙∙∙∙∙2 分 （2）如图 1，作 轴， 为垂足，则 ， ， ，因此 ． 由于点 与点 的横坐标相同，因此 轴，从而 ． 当 为底时，由于过点 且平行于 的直线与双曲线只有一个公共点 ， 故不符题意． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 当 为底时，过点 作 的平行线，交双曲线于点 ， 过点 分别作 轴， 轴的平行线，交于点 ． 由于 ，设 ，则 ， ， 由点 ，得点 ． 因此 ， 解之得 （ 舍去），因此点 ． 1 160 60 a k  =  = ( )21 20 60160y x= − + ( 1 )A m− ， (2 3 3)B m +， ky x = k ( 1 0)C − ， ky x = D A B C D， ， ， D ( 1) 2 ( 3 3)m m− = +  2 3m = − 2 3k = BE x⊥ E 3CE = 3BE = 2 3BC = 30BCE = ∠ C A CA x⊥ 120ACB = ∠ AC B AC B BC A BC D A D， x y F 30DAF = ∠ 1 1( 0)DF m m= > 13AF m= 12AD m= ( 1 2 3)A − −， 1 1( 1 3 2 3 )D m m− + − +， 1 1( 1 3 ) ( 2 3 ) 2 3m m− + − + = 1 7 33m = 1 0m = 36 3D       ， B C x y 1 1 1− 1− O 此时 ，与 的长度不等，故四边形 是梯形．∙∙∙∙∙∙∙5 分 如图 2，当 为底时，过点 作 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为 ． 由于 ，因此 ，从而 ．作 轴， 为垂足， 则 ，设 ，则 ， 由点 ，得点 ， 因此 ． 解之得 （ 舍去），因此点 ． 此时 ，与 的长度不相等，故四边形 是梯形． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 如图 3，当过点 作 的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为 时， 同理可得，点 ，四边形 是梯形． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 综上所述，函数 图象上存在点 ，使得以 四点为顶点的四边形为梯形，点 的坐 标为： 或 或 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 14 33AD = BC ADBC AB C AB D AC BC= 30CAB = ∠ 150ACD = ∠ DH x⊥ H 60DCH = ∠ 2 2( 0)CH m m= > 23DH m= 22CD m= ( 1 0)C − ， 2 2( 1 3 )D m m− + ， 2 2( 1 ) 3 2 3m m− + = 2 2m = 2 1m = − (1 2 3)D ， 4CD = AB ABDC C AB D ( 2 3)D − −， ABCD 2 3y x = D A B C D， ， ， D 36 3D       ， (1 2 3)D ， ( 2 3)D − −， 图 1 A B C x y O F D E 图 2 A B C x y O D H 图 3 A B C x y O D 3、（福建龙岩）如图，抛物线 经过 的三个顶点，已知 轴，点 在 轴上， 点 在 轴上，且 ． （1）求抛物线的对称轴； （2）写出 三点的坐标并求抛物线的解析式； （3）探究：若点 是抛物线对称轴上且在 轴下方的动点，是否存在 是等腰三角形．若存在，求 出所有符合条件的点 坐标；不存在，请说明理由． 解：（1）抛物线的对称轴 ………2 分 （2） …………5 分 把点 坐标代入 中，解得 ………6 分 ……………………………………… …7 分 （3）存在符合条件的点 共有 3 个．以下分三类情形探 索． 设抛物线对称轴与 轴交于 ，与 交于 ． 过 点 作 轴 于 ， 易 得 ， ， ， ①∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙以 为腰且顶角为角 2 5 4y ax ax= − + ABC△ BC x∥ A x C y AC BC= A B C， ， P x PAB△ P 5 5 2 2 ax a −= − = ( 3 0)A − ， (5 4)B ， (0 4)C ， A 2 5 4y ax ax= − + 1 6a = − 21 5 46 6y x x∴ = − + + P x N CB M B BQ x⊥ Q 4BQ = 8AQ = 5.5AN = 5 2BM = AB A C B y x0 1 1 A x0 1 1 Ｑ 2P 1P 3P Ｎ Ｍ Ｋ y 的 有 1 个： ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 在 中， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 ②以 为腰且顶角为角 的 有 1 个： ． 在 中， 10 分 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分 ③以 为底，顶角为角 的 有 1 个，即 ． 画 的垂直平分线交抛物线对称轴于 ，此时平分线必过等腰 的顶点 ． 过点 作 垂直 轴，垂足为 ，显然 ． ． 于是 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13 分 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14 分 注：第（3）小题中，只写出点 的坐标，无任何说明者不得分． 4、（福州）如图 12，已知直线 与双曲线 交于 两点，且点 的横坐标为 ． （1）求 的值； （2）若双曲线 上一点 的纵坐标为 8，求 的面积； A PAB△ 1P AB△ 2 2 2 2 28 4 80AB AQ BQ∴ = + = + = 1Rt ANP△ 2 2 2 2 2 1 1 19980 (5.5) 2PN AP AN AB AN= − = − = − = 1 5 199 2 2P  ∴ −    ， AB B PAB△ 2P AB△ 2Rt BMP△ 2 2 2 2 2 2 25 29580 4 2MP BP BM AB BM= − = − = − = 2 5 8 295 2 2P  −∴     ， AB P PAB△ 3P AB△ AB 3P ABC△ C 3P 3P K y K 3Rt RtPCK BAQ△ ∽ △ 3 1 2 P K BQ CK AQ ∴ = = 3 2.5P K = 5CK∴ = 1OK = 3 (2.5 1)P∴ −， P 1 2y x= ( 0)ky kx = > A B， A 4 k ( 0)ky kx = > C AOC△ （3 ）过原点 的另一条直线 交双曲线 于 两 点 （ 点 在第一象限），若由点 为顶点组成的四边形面积为 ， 求 点 的 坐 标． 解：(1)∵点 A 横坐标为 4 , ∴当 = 4 时， = 2 . ∴ 点 A 的坐标为（ 4，2 ）. ∵ 点 A 是直线 与双曲线 （k>0）的交点 , ∴ k = 4 ×2 = 8 . (2) 解法一：如图 12-1， ∵ 点 C 在双曲线 上，当 = 8 时， = 1 ∴ 点 C 的坐标为 ( 1, 8 ) . 过点 A、C 分别做 轴、 轴的垂线，垂足为 M、N，得矩形 DMON . S 矩形 ONDM= 32 ， S△ONC = 4 ， S△CDA = 9， S△OAM = 4 . S△AOC= S 矩形 ONDM - S△ONC - S△CDA - S△OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 . 解法二：如图 12-2， 过点 C、A 分别做 轴的垂线，垂足为 E、F， ∵ 点 C 在双曲线 上，当 = 8 时， = 1 . ∴ 点 C 的坐标为 ( 1, 8 ). ∵ 点 C、A 都在双曲线 上 , ∴ S△COE = S△AOF = 4 。 ∴ S△COE + S 梯形 CEFA = S△COA + S△AOF . ∴ S△COA = S 梯形 CEFA . ∵ S 梯形 CEFA = ×（2+8）×3 = 15 , O l ( 0)ky kx = > P Q， P A B P Q， ， ， 24 P x y y x x y x 8y x = y x 8y x = 1 2 图 12 O x A y B xy 2 1 xy 8= ∴ S△COA = 15 . （3）∵ 反比例函数图象是关于原点 O 的中心对称图形 , ∴ OP=OQ，OA=OB . ∴ 四边形 APBQ 是平行四边形 . ∴ S△POA = S 平行四边形 APBQ = ×24 = 6 . 设点 P 的横坐标为 （ > 0 且 ）, 得 P ( , ) . 过点 P、A 分别做 轴的垂线，垂足为 E、F， ∵ 点 P、A 在双曲线上，∴S△POE = S△AOF = 4 . 若 0＜ ＜4，如图 12-3， ∵ S△POE + S 梯形 PEFA = S△POA + S△AOF, ∴ S 梯形 PEFA = S△POA = 6 . ∴ . 解得 = 2， = - 8(舍去) . ∴ P（2，4）. 若 ＞ 4，如图 12-4， ∵ S△AOF+ S 梯形 AFEP = S△AOP + S△POE, ∴ S 梯形 PEFA = S△POA = 6 . ∴ ， 解得 = 8， = - 2 (舍去) . m m 4m ≠ m x m 1 8(2 ) (4 ) 62 mm + ⋅ − = m m m 1 8(2 ) ( 4) 62 mm + ⋅ − = m m 4 1 4 1 m 8 ∴ P（8，1）. ∴ 点 P 的坐标是 P（2，4）或 P（8，1）. 5、（甘肃陇南）如图，抛物线 交 轴于 A、B 两点，交 轴于点 C，点 P 是它的顶点，点 A 的 横坐标是 3，点 B 的横坐标是 1． (1)求 、 的值； (2）求直线 PC 的解析式； (3）请探究以点 A 为圆心、直径为 5 的圆与直线 PC 的位置关系，并说明理由．(参考数： ， ， ) 解： (1)由已知条件可知： 抛物线 经过 A(-3，0)、B(1，0)两点． ∴ ……………………………………2 分 解得 ． ………………………3 分 (2) ∵ ， ∴ P(-1，-2)，C ． …………………4 分 设直线 PC 的解析式是 ，则 解得 ． ∴ 直线 PC 的解析式是 ． …………………………6 分 说明：只要求对 ，不写最后一步，不扣分． (3) 如图，过点 A 作 AE⊥PC，垂足为 E． 设直线 PC 与 轴交于点 D，则点 D 的坐标为(3，0)． ………………………7 分 在 Rt△OCD 中，∵ OC= ， ， 21 2y x mx n= + + x y − m n 2 1.41≈ 3 1.73≈ 5 2.24≈ 21 2y x mx n= + + 90 3 ,2 10 .2 m n m n  = − +  = + + 31, 2m n= = − 21 3 2 2y x x= + − 3(0, )2 − y kx b= + 2 , 3.2 k b b − = − + = − 1 3,2 2k b= = − 1 3 2 2y x= − 1 3 2 2k b= = −， x 3 2 3OD = ∴ ． …………8 分 ∵ OA=3， ，∴AD=6． …………9 分 ∵ ∠COD=∠AED=90o，∠CDO 公用， ∴ △COD∽△AED． ……………10 分 ∴ ， 即 ． ∴ ． …………………11 分 ∵ ， ∴ 以点 A 为圆心、直径为 5 的圆与直线 PC 相离． …………12 分 6、（贵阳）如图 14，从一个直径是 2 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 的扇形． （1）求这个扇形的面积（结果保留 ）．（3 分） （2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理 由．（4 分） （3）当 的半径 为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（5 分） 解：（1）连接 ，由勾股定理求得： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 （2）连接 并延长，与弧 和 交于 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 弧 的长： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 2 23 3( ) 3 52 2CD = + = 3OD = OC CD AE AD = 3 3 52 2 6AE = 6 55AE = 6 5 2.688 2.55 > 90 π O ( 0)R R > BC 2AB AC= = 2 1 360 2 n RS π= = π AO BC O E F， 2 2EF AF AE= − = − BC 2 180 2 n Rl π= = π 22 2rπ = π A B CO ① ② ③ E F 圆锥的底面直径为： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 ， 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥． ∙∙4 分 （3）由勾股定理求得： 弧 的长： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 圆锥的底面直径为： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 且 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 即无论半径 为何值， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥． 7、（河南）如图，对称轴为直线 x＝ 的抛物线经过点 A（6，0）和 B（0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点 E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形， 求四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）①当四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断 OEAF 是否为菱形？ ②是否存在点 E，使四边形 OEAF 为正方形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． ∴ 22 2r = 22 2 2 − < ∴ 2AB AC R= = BC 2 180 2 n Rl R π= = π 22 2r Rπ = π ∴ 22 2r R= 2 2 (2 2)EF AF AE R R R= − = − = − 22 2 2 − < 0R > 2(2 2) 2R R∴ − < R 2EF r< ∴ 2 7 8、（湖北黄岗）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCO 是菱形，且∠AOC=60°，点 B 的坐标是 ，点 P 从点 C 开始以每秒 1 个单位长度的速度 在线段 CB 上向点 B 移动，设 秒后，直线 PQ 交 OB 于点 D. （1）求∠AOB 的度数及线段 OA 的长； （2）求经过 A，B，C 三点的抛物线的解析式； （3）当 时，求 t 的值及此时直 线 PQ 的解 析式； （4）当 a 为何值时，以 O，P，Q，D 为顶点的三角 形 与 相似？当 a 为何值时，以 O，P，Q，D 为顶点的 三 角 形 与 不相似？请给出你的结论，并加以证明. 9、（湖北荆门）如图 1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片 OABC，已知 O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)， 点 P 是 OA 边上的动点(与点 O、A 不重合)．现将△PAB 沿 PB 翻折，得到△PDB；再在 OC 边上选取适当的点 E， (0,8 3) (0 8)t t< ≤ 43, 33a OD= = OAB∆ OAB∆ B AC D P O Q x y 将△POE 沿 PE 翻折，得到△PFE，并使直线 PD、PF 重合． (1)设 P(x，0)，E(0，y)，求 y 关于 x 的函数关系式，并求 y 的最大值； (2)如图 2，若翻折后点 D 落在 BC 边上，求过点 P、B、E 的抛物线的函数关系式； (3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点 Q，使△PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说 明理由；若存在，求出点 Q 的坐标． 解：(1)由已知PB 平分∠APD，PE 平分∠OPF，且 PD、PF 重 合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋ ∠ABP=90° ，∴∠OPE=∠PBA． ∴Rt△POE∽Rt△BPA．………………………… ………… ……………………2 分 ∴ ．即 ．∴y= (0＜x＜4)． 且当 x=2 时，y 有最大值 ．…………………………………………………4 分 (2)由已知，△PAB、△POE 均为等腰三角形，可得 P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．……6 分 设过此三点的抛物线为 y=ax2＋bx＋c，则 ∴ y= ．…………………………………………………………8 分 (3)由(2)知∠EPB=90°，即点 Q 与点 B 重合时满足条件．……………………9 分 直线 PB 为 y=x－1，与 y 轴交于点(0，－1)． 将 PB 向上平移 2 个单位则过点 E(0，1)， ∴该直线为 y=x＋1．……………………………………………………………10 分 PO BA OE AP = 3 4 x y x = − 21 1 4(4 )3 3 3x x x x− = − + 1 3 1, 0, 16 4 3. c a b c a b c =  + + =  + + = 1 ,2 3 ,2 1. a b c  =  = −  =  21 3 12 2x x− + 图 1 图 2 由 得 ∴Q(5，6)． 故该抛物线上存在两点 Q(4，3)、(5，6)满足条件．……………………………12 分 （2009 年重庆市）26．已知：如图，在平面直角坐标系 中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在 x 轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点 O 作∠AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 DC，过点 D 作 DE⊥DC，交 OA 于点 E． （1）求过点 E、D、C 的抛物线的解析式； （2）将∠EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F，另一边与线段 OC 交于点 G．如 果 DF 与（1）中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐标为 ，那么 EF=2GO 是否成立？若成立，请给予证明； 若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q，使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 26．解：（1）由已知，得 ， ， ， ． ．···························································································································（1 分） y xNH D PQ E M C B AO 2 1, 1 3 1,2 2 y x y x x = + = − + 5, 6. x y =  = xOy 6 5 (3 0)C ， (2 2)D ， 90ADE CDB BCD∠ = − ∠ = ∠ ° 1tan 2 tan 2 12AE AD ADE BCD∴ = ∠ = × ∠ = × = ∴ (01)E ， 26 题图 y x D B C A EE O 设过点 的抛物线的解析式为 ． 将点 的坐标代入，得 ． 将 和点 的坐标分别代入，得 ·················································································································（2 分） 解这个方程组，得 故抛物线的解析式为 ． ···································································（3 分） （2） 成立． ····································································································（4 分） 点 在该抛物线上，且它的横坐标为 ， 点 的纵坐标为 ． ···································································································（5 分） 设 的解析式为 ， 将点 的坐标分别代入，得 解得 的解析式为 ． ··················································································（6 分） ， ． ·······································································································（7 分） 过点 作 于点 ， 则 ． ， ． 又 ， ． ． ．··························································································································（8 分） ． （3） 点 在 上， ， ，则设 ． ， ， ． ①若 ，则 ， E D C、 、 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ E 1c = 1c = D C、 4 2 1 2 9 3 1 0. a b a b + + =  + + = ， 5 6 13 6 a b  = −  = 25 13 16 6y x x= − + + 2EF GO=  M 6 5 ∴ M 12 5 DM 1( 0)y kx b k= + ≠ D M、 1 1 2 2 6 12.5 5 k b k b + = + = ， 1 1 2 3 k b  = −  = ， ． ∴ DM 1 32y x= − + ∴ (0 3)F ， 2EF = D DK OC⊥ K DA DK= 90ADK FDG∠ = ∠ = ° FDA GDK∴∠ = ∠ 90FAD GKD∠ = ∠ = ° DAF DKG∴△ ≌△ 1KG AF∴ = = 1GO∴ = 2EF GO∴ =  P AB (1 0)G ， (3 0)C ， (1 2)P ， ∴ 2 2 2( 1) 2PG t= − + 2 2 2(3 ) 2PC t= − + 2GC = PG PC= 2 2 2 2( 1) 2 (3 ) 2t t− + = − + y x D B C A EE O ＭF KGG 解得 ． ，此时点 与点 重合． ． ·························································································································（9 分） ②若 ，则 ， 解得 ， ，此时 轴． 与该抛物线在第一象限内的交点 的横坐标为 1， 点 的纵坐标为 ． ． ·····················································································································（10 分） ③若 ，则 ， 解得 ， ，此时 ， 是等腰直角三角形． 过点 作 轴于点 ， 则 ，设 ， ． ． 解得 （舍去）． ． ·················································（12 分） 综上所述，存在三个满足条件的点 ， 即 或 或 ． （2009 年重庆綦江县）26．（11 分）如图，已知抛物线 经过点 ，抛物线的 顶点为 ，过 作射线 ．过顶点 平行于 轴的直线交射线 于点 ， 在 轴正半轴上，连 结 ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点 从点 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 运动，设点 运动的时间为 ．问当 为 2t = ∴ (2 2)P ， Q P ∴ (2 2)Q ， PG GC= 2 2( 1) 2 2t 2− + = 1t = (1 2)P∴ ， GP x⊥ GP Q ∴ Q 7 3 ∴ 71 3Q    ， PC GC= 2 2 2(3 ) 2 2t− + = 3t = (3 2)P∴ ， 2PC GC= = PCG△ Q QH x⊥ H QH GH= QH h= ( 1 )Q h h∴ + ， 25 13( 1) ( 1) 16 6h h h∴− + + + + = 1 2 7 25h h= = −， 12 7 5 5Q ∴   ， Q (2 2)Q ， 71 3Q    ， 12 7 5 5Q    ， ( 1)2 3 3( 0)y a x a= − + ≠ ( 2 )A − ，0 D O OM AD∥ D x OM C B x BC P O OM P ( )t s t y x D B C A EE O Q P HGG (P) (Q) Q (P) 何值时，四边形 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若 ，动点 和动点 分别从点 和点 同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度单位的 速度沿 和 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为 ，连 接 ，当 为何值时，四边形 的面积最小？并求出最小值及此时 的长． *26．解：（1） 抛物线 经过点 ， ······································································································1 分 二次函数的解析式为： ·························································3 分 （2） 为抛物线的顶点 过 作 于 ，则 ， ···························································4 分 当 时，四边形 是平行四边形 ·······················································5 分 当 时，四边形 是直角梯形 过 作 于 ， 则 （如果没求出 可由 求 ） ·········································································································6 分 当 时，四边形 是等腰梯形 综上所述：当 、5、4 时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．··7 分 （3）由（2）及已知， 是等边三角形 则 过 作 于 ，则 ···················································································8 分 DAOP OC OB= P Q O B OC BO t ( )s PQ t BCPQ PQ  2( 1) 3 3( 0)y a x a= − + ≠ ( 2 0)A − ， 30 9 3 3 3a a∴ = + ∴ = − ∴ 23 2 3 8 3 3 3 3y x x= − + + D (13 3)D∴ ， D DN OB⊥ N 3 3DN = 2 23 3 (3 3) 6 60AN AD DAO= ∴ = + = ∴∠ =， ° OM AD ∥ ① AD OP= DAOP 6 6(s)OP t∴ = ∴ = ② DP OM⊥ DAOP O OH AD⊥ H 2AO = ， 1AH = 60DAO∠ = ° Rt RtOHA DNA△ ∽ △ 1AH = 5 5(s)OP DH t∴ = = = ③ PD OA= DAOP 2 6 2 4 4(s)OP AD AH t∴ = − = − = ∴ = 6t = 60COB OC OB OCB∠ = =°， ，△ 6 2 6 2 (0 3)OB OC AD OP t BQ t OQ t t= = = = = ∴ = − < <， ， ， P PE OQ⊥ E 3 2PE t= x y M CD P QO A B x y M C D P QO A BNE H = ···············································································································9 分 当 时， 的面积最小值为 ············································································10 分 此时 ·····························································11 分 （2009 年河北省）26．（本小题满分 12 分） 如图 16，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀 速运动．伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E．点 P、Q 同时出 发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止．设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t＞0）． （1）当 t = 2 时，AP = ，点 Q 到 AC 的距离是 ； （2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求△APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围） （3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成 为直角梯形？若能，求 t 的值．若不能，请说明理由； （4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值． 26．解：（1）1， ； （2）作 QF⊥AC 于点 F，如图 3， AQ = CP= t，∴ ． 由△AQF∽△ABC， ， 得 ．∴ ． ∴ ， 即 ． （3）能． ①当 DE∥QB 时，如图 4． ∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形 QBED 是直角梯形． 此时∠AQP=90°． 8 5 3AP t= − 2 25 3 4BC = − = 4 5 QF t= 4 5QF t= 1 4(3 )2 5S t t= − ⋅ 22 6 5 5S t t= − + 1 1 36 3 3 (6 2 )2 2 2BCPQS t t∴ = × × − × − × 23 3 63 32 2 8t − +   3 2t = BCPQS 63 38 ∴ 3 3 3 9 3 33 32 4 4 4 4OQ OP OE QE PE= = ∴ = − = =， = ， 2 2 2 2 3 3 9 3 3 4 4 2PQ PE QE    ∴ = + = + =        A C B P Q E D 图 16 A C B P Q E D 图 4 A C ) B P Q D 图 3 E ) F 由△APQ ∽△ABC，得 ， 即 ． 解得 ． ②如图 5，当 PQ∥BC 时，DE⊥BC，四边形 QBED 是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC，得 ， 即 ． 解得 ． （4） 或 ． 【注：①点 P 由 C 向 A 运动，DE 经过点 C． 方法一、连接 QC，作 QG⊥BC 于点 G，如图 6． ， ． 由 ，得 ，解得 ． 方法二、由 ，得 ，进而可得 ，得 ，∴ ．∴ ． ②点 P 由 A 向 C 运动，DE 经过点 C，如图 7． ， 】 （2009 年河南省）23.（11 分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（4，0）、 C （8，0）、D（8，8）.抛物线 y=ax2+bx 过 A、C 两点. (1)直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点 P 从点 A 出发．沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向终点 D 运动．速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E ①过点 E 作 EF⊥AD 于点 F，交抛物线于点 G.当 t 为何值时，线段 EG 最长? ②连接 EQ．在点 P、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的 t 值. 解.