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- 2021-05-10 发布
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二次函数
一、二次函数的定义
例1、已知函数y=(m-1)xm2 +1+5x-3是二次函数,求m的值。
若函数y=(m2+2m-7)x2+4x+5是关于x的二次函数,则m的取值范围为 。
二、五点作图法的应用
例2. 已知抛物线,
(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴并用五点法作图
(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.
1、抛物线的顶点坐标为( )
(A)(-2,7) (B)(-2,-25) (C)(2,7) (D)(2,-9)
2、抛物线的对称轴是直线( )
A. B. C. D.
3、把二次函数用配方法化成的形式
三、及的符号确定
例3. 已知抛物线如图,试确定:
(1)及的符号;(2)与的符号。
1、已知二次函数()的图象如图所示,有下列四个结论:④,其中正确的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
1
1
O
x
y
2、已知二次函数的图象如图所示,有以下结论:①;②;③;④;⑤其中所有正确结论的序号是( )
A.①② B. ①③④ C.①②③⑤ D.①②③④⑤
y
x
O
1
-1
3、二次函数的图象如图所示,则下列关系式中错误的是( )
A.a<0 B.c>0
C.>0 D.>0
4、图12为二次函数的图象,给出下列说法:
①;②方程的根为;③;④当时,y随x值的增大而增大;⑤当时,.
其中,正确的说法有 .(请写出所有正确说法的序号)
5、已知=次函数y=ax+bx+c的图象如图.则下列5个代数式:ac,a+b+c,4a-2b+c,2a+b,2a-b中,其值大于0的个数为( )
A.2 B 3 C、4 D、5
四、二次函数解析式的确定
例4. 求二次函数解析式:
(1)抛物线过(0,2),(1,1),(3,5);
(2)顶点M(-1,2),且过N(2,1);
(3)已知抛物线过A(1,0)和B(4,0)两点,交y轴于C点且BC=5,求该二次函数的解析式。
练习:根据下列条件求关于x的二次函数的解析式
(1) 当x=3时,y最小值=-1,且图象过(0,7)
(2) 图象过点(0,-2)(1,2)且对称轴为直线x=
(3) 图象经过(0,1)(1,0)(3,0)
五、二次函数与x轴、y轴的交点(二次函数与一元二次方程的关系)
例5、 已知抛物线y=x2-2x-8,
(1)求证:该抛物线与x轴一定有两个交点;
(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,且它的顶点为P,求△ABP的面积
1、二次函数y=x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为
2、 如图所示,二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C, 则△ABC的面积为( )
A.6 B.4 C.3 D.1
3、若二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方,则m 的取值范围是
六、直线与二次函数的问题
例6 已知:二次函数为y=x2-x+m,(1)写出它的图像的开口方向,对称轴及顶点坐标;(2)m为何值时,顶点在x轴上方,(3)若抛物线与y轴交于A,过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B,当S△AOB=4时,求此二次函数的解析式.
1、抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 。
2、直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有 个交点。
例7 已知关于x的二次函数y=x2-mx+与y=x2-mx-,这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A,B两个不同的点.
(1)试判断哪个二次函数的图像经过A,B两点;
(2)若A点坐标为(-1,0),试求B点坐标;
(3)在(2)的条件下,对于经过A,B两点的二次函数,当x取何值时,y的值随x值的增大而减小?
练习如图,在平面直角坐标系中,OB⊥OA,且OB=2OA,点A的坐标是(-1,2).
(1)求点B的坐标;
(2)求过点A、O、B的抛物线的表达式;
(3)连接AB,在(2)中的抛物线上求出点P,使得S△ABP=S△ABO.
例8 已知:m,n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m0 C.a+b+c<0 D.b2-4ac>0
(第9题) (第12题) (第15题)
10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A(1,2),B(3,2),C(5,7).若点M(-2,y1),N(-1,y2),K(8,y3)也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上,则下列结论中正确的是( )
A.y10)交x轴A,B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为(-1,0).
(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;
(2)过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P,你能判断四边形ABCP是什么四边形?并证明你的结论;
(3)连接CA与抛物线的对称轴交于点D,当∠APD=∠ACP时,求抛物线的解析式.
18.如图所示,m,n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m