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  • 2021-05-10 发布

北京四中中考数学专练总复习实数知识讲解基础

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中考总复习:实数—知识讲解 (基础)‎ ‎【考纲要求】‎ ‎1.了解有理数、无理数、实数的概念;借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义,会比较实数的大小;‎ ‎2.知道实数与数轴上的点一一对应,会用科学记数法表示有理数,会求近似数和有效数字;了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念,并理解这两种运算之间的关系,了解整数指数幂的意义和基本性质;‎ ‎3.掌握实数的运算法则,并能灵活运用. ‎ ‎【知识网络】‎ ‎【考点梳理】‎ 考点一、实数的分类 ‎1.按定义分类:‎ ‎2.按性质符号分类:‎ 有理数:整数和分数统称为有理数或者“形如(m,n是整数n≠0)”的数叫有理数.‎ 无理数:无限不循环小数叫无理数.‎ 实数:有理数和无理数统称为实数.‎ 要点诠释:‎ 常见的无理数有以下几种形式:‎ ‎(1)字母型:如π是无理数,等都是无理数,而不是分数;‎ ‎(2)构造型:如2.10100100010000…(每两个1之间依次多一个0)就是一个无限不循环的小数;‎ ‎(3)根式型:…都是一些开方开不尽的数;‎ ‎(4)三角函数型:sin35°、tan27°、cos29°等.‎ 考点二、实数的相关概念 ‎1.相反数 ‎(1)代数意义:只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数.0的相反数是0;‎ ‎(2)几何意义:在数轴上原点的两侧,与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数;‎ ‎(3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.‎ ‎2.绝对值 ‎(1)代数意义:正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.‎ 可用式子表示为: ‎ ‎(2)几何意义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.距离是一个非负数,所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质,即绝对值是一个非负数.‎ 用式子表示:若a是实数,则|a|≥0.‎ 要点诠释:‎ 若则则表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.‎ ‎3.倒数 ‎(1)实数的倒数是;0没有倒数;‎ ‎(2)乘积是1的两个数互为倒数.a、b互为倒数.‎ ‎4.平方根 ‎(1)如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根.一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根.a(a≥0)的平方根记作.‎ ‎(2)一个正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根.a(a≥0)的算术平方根记作.‎ ‎5.立方根 如果x3=a,那么x叫做a的立方根.‎ 一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;0的立方根仍是0.‎ 考点三、实数与数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴,数轴的三要素缺一不可.‎ 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.‎ 要点诠释:‎ ‎(1)数轴的三要素:原点、正方向和单位长度.‎ ‎(2)实数和数轴上的点是一一对应的.‎ 考点四、实数大小的比较 ‎1.对于数轴上的任意两个点,靠右边的点所表示的数较大.‎ ‎2.正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数;两个负数;绝对值大的反而小.‎ ‎3.对于实数a、b, 若a-b>‎0‎a>b;a-b=‎0‎a=b;a-b<‎0‎ab,b>c,则a>c.‎ ‎5.无理数的比较大小:‎ 利用平方转化为有理数:如果a>b>0, a2>b‎2a>b;‎ 或利用倒数转化:如比较与.‎ 要点诠释:‎ 实数大小的比较方法:(1)直接比较法:正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数;两个负数,绝对值大的反而小.(2)数轴法:在数轴上,右边的数总比左边的数大.‎ 考点五、实数的运算 ‎1.加法 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得0;一个数同0相加,仍得这个数.‎ 满足运算律:加法的交换律a+b=b+a,加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c).‎ ‎2.减法 减去一个数等于加上这个数的相反数.‎ ‎3.乘法 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.‎ 几个非零实数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有偶数个时,积为正;当负因数有奇数个时,积为负.几个数相乘,有一个因数为0,积就为0.‎ 乘法运算的运算律:(1)乘法交换律ab=ba;(2)乘法结合律(ab)c=a(bc);(3)乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac.‎ ‎4.除法 ‎(1)除以一个数,等于乘上这个数的倒数.‎ ‎(2)两个数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数都得0.‎ ‎5.乘方与开方 ‎(1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方,a所表示的意义是n个a相乘.‎ 正数的任何次幂是正数,负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数.‎ ‎(2)正数和0可以开平方,负数不能开平方;正数、负数和0都可以开立方.‎ ‎(3)零指数与负指数 ‎ 要点诠释:‎ 加和减是一级运算,乘和除是二级运算,乘方和开方是三级运算.