(1)点 A 的坐标为（4，8） …………………1 分 AQ AP AC AB = 3 3 5 t t−= 9 8t = AQ AP AB AC = 3 5 3 t t−= 15 8t = 5 2t = 45 14t = PC t= 2 2 2QC QG CG= + 2 23 4[ (5 )] [4 (5 )]5 5t t= − + − − 2 2PC QC= 2 2 23 4[ (5 )] [4 (5 )]5 5t t t= − + − − 5 2t = CQ CP AQ= = QAC QCA∠ = ∠ B BCQ∠ = ∠ CQ BQ= 5 2AQ BQ= = 5 2t = 2 2 23 4(6 ) [ (5 )] [4 (5 )]5 5t t t− = − + − − 45 14t = A C B P Q ED 图 5 A C(E) ) B P Q D 图 6 G A C(E) ) B P Q D 图 7 G 将 A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入 y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 解 得 a=- ,b=4 ∴抛物线的解析式为：y=- x2+4x …………………3 分 （2）①在 Rt△APE 和 Rt△ABC 中，tan∠PAE= = ,即 = ∴PE= AP= t．PB=8-t． ∴点Ｅ的坐标为（4+ t，8-t）. ∴点 G 的纵坐标为：- （4+ t）2+4(4+ t）=- t2+8. …………………5 分 ∴EG=- t2+8-(8-t) =- t2+t. ∵- ＜0，∴当 t=4 时，线段 EG 最长为 2. …………………7 分 ②共有三个时刻. …………………8 分 t1= ， t2= ，t3= ． …………………11 分 (2009 年山西省)26．（本题 14 分）如图，已知直线 与直线 相交于点 分 别交 轴于 两点．矩形 的顶点 分别在直线 上，顶点 都在 轴上，且点 与点 重合． （1）求 的面积； （2）求矩形 的边 与 的长； （3）若矩形 从原点出发，沿 轴的反方向以每秒 1 个单位长度的速度平移，设 移动时间为 秒，矩形 与 重叠部分的面积为 ，求 关 的函数关系式，并写出相应的 的取值范围． 1 2 1 2 PE AP BC AB PE AP 4 8 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 8 1 8 1 8 1 8 16 3 40 13 8 5 2 5+ 1 2 8: 3 3l y x= + 2 : 2 16l y x= − + C l l1 2， 、 x A B、 DEFG D E、 1 2l l、 F G、 x G B ABC△ DEFG DE EF DEFG x (0 12)t t≤ ≤ DEFG ABC△ S S t t A D B E O C F x y y 1l y 2l （G） （第 26 题） 26．（1）解：由 得 点坐标为 由 得 点坐标为 ∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（2 分） 由 解得 ∴ 点的坐标为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3 分） ∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4 分） （2）解：∵点 在 上且 ∴ 点坐标为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（5 分） 又∵点 在 上且 ∴ 点坐标为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6 分） ∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7 分） （3）解法一： 当 时，如图 1，矩形 与 重叠部分为五边形 （ 时，为四边形 ）．过 作 于 ，则 ∴ 即 ∴ ∴ 即 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10 分） （2009 年山西省太原市）29．（本小题满分 12 分） 2 8 03 3x + = ， 4x A= − ∴． ( )4 0− ， ． 2 16 0x− + = ， 8x B= ∴． ( )8 0， ． ( )8 4 12AB = − − = ． 2 8 3 3 2 16 y x y x  = +  = − + ， ． 5 6 x y =  = ， ． C ( )5 6， ． 1 1 12 6 362 2ABC CS AB y= = × × =△ · ． D 1l 2 88 8 83 3D B Dx x y= = ∴ = × + =， ． D ( )8 8， ． E 2l 8 2 16 8 4E D E Ey y x x= = ∴− + = ∴ =， ． ． E ( )4 8， ． 8 4 4 8OE EF= − = =， ． ① 0 3t <≤ DEFG ABC△ CHFGR 0t = CHFG C CM AB⊥ M Rt RtRGB CMB△ ∽ △ ． BG RG BM CM = ， 3 6 t RG= ， 2RG t= ． Rt RtAFH AMC △ ∽ △ ， ( ) ( )1 1 236 2 8 82 2 3ABC BRG AFHS S S S t t t t= − − = − × × − − × −△ △ △ ． 24 16 44 3 3 3S t t= − + + ． A D B E O R F x y y 1l y 2l M （图 3） G C A D B E O C F x y y 1l y 2l G （图 1） R M A D B E O C F x y y 1l y 2l G （图 2） R M 问题解决 如图（1），将正方形纸片 折叠，使点 落在 边上一点 （ 不 与 点 ， 重合），压平后得到折痕 ．当 时，求 的值． 类比归纳 在图（1）中，若 则 的值等于 ；若 则 的值等于 ；若 （ 为整数），则 的值等于 ．（用含 的式子表示） 联系拓广 如图（2），将矩形纸片 折叠，使点 落在 边上一点 （不与点 重合），压平后得到折痕 设 则 的值等于 ．（用含 的式子表示） 29．问题解决 解：方法一：如图（1-1），连接 ． 由题设，得四边形 和四边形 关于直线 对称． ∴ 垂直平分 ．∴ ················································1 分 ∵四边形 是正方形，∴ ABCD B CD E C D MN 1 2 CE CD = AM BN 1 3 CE CD = ， AM BN 1 4 CE CD = ， AM BN 1CE CD n = n AM BN n ABCD B CD E C D， MN， ( )1 11AB CEmBC m CD n = > =， ， AM BN m n， BM EM BE， ， ABNM FENM MN MN BE BM EM BN EN= =， ． ABCD 90 2A D C AB BC CD DA∠ = ∠ = ∠ = = = = =° , ． 方法指导： 为了求得 AM BN 的值，可先求 BN 、 AM 的长，不妨设： AB =2 图（2） N A B C D E F M 图（1） A B C D E FM N N 图（1-1） A B C D E FM ∵ 设 则 在 中， ． ∴ 解得 ，即 ·······················································3 分 在 和在 中， ， ， ················································································5 分 设 则 ∴ 解得 即 ···························································································6 分 ∴ ················································································································7 分 方法二：同方法一， ·····················································································3 分 如图（1－2），过点 做 交 于点 ，连接 　　　 ∵ ∴四边形 是平行四边形． ∴ 同理，四边形 也是平行四边形．∴ 　　　∵ 　　　 　　　在 与 中 1 12 CE CE DECD = ∴ = =， ． BN x= ， NE x= ， 2NC x= − ． Rt CNE△ 2 2 2NE CN CE= + ( )22 22 1x x= − + ． 5 4x = 5 4BN = ． Rt ABM△ Rt DEM△ 2 2 2AM AB BM+ = 2 2 2DM DE EM+ = ∴ 2 2 2 2AM AB DM DE+ = + ． AM y= ， 2DM y= − ， ( )22 2 22 2 1y y+ = − + ． 1 4y = ， 1 4AM = ． 1 5 AM BN = ． 5 4BN = ． N NG CD∥ ， AD G BE． AD BC∥ ， GDCN NG CD BC= = ． ABNG 5 4AG BN= = ． 90MN BE EBC BNM⊥ ∴∠ + ∠ =， °． 90NG BC MNG BNM EBC MNG⊥ ∴∠ + ∠ = ∴∠ = ∠ ， °， ． BCE△ NGM△ N 图（1-2） A B C D E FM G O 6020 4 批发单价（元） 5 批发量（kg） ① ② 第 23 题图（1） 　　　 ∴ ·································５分 ∵ ······································································6 分 ∴ ··············································································································7 分 类比归纳 （或 ）； ； ···················································································10 分 联系拓广 ··················································································································12 分 评分说明：1．如你的正确解法与上述提供的参考答案不同时，可参照评分说明进行估分． 2．如解答题由多个问题组成，前一问题解答有误或未答，对后面问题的解答没有影响，可依据参考 答案及评分说明进行估分． （2009 年安徽省）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示． （1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义． 【解】 （2）写出批发该种水果的资金金额 w（元）与批发量 m（kg）之间的 函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什 么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果． 【解】 （3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函 90 EBC MNG BC NG C NGM ∠ = ∠  = ∠ = ∠ = ， ， °． BCE NGM EC MG=△ ≌△ ， ． 11 4AM AG MG AM= − − =5， = ． 4 1 5 AM BN = ． 2 5 4 10 9 17 ( )2 2 1 1 n n − + 2 2 2 2 2 1 1 n m n n m − + + 金额 w（元） O 批发量 m（kg） 300 200 100 20 40 60 O 62 40 日 最高销量（kg） 80 零售价（元） 第 23 题图（2） 4 8 （6，80） （7，40） 数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出 60kg 以上该种水果， 且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案， 使得当日获得的利润最大． 【解】 23．（1）解：图①表示批发量不少于 20kg 且不多于 60kg 的该种水果， 可按 5 元/kg 批发；……3 分 图②表示批发量高于 60kg 的该种水果，可按 4 元/kg 批发． ………………………………………………………………3 分 （2）解：由题意得： ，函数图象如图所示． ………………………………………………………………7 分 由图可知资金金额满足 240＜w≤300 时，以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果．……………………………8 分 （3）解法一： 设当日零售价为 x 元，由图可得日最高销量 当 m＞60 时，x＜6.5 由题意，销售利润为 ………………………………12 分 当 x＝6 时， ，此时 m＝80 即经销商应批发 80kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg， 当日可获得最大利润 160 元．……………………………………………14 分 解法二： 设日最高销售量为 xkg（x＞60） 则由图②日零售价 p 满足： ，于是 销售利润 ………………………12 分 20 60 60 5 4 m m w m m =   ≤ ≤（ ） ）＞（ 320 40w m= − 2( 4)(320 40 ) 40[ ( 6) 4]y x m x= − − = − − + 160y =最大值 320 40x p= − 320 40 xp −= 2320 1( 4) ( 80) 16040 40 xy x x −= − = − − + 金额 w（元） O 批发量 m（kg） 300 200 100 20 40 60 240 当 x＝80 时， ，此时 p＝6 即经销商应批发 80kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg， 当日可获得最大利润 160 元．……………………………………………14 分 （2009 年江西省）25．如图 1，在等腰梯形 中， ， 是 的中点，过点 作 交 于点 ． ， . （1）求点 到 的距离； （2）点 为线段 上的一个动点，过 作 交 于点 ，过 作 交折线 于点 ， 连结 ，设 . ①当点 在线段 上时（如图 2）， 的形状是否发生改变？若不变，求出 的周长；若改变， 请说明理由； ②当点 在线段 上时（如图 3），是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求 的 的值；若不存在，请说明理由. 25．（1）如图 1，过点 作 于点 ···························1 分 ∵ 为 的中点， ∴ 在 中， ∴ ···············2 分 ∴ 即点 到 的距离为 ·················································3 分 （2）①当点 在线段 上运动时， 的形状不发生改变． ∵ ∴ ∵ ∴ ， 同理 ············································································································4 分 160y =最大值 ABCD AD BC∥ E AB E EF BC∥ CD F 4 6AB BC= =， 60B = °∠ E BC P EF P PM EF⊥ BC M M MN AB∥ ADC N PN EP x= N AD PMN△ PMN△ N DC P PMN△ x E EG BC⊥ G． E AB 1 22BE AB= = ． Rt EBG△ 60B = °∠ ， 30BEG = °∠ ． 2 21 1 2 1 32BG BE EG= = = − =， ． E BC 3． N AD PMN△ PM EF EG EF⊥ ⊥， ， PM EG∥ ． EF BC∥ ， EP GM= 3PM EG= = ． 4MN AB= = ． A D E B F C 图 4（备用） A D E B F C 图 5（备用） A D E B F C 图 1 图 2 A D E B F C P N M 图 3 A D E B F C P N M （第 25 题） 图 1 A D E B F CG 如图 2，过点 作 于 ，∵ ∴ ∴ ∴ 则 在 中， ∴ 的周长= ···················································6 分 ②当点 在线段 上运动时， 的形状发生改变，但 恒为等边三角形． 当 时，如图 3，作 于 ，则 类似①， ∴ ·············································································································7 分 ∵ 是等边三角形，∴ 此时， ···············································8 分 当 时，如图 4，这时 此时， 当 时，如图 5， 则 又 ∴ 因此点 与 重合， 为直角三角形． ∴ 此时， 综上所述，当 或 4 或 时， 为等腰三角形．···························10 分 （2009 年广东广州）25.（本小题满分 14 分） 如图 13，二次函数 的图象与 x 轴交于 A、B 两点， P PH MN⊥ H MN AB∥ ， 60 30NMC B PMH= = ° = °∠ ∠ ，∠ ． 1 3 2 2PH PM= = ． 3cos30 2MH PM= ° = ． 3 54 2 2NH MN MH= − = − = ． Rt PNH△ 22 2 2 5 3 72 2PN NH PH   = + = + =        ． PMN△ 3 7 4PM PN MN+ + = + + ． N DC PMN△ MNC△ PM PN= PR MN⊥ R MR NR= ． 3 2MR = ． 2 3MN MR= = ． MNC△ 3MC MN= = ． 6 1 3 2x EP GM BC BG MC= = = − − = − − = ． 图 3 A D E B F C P N M 图 4 A D E B F C P M N 图 5 A D E B F（P） C M N GG R G MP MN= 3MC MN MP= = = ． 6 1 3 5 3x EP GM= = = − − = − ． NP NM= 30NPM PMN= = °∠ ∠ ． 120PMN = °∠ ， 60MNC = °∠ ， 180PNM MNC+ = °∠ ∠ ． P F PMC△ tan30 1MC PM= ° = ． 6 1 1 4x EP GM= = = − − = ． 2x = ( )5 3− PMN△ )0(2 <++= pqpxxy 图 2 A D E B F C P N MG H 与 y 轴交于点 C（0，-1），ΔABC 的面积为 。 （1）求该二次函数的关系式； （2）过 y 轴上的一点 M（0，m）作 y 轴的垂线，若该垂线与ΔABC 的外接圆有公共点，求 m 的取值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点 D，使四边形 ABCD 为直角梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存 在，请说明理由。 25.（本小题满分 14 分） 解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知 0.5OC×AB= ,得 AB= ， 设 A（a,0）,B(b,0)AB=b−a= = ，解得 p= ,但 p<0,所以 p= 。 所以解析式为： （2）令 y=0，解方程得 ，得 ,所以 A( ,0),B(2,0),在直角三角形 AOC 中可求得 AC= ,同样可求得 BC= ,，显然 AC2+BC2=AB2,得三角形 ABC 是直角三角形。AB 为斜边，所以外接圆的直径为 AB= ,所以 . （3）存在，AC⊥BC,①若以 AC 为底边，则 BD//AC,易求 AC 的解析式为 y=-2x-1,可设 BD 的解析式 为 y=-2x+b，把 B(2,0)代入得 BD 解析式为 y=-2x+4，解方程组 得 D（ ,9） ②若以 BC 为底边，则 BC//AD,易求 BC 的解析式为 y=0.5x-1,可设 AD 的解析式为 y=0.5x+b，把 A( ,0)代入得 AD 解析式为 y=0.5x+0.25，解方程组 得 D( ) 综上，所以存在两点：（ ,9）或( )。 （2009 年广东省中山市）22. （本题满分 9 分）正方形 ABCD 边长为 4，M、N 分别是 BC、CD 上的两个动点， 当 M 点在 BC 上运动时，保持 AM 和 MN 垂直. （1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN； （2）设 BM=x，梯形 ABCN 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式；当 M 点运动到什么位置时，四边形 ABCN 面积最大，并求出最大面积； （3）当 M 点运动到什么位置时 Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时 x 的值. 4 5 4 5 5 2 2( ) 4a b ab+ − 5 2 3 2 ± 3 2 − 2 3 12y x x= − − 2 3 1 02x x− − = 1 2 1 , 22x x= − = 1 2 − 5 2 5 5 2 5 5 4 4m− ≤ ≤ 2 3 12 2 4 y x x y x  = − −  = − + 5 2 − 1 2 − 2 3 12 0.5 0.25 y x x y x  = − −  = + 5 3,2 2 5 2 − 5 3,2 2 D B A M C N （2009 年哈尔滨市）28．(本题 10 分） 如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（－3，4）， 点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H． （1）求直线 AC 的解析式； （2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位／秒的速度向终点 C 匀速运动， 设△PMB 的面积为 S（S≠0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范 围）； （3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角 的正切值． (2009 山东省泰安市)26（本小题满分 10 分） 如 图 所 示 ， 在 直 角 梯 形 ABCD 中 ， ∠ ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E 是 AB 的中点，CE⊥BD。 （1） 求证：BE=AD； （2） 求证：AC 是线段 ED 的垂直平分线； （3） △DBC 是等腰三角形吗？并说明理由。 26、（本小题满分 10 分） 证明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC， ∴∠1 与∠3 互余，∠2 与∠3 互余， ∴∠1=∠2…………………………………………………1 分 ∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC ∴△BAD≌△CBE…………………………………………2 分 ∴AD=BE……………………………………………………3 分 （2）∵E 是 AB 中点， ∴EB=EA 由（1）AD=BE 得：AE=AD……………………………5 分 ∵AD∥BC ∴∠7=∠ACB=45° ∵∠6=45° ∴∠6=∠7 由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE。 即，AC 是线段 ED 的垂直平分线。……………………7 分 （3）△DBC 是等腰三角（CD=BD）……………………8 分 理由如下： 由（2）得：CD=CE 由（1）得：CE=BD ∴CD=BD ∴△DBC 是等腰三角形。……………………………10 分 （2009 年威海市）25．（12 分） 一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 ，与反比例函数 的图象相交于点 ．过 点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 ；过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 y ax b= + x y ,M N ky x = ,A B A AC x⊥ AE y⊥ ,C E B BF x⊥ BD y⊥ 与 交于点 ，连接 ． （1）若点 在反比例函数 的图象的同一分支上，如图 1，试证明： ① ； ② ． （2）若点 分别在反比例函数 的图象的不同分支上，如图 2，则 与 还相等吗？试证明你 的结论． 25．（本小题满分 12 分） 解：（1）① 轴， 轴， 四边形 为矩形． 轴， 轴， 四边形 为矩形． 轴， 轴， 四边形 均为矩形．··············1 分 ， ， ． ． ， ， ． ···········································································································2 分 F D， ，AC BD K CD A B， ky x = AEDK CFBKS S=四边形 四边形 AN BM= A B， ky x = AN BM AC x ⊥ AE y⊥ ∴ AEOC  BF x⊥ BD y⊥ ∴ BDOF AC x ⊥ BD y⊥ ∴ AEDK DOCK CFBK， ，  1 1 1 1OC x AC y x y k= = =， ， ∴ 1 1AEOCS OC AC x y k= = = 矩形  2 2 2 2OF x FB y x y k= = =， ， ∴ 2 2BDOFS OF FB x y k= = = 矩形 ∴ AEOC BDOFS S=矩形 矩形  AEDK AEOC DOCKS S S= −矩形 矩形 矩形 CFBK BDOF DOCKS S S= −矩形 矩形 矩形 ∴ AEDK CFBKS S=矩形 矩形 O C F M D E N K y x 1 1( )A x y， 2 2( )B x y， （第 25 题图 1） O C D K F E N y x 1 1( )A x y， 3 3( )B x y， M （第 25 题图 2） O C F M D E N K y x A B 图 1 ②由（1）知 ． ． ． ··························································································································4 分 ， ． ·············································································································5 分 ． ． ····························································································································6 分 轴， 四边形 是平行四边形． ． ····························································································································7 分 同理 ． ． ···························································································································8 分 （2） 与 仍然相等．·····································································································9 分 ， ， 又 ， ．······································10 分 ． ． ， ． ． ． ··························································································································11 分 轴， 四边形 是平行四边形． ． 同理 ． ． ·························································································································12 分 （2009 年烟台市）26．(本题满分 14 分) 如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于 C 点，且经过点 ，对称轴是直 线 ，顶点是 ． （1） 求抛物线对应的函数表达式； 2 3y ax bx= + − x A B， y (2 3 )a−， 1x = M AEDK CFBKS S=矩形 矩形 ∴ AK DK BK CK=  ∴ AK BK CK DK =  90AKB CKD∠ = ∠ = ° ∴ AKB CKD△ ∽△ ∴ CDK ABK∠ = ∠ ∴ AB CD∥  AC y∥ ∴ ACDN ∴ AN CD= BM CD= AN BM∴ = AN BM  AEDK AEOC ODKCS S S= +矩形 矩形 矩形 BKCF BDOF ODKCS S S= +矩形 矩形 矩形  AEOC BDOFS S k= =矩形 矩形 ∴ AEDK BKCFS S=矩形 矩形 ∴ AK DK BK CK=  ∴ CK DK AK BK =  K K∠ = ∠ ∴ CDK ABK△ ∽△ ∴ CDK ABK∠ = ∠ ∴ AB CD∥  AC y∥ ∴ ANDC ∴ AN CD= BM CD= ∴ AN BM= O C D K F E N y x A B M 图 2 （2） 经过 两点作直线与 轴交于点 ，在抛物线上是否存在这样的点 ，使以点 为 顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由； （3） 设直线 与 y 轴的交点是 ，在线段 上任取一点 （不与 重合），经过 三点的圆交直线 于点 ，试判断 的形状，并说明理由； （4） 当 是直线 上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）． 26．（本题满分 14 分） 解：（1）根据题意，得 ·················2 分 解得 抛物线对应的函数表达式为 ． ··········3 分 （2）存在． 在 中，令 ，得 ． 令 ，得 ， ． ， ， ． 又 ， 顶点 ． ················································································5 分 容易求得直线 的表达式是 ． 在 中，令 ，得 ． ， ． ········································································································6 分 在 中，令 ，得 ． ． C,M x N P P A C N， ， ， P 3y x= − + D BD E B D， A B E， ， BC F AEF△ E 3y x= − + 3 4 2 3 1.2 a a b b a − = + −− = ， 1 2. a b =  = − ， ∴ 2 2 3y x x= − − 2 2 3y x x= − − 0x = 3y = − 0y = 2 2 3 0x x− − = 1 21 3x x∴ = − =， ( 1 0)A∴ − ， (3 0)B ， (0 3)C −， 2( 1) 4y x= − − ∴ (1 4)M −， CM 3y x= − − 3y x= − − 0y = 3x = − ( 3 0)N∴ − ， 2AN∴ = 2 2 3y x x= − − 3y = − 1 20 2x x= =， 2CP AN CP∴ = ∴ =， O B x y A M C 1 3− （第 26 题图） y x E D N OA C M P N1 F （第 26 题图） ， 四边形 为平行四边形，此时 ．·····································8 分 （3） 是等腰直角三角形． 理由：在 中，令 ，得 ，令 ，得 ． 直线 与坐标轴的交点是 ， ． ， ． ···························································································9 分 又 点 ， ． ．························································10 分 由图知 ， ．··············································11 分 ，且 ． 是等腰直角三角形． ····································12 分 （4）当点 是直线 上任意一点时，（3）中的结论成立． ······························14 分 （2009 年山东省日照）24． (本题满分 10 分) 已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG． （1）求证：EG=CG； （2）将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45º，如图②所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG．问（1）中的结论 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成 立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） 24．（本题满分 10 分） 解：（1）证明：在 Rt△FCD 中， ∵G 为 DF 的中点， ∴ CG= FD．………………1 分 同理，在 Rt△DEF 中， EG= FD． ………………2 分 AN CP ∥ ∴ ANCP (2 3)P −， AEF△ 3y x= − + 0x = 3y = 0y = 3x = ∴ 3y x= − + (0 3)D ， (3 0)B ， OD OB∴ = 45OBD∴∠ = °  (0 3)C −， OB OC∴ = 45OBC∴∠ = ° 45AEF ABF∠ = ∠ = ° 45AFE ABE∠ = ∠ = ° 90EAF∴∠ = ° AE AF= AEF∴△ E 3y x= − + FB A D C E G 第 24 题图① D F B A D C E G 第 24 题图② F B A C E 第 24 题图③ ∴ CG=EG．…………………3 分 （2）（1）中结论仍然成立，即 EG=CG．…………………………4 分 证法一：连接 AG，过 G 点作 MN⊥AD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点． 在△DAG 与△DCG 中， ∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， ∴ △DAG≌△DCG． ∴ AG=CG．………………………5 分 在△DMG 与△FNG 中， ∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG， ∴ △DMG≌△FNG． ∴ MG=NG 在矩形 AENM 中，AM=EN． ……………6 分 在 Rt△AMG 与 Rt△ENG 中， ∵ AM=EN， MG=NG， ∴ △AMG≌△ENG． ∴ AG=EG． ∴ EG=CG． ……………………………8 分 证法二：延长 CG 至 M,使 MG=CG， 连接 MF，ME，EC， ……………………4 分 在△DCG 与△FMG 中， ∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG， ∴△DCG ≌△FMG． ∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG． ∴MF∥CD∥AB．………………………5 分 ∴ ． 在 Rt△MFE 与 Rt△CBE 中， ∵ MF=CB，EF=BE， ∴△MFE ≌△CBE． ∴ ．…………………………………………………6 分 ∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． …………7 分 ∴ △MEC 为直角三角形． ∵ MG = CG， ∴ EG= MC． ∴ ．………………………………8 分 （3）（1）中的结论仍然成立， 即 EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10 分 （2009 年潍坊市）24．（本小题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系 中，半径为 1 的圆的圆心 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于 四 点．抛物线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，且 分别与圆 相切于点 和点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴交 轴于点 ，连结 ，并延长 交圆 于 ，求 的长． （3）过点 作圆 的切线交 的延长线于点 ，判断点 是否在抛物线上，说明理由． 24．（本小题满分 12 分） 解：（1） 圆心 在坐标原点，圆 的半径为 1， 点 的坐标分别为 抛物线与直线 交于点 ，且 分别与圆 相切于点 和点 ， ． ············································································································2 分 点 在抛物线上，将 的坐标代入 ，得： 解之，得： 抛物线的解析式为： ． ················································································4 分 xOy O A B C D、 、 、 2y ax bx c= + + y D y x= M N、 MA NC、 O A C x E DE DE O F EF B O DC P P  O O ∴ A B C D、 、 、 ( 1 0) (0 1) (1 0) (01)A B C D− −，、 ， 、 ，、 ，  y x= M N、 MA NC、 O A C ∴ ( 1 1) (11)M N− −， 、 ，  D M N、 、 (01) ( 1 1) (11)D M N− −，、 ， 、 ， 2y ax bx c= + + 1 1 1 c a b c a b c = − = − +  = + + 1 1 1 a b c = −  =  = ∴ 2 1y x x= − + + O x y N C D E F BM A （2） 抛物线的对称轴为 ， ．·······················6 分 连结 ， ， ， 又 ， ， ．···············································································8 分 （3）点 在抛物线上．·············································································································9 分 设过 点的直线为： ， 将点 的坐标代入 ，得： ， 直线 为： ．··································································································10 分 过点 作圆 的切线 与 轴平行， 点的纵坐标为 ， 将 代入 ，得： ． 点的坐标为 ， ·······································································································11 分 当 时， ， 所以， 点在抛物线 上．··············································································12 分 说明：解答题各小题中只给出了 1 种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数． （2009 年山东临沂市）26．（本小题满分 13 分） 如图，抛物线经过 三点． （1）求出抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上一动点，过 P 作 轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以 A，P，M 为顶点的三角 2 2 1 51 2 4y x x x = − + + = − − +   ∴ 1 2x = 1 1 512 4 2OE DE∴ = = + =， 90BF BFD∠ =， ° BFD EOD∴△ ∽△ DE OD DB FD ∴ = 5 1 22DE OD DB= = =， ， 4 5 5FD∴ = 4 5 5 3 5 5 2 10EF FD DE∴ = − = − = P D C、 y kx b= + (1 0) (01)C D，、 ， y kx b= + 1 1k b= − =， ∴ DC 1y x= − + B O BP x P 1y = − 1y = − 1y x= − + 2x = ∴ P (2 1)−， 2x = 2 21 2 2 1 1y x x= − + + = − + + = − P 2 1y x x= − + + (4 0) (1 0) (0 2)A B C −，， ，， ， PM x⊥ O x y N C D E F BM A P 形与 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D，使得 的面积最大，求出点 D 的坐标． 26．解：（1） 该抛物线过点 ， 可设该抛物线的解析式为 ． 将 ， 代入， 得 解得 此抛物线的解析式为 ．································································（3 分） （2）存在． ·························································································································（4 分） 如图，设 点的横坐标为 ， 则 点的纵坐标为 ， 当 时， ， ． 又 ， ①当 时， ， 即 ． 解得 （舍去）， ．·····································································（6 分） ②当 时， ，即 ． 解得 ， （均不合题意，舍去） 当 时， ．·····························································································（7 分） 类似地可求出当 时， ． ··········································································（8 分） OAC△ DCA△  (0 2)C −， ∴ 2 2y ax bx= + − (4 0)A ， (1 0)B ， 16 4 2 0 2 0 a b a b . + − =  + − = ， 1 2 5 2 a b .  = −  = ， ∴ 21 5 22 2y x x= − + − P m P 21 5 22 2m m− + − 1 4m< < 4AM m= − 21 5 22 2PM m m= − + − 90COA PMA∠ = ∠ = ° ∴ 2 1 AM AO PM OC = = APM ACO△ ∽△ 21 54 2 22 2m m m − = − + −   1 22 4m m= =， (21)P∴ ， 1 2 AM OC PM OA = = APM CAO△ ∽△ 21 52(4 ) 22 2m m m− = − + − 1 4m = 2 5m = ∴ 1 4m< < (2 1)P ， 4m > (5 2)P −， O x y AB C 41 2− （第 26 题图） O x y AB C 41 2− （第 26 题图） D P M E 当 时， ． 综上所述，符合条件的点 为 或 或 ．··································（9 分） （3）如图，设 点的横坐标为 ，则 点的纵坐标为 ． 过 作 轴的平行线交 于 ． 由题意可求得直线 的解析式为 ．·························································（10 分） 点的坐标为 ． ． ······················································（11 分） ． 当 时， 面积最大． ．························································································································（13 分） (2009 年山东省济宁市)26. （12 分） 在平面直角坐标中，边长为 2 的正方形 的两顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 在原点. 现将正方形 绕 点顺时针旋转，当 点第一次落在直线 上时停止旋转，旋转过程中， 边 交直线 于点 ， 边交 轴于点 （如图）. （1）求边 在旋转过程中所扫过的面积； （2）旋转过程中，当 和 平行时，求正方 形 旋转的度数； （ 3 ） 设 的 周 长 为 ， 在 旋 转 正 方 形 的过程中， 值是否有变化？请证明你的结论. 1m < ( 3 14)P − −， P (2 1)， (5 2)−， ( 3 14)− −， D (0 4)t t< < D 21 5 22 2t t− + − D y AC E AC 1 22y x= − E∴ 1 22t t −  ， 2 21 5 1 12 2 22 2 2 2DE t t t t t ∴ = − + − − − = − +   2 2 21 1 2 4 4 ( 2) 42 2DACS t t t t t ∴ = × − + × = − + = − − +  △ ∴ 2t = DAC△ (2 1)D∴ ， OABC A C y x O OABC O A y x= AB y x= M BC x N OA MN AC OABC MBN∆ p OABC p (第 26 题) O A B C M N y x= x y 26.（1）解：∵ 点第一次落在直线 上时停止旋转， ∴ 旋转了 . ∴ 在旋转过程中所扫过的面积为 .……………4 分 （2）解：∵ ∥ ， ∴ , . ∴ .∴ . 又∵ ，∴ . 又∵ , ,∴ . ∴ .∴ . ∴旋转过程中，当 和 平行时，正方形 旋转的度数为 .……………………………………………8 分 （3）答： 值无变化. 证明：延长 交 轴于 点，则 ， ， ∴ . 又∵ ， . ∴ . ∴ . 又∵ , , ∴ .∴ . ∴ ， ∴ . A y x= OA 045 OA 245 2 360 2 π π× = MN AC 45BMN BAC∠ = ∠ = ° 45BNM BCA∠ = ∠ = ° BMN BNM∠ = ∠ BM BN= BA BC= AM CN= OA OC= OAM OCN∠ = ∠ OAM OCN∆ ≅ ∆ AOM CON∠ = ∠ 1 (90 452AOM∠ = °− °) = 22.5° MN AC OABC 45°− 22.5° = 22.5° p BA y E 045AOE AOM∠ = − ∠ 0 0 090 45 45CON AOM AOM∠ = − − ∠ = − ∠ AOE CON∠ = ∠ OA OC= 0 0 0180 90 90OAE OCN∠ = − = = ∠ OAE OCN∆ ≅ ∆ ,OE ON AE CN= = 045MOE MON∠ = ∠ = OM OM= OME OMN∆ ≅ ∆ MN ME AM AE= = + MN AM CN= + 4p MN BN BM AM CN BN BM AB BC= + + = + + + = + = ∴在旋转正方形 的过程中， 值无变化. ……………12 分 （2009 年四川遂宁市）25.如图，二次函数的图象经过点 D(0， )，且顶点 C 的横坐标为 4，该图象在 x 轴上 截得的线段 AB 的长为 6. ⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点 P，使 PA+PD 最小，求出点 P 的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点 Q，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理 由． 25.⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k ∵顶点 C 的横坐标为 4，且过点(0， ) ∴y=a(x-4)2+k ………………① 又∵对称轴为直线 x=4，图象在 x 轴上截得的线段长为 6 ∴A(1，0)，B(7，0) ∴0=9a+k ………………② 由①②解得 a= ，k= OABC p 39 7 39 7 ka +=1639 7 9 3 3－ （第 26 题） O A B C M N y x= x y E ∴二次函数的解析式为：y= (x-4)2－ ⑵∵点 A、B 关于直线 x=4 对称 ∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD≥DB ∴当点 P 在线段 DB 上时 PA+PD 取得最小值 ∴DB 与对称轴的交点即为所求点 P 设直线 x=4 与 x 轴交于点 M ∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO ∴△BPM∽△BDO ∴ ∴ ∴点 P 的坐标为(4， ) ⑶由⑴知点 C(4， )， 又∵AM=3，∴在 Rt△AMC 中，cot∠ACM= ， ∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o ①当点 Q 在 x 轴上方时，过 Q 作 QN⊥x 轴于 N 如果 AB=BQ，由△ABC∽△ABQ 有 BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o ∴QN=3 ，BN=3，ON=10， 此时点 Q(10， )， 如果 AB=AQ，由对称性知 Q(-2， ) ②当点 Q 在 x 轴下方时，△QAB 就是△ACB， 此时点 Q 的坐标是(4， )， 经检验，点(10， )与(-2， )都在抛物线上 综上所述，存在这样的点 Q，使△QAB∽△ABC 点 Q 的坐标为(10， )或(-2， )或(4， )． 9 3 3 BO BM DO PM = 3 3 7 339 7 = × =PM 3 3 3− 3 3 3 33 33 3− 33 33 33 33 3− （2009 年四川南充市）21．如图 9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点 ． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式； （2）把直线 OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点 ，求 的值和这个一次函数的解析式； （3）第（2）问中的一次函数的图象与 轴、 轴分别交于 C、D，求过 A、B、D 三点的二次函数的解析式； （4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点 E，使四边形 OECD 的面积 与四边形 OABD 的面积 S 满足： ？若存在，求点 E 的坐标； 若不存在，请说明理由． 21．解：（1）设正比例函数的解析式为 ， 因为 的图象过点 ，所以 ，解得 ． (3 3)A ， (6 )B m， m x y 1S 1 2 3S S= 1 1( 0)y k x k= ≠ 1y k x= (3 3)A ， 13 3k= 1 1k = y xO C D B A 3 3 6 这个正比例函数的解析式为 ．·················································································（1 分） 设反比例函数的解析式为 ． 因为 的图象过点 ，所以 ，解得 ． 这个反比例函数的解析式为 ．················································································（2 分） （2）因为点 在 的图象上，所以 ，则点 ． ···························································································（3 分） 设一次函数解析式为 ． 因为 的图象是由 平移得到的， 所以 ，即 ． 又因为 的图象过点 ，所以 ，解得 ， 一次函数的解析式为 ．··················································································（4 分） （3）因为 的图象交 轴于点 ，所以 的坐标为 ． 设二次函数的解析式为 ． 因为 的图象过点 、 、和 ， 所以 ······················（5 分） 解得 y x= 2 2( 0)ky kx = ≠ 2ky x = (3 3)A ， 23 3 k= 2 9k = 9y x = (6 )B m， 9y x = 9 3 6 2m = = 36 2B    ， 3 3( 0)y k x b k= + ≠ 3y k x b= + y x= 3 1k = y x b= + y x b= + 36 2B    ， 3 62 b= + 9 2b = − ∴ 9 2y x= − 9 2y x= − y D D 90 2  −  ， 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ 2y ax bx c= + + (3 3)A ， 36 2B    ， D 90 2  −  ， 9 3 3 336 6 2 9 .2 a b c a b c c   + + =  + + =   = − ， ， 1 2 4 9 .2 a b c  = −  =   = −  ， ， 这个二次函数的解析式为 ．·····························································（6 分） （4） 交 轴于点 ， 点 的坐标是 ， 如图所示， ． 假设存在点 ，使 ． 四边形 的顶点 只能在 轴上方， ， ． ， ． ·······················································································（7 分） 在二次函数的图象上， ． 解得 或 ． 当 时，点 与点 重合，这时 不是四边形，故 舍去， 点 的坐标为 ．··································································································（8 分） （2009 年四川凉山州）26．如图，已知抛物线 经过 ， 两点，顶点为 ． （1）求抛物线的解析式； （2）将 绕点 顺时针旋转 90°后，点 落到点 的位置，将抛物线沿 轴平移后经过点 ，求平移 后所得图象的函数关系式； （3）设（2）中平移后，所得抛物线与 轴的交点为 ，顶点为 ，若点 在平移后的抛物线上，且满足 的面积是 面积的 2 倍，求点 的坐标． 21 942 2y x x= − + − 9 2y x= − x C ∴ C 9 02     ， 15 1 1 3 16 6 6 3 3 32 2 2 2 2S = × − × × − × × − × × 9 945 18 4 2 = − − − 81 4 = 0 0( )E x y， 1 2 81 2 27 3 4 3 2S S= = × =  CDOE E x ∴ 0 0y > 1 OCD OCES S S∴ = +△ △ 0 1 9 9 1 9 2 2 2 2 2 y= × × + ×  0 81 9 8 4 y= + 0 81 9 27 8 4 2y∴ + = 0 3 2y∴ = 0 0( )E x y ， 2 0 0 1 9 342 2 2x x∴− + − = 0 2x = 0 6x = 0 6x = 36 2E     ， B CDOE 0 6x = ∴ E 32 2     ， 2y x bx c= + + (1 0)A ， (0 2)B ， D OAB△ A B C y C y 1B 1D N 1NBB△ 1NDD△ N y xO C D B A 3 3 6 E y x B AO D （第 26 题） 26．解：（1）已知抛物线 经过 ， 解得 所求抛物线的解析式为 ．············································································2 分 （2） ， ， 可得旋转后 点的坐标为 ··································································································3 分 当 时，由 得 ， 可知抛物线 过点 将原抛物线沿 轴向下平移 1 个单位后过点 ． 平移后的抛物线解析式为： ．·····································································5 分 （3） 点 在 上，可设 点坐标为 将 配方得 ， 其对称轴为 ． ··································6 分 ①当 时，如图①， 2y x bx c= + + (1 0) (0 2)A B，， ， 0 1 2 0 0 b c c = + +∴ = + + 3 2 b c = −  = ∴ 2 3 2y x x= − + (1 0)A ， (0 2)B ， 1 2OA OB∴ = =， C (31)， 3x = 2 3 2y x x= − + 2y = 2 3 2y x x= − + (3 2)， ∴ y C ∴ 2 3 1y x x= − +  N 2 3 1y x x= − + N 2 0 0 0( 3 1)x x x− +， 2 3 1y x x= − + 23 5 2 4y x = − −   ∴ 3 2x = 0 30 2x< < 1 1 2NBB NDDS S= △ △ 0 0 1 1 31 2 12 2 2x x ∴ × × = × × × −   y x C B A O N D B1 D1 图① 此时 点的坐标为 ． ··········································································································8 分 ②当 时，如图② 同理可得 此时 点 的坐标为 ． 综上，点 的坐标为 或 ．···················································································10 分 （2009 年武汉市）25．（本题满分 12 分） 如图，抛物线 经过 、 两点，与 轴交于另一点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点 在第一象限的抛物线上，求点 关于直线 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接 ，点 为抛物线上一点，且 ，求点 的坐标． 2 4y ax bx a= + − ( 1 0)A − ， (0 4)C ， x B ( 1)D m m +， D BC BD P 45DBP∠ = ° P 0 1x = 2 0 03 1 1x x− + = − N∴ (1 1)−， 0 3 2x > 0 0 1 1 31 22 2 2x x × × = × × −   0 3x∴ = 2 0 03 1 1x x− + = ∴ N (31)， N (1 1)−， (31)， y x C B A O D B1 D1 图② N y xO A B C 25．解：（1） 抛物线 经过 ， 两点， 解得 抛物线的解析式为 ． （2） 点 在抛物线上， ， 即 ， 或 ． 点 在第一象限， 点 的坐标为 ． 由（1）知 ． 设点 关于直线 的对称点为点 ． ， ，且 ， ， 点在 轴上，且 ． ， ． 即点 关于直线 对称的点的坐标为（0，1）． （3）方法一：作 于 ， 于 ． 由（1）有： ， ． ， 且 ． ， ． ， ， ， ． 设 ，则 ， ，  2 4y ax bx a= + − ( 1 0)A − ， (0 4)C ， 4 0 4 4. a b a a − − =∴− = ， 1 3. a b = −  = ， ∴ 2 3 4y x x= − + +  ( 1)D m m +， 21 3 4m m m∴ + = − + + 2 2 3 0m m− − = 1m∴ = − 3m =  D ∴ D (3 4)， 45OA OB CBA= ∴∠ =， ° D BC E (0 4)C ， CD AB∴ ∥ 3CD = 45ECB DCB∴∠ = ∠ = ° E∴ y 3CE CD= = 1OE∴ = (01)E∴ ， D BC PF AB⊥ F DE BC⊥ E 4 45OB OC OBC= = ∴∠ =， ° 45DBP CBD PBA∠ = ∴∠ = ∠ °， (0 4) (3 4)C D ，， ， CD OB∴ ∥ 3CD = 45DCE CBO∴∠ = ∠ = ° 3 2 2DE CE∴ = = 4OB OC= = 4 2BC∴ = 5 2 2BE BC CE∴ = − = 3tan tan 5 DEPBF CBD BE ∴ ∠ = ∠ = = 3PF t= 5BF t= 5 4OF t∴ = − y xO A B C D EP F y xO A B C D E ． 点在抛物线上， ， （舍去）或 ， ． 方法二：过点 作 的垂线交直线 于点 ，过点 作 轴于 ．过 点作 于 ． ． ， 又 ， ． ， ， ． 由（2）知 ， ． ， 直线 的解析式为 ． 解方程组 得 点 的坐标为 ． （2009 年鄂州市）27．如图所示，将矩形 OABC 沿 AE 折叠，使点 O 恰好落在 BC 上 F 处，以 CF 为边作正方形 CFGH，延长 BC 至 M，使 CM＝｜CF—EO｜，再以 CM、CO 为边作矩形 CMNO (1)试比较 EO、EC 的大小，并说明理由 (2)令 ，请问 m 是否为定值？若是，请求出 m 的值；若不是，请说明理由 (3)在(2)的条件下，若 CO＝1，CE＝ ，Q 为 AE 上一点且 QF＝ ，抛物线 y＝mx2+bx+c 经过 C、Q 两点，请求出 此抛物线的解析式. (4)在(3)的条件下，若抛物线 y＝mx2+bx+c 与线段 AB 交于点 P，试问在直线 BC 上是否存在点 K，使得以 P、B、K 为顶点的三角形与△AEF 相似?若存在，请求直线 KP 与 y 轴的交点 T 的坐标?若不存在，请说明理由。 ( 5 4 3 )P t t∴ − + ， P ∴ 23 ( 5 4) 3( 5 4) 4t t t= − − + + − + + 0t∴ = 22 25t = 2 66 5 25P ∴ −  ， D BD PB Q D DH x⊥ H Q QG DH⊥ G 45PBD QD DB∠ = ∴ = °， QDG BDH∴∠ + ∠ 90= ° 90DQG QDG∠ + ∠ = ° DQG BDH∴∠ = ∠ QDG DBH∴△ ≌△ 4QG DH∴ = = 1DG BH= = (3 4)D ， ( 13)Q∴ − ， (4 0)B ， ∴ BP 3 12 5 5y x= − + 2 3 4 3 12 5 5 y x x y x  = − + + = − + ， ， 1 1 4 0 x y =  = ， ； 2 2 2 5 66.25 x y  = −  = ， ∴ P 2 66 5 25  −  ， ；四边形 四边形 CNMN CFGH S Sm = 3 1 3 2 y xO A B C D P Q G H 27、（1）EO＞EC，理由如下： 由折叠知，EO=EF，在 Rt△EFC 中，EF 为斜边，∴EF＞EC， 故 EO＞EC …2 分 （2）m 为定值 ∵S 四边形 CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC) S 四边形 CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO ∴ ……………………………………………………4 分 （3）∵CO=1， ∴EF=EO= ∴cos∠FEC= ∴∠FEC=60°， ∴ ∴△EFQ 为等边三角形， …………………………………………5 分 作 QI⊥EO 于 I，EI= ，IQ= ∴IO= ∴Q 点坐标为 ……………………………………6 分 ∵抛物线 y=mx2+bx+c 过点 C(0，1)， Q ，m=1 ∴可求得 ，c=1 ∴抛物线解析式为 ……………………………………7 分 1== CMNO CFGH S Sm 四边形 四边形 3 2 3 1 == QFCE ， QF==− 3 2 3 11 2 1 °=∠∠=°=°−°=∠ 30602 60180 EAOOEAFEA ， 3 2=EQ 3 1 2 1 =EQ 3 3 2 3 =EQ 3 1 3 1 3 2 =− )3 1,3 3( )3 1,3 3( 3−=b 132 +−= xxy （4）由（3）， 当 时， ＜AB ∴P 点坐标为 …………………8 分 ∴BP= AO 方法 1：若△PBK 与△AEF 相似，而△AEF≌△AEO，则分情况 如下： ① 时， ∴K 点坐标为 或 ② 时， ∴K 点坐标为 或 …………10 分 故直线 KP 与 y 轴交点 T 的坐标为 …………………………………………12 分 方法 2：若△BPK 与△AEF 相似，由（3）得：∠BPK=30°或 60°，过 P 作 PR⊥y 轴于 R，则∠RTP=60°或 30° ①当∠RTP=30°时， ②当∠RTP=60°时， ∴ ……………………………12 分 （2009 年湖北省黄石市）24、（本题满分 9 分） 如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一动点，连结 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作 正方形 ADEF。 解答下列问题： （1）如果 AB=AC，∠BAC=90°，①当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合），如图乙，线段 CF、BD 之间的 位置关系为 ，数量关系为 。 ②当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果 AB≠AC，∠BAC≠90°点 D 在线段 BC 上运动。 试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF⊥BC（点 C、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图 不写作法） （3）若 AC=4 ，BC=3，在（2）的条件下，设正方形 ADEF 的边 DE 与线段 CF 相交于点 P，求线段 CP 长 的最大值。 33 23 == EOAO 33 2=x 3 1133 23)33 2( 2 =+×−=y )3 1,3 32( 3 2 3 11 =− 3 32 3 2 3 2 =BK 9 32=BK )1,9 34( )1,9 38( 3 2 3 2 3 32 =BK 3 32=BK )1,3 34( )1,0( )1,0()3 1,0()3 7,0()3 5,0( 或或或 −− 233 32 =×=RT 3 233 32 =÷=RT )1,0()3 1,0()3 5,0()3 7,0( 4321 TTTT ，，， −− 2 24、解：（1）①CF⊥BD，CF=BD ②成立，理由如下： ∵∠FAD=∠BAC=90° ∴∠BAD=∠CAF 又 BA=CA AD=AF ∴△BAD≌△CAF ∴CF=BD ∠ACF=∠ACB=45° ∴∠BCF=90° ∴CF⊥BD ……（1 分） （2）当∠ACB=45°时可得 CF⊥BC，理由如下： 如图：过点 A 作 AC 的垂线与 CB 所在直线交于 G 则∵∠ACB=45° ∴AG=AC ∠AGC=∠ACG=45° ∵AG=AC AD=AF ………（1 分） ∴△GAD≌△CAF（SAS） ∴∠ACF=∠AGD=45° ∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90° ∴CF⊥BC …………（2 分） （3）如图：作 AQBC 于 Q ∵∠ACB=45° AC=4 ∴CQ=AQ=4 ∵∠PCD=∠ADP=90° ∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90° ∴△ADQ∽△DPC …（1 分） ∴ = 设 CD 为 x（0＜x＜3）则 DQ=CQ－CD=4－x 则 = …………（1 分） ∴PC= (－x2+4x)=－ (x－2)2+1≥1 当 x=2 时，PC 最长，此时 PC=1 ………（1 分） （2009 年湖北省孝感市）25．（本题满分 12 分） 如图，点 P 是双曲线 上一动点，过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线，分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，交双曲线 y = （0＜k2＜|k1|）于 E、F 两点． （1）图 1 中，四边形 PEOF 的面积 S1= ▲ (用含 k1、k2 的式子表示)；（3 分） （2）图 2 中，设 P 点坐标为（－4，3）． 2 DQ PC AQ CD x PC −4 4 x 4 1 4 1 1 1( 0 0)ky k x x = < <， x k2 ①判断 EF 与 AB 的位置关系，并证明你的结论；（4 分） ②记 ，S2 是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（5 分） 25．解：（1） ； … ………………………………3 分 （2）①EF∥AB． ……………………………………4 分 证明：如图，由题意可得 A（–4，0），B（0，3）， ， ． ∴PA=3，PE= ，PB=4，PF= ． ∴ ， ∴ ． ………………………… 6 分 又∵∠APB=∠EPF． ∴△APB ∽△EPF，∴∠PAB=∠PEF． ∴EF∥AB． …………………………… 7 分 ②S2 没有最小值，理由如下： 过 E 作 EM⊥y 轴于点 M，过 F 作 FN⊥x 轴于点 N，两线交于点 Q． 由上知 M（0， ），N（ ，0），Q（ ， ）． ……………… 8 分 而 S△EFQ= S△PEF， ∴S2＝S△PEF－S△OEF＝S△EFQ－S△OEF＝S△EOM＋S△FON＋S 矩形 OMQN ＝ ＝ = ． ………………………… 10 分 当 时，S2 的值随 k2 的增大而增大，而 0＜k2＜12． …………… 11 分 2 PEF OEFS S S∆ ∆= − 2 1k k− 2( 4, ) 4 kE − − 2( ,3) 3 kF 23 4 k+ 24 3 k+ 2 2 3 12 123 4 PA kPE k = = ++ 2 2 4 12 124 3 PB kPF k = = ++ PA PB PE PF = 2 4 k− 2 3 k 2 3 k 2 4 k− 432 1 2 1 22 22 kkkk ⋅++ 2 2 2 1 12k k+ 2 2 1 ( 6) 3 12 k + − 2 6k > − ∴0＜S2＜24，s2 没有最小值． …………………………… 12 分 说明：1．证明 AB∥EF 时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过 A、B 两点和经过 E、F 两点的 直线解析式，利用这两个解析式中 x 的系数相等来证明 AB∥EF；方法二：利用 ＝ 来证明 AB∥EF；方法三：连接 AF、BE，利用 S△AEF＝S△BFE 得到点 A、点 B 到直线 EF 的距离相等，再 由 A、B 两点在直线 EF 同侧可得到 AB∥EF． 2．求 S2 的值时，还可进行如下变形： S2＝ S△PEF－S△OEF＝S△PEF－（S 四边形 PEOF－S△PEF）＝2 S△PEF－S 四边形 PEOF，再利用第（1）题中的结 论． （2009 年湖北省荆门市）25．(本题满分 12 分)一开口向上的抛物线与 x 轴交于 A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点， 记抛物线顶点为 C，且 AC⊥BC． (1)若 m 为常数，求抛物线的解析式； (2)若 m 为小于 0 的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？ (3)设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点，问是否存在实数 m，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出 m 的值；若 不存在，请说明理由． 25．解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)2－4a．…………2 分 ∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB 是等腰直角三角形，又 AB＝4， ∴C(m，－2)代入得 a＝ ．∴解析式为：y＝ (x－m)2－2．…………………………5 分 (亦可求 C 点，设顶点式) (2)∵m 为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m 个单位，再向上平移 2 个单位，可以使抛物线 y＝ (x －m)2－2 顶点在坐标原点．………………………………………7 分 (3)由(1)得 D(0， m2－2)，设存在实数 m，使得△BOD 为等腰三角形． ∵△BOD 为直角三角形，∴只能 OD＝OB．……………………………………………9 分 ∴ m2－2＝|m＋2|，当 m＋2＞0 时，解得 m＝4 或 m＝－2(舍)． 当 m＋2＜0 时，解得 m＝0(舍)或 m＝－2(舍)； 当 m＋2＝0 时，即 m＝－2 时，B、O、D 三点重合(不合题意，舍) 综上所述：存在实数 m＝4，使得△BOD 为等腰三角形．……………………………12 分 （2009 年襄樊市）26．（本小题满分 13 分） 如图 13，在梯形 中， 点 是 的中点， 是等边三角 形． （1）求证：梯形 是等腰梯形； （2）动点 、 分别在线段 和 上运动，且 保持不变．设 求 ABCD 2 4AD BC AD BC= =∥ ， ， ， M AD MBC△ ABCD P Q BC MC 60MPQ = °∠ PC x MQ y= =， ， y tan PAB∠ tan PEF∠ 第 25 题图 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 与 的函数关系式； （3）在（2）中：①当动点 、 运动到何处时，以点 、 和点 、 、 、 中的两个点为顶点的 四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数； ②当 取最小值时，判断 的形状，并说明理由． 26．（1）证明：∵ 是等边三角形 ∴ ···········1 分 ∵ 是 中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ·····························2 分 ∴ ∴梯形 是等腰梯形． ··········································································3 分 （2）解：在等边 中， ∴ ∴ ···································································································4 分 ∴ ∴ ······································································5 分 ∵ ∴ ···············································6 分 ∴ ∴ ···········································································7 分 （3）解：①当 时，则有 则四边形 和四边形 均为平行四边形 ∴ ···································································8 分 当 时，则有 x P Q P M A B C D y PQC△ MBC△ 60MB MC MBC MCB= = = °，∠ ∠ M AD AM MD= AD BC∥ 60AMB MBC= = °∠ ∠ ， 60DMC MCB= = °∠ ∠ AMB DMC△ ≌△ AB DC= ABCD MBC△ 4MB MC BC= = = ， 60MBC MCB= = °∠ ∠ ， 60MPQ = °∠ 120BMP BPM BPM QPC+ = + = °∠ ∠ ∠ ∠ BMP QPC=∠ ∠ BMP CQP△ ∽△ PC CQ BM BP = PC x MQ y= =， 4 4BP x QC y= − = −， 4 4 4 x y x −= − 21 44y x x= − + 1BP = BP AM BP MD∥ ∥， ABPM MBPD 21 133 3 44 4MQ y= = × − + = 3BP = PC AM PC MD∥ ∥， A D CB P M Q60° 图 13A D CB P M Q60° 则四边形 和四边形 均为平行四边形 ∴ ······································································9 分 ∴当 或 时，以 P、M 和 A、B、C、 D 中的两个点为顶点 的四边形是平行四边形． 此时平行四边形有 4 个．··············································································10 分 ② 为直角三角形 ··············································································11 分 ∵ ∴当 取最小值时， ·······························································12 分 ∴ 是 的中点， 而 ∴ ∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13 分 （2009 年湖南省株洲市）23．（本题满分 12 分）如图，已知 为直角三角形， ， ,点 、 在 轴上，点 坐标为（ ， ）（ ），线段 与 轴相交于点 ，以 （1，0） 为顶点的抛物线过点 、 ． （1）求点 的坐标（用 表示）； （2）求抛物线的解析式； （3）设点 为抛物线上点 至点 之间的一动点，连结 并延长交 于点 ，连结 并延长交 于点 ，试证明： 为定值． MPCD APCM 1 131 1 44 4MQ y= = × − + = 131 4BP MQ= =， 133 4BP MQ= =， PQC△ ( )21 2 34y x= − + y 2x PC= = P BC MP BC⊥ ， 60MPQ = °∠ ， 30CPQ = °∠ ， 90PQC = °∠ ABC∆ 90ACB∠ = ° AC BC= A C x B 3 m 0m > AB y D P B D A m Q P B PQ BC E BQ AC F ( )FC AC EC+ 23．（1）由 可知 ， ，又△ABC 为等腰直角三角形，∴ ， ， 所以点 A 的坐标是（ ）. ………………… 3 分 （2）∵ ∴ ，则点 的坐标是（ ）. 又抛物线顶点为 ，且过点 、 ，所以可设抛物线的解析式为： ，得： 解得 ∴抛物线的解析式为 ………7 分 （ 3 ） 过 点 作 于 点 ， 过 点 作 于 点 ， 设 点 的 坐 标 是 ， 则 ， . ∵ ∴ ∽ ∴ 即 ，得 ∵ ∴ ∽ ∴ 即 ，得 又∵ ∴ 即 为定值 8. ……………………12 分 本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准评分. （2009 年衡阳市）26、（本小题满分 9 分） 如图 12，直线 与两坐标轴分别相交于 A、B 点，点 M 是线段 AB 上任意一点（A、B 两点除外）， 过 M 分别作 MC⊥OA 于点 C，MD⊥OB 于 D． （1）当点 M 在 AB 上运动时，你认为四边形 OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点 M 运动到什么位置时，四边形 OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？ （ 3 ） 当 四 边 形 OCMD 为 正 方 形 时 ， 将 四 边 形 OCMD 沿 着 x 轴 的 正 方 向 移 动 ， 设 平 移 的 距 离 为 ，正方形 OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为 S．试求 S 与 的函数关系式并画出该函数 的图象． (3, )B m 3OC = BC m= AC BC m= = 3OA m= − 3 ,0m− 45ODA OAD∠ = ∠ = ° 3OD OA m= = − D 0, 3m − (1,0)P B D 2( 1)y a x= − 2 2 (3 1) (0 1) 3 a m a m  − = − = − 1 4 a m =  = 2 2 1y x x= − + Q QM AC⊥ M Q QN BC⊥ N Q 2( , 2 1)x x x− + 2( 1)QM CN x= = − 3MC QN x= = − //QM CE PQM∆ PEC∆ QM PM EC PC = 2( 1) 1 2 x x EC − −= 2( 1)EC x= − //QN FC BQN∆ BFC∆ QN BN FC BC = 23 4 ( 1) 4 x x FC − − −= 4 1FC x = + 4AC = 4 4 4( ) [4 2( 1)] (2 2) 2( 1) 81 1 1FC AC EC x x xx x x + = + − = + = ⋅ + =+ + + ( )FC AC EC+ 4+−= xy )40 << aa（ a 解：（1）设点 M 的横坐标为 x，则点 M 的纵坐标为－x+4（00，－x+4>0）； 则：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x； ∴C 四边形 OCMD＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8 ∴当点 M 在 AB 上运动时，四边形 OCMD 的周长不发生变化，总是等于 8； （2）根据题意得：S 四边形 OCMD＝MC·MD＝（－x+4）· x＝－x2+4x＝－(x-2)2+4 ∴四边形 OCMD 的面积是关于点 M 的横坐标 x（0+−=−− aaa 022 =−++= aaxxy axx −=+ 21 221 −=• axx 13 13)(|| 2 2121 =−=− xxxx 13)( 2 21 =− xx 134)( 21 2 21 =•−+ xxxx 13)2(4)( 2 =−−− aa 0)1)(5( =+− aa 15 −= 或a 32 −−= xxy ),( 0yxo 13 13 2 13||2 1 0 =• yAB 2 13 2 ||13 0 =y 3|| 0 =y 30 ±=y 当 时， ，即 解此方程得： =－2 或 3 当 时， ，即 解此方程得： =0 或 1……………………………………（11 分） 综上所述，所以存在这样的 P 点，P 点坐标是(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)。…（12 分） （2009 年江苏省）28．（本题满分 12 分）如图，已知射线 DE 与 轴和 轴分别交于点 和点 ．动 点 从点 出发，以 1 个单位长度/秒的速度沿 轴向左作匀速运动，与此同时，动点 P 从点 D 出发，也 以 1 个单位长度/秒的速度沿射线 DE 的方向作匀速运动．设运动时间为 秒． （1）请用含 的代数式分别表示出点 C 与点 P 的坐标； （2）以点 C 为圆心、 个单位长度为半径的 与 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），连接 PA、 PB． ①当 与射线 DE 有公共点时，求 的取值范围； ②当 为等腰三角形时，求 的值． 28．解：（1） ， ．·································································（2 分） （2）①当 的圆心 由点 向左运动，使点 到点 并随 继续向左运动时， 有 ，即 ． 当点 在点 左侧时，过点 作 射线 ，垂足为 ，则由 ， 得 ，则 ．解得 ． 30 =y 332 0 =−− oxx 0)2)(3( 0 =+− oxx 0x 30 −=y 332 0 −=−− oxx 0)1(0 =−oxx 0x x y (3 0)D ， (0 4)E ， C (5 0)M ， x t t 1 2 t C⊙ x C⊙ t PAB△ t (5 0)C t− ， 3 43 5 5P t t −  ， C⊙ C ( )5 0M ， A D C⊙ 35 32 t− ≤ 4 3t ≥ C D C CF ⊥ DE F CDF EDO∠ = ∠ CDF EDO△ ∽△ 3 (5 ) 4 5 CF t− −= 4 8 5 tCF −= O x y E P DA BMC 由 ，即 ，解得 ． 当 与射线 有公共点时， 的取值范围为 ．·······························（5 分） ②当 时，过 作 轴，垂足为 ，有 ． ，即 ． 解得 ． ··········································（7 分） 当 时，有 ， ．解得 ． ·····························（9 分） 当 时，有 ． ，即 ． 解得 （不合题意，舍去）． ································································（11 分） 当 是等腰三角形时， ，或 ，或 ，或 ．··················（12 分） (2009 浙江省杭州市)24. （本小题满分 12 分） 已知平行于 x 轴的直线 与函数 和函数 的图象分别交于点 A 和点 B，又有定点 P （2，0）。 （1）若 ，且 tan∠POB= ，求线段 AB 的长； （2）在过 A，B 两点且顶点在直线 上的抛物线中，已知线段 AB= ，且在它的对称轴左边时，y 随着 x 的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式； （3）已知经过 A，B，P 三点的抛 物线，平移后能得到 的图象， 求点 P 到直线 AB 的距离。 1 2CF ≤ t 4 8 1 5 2 t t − ≤ 16 3t ≤ ∴ C⊙ DE t 4 16 3 3t≤ ≤ PA AB= P PQ x⊥ Q 2 2 2PA PQ AQ= + 2 216 3 35 325 2 5t t t = + − − +   2 229 18 420 5t t t∴ − + = 29 72 80 0t t− + = 1 2 4 20 3 3t t= =， PA PB= PC AB⊥ 35 3 5t t∴ − = − 3 5t = PB AB= 2 2 2 2 216 1 35 325 2 5PB PQ BQ t t t = + = + − − +   2 213 2 420 5t t t∴ + + = 27 8 80 0t t− − = 4 5 204 7t t= = −， ∴ PAB△ 4 3t = 4t = 5t = 20 3t = )0( ≠= aay xy = xy 1= 0>a 9 1 xy = 3 8 2 5 9 xy = O x y E P C D BQA M F （2009 年台州市）24．如图，已知直线　　　　　　　交坐标轴于 两点，以线段 为边向上作 正方形 ，过点 的抛物线与直线另一个交点为 ． （1）请直接写出点 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若正方形以每秒 个单位长度的速度沿射线 下滑，直至顶点 落在 轴上时停止．设正方形落 在 轴下方部分的面积为 ，求 关于滑行时间 的函数关系式，并写出相应自变量 的取值范围； （4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时 停止，求抛物线上 两点间的抛物线弧所扫 过的面积． 24．（14 分）（1） ；…………………………………………………2 分 （2）设抛物线为 ，抛物线过 ， BA， AB ABCD CD，A， E DC, 5 AB D x x S S t t D EC , )3,1(),2,3( DC cbxaxy ++= 2 ),1,0( )3,1(),2,3( （第 24 题） y x 12 1 +−= xy 备用图 解得 …………………………………………………2 分 ∴ ．……………………………………………………………1 分 （3）①当点 A 运动到点 F 时， 当 时，如图 1， ∵ ， ∴ ∴ ∴ ；……2 分 ②当点 运动到 轴上时， ， 当 时，如图 2， ∴ ∴ ， ∵ ， ∴ ；…………（2 分）    =++ =++ = .239 ,3 ,1 cba cba c 5 ,6 17 ,6 1. a b c  = −  =  =  16 17 6 5 2 ++−= xxy ,1=t 10 ≤< t 'OFA GFB∠ = ∠ ,2 1tan ==∠ OF OAOFA ,2 1 5 ' ' ''tan ===∠ t GB FB GBGFB ,2 5' tGB = 2 ' 4 5 2 552 1''2 1 tttGBFBS GFB =××=×=∆ C x 2=t 21 ≤< t 2 2' ' 2 1 5,A B AB= = + = ,55' −= tFA 2 55' −= tGA 2 5' tHB = ' ' 1 ' ' ) ' '2A B HGS A G B H A B= + ×梯形 （ 5)2 5 2 55(2 1 ×+−= tt 4 5 2 5 −= t 图 1 图 2 ③当点 运动到 轴上时， ， 当 时，如图 3， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∽ ∴ ， ∴ ， ∴ = ．………（2 分） （解法不同的按踩分点给分） （4）∵ , , ∴ 　………………………………………………（2 分） = = ．……………………………………………………………（1 分） （2009 年浙江丽水市）24. 已知直角坐标系中菱形 ABCD 的位置如图，C，D 两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有 两动点 P,Q 分别从 A,C 同时出发，点 P 沿线段 AD 向终点 D 运动，点 Q 沿折线 CBA 向终点 A 运动，设运动时 间为 t 秒. D x 3=t 32 ≤< t 2 55' −= tGA 2 553 2 555' ttGD −=−−= 1,1212 1 ==××=∆ OAS AOF AOF∆ 'GD H∆ 2' )'( OA GD S S AOF HGD = ∆ ∆ 2 ' )2 553( tS HGD −=∆ 2 2 ' ' ' 3 5 55 )2GA B C H tS −= −五边形 （ ） （ 4 25 2 15 4 5 2 −+− tt 3=t 53'' == AABB ' ' ' 'BB C C AA D DS S S= =阴影 矩形 矩形 'AAAD × 15535 =× 图 3 图 4 (1)填空：菱形 ABCD 的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、 高 BE 的长是 ▲ ； (2)探究下列问题： ①若点 P 的速度为每秒 1 个单位，点 Q 的速度为每秒 2 个 单位. 当点 Q 在线段 BA 上时，求△APQ 的面积 S 关于 t 的函数 关系 式，以及 S 的最大值； ②若点 P 的速度为每秒 1 个单位，点 Q 的速度变为每秒 k 个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的 k 值，使得 △APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四 边 形为菱形.请探究当 t=4 秒时的情形，并求出 k 的值. 24．（本题 12 分） 解：（1）5 , 24, …………………………………3 分 （2）①由题意，得 AP=t，AQ=10-2t. …………………………………………1 分 如图 1,过点 Q 作 QG⊥AD，垂足为 G，由 QG∥BE 得 △AQG∽△ABE,∴ , ∴QG= , …………………………1 分 ∴ ( ≤t≤5). ……1 分 ∵ ( ≤t≤5). ∴当 t= 时，S 最大值为 6.…………………1 分 ② 要使△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组 成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ 为等腰三角形即可. 当 t=4 秒时，∵点 P 的速度为每秒 1 个单位，∴AP= .………………1 分 以下分两种情况讨论: 第一种情况：当点 Q 在 CB 上时, ∵PQ≥BE>PA，∴只存在点 Q1,使 Q1A=Q1P. 如图 2,过点 Q1 作 Q1M⊥AP，垂足为点 M，Q1M 交 AC 于点 F,则 AM= . 由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得 , ∴ , ∴ . ………………1 分 ∴CQ1= = .则 , 5 24 BA QA BE QG = 25 48 5 48 t− ttQGAPS 5 24 25 24 2 1 2 +−=⋅= 2 5 6)2 5(25 24 2 +−−= tS 2 5 2 5 4 1 22 AP = 4 3 1 1 === AO OD CQ FQ AM FM 2 3=FM 10 33 11 =−= FMMQFQ QF3 4 22 5 1 1 CQ AP tk t =⋅ × G x y A B C D O E (图1) P Q E Q 1 F M O D C B A y x (图2) P O x y A B C D E (第 24 题) ∴ .……………………………1 分 第二种情况：当点 Q 在 BA 上时,存在两点 Q2,Q3, 分别使 A P= A Q2,PA=PQ3. ①若 AP=AQ2，如图 3,CB+BQ2=10-4=6. 则 ,∴ .……1 分 ②若 PA=PQ3，如图 4,过点 P 作 PN⊥AB，垂足为 N， 由△ANP∽△AEB,得 . ∵AE= , ∴AN＝ . ∴AQ3=2AN= , ∴BC+BQ3=10- 则 .∴ . ………………………1 分 综上所述，当 t= 4 秒，以所得的等腰三角形 APQ 沿底边翻折，翻折后得到菱形的 k 值为 或 或 . (2009 年浙江省嘉兴市)24．如图，已知 A、B 是线段 MN 上的两点， ， ， ．以 A 为中心顺时 针旋转点 M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成△ABC，设 ． （1）求 x 的取值范围； （2）若△ABC 为直角三角形，求 x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？ 24．（1）在△ABC 中，∵ ， ， ． ∴ ，解得 ．　··························································································4 分 （2）①若 AC 为斜边，则 ，即 ，无解． ②若 AB 为斜边，则 ，解得 ，满足 ． ③若 BC 为斜边，则 ，解得 ，满足 ． ∴ 或 ．　···················································································································9 分 （3）在△ABC 中，作 于 D， 1 11 10 CQk AP = = 2 1 BQCB AP tk t +=⋅ × 2 3 2 CB BQk AP += = AB AP AE AN = 5 722 =− BEAB 28 25 56 25 25 194 25 56 = 3 1 BQCB AP tk t +=⋅ × 50 973 =+= AP BQCBk 10 11 2 3 50 97 4=MN 1=MA 1>MB xAB = 1=AC xAB = xBC −= 3    >−+ −>+ xx xx 31 31 21 << x 22 )3(1 xx −+= 0432 =+− xx 1)3( 22 +−= xx 3 5=x 21 << x 22 1)3( xx +=− 3 4=x 21 << x 3 5=x 3 4=x ABCD ⊥ (图3) x y A B C D O Q 2 P N E (图4) x y A B C D O Q 3 P C A B NM （第 24 题） C A B NM （第 24 题-1） D 设 ，△ABC 的面积为 S，则 ． ①若点 D 在线段 AB 上， 则 ． ∴ ，即 ． ∴ ，即 ． ∴ （ ）．　 ··································11 分 当 时（满足 ）， 取最大值 ，从而 S 取最大值 ． ·························13 分 ②若点 D 在线段 MA 上， 则 ． 同理可得， （ ）， 易知此时 ． 综合①②得，△ABC 的最大面积为 ．···············································································14 分 （2009 年浙江省湖州市） 24．（本小题 12 分） 已知抛物线 （ ）与 轴相交于点 ，顶点为 .直线 分别与 轴， 轴相交于 两点，并且与直线 相交于点 . (1)填空：试用含 的代数式分别表示点 与 的坐标，则 ； (2)如图，将 沿 轴翻折，若点 的对应点 ′恰好落在抛物线上， ′与 轴交于点 ，连结 ，求 的值和四边形 的面积； (3)在抛物线 （ ）上是否存在一点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，求出 点的坐标；若不存在，试说明理由. hCD = xhS 2 1= xhxh =−−+− 222 )3(1 22222 112)3( hhxxhx −+−−=−− 431 2 −=− xhx 16249)1( 222 +−=− xxhx 16248 222 −+−= xxhx 4624 1 2222 −+−== xxhxS 2 1)2 3(2 2 +−−= x 4 23 x <≤ 2 3=x 4 23 x <≤ 2S 2 1 2 2 xhhx =−−−− 222 1)3( 4624 1 2222 −+−== xxhxS 2 1)2 3(2 2 +−−= x 41 3x< ≤ 2 2 (5 2)P −， 1m < ( 3 14)P − −， P (2 1)， (5 2)−， ( 3 14)− −， D (0 4)t t< < D 21 5 22 2t t− + − D y AC E AC 1 22y x= − E∴ 1 22t t −  ， 2 21 5 1 12 2 22 2 2 2DE t t t t t ∴ = − + − − − = − +   2 2 21 1 2 4 4 ( 2) 42 2DACS t t t t t ∴ = × − + × = − + = − − +  △ ∴ 2t = DAC△ (2 1)D∴ ， AD BC∥ 6cmAD = 4cmCD = 10cmBC BD= = P 向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速运动，速度为 1cm/s，交 于 Q，连接 PE．若设运动时间为 （s）（ ）．解答下列问题： （1）当 为何值时， ？ （2）设 的面积为 （cm2），求 与 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻 ，使 ？若存在，求出此时 的值；若不存在，说明理由． （4）连接 ，在上述运动过程中，五边形 的面积是否发生变化？说明理由． （2009 年山东青岛 24 题解析）解：（1）∵ ∴ ． 而 ， ∴ ， ∴ ． ∴当 ．····························2 分 （2）∵ 平行且等于 ，[来源:学科网] ∴四边形 是平行四边形． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ． ∴ ． BD t 0 5t< < t PE AB∥ PEQ△ y y t t 2 25PEQ BCDS S=△ △ t PF PFCDE PE AB∥ DE DP DA DB = 10DE t DP t= = −， 10 6 10 t t−= 15 4t = 15 (s)4t PE AB= ， ∥ EF CD CDEF DEQ C DQE BDC∠ = ∠ ∠ = ∠， 10BC BD= = DEQ C DQE BDC∠ = ∠ = ∠ = ∠ DEQ BCD△ ∽△ DE EQ BC CD = 10 4 t EQ= 2 5EQ t= A E D Q P B F C 第 24 题图 A E D Q P B F C N M 过 B 作 ，交 于 ，过 作 ，交 于 ． ． ∵ ， ∴ ． 又 ， ， ， ．·····································6 分 （3） ． 