这三级运算的顺序是三、二、一.如果有括号,先算括号内的;如果没有括号,同一级运算中要从左至右依次运算.‎ 考点六、有效数字和科学记数法 一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位为止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.精确度的形式有两种:(1)精确到哪一位;(2)保留几个有效数字.‎ 把一个数用±a×10(其中1≤<10,n为整数)的形式记数的方法叫科学记数法.‎ 要点诠释:‎ ‎(1)当要表示的数的绝对值大于1时,用科学记数法写成a×10,其中1≤<10,n为正整数,其值等于原数中整数部分的数位减去1;‎ ‎(2)当要表示的数的绝对值小于1时,用科学记数法写成a×10,其中1≤<10,n为负整数,其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数(包括小数点前面的零).‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、实数的有关概念 ‎ ‎1.(1)a的相反数是,则a的倒数是_______.‎ ‎(2)实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示: 则化简=______.‎ ‎(3)(泉州市)去年泉州市林业用地面积约为10200000亩,用科学记数法表示为约____________.‎ ‎【答案】(1)5 ; (2)-a-b; (3)1.02×107亩.‎ ‎【解析】(1)注意相反数和倒数概念的区别,互为相反数的两个数只有性质符号不同,互为倒数的两个数要改变分子分母的位置;或者利用互为相反数的两个数之和等于0,互为倒数的两个数乘积等于1来计算.‎ ‎(2)此题考查绝对值的几何意义,绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号,要判别绝对值内的数的性质符号.‎ 由图知:‎ ‎(3)考查科学记数法的概念.‎ ‎【点评】本大题旨在通过几个简单的填空,让学生加强对实数有关概念的理解.‎ 举一反三:‎ ‎【变式】据市旅游局统计,今年“五·一”小长假期间,我市旅游市场走势良好,假期旅游总收入达到8.55亿元,用科学记数法可以表示为( )‎ A.8.55×106     B.8.55×107    C.8.55×108        D.8.55×109‎ ‎【答案】C.‎ 类型二、实数的分类与计算 ‎2.下列实数、sin60°、、、3.14159、-、、中无理数有( )个 A.1 B.‎2 C.3 D.4‎ ‎【答案】C. ‎ ‎【解析】无理数有sin60°、、.‎ ‎【点评】对实数进行分类不能只看表面形式,应先化简,再根据结果去判断.‎ 举一反三:‎ ‎【高清课程名称: 实数 高清ID号: 369214‎ 关联的位置名称(播放点名称):经典例题1】‎ ‎【变式】在中,哪些是有理数? 哪些是无理数?‎ ‎【答案】都是有理数;‎ 都是无理数.‎ ‎3.计算:计算:.‎ ‎【答案与解析】‎ ‎【点评】该题是实数的混合运算,包括绝对值,0指数幂、负整数指数幂,正整数指数幂.只要准确把握各自的意义,就能正确的进行运算.‎ 举一反三:‎ ‎【高清课程名称:实数 高清ID号:369214‎ 关联的位置名称(播放点名称):经典例题8-9】‎ ‎【变式1】计算:‎ ‎【答案】;‎ ‎【变式2】计算:‎ ‎【答案】‎ 设n=2001,则原式=‎ ‎(把n2+3n看作一个整体)‎ ‎=‎ ‎=n2+3n+1‎ ‎=n(n+3)+1‎ ‎=2001×2004+1‎ ‎=4010005.‎ 类型三、实数大小的比较 ‎4.比较下列每组数的大小:‎ ‎(1)与 (2)a与(a≠0)‎ ‎【答案与解析】‎ ‎(1),,‎ 而与可以很容易进行比较得到:‎ ‎,‎ 所以;‎ ‎(2)当a<-1或O1时,a>;‎ 当a=时,a=.‎ ‎【点评】(1)有时无理数比较大小,通过平方转化以后也无法进行比较,那么我们可以利用倒数关系比较;‎ ‎ (2)这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小,我们可以利用数轴进行比较,我们知道,0没有倒数,±‎ ‎1的倒数等于它本身,这样数轴就被这3个数分成了4部分,下面就可以分类讨论每种情况.我们还可以利用函数图象来解决这个问题,把的值看成是关于a的反比例函数,把a的值看成是关于a的正比例函数,在坐标系中画出它们的图象,可以很直观的比较出它们的大小.‎ 举一反三:‎ ‎【变式】比较下列每组数的大小:‎ ‎(1)和 (2)和 ‎【答案】‎ ‎(1)将其通分,转化成同分母分数比较大小,‎ ‎ ,, ,‎ 所以.‎ ‎(2)‎ 因为,‎ 所以.‎ 类型四、平方根的应用 ‎5.已知:x ,y是实数,,若axy-3x=y,则实数a的值是_______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】,即 两个非负数相加和为0,则这两个非负数必定同时为0,‎ ‎∴,(y-3)2=0, ∴ x=, y=3‎ 又∵axy-3x=y, ∴ a=.‎ ‎【点评】此题考查的是非负数的性质.‎ 类型五、实数运算中的规律探索 ‎6.细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题 ‎ ‎ ‎(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律;‎ ‎(2)推算出OA10的长;‎ ‎(3)求出S12+ S22+ S32+…+ S102的值.‎ ‎【答案与解析】‎ ‎(1)由题意可知,图形满足勾股定理,‎ ‎(2)因为OA1=,OA2=,OA3=…,‎ 所以OA10=‎ ‎(3)S12+ S22+ S32+…+ S102‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=.‎ ‎【点评】近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目,这些问题素材的选择、文字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识,基本技能,更重点考察了创新意识和能力,还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般,由具体到抽象的能力.‎ 举一反三:‎ ‎【变式】图中是一幅“苹果图”,第一行有1个苹果,第二行有2个,第三行有4个,第四行有8个,……你是否发现苹果的排列规律?猜猜看,第十行有______个苹果.‎ ‎【答案】2(512).‎