若 ， 则有 ， 解得 ． ···················································································································9 分 （4）在 和 中， ∴ ． ∴在运动过程中，五边形 的面积不变． ·································································12 分 BM CD⊥ CD M P PN EF⊥ EF N 2 210 2 100 4 96 4 6BM = − = − = = ED DQ BP t= = = 10 2PQ t= − PNQ BMD△ ∽△ PQ PN BD BM = 10 2 10 4 6 t PN− = 4 6 1 5 tPN  = −   21 1 2 4 6 4 64 6 12 2 5 5 25 5PEQ tS EQ PN t t t = = × × − = − +  △ 1 1 4 4 6 8 62 2BCDS CD BM= = × × = △ 2 25PEQ BCDS S=△ △ 24 6 4 6 2 8 625 5 25t t− + = × 1 21 4t t= =， PDE△ FBP△ 10 DE BP t PD BF t PDE FBP PDE FBP = =  = = − ⇒ ∠ = ∠  ， ， △ ≌△ ， PDEPFCDE PFCDS S S= +△五边形 四边形 FBP PFCDS S= +△ 四边形 8 6BCDS= =△ PFCDE 79.（2009 年陕西）25．（本题满分 12 分） 问题探究 （1）请在图①的正方形 内，画出使 的一个点 ，并说明理由． （2）请在图②的正方形 内（含边），画出使 的所有的点 ，并说明理由． 问题解决 （3）如图③，现在一块矩形钢板 ．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的 和 钢板，且 ．请你在图③中画出符合要求的点 和 ，并求出 的面积（结果保留根号）． [来源:学科网 ZXXK] （2009 年陕西 25 题解析）解：（1）如图①， 连接 交于点 ，则 ． 点 为所求．·························································（3 分） （2）如图②，画法如下： 1）以 为边在正方形内作等边 ； 2）作 的外接圆 ，分别与 交于点 ． 在 中，弦 所对的 上的圆周角均为 ， 上的所有点均为所求的点 ． ···················（7 分） （3）如图③，画法如下： 1）连接 ； 2）以 为边作等边 ； 3）作等边 的外接圆 ，交 于点 ； 4）在 上截取 ． 则点 为所求．···············································（9 分） （评卷时，作图准确，无画法的不扣分） 过点 作 ，交 于点 ． 在 中， ． ． ． ·································································································（10 分） 在 中， ， ． 在 中， ， ABCD 90APB∠ = ° P ABCD 60APB∠ = ° P 4 3ABCD AB BC= =， ， APB△ CP D′△ 60APB CP D′∠ = ∠ = ° P P′ APB△ AC BD、 P 90APB∠ = ° ∴ P AB ABP△ ABP△ O⊙ AD BC、 E F、  O⊙ AB APB 60° EF∴ P AC AB ABE△ ABE△ O⊙ AC P AC AP CP′ = P P′、 B BG AC⊥ AC G  Rt ABC△ 4 3AB BC= =， 2 2 5AC AB BC∴ = + = 12 5 AB BCBG AC ∴ = = Rt ABG△ 4AB = 2 2 16 5AG AB BG∴ = − = Rt BPG△ 60BPA∠ = ° D C BA ① D C BA ③ D C BA ② （第 25 题图） D C BA ① P D C BA ② O P E F D C BA ③ E G O P′ P （第 25 题答案图） ．[来源:学科网 ZXXK] ． ． ···································（12 分） 80.（2009 年山东泰安）（本小题满分 10 分） 如图所示，在直角梯形 ABCD 中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E 是 AB 的 中 点，CE⊥BD。 （4） 求证：BE=AD； （5） 求证：AC 是线段 ED 的垂直平分线； （6） △DBC 是等腰三角形吗？并说明理由。 （2009 年山东泰安 26 题解析）证明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC， ∴∠1 与∠3 互余，∠2 与∠3 互余， ∴∠1=∠2…………………………………………………1 分 ∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC ∴△BA D≌△CBE…………………………………………2 分 ∴AD=BE……………………………………………………3 分 （2）∵E 是 AB 中点， ∴EB=EA 由（1）AD=BE 得：AE=AD……………………… ……5 分 ∵AD∥BC ∴∠7=∠ACB=45° ∵∠6=45° ∴∠6=∠7 由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE。 即，AC 是线段 ED 的垂直平分线。……………………7 分 （3）△DBC 是等腰三角（CD=BD）……………………8 分 理由如下： 由（2）得：CD=CE 由（1）得：CE=BD ∴CD=BD ∴△DBC 是等腰三角形。……………………………10 分 81.（2009 年山东威海）25．（12 分） 一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 ，与反比例函数 的图象相交于点 ．过 点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 ；过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 与 交于点 ，连接 ． 12 3 4 3 tan 60 5 3 5 BGPG∴ = = × = ° ∴ 16 4 3 5 5AP AG PG= + = + 1 1 16 4 3 12 96 24 3 2 2 5 5 5 25APBS AP BG   +∴ = = × + × =   △ y ax b= + x y ,M N ky x = ,A B A AC x⊥ AE y⊥ ,C E B BF x⊥ BD y⊥ F D， ，AC BD K CD （1）若点 在反比例函数 的图象的同一分支上，如图 1，试证明： ① ； ② ． （2）若点 分别在反比例函数 的图象的不同分支上，如图 2，则 与 还相等吗？试证明你 的结论． （2009 年山东威海 25 题解析）解：（1）① 轴， 轴， 四边形 为矩形． 轴， 轴， 四边形 为矩形． 轴， 轴， 四边形 均为矩形． ·············1 分 ， ， ． ． ， ， A B， ky x = AEDK CFBKS S=四边形 四边形 AN BM= A B， ky x = AN BM AC x ⊥ AE y⊥ ∴ AEOC  BF x⊥ BD y⊥ ∴ BDOF AC x ⊥ BD y⊥ ∴ AEDK DOCK CFBK， ，  1 1 1 1OC x AC y x y k= = =， ， ∴ 1 1AEOCS OC AC x y k= = = 矩形  2 2 2 2OF x FB y x y k= = =， ， ∴ 2 2BDOFS OF FB x y k= = = 矩形 ∴ AEOC BDOFS S=矩形 矩形  AEDK AEOC DOCKS S S= −矩形 矩形 矩形 CFBK BDOF DOCKS S S= −矩形 矩形 矩形 O C F M D E N K y x 1 1( )A x y， 2 2( )B x y， （第 25 题图 1） O C D K F E N y x 1 1( )A x y， 3 3( )B x y， M （第 25 题图 2） ．···········································································································2 分 ②由（1）知 ． ． ．··························································································································4 分 ， ． ············································································································5 分 ． ．····························································································································6 分 轴，[来源:Z+xx+k.Com] 四边形 是平行四边形． ．····························································································································7 分 同理 ． ．···························································································································8 分 （2） 与 仍然相等． ····································································································9 分 ， ， 又 ， ． ·····································10 分 ． ． ， ． ． ．··························································································································11 分 轴， 四边形 是平行四边形． ． 同理 ． ． ························································································································12 分 82.（2009 年山东烟台）26．(本题满分 14 分) 如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于 C 点，且经过点 ，对称轴是直 ∴ AEDK CFBKS S=矩形 矩形 AEDK CFBKS S=矩形 矩形 ∴ AK DK BK CK=  ∴ AK BK CK DK =  90AKB CKD∠ = ∠ = ° ∴ AKB CKD△ ∽△ ∴ CDK ABK∠ = ∠ ∴ AB CD∥  AC y∥ ∴ ACDN ∴ AN CD= BM CD= AN BM∴ = AN BM  AEDK AEOC ODKCS S S= +矩形 矩形 矩形 BKCF BDOF ODKCS S S= +矩形 矩形 矩形  AEOC BDOFS S k= =矩形 矩形 ∴ AEDK BKCFS S=矩形 矩形 ∴ AK DK BK CK=  ∴ CK DK AK BK =  K K∠ = ∠ ∴ CDK ABK△ ∽△ ∴ CDK ABK∠ = ∠ ∴ AB CD∥  AC y∥ ∴ ANDC ∴ AN CD= BM CD= ∴ AN BM= 2 3y ax bx= + − x A B， y (2 3 )a−， O C D K F E N y x A B M 图 2 线 ，顶点是 ． （5） 求抛物线对应的函数表达式； （6） 经过 两点作直线与 轴交于点 ，在抛物线上是否存在这样的点 ，使以点 为 顶点的四边形为平行四边形？若 存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由； （7） 设直线 与 y 轴的交点是 ，在线段 上任取一点 （不与 重合），经过 三点的圆交直线 于点 ，试判断 的形状，并说明理由；[来源:Z*xx*k.Com] （8） 当 是直线 上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）． （2009 年山东烟台 26 题解析）解：（1）根据题意，得 2 分 解得 抛物线对应的函数表达式为 ． ··········3 分 （2）存在． 在 中，令 ，得 ． 令 ，得 ， ． ， ， ． 又 ， 顶点 ． ················································································5 分 容易求得直线 的表达式是 ． 在 中，令 ，得 ． ， ． ········································································································6 分 在 中，令 ，得 ． 1x = M C,M x N P P A C N， ， ， P 3y x= − + D BD E B D， A B E， ， BC F AEF△ E 3y x= − + 3 4 2 3 1.2 a a b b a − = + −− = ， 1 2. a b =  = − ， ∴ 2 2 3y x x= − − 2 2 3y x x= − − 0x = 3y = − 0y = 2 2 3 0x x− − = 1 21 3x x∴ = − =， ( 1 0)A∴ − ， (3 0)B ， (0 3)C −， 2( 1) 4y x= − − ∴ (1 4)M −， CM 3y x= − − 3y x= − − 0y = 3x = − ( 3 0)N∴ − ， 2AN∴ = 2 2 3y x x= − − 3y = − 1 20 2x x= =， O B x y A M C 1 3− （第 26 题图） y x E D N OA C M P N1 F （第 26 题图） ． ， 四边形 为平行四边形，此时 ． ····································8 分 （3） 是等腰直角三角形． 理由：在 中，令 ，得 ，令 ，得 ． 直线 与坐标轴的交点是 ， ． ， ． ···························································································9 分 又 点 ， ． ．························································10 分 由图知 ， ．··············································11 分 ，且 ． 是等腰直角三角形． ····································12 分 （4）当点 是直线 上任意一点时，（3）中的结论成立．·······························14 分 83.（2009 年山东枣庄）25．（本题满分 10 分） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 C （ － 3 ， 0 ），点 A 、 B 分 别 在 x 轴 、 y 轴 的 正 半 轴 上 ， 且 满 足 ． （1）求点 A、点 B 的坐标； （2）若点 P 从 C 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿线 段 CB 由 C 向 B 运动，连结 AP，设 的面积为 S，点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 的函数关系式； （3）在（2）的条件下，是否存在点 P，使以点 A，B，P 为顶点的三角形与 相似？若存在，请直接 写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． [来源:学科网] [来源:学科网 ZXXK] （2009 年山东枣庄 25 题解析）（1）∵ ， ∴ ， . ∴ ， ．…………………1 分 点 ，点 分别在 轴， 轴的正半轴上， ∴A（1，0），B（0， ）． ……………2 分 2CP AN CP∴ = ∴ =， AN CP ∥ ∴ ANCP (2 3)P −， AEF△ 3y x= − + 0x = 3y = 0y = 3x = ∴ 3y x= − + (0 3)D ， (3 0)B ， OD OB∴ = 45OBD∴∠ = °  (0 3)C −， OB OC∴ = 45OBC∴∠ = ° 45AEF ABF∠ = ∠ = ° 45AFE ABE∠ = ∠ = ° 90EAF∴∠ = ° AE AF= AEF∴△ E 3y x= − + 2 3 1 0OB OA− + − = ABP△ AOB△ 2 3 1 0OB OA− + − = 2 3 0OB − = 1 0OA− = 3OB = 1OA = A B x y 3 y xAOC B 第 25 题图 （2）由（1），得 AC=4， ， ． 　　 ∴ ． ∴△ABC 为直角三角形， ． …………………………………………4 分 设 CP=t，过 P 作 PQ⊥CA 于 Q，由△CPQ∽△CBO，易得 PQ= ． ∴S= = = －t（0≤t＜ ）． …………………………7 分 （说明：不写 t 的范围不扣分） （3）存在，满足条件的的有两个． ， ………………………………………………………………………8 分 ．…………………………………………………………………10 分 84.（2009 年上海）25．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 5 分，第（3）小题满分 5 分） 已 知 为 线 段 上 的 动 点 ， 点 在 射 线 上 ， 且 满 足 （如图 8 所示）． （1）当 ，且点 与点 重合时（如图 9 所示），求线段 的长； （2）在图 8 中，联结 ．当 ，且点 在线段 上时，设点 之间的距离为 ， ， 其中 表示 的面积， 表示 的面积，求 关于 的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当 ，且点 在线段 的延长线上时（如图 10 所示），求 的大小． 2 21 ( 3) 2AB = + = 2 23 ( 3) 2 3BC = + = 2 2 2 2 22 2 3 16AB BC AC+ = + = =（ ） 90ABC∠ =  2 t ABC APCS S−△ △ 1 14 3 42 2 2 t× × − × × 2 3 2 3 1( 3 0)P − ， 2 21 33P  −  ， 90 2 3ABC AB BC AD BC P∠ = = =°， ， ， ∥ ， BD Q AB PQ AD PC AB = 2AD = Q B PC AP 3 2AD = Q AB B Q、 x APQ PBC S yS =△ △ APQS△ APQ△ PBCS△ PBC△ y x AD AB< Q AB QPC∠ A D P CB Q 图 8 DA P CB（Q） ） 图 9 图 10 C A D P B Q （2009 年上海 25 题解析）解：（1）AD=2，且 Q 点与 B 点重合，根据题意，∠PBC=∠PDA，因为∠A=90 。 PQ/PC=AD/AB=1,所以：△PQC 为等腰直角三角形，BC=3，所以：PC=3 /2, （2）如图：添加辅助线，根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成 S1，S2， 高分别是 H，h， 则：S1=（2-x）H/2=（2*3/2）/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2 S2=3*h/2 因为两 S1/S2=y，消去 H,h,得： Y=-(1/4)*x+(1/2), 定义域：当点 P 运动到与 D 点重合时，X 的取值就是最大值，当 PC 垂直 BD 时，这时 X=0，连接 DC,作 QD 垂直 DC，由已知条件得：B、Q、D、C 四点共圆，则由圆周角定理可以推知：三角形 QDC 相似于三角形 ABD QD/DC=AD/AB=3/4，令 QD=3t,DC=4t,则：QC=5t，由勾股定理得： 直角三角形 AQD 中：(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2 直角三角形 QBC 中：3^2+x^2=(5t)^2 整理得：64x^2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0 得 x1=7/8 x2=(43/8)>2(舍去) 所以函数: Y=-(1/4)*x+1/2 的定义域为[0，7/8] (3)因为：PQ/PC=AD/AB,假设 PQ 不垂直 PC，则可以作一条直线 PQ′垂直于 PC，与 AB 交于 Q′点， 则：B，Q′，P，C 四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得： PQ′/PC=AD/AB, 又由于 PQ/PC=AD/AB 所以，点 Q′与点 Q 重合，所以角∠QPC=90。 72（08 黑龙江齐齐哈尔 28 题）（本小题满分 10 分） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 ， 点 分 别 在 轴 ， 轴 的 正 半 轴 上 ， 且 满 足 ． （1）求点 ，点 的坐标． （2）若点 从 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 运动，连结 ．设 的面积为 ，点 的 运动时间为 秒，求 与 的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点 ，使以点 为顶点的三角形与 相似？若存在，请直接写 出点 的坐标；若不存在，请说明理由． ( 3 0)C − ， A B， x y 2 3 1 0OB OA− + − = A B P C CB AP ABP△ S P t S t P A B P， ， AOB△ P 2 A D P CB Q 图 8 DA P CB（Q） ） 图 9 图 10 C A D P B Q y xAOC B （08 黑龙江齐齐哈尔 28 题解析）解：（1） ， ·····························································································（1 分） ， 点 ，点 分别在 轴， 轴的正半轴上 ············································································································（2 分） （2）求得 ·····································································································（3 分） （每个解析式各 1 分，两个取值范围共 1 分）································································（6 分） （3） ； ； ； （每个 1 分，计 4 分） ·············································································································································（10 分） 注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，酌情给分． 73（08 海南省卷 24 题）（本题满分 14 分）如图 13，已知抛物线经过原点 O 和 x 轴上另一点 A,它的对称轴 x=2 与 x 轴交于点 C，直线 y=-2x-1 经过抛物线上一点 B(-2,m)，且与 y 轴、直线 x=2 分别交于点 D、E. （1）求 m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB=CE ；② D 是 BE 的中点； （3）若 P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点 P,使得 PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 2 3 1 0OB OA− + − = 2 3 0OB∴ − = 1 0OA− = 3OB∴ = 1OA =  A B x y (1 0) (0 3)A B∴ ，， ， 90ABC∠ =  2 3 (0 2 3) 2 3 ( 2 3) t tS t t  − <=  − > ≤ 1( 3 0)P − ， 2 21 33P  −  ， 3 41 33P     ， 4 (3 2 3)P ， A B C O D E x y x=2 图 13 （08 海南省卷 24 题解析）（1）∵ 点 B(-2,m)在直线 y=-2x-1 上， ∴ m=-2×(-2)-1=3. ………………………………（2 分） ∴ B(-2,3) ∵ 抛物线经过原点 O 和点 A，对称轴为 x=2， ∴ 点 A 的坐标为(4,0) . 设所求的抛物线对应函数关系式为 y=a(x-0)(x-4). ……………………（3 分） 将点 B(-2,3)代入上式，得 3=a(-2-0)(-2-4)，∴ . ∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为 ，即 . （6 分） （2）①直线 y=-2x-1 与 y 轴、直线 x=2 的交点坐标分别为 D(0,-1) E(2,-5). 过点 B 作 BG∥x 轴，与 y 轴交于 F、直线 x=2 交于 G， 则 BG⊥直线 x=2，BG=4. 在 Rt△BGC 中，BC= . ∵ CE=5， ∴ CB=CE=5. ……………………（9 分） ②过点 E 作 EH∥x 轴，交 y 轴于 H， 则点 H 的坐标为 H(0,-5). 又点 F、D 的坐标为 F(0,3)、D(0,-1)， ∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°. ∴ △DFB≌△DHE （SAS）， ∴ BD=DE. 即 D 是 BE 的中点. ………………………………（11 分） （3） 存在. ………………………………（12 分） 由于 PB=PE，∴ 点 P 在直线 CD 上， ∴ 符合条件的点 P 是直线 CD 与该抛物线的交点. 设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b. 将 D(0,-1) C(2,0)代入，得 . 解得 . ∴ 直线 CD 对应的函数关系式为 y= x-1. ∵ 动点 P 的坐标为(x， )， ∴ x-1= . ………………………………（13 分） 解得 ， . ∴ ， . ∴ 符合条件的点 P 的坐标为( ， )或( ， ).…（14 分） (注：用其它方法求解参照以上标准给分.) 4 1=a )4(4 1 −= xxy xxy −= 2 4 1 522 =+ BGCG    =+ −= 02 1 bk b 1,2 1 −== bk 2 1 xx −2 4 1 2 1 xx −2 4 1 531 +=x 532 −=x 2 51 1 +=y 2 51 1 −=y 53+ 2 51+ 53− 2 51− A B C O D E x y x=2 GF H 74.（08 广东东莞 22 题）（本题满分 9 分）将两块大小一样含 30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜 边 AB 重合，直角边不重合，已知 AB=8，BC=AD=4，AC 与 BD 相交于点 E，连结 CD． (1)填空：如图 9，AC= ，BD= ；四边形 ABCD 是 梯形. (2)请写出图 9 中所有的相似三角形（不含全等三角形）. (3)如图 10，若以 AB 所在直线为 轴，过点 A 垂直于 AB 的直线为 轴建立如图 10 的平面直角坐标系，保 持 ΔABD 不动，将 ΔABC 向 轴的正方向平移到 ΔFGH 的位置，FH 与 BD 相交于点 P，设 AF=t，ΔFBP 面积 为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值值范围. （08 广东东莞 22 题解析）解：（1） ， ，…………………………1 分 等腰；…………………………2 分 （2）共有 9 对相似三角形.（写对 3－5 对得 1 分，写对 6－8 对得 2 分，写对 9 对得 3 分） 　①△DCE、△ABE 与△ACD 或△BDC 两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC， △ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有 5 对) ②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有 2 对) ③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有 2 对) 所以，一共有 9 对相似三角形.…………………………………………5 分 （3）由题意知，FP∥AE， ∴ ∠1＝∠PFB， 又∵ ∠1＝∠2＝30°， ∴ ∠PFB＝∠2＝30°, ∴ FP＝BP.…………………………6 分 过点 P 作 PK⊥FB 于点 K，则 . ∵ AF＝t，AB＝8， ∴ FB＝8－t， . x y x 4 3 4 3 1 2FK BK FB= = 1 (8 )2BK t= − D C BA E 图 9 E D C H F GBA P y x 图 10 10 x y K 在 Rt△BPK 中， . ……………………7 分 ∴ △FBP 的面积 ， ∴ S 与 t 之间的函数关系式为： ，或 . …………………………………8 分 t 的取值范围为： . …………………………………………………………9 分 75（08 甘肃兰州 28 题）（本题满分 12 分）如图 19-1， 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片， 为 原点，点 在 轴的正半轴上，点 在 轴的正半轴上， ， ． （1）在 边上取一点 ，将纸片沿 翻折，使点 落在 边上的点 处，求 两点的坐标； （2）如图 19-2，若 上有一动点 （不与 重合）自 点沿 方向向 点匀速运动，运动的速度为每 秒 1 个单位长度，设运动的时间为 秒（ ），过 点作 的平行线交 于点 ，过点 作 的 平行线交 于点 ．求四边形 的面积 与时间 之间的函数关系式；当 取何值时， 有最大值？最 大值是多少？ （3）在（2）的条件下，当 为何值时，以 为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点 的坐标． （08 甘肃兰州 28 题解析）（本题满分 12 分） 解：（1）依题意可知，折痕 是四边形 的对称轴， 在 中， ， ． ． ． 点坐标为（2，4）． ············································································································2 分 在 中， ， 又 ． ． 解得： ． 点坐标为 ·················································································································3 分 （2）如图① ， ． 1 3tan 2 (8 ) tan30 (8 )2 6PK BK t t= ⋅ ∠ = − ° = − 1 1 3(8 ) (8 )2 2 6S FB PK t t= ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ − 23 ( 8)12S t= − 23 4 16 312 3 3S t t= − + 0 8t≤ < OABC O A x C y 5OA = 4OC = OC D AD O BC E D E， AE P A E， A AE E t 0 5t< < P ED AD M M AE DE N PMNE S t t S t A M E， ， M AD OAED ∴ Rt ABE△ 5AE AO= = 4AB = 2 2 2 25 4 3BE AE AB∴ = − = − = 2CE∴ = E∴ Rt DCE△ 2 2 2DC CE DE+ = DE OD= 2 2 2(4 ) 2OD OD∴ − + = 5 2CD = D∴ 50 2     ， PM ED ∥ APM AED∴△ ∽△ y x BC O A D E 图 19-1 y x BC O A D E 图 19-2 P M N ，又知 ， ， ， 又 ． 而显然四边形 为矩形． ··································································5 分 ，又 当 时， 有最大值 ． ··················································································6 分 （3）（i）若以 为等腰三角形的底，则 （如图①） 在 中， ， ， 为 的中点， ． 又 ， 为 的中点． 过点 作 ，垂足为 ，则 是 的中位线， ， ， 当 时， ， 为等腰三角形． 此时 点坐标为 ．·······································································································8 分 （ii）若以 为等腰三角形的腰，则 （如图②） 在 中， ． 过点 作 ，垂足为 ． ， ． ． ， ． ， ， 当 时，（ ），此时 点坐标为 ．····························11 分 综合（i）（ii）可知， 或 时，以 为顶点的三角形为等腰三角形，相应 点的坐标为 PM AP ED AE ∴ = AP t= 5 2ED = 5AE = 5 5 2 2 t tPM∴ = × = 5PE t= − PMNE 21 5(5 )2 2 2PMNE tS PM PE t t t∴ = = × − = − +矩形 21 5 25 2 2 8PMNES t ∴ = − − +  四边形 50 52 < < ∴ 5 2t = PMNES矩形 25 8 AE ME MA= Rt AED△ ME MA= PM AE⊥ P∴ AE 1 5 2 2t AP AE∴ = = = PM ED ∥ M∴ AD M MF OA⊥ F MF OAD△ 1 5 2 4MF OD∴ = = 1 5 2 2OF OA= = ∴ 5 2t = 50 52  < <   AME△ M 5 5 2 4     ， AE 5AM AE= = Rt AOD△ 2 2 2 25 55 52 2AD OD AO  = + = + =   M MF OA⊥ F PM ED ∥ APM AED∴△ ∽△ AP AM AE AD ∴ = 5 5 2 55 52 AM AEt AP AD ×∴ = = = = 1 52PM t∴ = = 5MF MP∴ = = 5 2 5OF OA AF OA AP= − = − = − ∴ 2 5t = 0 2 5 5< < M (5 2 5 5)− ， 5 2t = 2 5t = A M E， ， M y x BC O A D E 图① P M N F y x BC O A D E 图② P M N F 或 ． ······································································································12 分 76.（08 天津市卷 26 题）（本小题 10 分） 已知抛物线 ， （Ⅰ）若 ， ，求该抛物线与 轴公共点的坐标； （Ⅱ）若 ，且当 时，抛物线与 轴有且只有一个公共点，求 的取值范围； （Ⅲ）若 ，且 时，对应的 ； 时，对应的 ，试判断当 时，抛物线与 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由． （08 天津市卷 26 题解析）解（Ⅰ）当 ， 时，抛物线为 ， 方程 的两个根为 ， ． ∴该抛物线与 轴公共点的坐标是 和 ． ······················································2 分 （Ⅱ）当 时，抛物线为 ，且与 轴有公共点． 对于方程 ，判别式 ≥0，有 ≤ ． ···········································3 分 ①当 时，由方程 ，解得 ． 此时抛物线为 与 轴只有一个公共点 ． ······································ 4 分 ②当 时， 时， ， 时， ． 由已知 时，该抛物线与 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为 ， 应有 即 解得 ． 综上， 或 ． ···························································································6 分 5 5 2 4     ， (5 2 5 5)− ， cbxaxy ++= 23 2 1== ba 1−=c x 1== ba 11 <<− x x c 0=++ cba 01 =x 01 >y 12 =x 02 >y 10 << x x 1== ba 1−=c 123 2 −+= xxy 0123 2 =−+ xx 11 −=x 3 1 2 =x x ( )1 0− ， 1 03     ， 1== ba cxxy ++= 23 2 x 023 2 =++ cxx c124 −=∆ c 3 1 3 1=c 03 123 2 =++ xx 3 1 21 −== xx 3 123 2 ++= xxy x 1 03  −  ， 3 1 ≤ ， 1 0 5 0. c c +  + > ≤ ， 5 1c− < −≤ 3 1=c 5 1c− < −≤ （Ⅲ）对于二次函数 ， 由已知 时， ； 时， ， 又 ，∴ ． 于是 ．而 ，∴ ，即 ． ∴ ． ··························································································································· 7 分 ∵关于 的一元二次方程 的判别式 ， ∴抛物线 与 轴有两个公共点，顶点在 轴下方．································8 分 又该抛物线的对称轴 ， 由 ， ， ， 得 ， ∴ ． 又由已知 时， ； 时， ，观察图象， 可知在 范围内，该抛物线与 轴有两个公共点． ················································10 分 77（08 湖北宜昌 25 题）如图 1，已知四边形 OABC 中的三个顶点坐标为 O(0，0)，A(0，n)，C(m，0)．动点 P 从 点 O 出发依次沿线段 OA，AB，BC 向点 C 移动，设移动路程为 z，△OPC 的面积 S 随着 z 的变化而变化的图象如 图 2 所示．m，n 是常数， m＞1，n＞0． （1）请你确定 n 的值和点 B 的坐标； （2）当动点 P 是经过点 O，C 的抛物线 y＝ax ＋bx＋c 的顶点，且在双曲线 y＝ 上时，求这时四边形 OABC 的面积． cbxaxy ++= 23 2 01 =x 01 >= cy 12 =x 0232 >++= cbay 0=++ cba babacbacba +=++++=++ 22)(23 02 >+ ba cab −−= 02 >−− caa 0>− ca 0>> ca x 023 2 =++ cbxax 0])[(412)(4124 222 >+−=−+=−=∆ accaaccaacb cbxaxy ++= 23 2 x x a bx 3 −= 0=++ cba 0>c 02 >+ ba aba −<<−2 3 2 33 1 <−< a b 01 =x 01 >y 12 =x 02 >y 10 << x x 2 11 5x O y x1 (图 1) (图 2) (第 25 题) （08 湖北宜昌 25 题解析）解：(1) 从图中可知，当 P 从 O 向 A 运动时，△POC 的面积 S＝ mz， z 由 0 逐步增 大到 2,则 S 由 0 逐步增大到 m，故 OA＝2，n＝2 . (1 分) 同理，AB＝1，故点 B 的坐标是(1，2).(2 分) (2)解法一： ∵抛物线 y＝ax ＋bx＋c 经过点 O(0，0)，C(m ，0),∴c＝0，b＝－am，(3 分) ∴抛物线为 y＝ax －amx，顶点坐标为( ，－1 4am2).(4 分) 如图 1，设经过点 O，C，P 的抛物线为 l. 当 P 在 OA 上运动时，O,P 都在 y 轴上， 这时 P,O,C 三点不可能同在一条抛物线上， ∴这时抛物线 l 不存在, 故不存在 m 的值..① 当点 P 与 C 重合时，双曲线 y＝ 不可能经过 P, 故也不存在 m 的值.②(5 分) (说明：①②任做对一处评 1 分，两处全对也只评一分) 当 P 在 AB 上运动时，即当 02,与 x ＝ ≤1 不合，舍去.(6 分)③ 容易求得直线 BC 的解析式是： ，(7 分) 当 P 在 BC 上运动，设 P 的坐标为 (x ,y )，当 P 是顶点时 x ＝ ， 故得 y ＝ ＝ ，顶点 P 为( ， )， ∵1< x ＝ 2，又∵P 在双曲线 y＝ 上， 于是， × ＝ ，化简后得 5m －22m＋22＝0, 解得 , ,(8 分) 与题意 2 ∴ − < 2 22 2 11 2,10m −∴ = < 0 2 m 22 2 11 10m += (25 题图 1) 这时四边形 OABC 的面积＝ ＝ .(10 分) (2)解法二： ∵抛物线 y＝ax ＋bx＋c 经过点 O(0，0)，C(m ，0) ∴c＝0，b＝－am，(3 分) ∴抛物线为 y＝ax －amx，顶点坐标 P 为(m 2 ，－1 4am2). (4 分) ∵m＞1，∴m 2 ＞0，且m 2≠m， ∴P 不在边 OA 上且不与 C 重合. (5 分) ∵P 在双曲线 y＝11 5x 上，∴m 2×(－ 1 4am2)＝11 5 即 a＝－ 88 5m3. .①当 1＜m≤2 时，1 2 ＜m 2≤1，如图 2,分别过 B，P 作 x 轴的垂线， M，N 为垂足，此时点 P 在线段 AB 上，且纵坐标为 2， ∴－1 4am2＝2，即 a＝－ 8 m2. 而 a＝－ 88 5m3 ，∴－ 88 5m3 ＝－ 8 m2 ，m＝11 5 ＞2，而 1＜m≤2，不合题意，舍去.(6 分) ②当 m≥2 时，m 2 ＞1，如图 3,分别过 B，P 作 x 轴的垂线，M，N 为垂足，ON＞OM， 此时点 P 在线段 CB 上，易证 Rt△BMC∽Rt△PNC， ∴BM∶PN＝MC∶NC，即: 2∶PN＝(m－1)∶m 2 ，∴PN＝ m m－1(7 分) 而 P 的纵坐标为－ 1 4am2，∴ m m－1 ＝－ 1 4am2，即 a＝ 4 m(1－m) 而 a＝－ 88 5m3 ，∴－ 88 5m3 ＝ 4 m(1－m) 化简得：5m2－22m＋22＝0.解得：m＝ 11 ± 5 ，(8 分) 但 m≥2，所以 m＝11－ 5 舍去，(9 分) 取 m ＝ 11＋ 5 . 由以上,这时四边形 OABC 的面积为： 1 2(AB＋OC) ×OA＝1 2(1＋m) ×2＝16＋ 5 . (10 分) 65（08 四川达州 23 题）如图，将 置于平面直角坐标系中，其中点 为坐标原点，点 的坐标为 ， 1 (1 ) 22 m+ × 16 11 5 + 2 2 AOB△ O A (3 0)， (25 题图 2) (25 题图 3) ． （1）若 的外接圆与 轴交于点 ，求 点坐标． （2）若点 的坐标为 ，试猜想过 的直线与 的外接圆的位置关系，并加以说明． （3）二次函数的图象经过点 和 且顶点在圆上， 求此函数的解析式． （08 四川达州 23 题解析）解：（1）连结 AD，则∠ADO＝∠B＝600 在 Rt△ADO 中，∠ADO＝600 所以 OD＝OA÷ ＝3÷ ＝ 所以 D 点的坐标是（0， ） （2）猜想是 CD 与圆相切 　　　∵　∠AOD 是直角，所以 AD 是圆的直径 又∵　Tan∠CDO=CO/OD=1/ = , ∠CDO＝300 ∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=Rt∠ 即 CD⊥AD 　∴　CD 切外接圆于点 D （3）依题意可设二次函数的解析式为 ： y=α（x－0）(x－3) 由此得顶点坐标的横坐标为：x= = ; 即顶点在 OA 的垂直平分线上，作 OA 的垂直平分线 EF，则得∠EFA＝ ∠B＝300 得到 EF＝ EA＝ 　　　可得一个顶点坐标为（ ， ） 同理可得另一个顶点坐标为（ ， ） 分别将两顶点代入 y=α （x －0 ）(x －3) 可解得 α 的值分别为 ， 则得到二次函数的解析式是 y= x(x－3)或 y= x(x－3) 60ABO∠ =  AOB△ y D D C ( 1 0)− ， D C， AOB△ O A 3 3 3 3 3 3 a a 2 3− 2 3 2 1 3 32 3 2 3 32 3 2 3 32 1− 3 32− 9 32 3 32− 9 32 E F E D C O A B x y F D C O A B x y 66（08 安徽芜湖 24 题）如图，已知 ， ，现以 A 点为位似中心，相似比为 9:4，将 OB 向右侧放 大，B 点的对应点为 C． (1) 求 C 点坐标及直线 BC 的解析式; (2) 一抛物线经过 B、C 两点，且顶点落在 x 轴正半轴上，求该抛物线的 解析式并画出函数图象; (3) 现将直线 BC 绕 B 点旋转与抛物线相交与另一点 P，请找出抛物线上 所有满足到直线 AB 距离为 的点 P． 解: （08 安徽芜湖 24 题解析）解： （1） 过 C 点向 x 轴作垂线，垂足为 D，由位似图形性质可知： △ABO∽△ACD， ∴ ． 由已知 ， 可知： ． ∴ ．∴C 点坐标为 ．·····················2 分 直线 BC 的解析是为： 化简得： ························································3 分 （2）设抛物线解析式为 ，由题意得： ， 解得： , ∴解得抛物线解析式为 或 ． ( 4,0)A − (0,4)B 3 2 4 9 AO BO AD CD = = ( 4,0)A − (0,4)B 4, 4AO BO= = 9AD CD= = (5,9) 4 0 9 4 5 0 y x− −=− − 4y x= + 2 ( 0)y ax bx c a= + + > 2 4 9 25 5 4 0 c a b c b ac =  = + +  − = 1 1 1 1 4 4 a b c =  = −  = 2 2 2 1 25 4 5 4 a b c  =  =  =  2 1 4 4y x x= − + 2 2 1 4 425 5y x x= + + 又∵ 的顶点在 x 轴负半轴上，不合题意，故舍去． ∴满足条件的抛物线解析式为 ·······································································5 分 （准确画出函数 图象）···················································································7 分 （3） 将直线 BC 绕 B 点旋转与抛物线相交与另一点 P，设 P 到 直线 AB 的距离为 h， 故 P 点应在与直线 AB 平行，且相距 的上下两条平行直线 和 上． ·························8 分 由平行线的性质可得：两条平行直线与 y 轴的交点到直线 BC 的距离也为 ． 如图，设 与 y 轴交于 E 点，过 E 作 EF⊥BC 于 F 点， 在 Rt△BEF 中 ， ， ∴ ．∴可以求得直线 与 y 轴交点坐标为 ····················································10 分 同理可求得直线 与 y 轴交点坐标为 ·········································································11 分 ∴两直线解析式 ； ． 根据题意列出方程组： ⑴ ；⑵ ∴解得： ； ； ； ∴满足条件的点 P 有四个，它们分别是 ， ， ， ·········15 分 67（08 湖北仙桃等 4 市 25 题）如图，直角梯形 中， ∥ , 为坐标原点，点 在 轴正半轴上， 点 在 轴正半轴上，点 坐标为（2，2 ），∠ = 60°， 于点 .动点 从点 出发，沿 线段 向点 运动，动点 从点 出发，沿线段 向点 运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位 长度.设点 运动的时间为 秒. （1） 求 的长； （2） 若 的面积为 （平方单位）. 求 与 之间的函数关系式.并求 为何值时， 的面 积最大，最大值是多少？ （3） 设 与 交于点 .①当△ 为等腰三角形时，求（2）中 的值. ②探究线段 长度的最大值是多少，直接写出结论. 2 2 1 4 425 5y x x= + + 2 4 4y x x= − + 2 4 4y x x= − + 3 2 1l 2l 3 2 1l 3 2EF h= = 45EBF ABO∠ = ∠ =  6BE = 1l (0,10) 2l (0, 2)− 1 : 10l y x= + 2 : 2l y x= − 2 4 4 10 y x x y x  = − +  = + 2 4 4 2 y x x y x  = − +  = − 1 1 6 16 x y =  = 2 2 1 9 x y = −  = 3 3 2 0 x y =  = 4 4 3 1 x y =  = 1(6,16)P 2 ( 1,9)P − 3 (2,0)P 4 (3,1)P OABC AB OC O A y C x B 3 BCO BCOH ⊥ H P H HO O Q O OA A P t OH OPQ∆ S S t t OPQ∆ PQ OB M OPM S OM A B H O Q P y x M C （08 湖北仙桃等 4 市 25 题解析）解：（1）∵ ∥ ∴ 在 中， , ∴ ， ∴ 而 ∴ 为等边三角形 ∴ …（3 分） （2）∵ ∴ ∴ = （ ）…………………………（6 分） 即 ∴当 时， ………………………………………（7 分） （3）①若 为等腰三角形，则： （i）若 ， ∴ ∥ ∴ 即 解得： 此时 ………………………………（8 分） （ii）若 ， ∴ 过 点作 ，垂足为 ，则有： 即 AB OC 090=∠=∠ AOCOAB OABRt∆ 2=AB 32=AO 4=OB 060=∠ABO 060=∠BOC 060=∠BCO BOC∆ 322 3430cos 0 =×== OBOH tPHOHOP −=−= 32 tOPx p 2 3330cos 0 −== 2330sin 0 tOPy p −== )2 33(2 1 2 1 ttxOQS p −⋅⋅=⋅⋅= tt 2 3 4 3 2 +− 320 << t 4 33)3(4 3 2 +−−= tS 3=t =最大S 4 33 OPM∆ PMOM = POCMOPMPO ∠=∠=∠ PQ OC pyOQ = 23 tt −= 3 32=t 3 32 3 32 2 3)3 32(4 3 2 =×+×−=S OMOP = 075=∠=∠ OMPOPM 045=∠OQP P OAPE ⊥ E EPEQ = ttt 2 33)2 13( −=−− A B H O Q P y x M C A B H O Q P y x M C E A B H O Q P y x M C 解得： 此时 ……………………………………（9 分） （iii）若 ， ∴ ∥ 此时 在 上，不满足题意.……………………………………………（10 分） ② 线 段 长 的 最 大 值 为 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ( 1 2 分 ) 68（08 湖南常德 26 题）如图 9，在直线 上摆放有△ABC 和直角梯形 DEFG，且 CD＝6㎝；在△ABC 中：∠C＝ 90O，∠A＝300，AB＝4㎝；在直角梯形 DEFG 中：EF//DG，∠DGF＝90O ,DG＝6㎝，DE＝4㎝，∠EDG＝600。解答 下列问题： （1）旋转：将△ABC 绕点 C 顺时针方向旋转 900，请你在图中作出旋转后的对应图形 △A1B1C，并求出 AB1 的长度； （2）翻折：将△A1B1C 沿过点 B1 且与直线 垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形 △A2B1C1，试判定四边形 A2B1DE 的形状？并说明理由； （3）平移：将△A2B1C1 沿直线 向右平移至△A3B2C2，若设平移的距离为ｘ，△A3B2C2 与直角梯形重叠部分的面 积为ｙ，当ｙ等于△ABC 面积的一半时,ｘ的值是多少？ （08 湖南常德 26 题解析） 解：（1）在△ABC 中由已知得：BC=2，AC＝AB×cos30°= ， ∴AB1=AC+C B1=AC+CB= .……………………………………2 分 (2)四边形 A2B1DE 为平行四边形.理由如下： ∵∠EDG＝60°，∠A2B1C1＝∠A1B1C＝∠ABC＝60°，∴A2B1∥DE 又 A2B1＝A1B1＝AB＝4，DE＝4，∴A2B1＝DE,故结论成立.………………4 分 （3）由题意可知： S△ABC= ， ① 当 或 时，ｙ＝0 此时重叠部分的面积不会等于△ABC 的面积的一半……………5 分 ②当 时，直角边 B2C2 与等腰梯形的下底边 DG 重叠的长度为 DC2=C1C2-DC1=（ｘ－2）㎝，则ｙ＝ , 当ｙ= S△ABC= 时，即 ， 2=t 3322 324 3 2 −=×+×−=S PMOP = AOBPMOPOM ∠=∠=∠ PQ OA Q AB OM 2 3 l l l 32 322 + 323222 1 =×× 20 <≤ x 10≥x 42 <≤ x ( ) ( ) ( )222 32322 1 −=−− xxx 2 1 3 ( ) 322 3 2 =−x A B C D E F G 图 9 l 解得 （舍）或 . ∴当 时，重叠部分的面积等于△ABC 的面积的一半. ③当 时，△A3B2C2 完全与等腰梯形重叠，即 ……………7 分 ④当 时,B2G=B2C2-GC2=2－( －8)=10- 则ｙ＝ , 当ｙ= S△ABC= 时，即 ， 解得 ,或 (舍去). ∴当 时，重叠部分的面积等于△ABC 的面积的一半.………9 分 由以上讨论知,当 或 时, 重叠部分的面积等于△ABC 的面积的一半.………10 分 69（08 宁夏区卷 26 题）如图，在边长为 4 的正方形 中，点 在 上从 向 运动，连接 交 于点 ． （1）试证明：无论点 运动到 上何处时，都有△ ≌△ ； （2）当点 在 上运动到什么位置时，△ 的面积是正方形 面积的 ； （3）若点 从点 运动到点 ，再继续在 上运动到点 ，在整个运动过程中，当点 运动到什么位置 时，△ 恰为等腰三角形． （08 宁夏区卷 26 题解析）（1）证明：在正方形 中， 无论点 运动到 上何处时，都有 = ∠ =∠ = ∴△ ≌△ ····················································2 分 (2)解法一：△ 的面积恰好是正方形 ABCD 面积的 时， 过点 Q 作 ⊥ 于 , ⊥ 于 ，则 = 22 −=x 22 +=x 22 +=x 84 <≤ x 32=y 108 <≤ x x x ( ) ( ) ( )2102 3103102 1 xxx −=−⋅− 2 1 3 ( ) 3102 3 2 =− x 210 −=x 210 +=x 210 +=x 22 +=x 210 +=x ABCD P AB A B DP AC Q P AB ADQ ABQ P AB ADQ ABCD 6 1 P A B BC C P ADQ ABCD P AB AD AB DAQ BAQ AQ AQ ADQ ABQ ADQ 6 1 Q E AD E QF AB F QE QF = = ∴ = ························································································································4 分 由△ ∽△ 得 解得 ∴ 时，△ 的面积是正方形 面积的 ····································6 分 解法二：以 为原点建立如图所示的直角坐标系，过点 作 ⊥ 轴于点 ， ⊥ 轴于点 ． = = ∴ = ∵点 在正方形对角线 上 ∴ 点的坐标为 ∴ 过点 （0，4）， ( 两点的函数关系式为： 当 时， ∴ 点的坐标为（2，0） ∴ 时，△ 的面积是正方形 面积的 ． ····································6 分 （3）若△ 是等腰三角形，则有 = 或 = 或 = ①当点 运动到与点 重合时，由四边形 是正方形知 = 此时△ 是等腰三角形 ②当点 与点 重合时，点 与点 也重合， 此时 = , △ 是等腰三角形 ······································8 分 ③解法一：如图，设点 在 边上运动到 时，有 = ∵ ∥ ∴∠ =∠ 又∵∠ =∠ ∠ =∠ ∴∠ =∠ ∴ = = ∵ = = =4 ∴ 2 1 QEAD × ABCD正方形S6 1 3 8 QE 3 4 DEQ DAP DA DE AP QE = 2=AP 2=AP ADQ ABCD 6 1 A Q QE y E QF x F 2 1 QEAD × ABCD正方形S6 1 3 8 QE 3 4 Q AC Q 4 4( )3 3 ， D Q )3 4,3 4 42 +−= xy 0=y 2=x P 2=AP ADQ ABCD 6 1 ADQ QD QA DA DQ AQ AD P B ABCD QD QA ADQ P C Q C DA DQ ADQ P BC xCP = AD AQ AD BC ADQ CPQ AQD CQP ADQ AQD CQP CPQ CQ CP x AC 24 AQ AD 424 −=−== AQACCQx 即当 时，△ 是等腰三角形 ··········································10 分 解法二：以 为原点建立如图所示的直角坐标系，设点 在 上运动到 时，有 = ． 过点 作 ⊥ 轴于点 ， ⊥ 轴于点 ,则 在 △ 中， ，∠ =45° ∴ = °= ∴ 点的坐标为（ ， ） ∴过 、 两点的函数关系式： +4 当 =4 时， ∴ 点的坐标为（4，8-4 ）． ∴当点 在 上运动到 时，△ 是等腰三角形．···························10 分 70（08 上海市卷 25 题）（本题满分 14 分，第（1）小题满分 5 分，第（2）小题满分 4 分，第（3）小题满分 5 分） 已知 ， ， （如图 13）． 是射线 上的动点（点 与点 不重合）， 是线段 的中点． （1）设 ， 的面积为 ，求 关于 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段 为直径的圆与以线段 为直径的圆外切，求线段 的长； （3）联结 ，交线段 于点 ，如果以 为顶点的三角形与 相似，求线段 的长． （08 上海市卷 25 题解析）解：（1）取 中点 ，联结 ， 为 的中点， ， ．·····································（1 分） 又 ， ．······················································································（1 分） ，得 ； ·············································（2 分）（1 分） （2）由已知得 ． ···········································································（1 分） 424 −=CP ADQ A P BC yBP = AD AQ Q QE y E QF x F QFQE = Rt AQF 4=AQ QAF QF 45sin⋅AQ 22 Q 22 22 D Q xy )21( −= x 248 −=y P 2 P BC 248 −=BP ADQ 2 4AB AD= =， 90DAB∠ =  AD BC∥ E BC E B M DE BE x= ABM△ y y x AB DE BE BD AM N A N D， ， BME△ BE AB H MH M DE MH BE∴ ∥ 1 ( )2MH BE AD= + AB BE⊥ MH AB∴ ⊥ 1 2ABMS AB MH∴ = △ 1 2( 0)2y x x= + > 2 2( 4) 2DE x= − + B A D M E C 图 13 B A D C 备用图 以线段 为直径的圆与以线段 为直径的圆外切， ，即 ． ······························（2 分） 解得 ，即线段 的长为 ； ················································································（1 分） （3）由已知，以 为顶点的三角形与 相似， 又易证得 ． ··························································································（1 分） 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：① ；② ． ①当 时， ， ． ． ，易得 ．得 ； ······························································（2 分） ②当 时， ， ． ．又 ， ． ，即 ，得 ． 解得 ， （舍去）．即线段 的长为 2．···············································（2 分） 综上所述，所求线段 的长为 8 或 2． 10、（湖南常德卷）把两块全等的直角三角形 和 叠放在一起，使三角板 的锐角顶点 与三角板 的斜边中点 重合，其中 ， ， ，把三角板 固 定不动，让三角板 绕点 旋转，设射线 与射线 相交于点 ，射线 与线段 相交于点 ． （ 1 ） 如 图 1 ， 当 射 线 经 过 点 ， 即 点 与 点 重 合 时 ， 易 证 ． 此 时 ， 　　　　　　． （2）将三角板 由图 1 所示的位置绕点 沿逆时针方向旋转，设旋转角为 ．其中 ，问 的值是否改变？说明你的理由． （3）在（2）的条件下，设 ，两块三角板重叠面积为 ，求 与 的函数关系式．（图 2，图 3 供解题用）  AB DE 1 1 2 2MH AB DE∴ = + 2 21 1( 4) 2 (4 ) 22 2x x + = + − +  4 3x = BE 4 3 A N D， ， BME△ DAM EBM∠ = ∠ ADN BEM∠ = ∠ ADB BME∠ = ∠ ADN BEM∠ = ∠ AD BE ∥ ADN DBE∴∠ = ∠ DBE BEM∴∠ = ∠ DB DE∴ = 2BE AD= 8BE = ADB BME∠ = ∠ AD BE ∥ ADB DBE∴∠ = ∠ DBE BME∴∠ = ∠ BED MEB∠ = ∠ BED MEB∴△ ∽△ DE BE BE EM ∴ = 2BE EM DE=  2 2 2 2 21 2 ( 4) 2 ( 4)2x x x= + − ⋅ + − 1 2x = 2 10x = − BE BE ABC DEF DEF D ABC O 90ABC DEF∠ = ∠ =  45C F∠ = ∠ =  4AB DE= = ABC DEF O DE AB P DF BC Q DF B Q B APD CDQ△ ∽△ AP CQ =· DEF O α 0 90α< <  AP CQ· CQ x= y y x Ｂ Ｅ Ｐ Ａ Ｄ(Ｏ) ＣＱ Ｆ Ｍ ＢＥ Ｐ Ａ ＣＱ Ｆ Ｄ(Ｏ) Ｄ(Ｏ) B(Q) C F E A P 图 1 图 2 图 3 [解] （1）8 　　（2） 的值不会改变． 　　理由如下：在 与 中， 　　 　　 　　即 　　 （3）情形 1：当 时， ，即 ，此时两三角板重叠部分为四边形 ，过 作 于 ， 于 ， 　　 　　由（2）知： 得 　　于是 　　　　 　　情形 2：当 时， 时，即 ，此时两三角板重叠部分为 ， 　　由于 ， ，易证： ， 　　 即 解得 AP CQ APD△ CDQ△ 45A C∠ = ∠ =  180 45 (45 ) 90APD a a∠ = − − + = −    90CDQ a∠ = − APD CDQ∠ = ∠ APD CDQ∴△ ∽△ AP CD AD CQ =∴ 2 2 1 82AP CQ AD CD AD AC = = = =   ∴ 0 45a< <  2 4CQ< < 2 4x< < DPBQ D DG AP⊥ G DN BC⊥ N 2DG DN= =∴ 8AP CQ = 8AP x = 1 1 1 2 2 2y AB AC CQ DN AP DG= − −   88 (2 4)x xx = − − < < 45 90a < ≤ 0 2CQ< ≤ 0 2x< ≤ DMQ△ 8AP x = 8 4PB x = − PBM DNM△ ∽△ BM PB MN DN =∴ 2 2 BM PB BM =− 2 8 4 2 4 PB xBM PB x −= =+ − ＢＥ Ｐ Ａ Ｄ（Ｏ） ＣＱ Ｆ Ｂ Ｅ Ｐ Ａ Ｄ（Ｏ） ＣＱ Ｆ Ｎ Ｍ Ｇ 　　 　　于是 　　综上所述，当 时， 　　　　　　　当 时， 　　　　　　　　　　　　　　　 法二：连结 ，并过 作 于点 ，在 与 中， 　　 即 　　 法三：过 作 于点 ，在 中， 　　 　　　　 　　　　 　于是在 与 中 　 　　　　　 　　　　　 8 44 4 4 xMQ BM CQ x x −= − − = − − −∴ 1 8 44 (0 2)2 4 xy MQ DN x xx −= = − − <− ≤ 2 4x< < 88y x x = − − 0 2x< ≤ 8 44 4 xy x x −= − − − 2 4 8 4y x x x = − +  −  或 BD D DN BC⊥ N DBQ△ MCD△ 45DBQ MCD∠ = ∠ =  45DQB QCB QDC QDC MDQ QDC MDC∠ = ∠ + ∠ = + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ DBQ MCD∴△ ∽△ MC DB CD BQ =∴ 2 42 2 MC x 2= − 8 4MC x = −∴ 28 4 8 4 4 x xMQ MC CD xx x − += − = − =− −∴ 21 4 8 (0 2)2 4 x xy DN MQ xx − += = <−∴ ≤ D DN BC⊥ N Rt DNQ△ 2 2 2DQ DN NQ= + 24 (2 )x= + − 2 4 8x x= − + BDQ△ DMQ△ 45DBQ MDQ∠ = ∠ =  DMQ DBM BDM∠ = ∠ + ∠ 45 BDM= + ∠ BDQ= ∠ BDQ DMQ∴△ ∽△ 即 1.（08 福建莆田）26．（14 分）如图：抛物线经过 A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式. （2）已知 AD = AB（D 在线段 AC 上），有一动点 P 从点 A 沿线段 AC 以每秒 1 个单位长度的速度移动；同 时另一个动点 Q 以某一速度从点 B 沿线段 BC 移动，经过 t 秒的移动，线段 PQ 被 BD 垂直平分，求 t 的值； （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使 MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。 （注：抛物线 的对称轴为 ） （08 福建莆田 26 题解析）26（1）解法一：设抛物线的解析式为 y = a (x +3 )(x - 4) 因为 B（0，4）在抛物线上，所以 4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得 a= -1/3 所以抛物线解析式为 解法二：设抛物线的解析式为 ， BQ DQ DQ MQ =∴ 4 x DQ DQ MQ − = 2 2 4 8 4 4 DQ x xMQ x x − += =− −∴ 21 4 8 (0 2)2 4 x xy DN MQ xx − += = <−∴ ≤ 2y ax bx c= + + 2 bx a = − 21 1 1( 3)( 4) 43 3 3y x x x x= − + − = − + + 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ 依题意得：c=4 且 解得 所以 所求的抛物线的解析式为 （2）连接 DQ，在 Rt△AOB 中， 所以 AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2 因为 BD 垂直平分 PQ，所以 PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB 因为 AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以 DQ∥AB 所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB 即 所以 AP=AD – DP = AD – DQ=5 – = ， 所以 t 的值是 （3）答对称轴上存在一点 M，使 MQ+MC 的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为 所以 A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线 对称 连接 AQ 交直线 于点 M，则 MQ+MC 的值最小 过点 Q 作 QE⊥x 轴，于 E，所以∠QED=∠BOA=900 DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE， △DQE ∽△ABO 即 所以 QE= ，DE= ，所以 OE = OD + DE=2+ = ，所以 Q（ ， ） 设直线 AQ 的解析式为 则 由此得 9 3 4 0 16 4 4 0 a b a b − + =  + + = 1 3 1 3 a b  = −  = 21 1 43 3y x x= − + + 2 2 2 23 4 5AB AO BO= + = + = DQ CD AB CA = 2 10,5 7 7 DQ DQ= = 10 7 25 7 25 2517 7t = ÷ = 25 7 1 2 2 bx a = − = 1 2x = 1 2x = QE DQ DE BO AB AO = = 10 7 4 5 3 QE DE= = 8 7 6 7 6 7 20 7 20 7 8 7 ( 0)y kx m k= + ≠ 20 8 7 7 3 0 k m k m  + = − + = 8 41 24 41 k m  =  = 所以直线 AQ 的解析式为 联立 由此得 所以 M 则：在对称轴上存在点 M ，使 MQ+MC 的值最小。 2.（08 甘肃白银等 9 市）28．（12 分）如图 20，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 B 的坐标为（4， 3）．平行于对角线 AC 的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线 m 与矩 形 OABC 的两边分别交于点 M、N，直线 m 运动的时间为 t（秒）． (1) 点 A 的坐标是__________，点 C 的坐标是 __________； (2) 当 t= 秒或 秒时，MN= AC； (3) 设△OMN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式； (4) 探求(3)中得到的函数 S 有没有最大值？若有， 求出最大值；若没 有，要说明理由． （08 甘肃白银等 9 市 28 题解析）28． 本小题满分 12 分 解：(1)（4，0），（0，3）； ·····························································································2 分 (2) 2，6； ························································································································· 4 分 (3) 当 0＜t≤4 时，OM=t． 由△OMN∽△OAC，得 ， ∴ ON= ，S= ． ············································ 6 分 当 4＜t＜8 时， 如图，∵ OD=t，∴ AD= t-4． 方法一： 由△DAM∽△AOC，可得 AM= ，∴ BM=6- ． ··································· 7 分 8 24 41 41y x= + 1 2 8 24 41 41 x y x  =  = + 1 2 8 24 41 41 x y x  =  = + 1 28( , )2 41 1 28( , )2 41 2 1 OC ON OA OM = t4 3 2 8 3 t )4(4 3 −t t4 3 图 20 由△BMN∽△BAC，可得 BN= =8-t，∴ CN=t-4． ··········································· 8 分 S=矩形 OABC 的面积-Rt△OAM 的面积- Rt△MBN 的面积- Rt△NCO 的面积 =12- - （8-t）（6- ）- = ． ········································································································10 分 方法二： 易知四边形 ADNC 是平行四边形，∴ CN=AD=t-4，BN=8-t． ··········································7 分 由△BMN∽△BAC，可得 BM= =6- ，∴ AM= ． ∙∙∙∙∙∙8 分 以下同方法一． (4) 有最大值． 方法一： 当 0＜t≤4 时， ∵ 抛物线 S= 的开口向上，在对称轴 t=0 的右边， S 随 t 的增大而增大， ∴ 当 t=4 时，S 可取到最大值 =6； ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分 当 4＜t＜8 时， ∵ 抛物线 S= 的开口向下，它的顶点是（4，6），∴ S＜6． 综上，当 t=4 时，S 有最大值 6． ·················································································· 12 分 方法二： ∵ S= ∴ 当 0＜t＜8 时，画出 S 与 t 的函数关系图像，如图所示． ··································· 11 分 显然，当 t=4 时，S 有最大值 6． ·············································································· 12 分 说明：只有当第（3）问解答正确时，第（4）问只回答“有最大值”无其它步骤，可给 1 分；否则，不给 分． 3.（08 广东广州）25、（2008 广州）（14 分）如图 11，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在 等腰△PQR 中，∠QPR=120°，底边 QR=6cm，点 B、C、Q、R 在同一直线 l 上，且 C、Q 两点重合，如果等腰△ PQR 以 1cm/秒的速度沿直线 l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形 ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积记为 S 平 方厘米 BM3 4 )4(2 3 −t 2 1 t4 3 )4(2 3 −t tt 38 3 2 +− BN4 3 t4 3 )4(4 3 −t 2 8 3 t 248 3 × tt 38 3 2 +− 2 2 3 0 48 3 3 4 88 t t t t t  <  − + < < ， ≤ ， （1）当 t=4 时，求 S 的值 （2）当 ，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值 （08 广东广州 25 题解析）25．（1）t＝4 时,Q 与 B 重合，P 与 D 重合， 重合部分是 ＝ 4 t≤ ≤10 BDC∆ 323222 1 =⋅⋅ 图 11 4.（08 广东深圳）22．如图 9，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象的顶点为 D 点， 与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0）， OB＝OC ，tan∠ACO＝ ． （1）求这个二次函数的表达式． （2）经过 C、D 两点的直线，与 x 轴交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点 F，使以点 A、C、E、F 为顶 点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M、N 两点，且以 MN 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆半径的长 度． （4）如图 10，若点 G（2，y）是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点，当点 P 运动到什 么位置时，△APG 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和△APG 的最大面积. （08 广东深圳 22 题解析）22．（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） …1 分 将 A、B、C 三点的坐标代入得 ……………………2 分 解得： ……………………3 分 所以这个二次函数的表达式为： ……………………3 分 方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） ………………………1 分 设该表达式为： ……………………2 分 将 C 点的坐标代入得： ……………………3 分 所以这个二次函数的表达式为： ……………………3 分 （注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分） （2）方法一：存在，F 点的坐标为（2，－3） ……………………4 分 )0(2 >++= acbxaxy 3 1    −= =++ =+− 3 039 0 c cba cba    −= −= = 3 2 1 c b a 322 −−= xxy )3)(1( −+= xxay 1=a 322 −−= xxy 理由：易得 D（1，－4），所以直线 CD 的解析式为： ∴E 点的坐标为（－3，0） ……………………4 分 由 A、C、E、F 四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF ∴以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形 ∴存在点 F，坐标为（2，－3） ……………………5 分 方法二：易得 D（1，－4），所以直线 CD 的解析式为： ∴E 点的坐标为（－3，0） ………………………4 分 ∵以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形 ∴F 点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合 ∴存在点 F，坐标为（2，－3） ………………………5 分 （3）如图，①当直线 MN 在 x 轴上方时，设圆的半径为 R（R>0），则 N（R+1，R）， 代入抛物线的表达式，解得 …………6 分 ②当直线 MN 在 x 轴下方时，设圆的半径为 r（r>0）， 则 N（r+1，－r）， 代入抛物线的表达式，解得 ………7 分 ∴圆的半径为 或 ． ……………7 分 （4）过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q， 易得 G（2，－3），直线 AG 为 ．……………8 分 设 P（x， ），则 Q（x，－x－1），PQ ． ……………………9 分 当 时，△APG 的面积最大 此时 P 点的坐标为 ， ． ……………………10 分 6.（08 湖北恩施）六、(本大题满分 12 分) 24. 如图 11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC=∠ AGF=90°，它们的斜边长为 2，若∆ABC 固定不动，∆AFG 绕点 A 旋转，AF、AG 与边 BC 的交点分别为 D、E(点 D 不与点 B 重合,点 E 不与点 C 重合),设 BE=m，CD=n. 3−−= xy 3−−= xy 2 171+=R 2 171+−=r 2 171+ 2 171+− 1−−= xy 322 −− xx 22 ++−= xx 3)2(2 1 2 ×++−=+= ∆∆∆ xxSSS GPQAPQAPG 2 1=x      − 4 15,2 1 8 27的最大值为APGS∆ （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. （2）求 m 与 n 的函数关系式，直接写出自变量 n 的取值范围. （3）以∆ABC 的斜边 BC 所在的直线为 x 轴，BC 边上的高所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系(如图 12). 在边 BC 上找一点 D，使 BD=CE，求出 D 点的坐标，并通过计算验证 BD ＋CE =DE . （4）在旋转过程中,(3)中的等量关系 BD ＋CE =DE 是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由. （08 湖北恩施 24 题解析）六、(本大题满分 12 分) 24. 解:(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA 1 分 ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45° ∴∠BAE=∠CDA 又∠B=∠C=45° ∴∆ABE∽∆DCA 3 分 (2)∵∆ABE∽∆DCA ∴ 由依题意可知 CA=BA= ∴ ∴m= 5 分 自变量 n 的取值范围为 1= xxy )0(2 1 ≠++= acbxaxy )0,0(2 >>= xkx ky )0(2 1 ≠++= acbxaxy 0x 0x 第 27 题图 2 y=a(x-1)(x+3)…………………………1 分 （只要设出解析式正确，不管是什么形式给 1 分） 将（0，— ）代入，解得 a= . ∴抛物线解析式为 y= x2+x- …………………………………3 分 （无论解析式是什么形式只要正确都得分） 画图（略）。（没有列表不扣分）…………………………………5 分 （2）正确的画出反比例函数在第一象限内的图像……………7 分 由 图 像 可 知 ， 交 点 的 横 坐 标 x0 落 在 1 和 2 之 间 ， 从 而 得 出 这 两 个 相 邻 的 正 整 数 为 1 与 2。…………………………………………………9 分 （3）由函数图像或函数性质可知：当 2＜x＜3 时， 对 y1= x2+x- , y1 随着 x 增大而增大，对 y2= （k＞0）， y2 随着 X 的增大而减小。因为 A（X0，Y0）为二次函数图像与反比例函数图像的交点，所心当 X0=2 时，由反 比例函数图象在二次函数上方得 y2＞y1， 即 ＞ ×22+2- ，解得 K＞5。…………………………………11 分 同理，当 X0=3 时，由二次函数数图象在反比例上方得 y1＞y2， 即 ×32+3— ＞ ，解得 K＜18。…………………………………13 所以 K 的取值范围为 5 ＜K＜18………………………………………14 分 20.（08 江苏无锡）27．（本小题满分 10 分） 如图，已知点 从 出发，以 1 个单位长度/秒的速度沿 轴向正方向运动，以 为顶点作菱形 ， 使点 在第一象限内，且 ；以 为圆心， 为半径作圆．设点 运动了 秒，求： （1）点 的坐标（用含 的代数式表示）； （2）当点 在运动过程中，所有使 与菱形 的边所在直线相切的 的值． 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 x k 2 k 2 1 2 3 2 1 2 3 3 k A (1 0)， x O A， OABC B C， 60AOC∠ =  (0 3)P ， PC A t C t A P OABC t （08 江苏无锡 27 题解析）27．解：（1）过 作 轴于 ， ， ， ， ， 点 的坐标为 ．··········（2 分） （2）①当 与 相切时（如图 1），切点为 ，此时 ， ， ， ． ················（4 分） ②当 与 ，即与 轴相切时（如图 2），则切点为 ， ， 过 作 于 ，则 ，·······························································（5 分） ， ．························································（7 分） ③当 与 所在直线相切时（如图 3），设切点为 ， 交 于 ， 则 ， ， ． ···································································（8 分） 过 作 轴于 ，则 ， ， 化简，得 ， 解得 ， ， ． 所求 的值是 ， 和 ． ········································（10 分） C CD x⊥ D 1OA t= + 1OC t∴ = + 1cos60 2 tOD OC +∴ = = 3(1 )sin 60 2 tDC OC += = ∴ C 1 3(1 ) 2 2 t t + +    ， P OC C PC OC⊥ cos30OC OP∴ =  31 3 2t∴ + =  3 3 12t∴ = − P OA x O PC OP= P PE OC⊥ E 1 2OE OC= 1 3 3cos302 2 t OP +∴ = = 3 3 1t∴ = − P AB F PF OC G PF OC⊥ 3(1 ) 2 tFG CD +∴ = = 3(1 )sin30 2 tPC PF OP +∴ = = + C CH y⊥ H 2 2 2PH CH PC+ = 2 221 3(1 ) 3 3(1 )32 2 2 2 t t t   + + + ∴ + − = +              2( 1) 18 3( 1) 27 0t t+ − + + = 1 9 3 6 6t + = ± 9 3 6 6 1 0t = − − < 9 3 6 6 1t∴ = + − ∴ t 3 3 12 − 3 3 1− 9 3 6 6 1+ − B ADO P C x y 图 1 y x BC P O A E 图 2 y xA F C B P O G H 图 3 21.（08 江苏无锡）28．（本小题满分 8 分） 一种电讯信号转发装置的发射直径为 31km．现要求：在一边长为 30km 的正方形城区选择若干个安装点，每个 点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问： （1）能否找到这样的 4 个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？ （2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？ 答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几 个边长为 30km 的正方形城区示意图，供解题时选用） （08 江苏无锡 28 题解析）28．解：（1）将图 1 中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这 4 个转发装置 安装在这 4 个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为 ，每个转发装 置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装 4 个这种装置可以达到预设的要求． ·······································································································（3 分）（图案设计不唯一） （2）将原正方形分割成如图 2 中的 3 个矩形，使得 ．将每个装置安装在这些矩形的对角线 交点处，设 ，则 ， ． 由 ，得 ， ， ， 即如此安装 3 个这种转发装置，也能达到预设要求． ·············································（6 分） 或：将原正方形分割成如图 2 中的 3 个矩形，使得 ， 是 的中点，将每个装置安装在这些矩形 的对角线交点处，则 ， ， ， 即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要求．························································（6 分） 要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图 3，用一个直径为 31 的 去 覆 盖 边 长 为 30 的 正 方 形 ， 设 经 过 ， 与 交 于 ， 连 ， 则 ，这说明用两个直径都为 31 的圆不能完全覆盖正方形 ． 所以，至少要安装 3 个这种转发装置，才能达到预设要求． ·································（8 分） 评分说明：示意图（图 1、图 2、图 3）每个图 1 分． 1 30 2 15 2 312 = < BE DG CG= = AE x= 30ED x= − 15DH = BE DG= 2 2 2 230 15 (30 )x x+ = + − 225 15 60 4x∴ = = 2 215 30 30.2 314BE  ∴ = + ≈ <   31BE = H CD 2 231 30 61AE = − = 30 61DE = − 2 2(30 61) 15 26.8 31DE∴ = − + <≈ O ABCD O A B， O AD E BE 2 2 131 30 61 15 2AE AD= − = < = ABCD 图 1 图 2 图 3 图 4 A D CB 图 1 B F DA E HO 图 2 图 3 D CFB EA O 40（08 山西太原）29．（本小题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 交于点 ，分别交 轴于点 和点 ，点 是 直线 上的一个动点． （1）求点 的坐标． （2）当 为等腰三角形时，求点 的坐标． （3）在直线 上是否存在点 ，使得以点 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直线 写出 的值；如果不存在，请说明理由． （08 山西太原 29 题解析）29．解：（1）在 中，当 时， ， ，点 的坐标为 ．····················································································1 分 在 中，当 时， ，点 的坐标为（4，0）． ··2 分 由题意，得 解得 点 的坐标为 ． ································································································3 分 （2）当 为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点 的坐标为 ． 由（1），得 ， ． xOy 1y x= + 3 34y x= − + A x B C D AC A B C， ， CBD△ D AB E E D O A， ， ， BE CD 1y x= + 0y = 1 0x + = 1x∴ = − B ( 1 0)− ， 3 34y x= − + 0y = 3 3 0 44 x x− + = ∴ =， C 1 3 34 y x y x = + = − + ， ． 8 7 15 7 x y  =  = ， ． ∴ A 8 15 7 7     ， CBD△ D ( )x y， ( 1 0) (4 0)B C− ，， ， 5BC∴ = A y x D COB A y x y x D2 图（1） 图（2） D1 C D4 D3 M2 M1OB B O C A D1 D2 E1 E2 M4 ①当 时，过点 作 轴，垂足为点 ，则 ． ． ，点 的坐标为 ． ·······················································4 分 ②当 时，过点 作 轴，垂足为点 ，则 ． ， ， ． 解，得 （舍去）．此时， ． 点 的坐标为 ． ·························································································6 分 ③当 ，或 时，同理可得 ．·························9 分 由此可得点 的坐标分别为 ． 评分说明：符合条件的点有 4 个，正确求出 1 个点的坐标得 1 分，2 个点的坐标得 3 分，3 个点的坐标得 5 分，4 个点的坐标得满分；与所求点的顺序无关． （3）存在．以点 为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形，如图（2）． ①当四边形 为平行四边形时， ．·················································10 分 ②当四边形 为平行四边形时， ．··················································11 分 ③当四边形 为平行四边形时， ． ·············································12 分 41（08 陕西省卷）25、（本题满分 12 分） 某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三 个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。 如图，甲、乙两村坐落在夹角为 30°的两条公路的 AB 段和 CD 段（村子和公路的宽均不计），点 M 表示这所 1 1BD D C= 1D 1 1D M x⊥ 1M 1 1 1 2BM M C BC= = 1 1 5 5 3 312 2 2 2BM OM x∴ = = − = =， ， 3 3 1534 2 8y∴ = − × + = 1D 3 15 2 8     ， 2BC BD= 2D 2 2D M x⊥ 2M 2 2 2 2 2 2 2D M M B D B+ = 2 1M B x= − − 2 2 2 3 3 54D M x D B= − + =， 2 2 23( 1) 3 54x x ∴ − − + − + =   1 2 12 45x x= − =， 3 12 2434 5 5y  = − × − + =   ∴ 2D 12 24 5 5  −  ， 3CD BC= 4CD BC= 3 4(0 3) (8 3)D D −，， ， D 1 2 3 4 3 15 12 24 (0 3) (8 3)2 8 5 5D D D D   − −      ， ， ， ， ，， ， E D O A， ， ， 1 1AE OD 1 1 3 2 20 BE CD = 2 1AD E O 1 2 2 10 BE CD = 1 2AOD E 2 1 27 2 20 BE CD = 中学。点 B 在点 M 的北偏西 30°的 3km 处，点 A 在点 M 的正西方向，点 D 在点 M 的南偏西 60°的 km 处。 为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案： 方案一：供水站建在点 M 处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值； 方案二：供水站建在乙村（线段 CD 某处），甲村要求管道铺设到 A 处，请你在图①中，画出铺设到点 A 和 点 M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值； 方案三：供水站建在甲村（线段 AB 某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点 M 处的管道长度之和 最小的线路图，并求其最小值。 综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？ （08 陕西省卷 25 题解析）25、解：方案一：由题意可得：MB⊥OB， ∴点 M 到甲村的最短距离为 MB。…………………（1 分） ∵点 M 到乙村的最短距离为 MD， ∴将供水站建在点 M 处时，管道沿 MD、MB 线路铺设的长度之和最小， 即最小值为 MB+MD=3+ （km）…………………（3 分） 方案二：如图①，作点 M 关于射线 OE 的对称点 M′，则 MM′＝2ME， 连接 AM′交 OE 于点 P，PE∥AM，PE＝ 。 ∵AM＝2BM＝6，∴PE＝3 …………………（4 分） 在 Rt△DME 中， ∵DE＝DM·sin60°＝ × ＝3，ME＝ ＝ × ， ∴PE＝DE，∴ P 点与 E 点重合，即 AM′过 D 点。…………（6 分） 在线段 CD 上任取一点 P′，连接 P′A，P′M，P′M′， 则 P′M＝P′M′。 ∵A P′＋P′M′＞AM′， ∴把供水站建在乙村的 D 点处，管道沿 DA、DM 线路铺设的长度之和最小， 2 3 2 3 1 AM2 2 3 3 2 1 DM2 1 2 2 3 3= 北 东 D 30° A B C M O E F 图① 乙村 D 30° A B C M O E F 图② 乙村 即最小值为 AD＋DM＝AM′＝ ………（7 分） 方案三：作点 M 关于射线 OF 的对称点 M′，作 M′N⊥OE 于 N 点，交 OF 于点 G， 交 AM 于点 H，连接 GM，则 GM＝GM′ ∴M′N 为点 M′到 OE 的最短距离，即 M′N＝GM＋GN 在 Rt△M′HM 中，∠MM′N＝30°，MM′＝6， ∴MH＝3，∴NE＝MH＝3 ∵DE＝3，∴N、D 两点重合，即 M′N 过 D 点。 在 Rt△M′DM 中，DM＝ ，∴M′D＝ …………（10 分） 在线段 AB 上任取一点 G′，过 G′作 G′N′⊥OE 于 N′点， 连接 G′M′，G′M， 显然 G′M＋G′N′＝G′M′＋G′N′＞M′D ∴把供水站建在甲村的 G 处，管道沿 GM、GD 线路铺设的长度之和最小，即最小值为 GM＋GD＝M′D＝ 。 …（11 分） 综上，∵3＋ ＜ ， ∴供水站建在 M 处，所需铺设的管道长度最短。 …………（12 分） 46.（08 四川凉山）25．（9 分）如图，在 中 ， 是 的中点，以 为直径的 交 的三边，交点分别是 点． 的交点为 ，且 ， ． （1）求证： ． ( )22 2 2AM MM 6 2 3 4 3+ ′＝ ＋ ＝ 2 3 4 3 4 3 2 3 4 3 ABC△ 90ACB∠ =  D AB DC O ABC△ G F E， ， GE CD， M 4 6ME = : 2:5MD CO = GEF A∠ = ∠ 北 东 D 30° A B C M O E F 图① P′ M′ P N′ D 30° A B C M O E F 图② 乙村 M′ N H G G′ （2）求 的直径 的长． （3）若 ，以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴和 轴，建立平面直角坐标系， 求直线 的函数表达式． （08 四川凉山 25 题解析）25．（9 分） （1）连接 是圆直径， ，即 ， ． ···························································································1 分 ． 在 中 ， ． ····························2 分 （2） 是 斜边 的中点， ， ， 又由（1）知 ， ． 又 ， 与 相似 ···························································3 分 ······················································································4 分 又 ， ， ， ·········································5 分 设 ， ， ， 直径 ． ···········································································································6 分 （3） 斜边上中线 ， 在 中 ， ， ································7 分 设直线 的函数表达式为 ， 根据题意得 ， 解得 直线 的函数解析式为 （其他方法参照评分）······································9 分 49.（08 四川宜宾）24、(本小题满分 12 分) 已知:如图,抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为 D. （1） 求该抛物线的解析式； O CD cos 0.6B∠ = C CA CB， X Y AB DF CD 90CFD∴∠ =  DF BC⊥ 90ACB∠ =  DF AC∴ ∥ BDF A∴∠ = ∠  O BDF GEF∠ = ∠ GEF A∴∠ = ∠ D Rt ABC△ AB DC DA∴ = DCA A∴∠ = ∠ GEF A∠ = ∠ DCA GEF∴∠ = ∠ OME EMC∠ = ∠ OME∴△ EMC△ OM ME ME MC ∴ = 2ME OM MC∴ = × 4 6ME = 2(4 6) 96OM MC∴ × = = : 2:5MD CO = : 3: 2OM MD∴ = : 3:8OM MC∴ = 3OM x= 8MC x= 3 8 96x x∴ × = 2x∴ = ∴ 10 20CD x= = Rt ABC △ 20CD = 40AB∴ =  Rt ABC△ cos 0.6 BCB AB ∠ = = 24BC∴ = 32AC∴ = AB y kx b= + (32 0)A ， (0 24)B ， 0 24 32 0 k b k b × + =∴ × + = 3 4 24 k b  = −  = ∴ AB 3 244y x= − + E A D G B F C O M 第 25 题图 E A D G B F C O M 第 25 题图 （2） 若该抛物线与 x 轴的另一个交点为 E. 求四边形 ABDE 的面积； （3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为 ） （08 四川宜宾 24 题解析）24.解：（ 1）由已知得： 解得 c=3,b=2 ∴抛物线的线的解析式为 (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4） 所以对称轴为 x=1,A,E 关于 x=1 对称，所以 E(3,0) 设对称轴与 x 轴的交点为 F 所以四边形 ABDE 的面积= = = =9 （3）相似 如图，BD= BE= DE= 所以 , 即： ,所以 是直角三角形 所以 ,且 , 所以 .       −− a bac a b 4 4,2 2 3 1 0 c b c = − − + = 2 2 3y x x= − + + ABO DFEBOFDS S S∆ ∆+ +梯形 1 1 1( )2 2 2AO BO BO DF OF EF DF⋅ + + ⋅ + ⋅ 1 1 11 3 (3 4) 1 2 42 2 2 × × + + × + × × 2 2 2 21 1 2BG DG+ = + = 2 2 2 23 3 3 2BO OE+ = + = 2 2 2 22 4 2 5DF EF+ = + = 2 2 20BD BE+ = 2 20DE = 2 2 2BD BE DE+ = BDE∆ 90AOB DBE∠ = ∠ = ° 2 2 AO BO BD BE = = AOB DBE∆ ∆ y x D EA B FO G 51.（08 湖南郴州 27 题）（本题满分 10 分）如图 10，平行四边形 ABCD 中，AB＝5，BC＝10，BC 边上的高 AM=4，E 为 BC 边上的一个动点（不与 B、C 重合）．过 E 作直线 AB 的垂线，垂足为 F． FE 与 DC 的延长线相交 于点 G，连结 DE，DF．． （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG． （2） 当点 E 在线段 BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由． （3）设 BE＝x，△DEF 的面积为 y，请你求出 y 和 x 之间的函数关系式，并求出当 x 为何值时,y 有最大值，最 大值是多少？ （08 湖南郴州 27 题解析）（1） 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 ·1 分 所以 所以 ········································································································3 分 （2） 的周长之和为定值． ·····································································4 分 理由一： 过点 C 作 FG 的平行线交直线 AB 于 H ， 因为 GF⊥AB，所以四边形 FHCG 为矩形．所以 FH＝CG，FG＝CH 因此， 的周长之和等于 BC＋CH＋BH 由 BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得 CH＝8，BH＝6， 所以 BC＋CH＋BH＝24 ············································································································6 分 理由二： 由 AB＝5，AM＝4，可知 在 Rt△BEF 与 Rt△GCE 中，有： ， 所以，△BEF 的周长是 ， △ECG 的周长是 又 BE＋CE＝10，因此 的周长之和是 24． ·················································6 分 AB DG ,B GCE G BFE∠ = ∠ ∠ = ∠ BEF CEG△ ∽△ BEF CEG△ 与△ BEF CEG△ 与△ 4 3 4 3, , ,5 5 5 5EF BE BF BE GE EC GC CE= = = = 12 5 BE 12 5 CE BEF CEG 与 A M x H G F E D CB 图 10 M B D CE F G x A （3）设 BE＝x，则 所以 ·········································8 分 配方得： ． 所以，当 时，y 有最大值． ·······················································································9 分 最大值为 ． ·························································································································10 分 52（08 湖南郴州 28 题）（本题满分 10 分） 如图 13，在平面直角坐标系中，圆 M 经过原点 O，且与 轴、 轴分别相交于 两 点． （1）求出直线 AB 的函数解析式； （2）若有一抛物线的对称轴平行于 轴且经过点 M，顶点 C 在⊙M 上，开口向下，且经过点 B，求此抛物 线的函数解析式； （3）设（2）中的抛物线交 轴于 D、E 两点，在抛物线上是否存在点 P，使得 ？若存在， 请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． （08 湖南郴州 28 题解析）解：（1）设 AB 的函数表达式为 ∵ ∴ ∴ ∴直线 AB 的函数表达式为 ． ·············································································3 分 （2）设抛物线的对称轴与⊙M 相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点 C。又设对称轴与 轴相交于点 N，在直角三角形 AOB 中， 因为⊙M 经过 O、A、B 三点，且 ⊙M 的直径，∴半径 MA=5，∴N 为 AO 的中点 AN=NO=4，∴MN=3∴CN=MC-MN=5-3=2，∴C 点的坐标为（-4，2）． 设所求的抛物线为 4 3, (10 )5 5EF x GC x= = − 21 1 4 3 6 22[ (10 ) 5]2 2 5 5 25 5y EF DG x x x x= = − + = − −  26 55 121( )25 6 6y x= − − + 55 6x = 121 6 x y ( ) ( )8 0 0 6A B− −， 、 ， y x ABCPDE SS ∆∆ = 10 1 .bkxy += ( ) ( ),6,0,0,8 −− BA    =− +−= .6 ,80 b bk    −= −= .6 ,4 3 b k 3 64y x= − − x .1068 2222 =+=+= OBAOAB 为ABAOB ∴=∠ ,90 cbxaxy ++= 2 则 ∴所求抛物线为 ·······················································································7 分 （3）令 得 D、E 两点的坐标为 D（-6，0）、E（-2，0），所以 DE=4． 又 AC= 直角三角形的面积 假设抛物线上存在点 ． 当 故满足条件的存在．它们是 ． ····························10 分 53（08 湖南湘潭 26 题）（本题满分 10 分） 已知抛物线 经过点 A（5，0）、B（6，-6）和原点. （1）求抛物线的函数关系式； （2）若过点 B 的直线 与抛物线相交于点 C（2，m），请求出 OBC 的面积 S 的值. （3）过点 C 作平行于 x 轴的直线交 y 轴于点 D，在抛物线对称轴右侧位于直线 DC 下方的抛物线上，任取一 点 P，过点 P 作直线 PF 平行于 y 轴交 x 轴于点 F，交直线 DC 于点 E. 直线 PF 与直线 DC 及两坐标轴围成矩 形 OFED（如图），是否存在点 P，使得 OCD 与 CPE 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明 理由. （08 湖南湘潭 26 题解析）解：（1）由题意得： 2 分 解得 ·························································3 分 故抛物线的函数关系式为 ················4 分        −= −= −= ∴        =− +−= −=− .6 ,4 ,2 1 .6 ,4162 ,42 c b a c cba a b 21 4 62y x x= − − − ，0.642 1 2 =−−− xx ∴= ,54,52 BC .2054522 1 =••=∆ABCS ( ) 1,2010 1 2 1 10 1, ±=∴•=••= ∆∆ yyDESSyxp ABCPDE ，即使得 .641;241 ±−=−=±−== xyxy 时，当时， ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 44 2,1 , 4 2,1 , 4 6, 1 , 4 6, 1P P P P− + − − − + − − − − 2y ax bx c= + + y kx b′= + ∆ ∆ ∆ 25 5 0 36 6 0 0 a b c a b c c + + =  + + =  = 1 5 0 a b c = −  =  = 2 5y x x= − + x y -4 -6 C E P D B 51 2 4 6 F AG 2 -2 （2） 在抛物线上， ···5 分 点坐标为（2，6）， 、C 在直线 上 解得 直线 BC 的解析式为 ·················································································6 分 设 BC 与 x 轴交于点 G，则 G 的坐标为（4，0） ···········································································7 分 （3）存在 P，使得 ∽ ·························································································8 分 设 P ， 故 若要 ∽ ，则要 或 即 或 解得 或 又 在抛物线上， 或 解得 或 故 P 点坐标为 和 ···················································································10 分 （只写出一个点的坐标记 9 分） 54.（08 湖南永州 25 题）（10 分）如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞ 0)与坐标轴交于点 A、B、C 且 OA＝1，OB＝OC＝3 ． （1）求此二次函数的解析式． （2）写出顶点坐标和对称轴方程． （3）点 M、N 在 y＝ax2＋bx＋c 的图像上(点 N 在点 M 的右边)，且 MN∥x 轴，求以 MN 为直径且与 x 轴相切的圆的半径． C 22 5 2 , 6m m∴− + × = ∴ = C∴ B y kx b′= + ∴ 6 2 6 6 k b k b ′= +  ′− = + 3, 12k b′= − = ∴ 3 12y x= − + 1 14 6 4 6 242 2OBCS∴ = × × + × × − =  OCD CPE ( , )m n 90ODC E∠ = ∠ = ° 2, 6CE m EP n= − = − OCD CPE OD DC CE EP = OD DC EP CE = 6 2 2 6m n =− − 6 2 6 2n m =− − 20 3m n= − 12 3n m= − ( , )m n 2 20 3 5 m n n m m = −  = − + 2 12 3 5 n m n m m = −  = − + 1 2 2 1 10 23 , ,650 9 m m nn  = =  = = 1 2 1 2 2 6,6 6 m m n n = =   = = −  10 50( )3 9 ， (6, 6)− （08 湖南永州 25 题解析）（1）依题意 分别代入 1 分 解方程组得所求解析式为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 （2） ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 顶点坐标 ，对称轴 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 （3）设圆半径为 ，当 在 轴下方时， 点坐标为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 把 点代入 得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 同理可得另一种情形 圆的半径为 或 10 分 55.（08 吉林长春 27 题）（１２分）已知两个关于 的二次函数 与当 时， ；且二次函数 的图 象的对称轴是直 线 ． （1）求 的值； （2）求函数 的表达式； （3）在同一直角坐标系内，问函数 的图象与 的图象是否有交点？请说明理由． （08 吉林长春 27 题解析）[解] （1）由 得 ． 又因为当 时， ，即 ， 解得 ，或 （舍去），故 的值为 ． （2）由 ，得 ， 所以函数 的图象的对称轴为 ， ( 1 0) (3 0) (0 3)A B C− −，， ，， ， 2y ax bx c= + + 2 2 3y x x= − − 2 22 3 ( 1) 4y x x x= − − = − − ∴ (1 4)−， 1x = r MN x N (1 )r r+ −， N 2 2 3y x x= − − 1 17 2r − += 1 17 2r + += ∴ 1 17 2 − + 1 17 2 + x 1y x k= 2 17y = 2y 2 2 2 1 1 2( ) 2( 0) 6 12y y a x k k y y x x= − + > + = + +， ， 1x = − k 1 2y y， 1y 2y 2 2 1 1 2( ) 2 6 12y a x k y y x x= − + + = + +， 2 2 2 2 2 1 2 1( ) 6 12 ( ) 2 6 10 ( )y y y y x x a x k x x a x k= + − = + + − − − = + + − − x k= 2 17y = 2 6 10 17k k+ + = 1 1k = 2 7k = − k 1 1k = 2 2 2 2 6 10 ( 1) (1 ) (2 6) 10y x x a x a x a x a= + + − − = − + + + − 2y 2 6 2(1 ) ax a += − − 于是，有 ，解得 ， 所以 ． （3）由 ，得函数 的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为 ； 由 ，得函数 的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为 ； 故在同一直角坐标系内，函数 的图象与 的图象没有交点． 56（08 江苏盐城 28 题）（本题满分 12 分） 如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点 D 为射线 BC 上一动点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作 正方形 ADEF． 解答下列问题： （1）如果 AB=AC，∠BAC=90º． ①当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合），如图乙，线段 CF、BD 之间的位置关系为 ▲ ，数量关 系为 ▲ ． ②当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果 AB≠AC，∠BAC≠90º，点 D 在线段 BC 上运动． 试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF⊥BC（点 C、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理 由．（画图不写作法） （3）若 AC＝ ，BC=3，在（2）的条件下，设正方形 ADEF 的边 DE 与线段 CF 相交于点 P，求线段 CP 长的最大值． （08 江苏盐城 28 题解析）（1）①CF 与 BD 位置关系是 垂 直、数量关系是相 等； ②当点 D 在 BC 的延长线上时①的结论仍成立． 由正方形 ADEF 得 AD=AF ，∠DAF=90º． ∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ， ∴∠DAB=∠FAC， 又 AB=AC ，∴△DAB≌△FAC ， ∴CF=BD 　　　　 2 6 12(1 ) a a +− = −− 1a = − 2 2 1 22 1 2 4 11y x x y x x= − + + = + +， 2 1 ( 1) 2y x= − − + 1y (1 2)， 2 2 2 2 4 11 2( 1) 9y x x x= + + = + + 2y ( 19)− ， 1y 2y 4 2 A B CD E F 第 28 题图 图甲 图乙 F E DCB A F ED CB A 图丙 ∠ACF=∠ABD． ∵∠BAC=90º， AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º， ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD （2）画图正确　　　　　　　 当∠BCA=45º 时，CF⊥BD（如图丁）． 理由是：过点 A 作 AG⊥AC 交 BC 于点 G，∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即 CF⊥BD （3）当具备∠BCA=45º 时， 过点 A 作 AQ⊥BC 交 BC 的延长线于点 Q，（如图戊） ∵DE 与 CF 交于点 P 时， ∴此时点 D 位于线段 CQ 上， ∵∠BCA=45º，可求出 AQ= CQ=4．设 CD=x ，∴ DQ=4—x， 容易说明△AQD∽△DCP，∴ ， ∴ ， ． ∵0＜x≤3 ∴当 x=2 时，CP 有最大值 1． 57.（08江西省卷24题）（本大题9分）已知：如图所示的两条抛物线的解析式分别是 ， （其中 为常数，且 ）． （1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论； （2）当 时，设 与 轴分别交于 两点（ 在 的左边）， 与 轴分别交于 两点（ 在 的左边），观察 四点坐标，请写出一个你所得到的正确结论，并 说明理由； （3）设上述两条抛物线相交于 两点，直线 都垂直于 轴， 分别经过 两点， 在直线 之间，且 与两条抛物线分别交于 两点，求线段 的最大值． （08 江西省卷 24 题解析）（1）解：答案不唯一，只要合理均可．例如： ①抛物线 开口向下，或抛物线 开口向上； ②抛物线 的对称轴是 ，或抛物线 的对称轴是 ； CP CD DQ AQ = 4 4 CP x x =− 2 21 ( 2) 14 4 xCP x x∴ = − + = − − + 2 1 1y ax ax= − − + 2 2 1y ax ax= − − a 0a > 1 2a = 2 1 1y ax ax= − − + x M N， M N 2 2 1y ax ax= − − x E F， E F M N E F， ， ， A B， 1 2l l l， ， x 1 2l l， A B， l 1 2l l， l C D， CD 2 1 1y ax ax= − − + 2 2 1y ax ax= − − 2 1 1y ax ax= − − + 1 2x = − 2 2 1y ax ax= − − 1 2x = 图丁 G A B CD E F 图戊 P Q A B CD E F y x A O BB ③抛物线 经过点 ，或抛物线 经过点 ； ④抛物线 与 的形状相同，但开口方向相反； ⑤抛物线 与 都与 轴有两个交点； ⑥抛物线 经过点 或抛物线 经过点 ； 等等． ···········································································································································3 分 （2）当 时， ，令 ， 解得 ． ············································································································4 分 ，令 ，解得 ．·································5 分 ① 点 与点 对称，点 与点 对称； ② 四点横坐标的代数和为 0； ③ （或 ）．·······················································6 分 （3） ， 抛物线 开口向下，抛物线 开口向上． ·····················7 分 根据题意，得 ．····················8 分 当 时， 的最大值是 2． ··························································································9 分 说明：1．第（1）问每写对一条得 1 分； 2．第（2）问中，①②③任意写对一条得 1 分；其它结论参照给分． 58（08江西省卷25题）（本大题10分）如图1，正方形 和正三角形 的边长都为1，点 分别在线 段 上滑动，设点 到 的距离为 ，到 的距离为 ，记 为 （当点 分别与 重合时，记 ）． （1）当 时（如图2所示），求 的值（结果保留根号）； （2）当 为何值时，点 落在对角线 上？请说出你的理由，并求出此时 的值（结果保留根号）； （3）请你补充完成下表（精确到0.01）： 0.03 0 0.29 0.29 0.13 0.03 2 1 1y ax ax= − − + (01)， 2 2 1y ax ax= − − (0 1)−， 2 1 1y ax ax= − − + 2 2 1y ax ax= − − 2 1 1y ax ax= − − + 2 2 1y ax ax= − − x 2 1 1y ax ax= − − + ( 11)− ， 2 2 1y ax ax= − − (1 1)−， 1 2a = 2 1 1 1 12 2y x x= − − + 21 1 1 02 2x x− − + = 2 1M Nx x= − =， 2 2 1 1 12 2y x x= − − 21 1 1 02 2x x− − = 1 2E Fx x= − =， 0 0M F N Ex x x x+ = + = ∴ ， ， M F N E 0M F N Ex x x x M N E F+ + + = ∴ ， ， ， ， 3 3MN EF MN EF= = ∴ = ， ， ME NF= 0a > ∴ 2 1 1y ax ax= − − + 2 2 1y ax ax= − − 2 2 2 1 2 ( 1) ( 1) 2 2CD y y ax ax ax ax ax= − = − − + − − − = − + ∴ 0x = CD ABCD EFG E F， AB AD， G CD x BC y HEF∠ α E F， B A， 0α =  0α =  x y， α G AC x y， α 0 15 30 45 60 75 90 x y （4）若将“点 分别在线段 上滑动”改为“点 分别在正方形 边上滑动”．当滑动一周时， 请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出点 运动所形成的大致图形． （参考数据： ．） （08 江西省卷 25 题解析）解：（1）过 作 于 交 于 ， 于 ． ， ， ， ． ， ． ············································································································2 分 （2）当 时，点 在对角线 上，其理由是： ······················································3 分 过 作 交 于 ， 过 作 交 于 ． 平分 ， ， ． ， ， ． ， ． ， ． 即 时，点 落在对角线 上．················································································4 分 （以下给出两种求 的解法） 方法一： ， ． 在 中， ， E F， AB AD， E F， ABCD G 6 2 6 23 1.732 sin15 0.259 sin 75 0.9664 4 − += = ≈ ， ≈ ， ≈ G MN AB⊥ M CD N GK BC⊥ K 60ABG∠ =  1BG = 3 2MG∴ = 1 2BM = 31 2x∴ = − 1 2y = 45α =  G AC G IQ BC∥ AB CD， I Q， G JP AB∥ AD BC， J P， AC BCD∠ GP GQ∴ = GI GJ∴ = GE GF= Rt RtGEI GFJ∴ △ ≌ △ GEI GFJ∴∠ = ∠ 60GEF GFE∠ = ∠ =  AEF AFE∴∠ = ∠ 90EAF∠ =  45AEF AFE∴∠ = ∠ =  45α =  G AC x y， 45 60 105AEG∠ = + =   75GEI∴∠ =  Rt GEI△ 6 2sin 75 4GI GE += = A H F D G CB E 图 1 图 2 B(E) A(F) D C G H A D CB 图 3 H H DA CB 图 4 B(E) A(F) D C G K M N H A D CB H E I P QG F J ．···························································································5 分 ．···········································································································6 分 方法二：当点 在对角线 上时，有 ， ··············································································································5 分 解得 ．···········································································································6 分 （3） 0.13 0.03 0 0.03 0.13 0.29 0.50 0.50 0.29 0.13 0.03 0 0.03 0.13 ··················································································8 分 （4）由点 所得到的大致图形如图所示： ·······································································································································10 分 说明：1．第（1）问中，写对 的值各得 1 分； 2．第（2）问回答正确的得 1 分，证明正确的得 1 分，求出 的值各得 1 分； 3．第填对其中 4 空得 1 分； 3．图形大致画得正确的得 2 分． 59（08 山东济南 24 题）（本小题满分 9 分） 已知：抛物线 (a≠0)，顶点 C (1， )，与 x 轴交于 A、B 两点， ． （1）求这条抛物线的解析式． （2）如图，以 AB 为直径作圆，与抛物线交于点 D，与抛物线对称轴交于点 E，依次连接 A、D、B、E，点 P 为线 段 AB 上一个动点(P 与 A、B 两点不重合)，过点 P 作 PM⊥AE 于 M，PN⊥DB 于 N，请判断 是否为定值? 若 是，请求出此定值；若不是，请说明理由． （3）在(2)的条件下，若点 S 是线段 EP 上一点，过点 S 作 FG⊥EP ，FG 分别与边 AE、BE 相交于点 F、G(F 与 A、E 不重合，G 与 E、B 不重合)，请判断 是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理 由． 6 21 4GQ IQ GI +∴ = − = − 6 21 4x y +∴ = = − G AC 1 3 2 22 2 x+ + = 6 21 4x += − 6 21 4x y +∴ = = − α 0 15 30 45 60 75 90 x y G x y， x y， 2y ax bx c= + + 3− ( 1 0)A − ， PM PN BE AD + PA EF PB EG = H A C D B 第 24 题图 C O xA D P M E B N y （08 山东济南 24 题解析）解：(1)设抛物线的解析式为 .............1 分 将 A(－1，0)代入: ∴ ..........................................2 分 ∴ 抛物线的解析式为 ，即： ............................3 分 （2）是定值， ......................................................................................4 分 ∵ AB 为直径，∴ ∠AEB=90°，∵ PM⊥AE，∴ PM∥BE ∴ △APM∽△ABE，∴ ① 同理: ② ..............................................................................................5 分 ① + ②: ............................................................................6 分 （3）∵ 直线 EC 为抛物线对称轴，∴ EC 垂直平分 AB ∴ EA=EB ∵ ∠AEB=90° ∴ △AEB 为等腰直角三角形． ∴ ∠EAB=∠EBA=45° ..........................7 分 如图，过点 P 作 PH⊥BE 于 H， 由已知及作法可知，四边形 PHEM 是矩形， ∴PH=ME 且 PH∥ME 在△APM 和△PBH 中 ∵∠AMP=∠PHB=90°， ∠EAB=∠BPH=45° ∴ PH=BH 且△APM∽△PBH ∴ ∴ 　① ....................8 分 2( 1) 3y a x= − − 20 ( 1 1) 3a= − − − 3 4a = 23 ( 1) 34y x= − − 23 3 9 4 2 4y x x= − − 1PM PN BE AD + = PM AP BE AB = PN PB AD AB = 1PM PN AP PB BE AD AB AB + = + = PA PM PB BH = PA PM PM PB PH ME = = 在△MEP 和△EGF 中， ∵ PE⊥FG， ∴ ∠FGE+∠SEG=90° ∵∠MEP+∠SEG=90° ∴ ∠FGE=∠MEP ∵ ∠PME=∠FEG=90° ∴△MEP∽△EGF ∴ 　　　　② 由①、②知： .............................................................................................9 分 （本题若按分类证明，只要合理，可给满分） 60.(08 浙江杭州 24) 在直角坐标系 xOy 中，设点 A（0，t），点 Q（t， b）。平移二次函数 的图象，得到的抛物线 F 满足两个条 件：①顶点为 Q；②与 x 轴相交于 B，C 两点（∣OB∣<∣OC∣）， 连结 A，B。 （1）是否存在这样的抛物线 F，使得 ？请你作 出判断，并说明理由； （2）如果 AQ∥BC，且 tan∠ABO= ，求抛物线 F 对应的二次函数的解析式。 （08 浙江杭州 24 题解析）∵ 平移 的图象得到的抛物线 的顶点为 , ∴ 抛物线 对应的解析式为: . --- 2 分 ∵ 抛物线与 x 轴有两个交点，∴ . --- 1 分 令 , 得 ， , ∴ )( )| , 即 , 所以当 时, 存在抛物线 使得 .-- 2 分 (2) ∵ , ∴ , 得 : , 解得 . --- 1 分 PM EF ME EG = PA EF PB EG = 2txy −= OCOBOA ⋅=2 2 3 2txy −= F Q F btxty +−−= 2)( 0>bt 0=y −= tOB t b += tOC t b −=⋅ tOCOB (||||| t b +t t b −= 2| t 22| OAtt b == 22 tt t b ±=− 32tb = F |||||| 2 OCOBOA ⋅= BCAQ // bt = F ttxty +−−= 2)( 1,1 21 +=−= txtx 在 中, 1) 当 时,由 , 得 , 当 时, 由 , 解得 , 此时, 二次函数解析式为 ; --- 2 分 当 时, 由 , 解得 , 此时，二次函数解析式为 + + . --- 2 分 2) 当 时, 由 , 将 代 , 可得 , , （也可由 代 ， 代 得到） 所以二次函数解析式为 + – 或 . --- 2 分. ∆Rt AOB 0>t |||| OCOB < )0,1( −tB 01 >−t =∠ABOtan 2 3 = || || OB OA = 1−t t 3=t 24183 2 −+−= xxy 01 <−t =∠ABOtan 2 3 = || || OB OA = 1+− t t =t 5 3 −=y 5 3 2x 25 18 x 125 48 0