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- 2021-05-10 发布
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山东省临沂市费县2016年中考模拟测试三
一、选择题
1.数﹣1,,0,2中最大的数是( )
A.﹣1 B. C.0 D.2
2.下列计算正确的是( )
A. B.(x+y)2=x2+y2 C.(﹣3x)3=﹣9x3 D.﹣(x﹣6)=6﹣x
3.下列平面图形中,不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.下图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,它的俯视图是( )
A. B. C. D.
5.一个扇形的圆心角为60°,它所对的弧长为2πcm,则这个扇形的半径为( )
A.6cm B.12cm C.2cm D. cm
6.在反比例函数y=的图象的每一条曲线上,y都随x的增大而增大,则k的值可以是( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
7.如图,点F是矩形ABCD的边CD上一点,射线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
8.如图,△ABC是一张纸片,∠C=90°,AC=6,BC=8,现将其折叠.使点B与点A重合,折痕为DE,则DE的长为( )
A. B.3 C. D.4
9.如图,△ABC为等边三角形,D、E分别是AC、BC上的点,且AD=CE,AE与BD相交于点P,BF⊥AE于点F.若BP=4,则PF的长( )
A.2 B.3 C.1 D.8
10.甲、乙两车在同一直线公路上,匀速行驶,开始时甲车在乙车的前面,当乙车追上甲车后,两车停下来,把乙车的货物转给甲车,然后甲车继续前行,乙车向原地返回.设乙车行驶的时间为x秒,两车间的距离为y千米,图中折线表示y关于x的函数图象,下列四种说法正确的有( )个
(1)开始时,两车的距离为500米.
(2)转货用了100秒.
(3)甲的速度为25米/秒,乙的速度为30米/秒.
(4)当乙车返回到出发地时,甲车离乙车900米.
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(共10小题,每小题3分,满分30分)
11.2012年广东省人口数超过104000000,将104000000这个数用科学记数法表示为 .
12.使函数y=有意义的自变量x的取值范围是 .
13.分解因式:3a2b﹣6ab2+3b3= .
14.不等式组的解集为 .
15.暑假即将来临,小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动,那么小明和小亮选到同一个社区参加实践活动的概率为 .
16.如图(1)是四边形纸片ABCD,其中∠B=120°,∠D=50度.若将其右下角向内折出△PCR,恰使CP∥AB,RC∥AD,如图(2)所示,则∠C= 度.
17.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′,AB′与BC相交于点D,当B′C′∥AB时,CD= .
18.如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=4,点E在AB上,点F在CD上,点G、H在对角线AC上,若四边形EGFH是正方形,则△AGE的面积为 .
19.已知ABCD在矩形中,BE平分∠ABC交矩形的一边于点E,若BD=10,∠EBD=15°,则AB= .
20.如图,正方形ABCD的顶点D在正方形ECGF的边EC上,顶点B在GC的延长线上,连接EG、BE,∠EGC的平分线GH过点D交BE于H,连接HF交EG于M,则的值为 .
三、解答题(其中21~22题各7分,23~24题各8分,25~27题各10分,共计60分)
21.先化简,再求值:÷(x+2﹣),其中x=2cos45°﹣tan60°.
22.如图,在小正方形的边长均为1的方格纸中,有线段AB和线段CD,点A、B、C、D均在小正方形的顶点上.
(1)在方格纸中画出以A为直角顶点的直角三角形ABE,点E在小正方形的顶点上,且△ABE的面积为5;
(2)在方格纸中画出以CD为一边的△CDF,点F在小正方形的顶点上,且△CDF的面积为3,CF与(1)中所画线段AE平行,连接BF,请直接写出线段BF的长.
23.某校为了解九年级学生体育测试情况,以九年级(1)班学生的体育测试成绩为样本,按A,B,C,D四个等级进行统计,并将统计结果绘制成如下的统计图,请你结合图中所给信息解答下列问题:
(说明:A级:90分~100分;B级:75分~89分;C级:60分~74分;D级:60分以下)
(1)请把条形统计图补充完整;
(2)样本中D级的学生人数占全班学生人数的百分比是 ;
(3)扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是 ;
(4)若该校九年级有600名学生,请样本估计体育测试中A级学生人数约为 人.
24.如图,平行四边形ABCD,E、F两点在对角线BD上,且BE=DF,连接AE,EC,CF,FA.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)若AF=EF,∠BAF=108°,∠CDF=36°,直接写出图中所有的等腰三角形.
25.(10分)(2016•松北区模拟)松雷中学图书馆近日购进甲、乙两种图书,每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高20元,花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同.
(1)求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元?
(2)松雷中学计划购进甲、乙两种图书共70本,总购书费用不超过4000元,则最多购进甲种图书多少本?
26.(10分)(2016•松北区模拟)已知:CD为△ABC的外角平分线,交△ABC的外接圆O于D.
(1)如图1,连接OA,OD,求证:∠AOD=2∠BCD;
(2)如图2,若CB平分∠ACD,求证:AB=BD;
(3)在(2)的条件下,若⊙O的半径为,tan∠ABC=,求CD的长.
27.(10分)(2016•松北区模拟)已知:y=ax2﹣4ax交x轴于O、A两点,对称轴交x轴于点E,顶点为点D,若△AOD的面积为4.点P是x轴上方抛物线上一动点,作PH⊥x轴,垂足为H,连接PA,作直线HQ⊥PA交y轴于点Q,
(1)求a的值.
(2)在点P运动过程中,连接QD,若∠PAO=∠QDE,求HE的长度.
(3)点Q关于AP的对称点为点K,若2HA=QH,求点P的坐标及KE的长.
2016年中考模拟测试三
参考答案与试题解析
一、选择题
1.数﹣1,,0,2中最大的数是( )
A.﹣1 B. C.0 D.2
【考点】实数大小比较.
【分析】先将四个数分类,然后按照正数>0>负数的规则比较大小.
【解答】解:将﹣1,,0,2四个数分类可知2、为正数,﹣1为负数,且>2,故最大的数为,
故选B.
【点评】此题主要考查了利用数轴比较实数的大小,解答此题的关键是熟知:数轴上的任意两个数,边的数总比左边的数大.
2.下列计算正确的是( )
A. B.(x+y)2=x2+y2 C.(﹣3x)3=﹣9x3 D.﹣(x﹣6)=6﹣x
【考点】完全平方公式;实数的运算;去括号与添括号;幂的乘方与积的乘方.
【分析】根据完全平方公式以及积的乘方公式即可判断.
【解答】解:A、不是同类二次根式不能合并,选项错误;
B、(x+y)2=x2+2xy+y2,选项错误;
C、(﹣3x)3=﹣27x3,选项错误;
D、正确.
故选D.
【点评】本题主要考查完全平方公式,熟记公式结构是解题的关键.完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.
3.下列平面图形中,不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的定义作答.
如果把一个图形沿着一条直线翻折过来,直线两旁的部分能够完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
【解答】解:根据轴对称图形的概念,可知只有A沿任意一条直线折叠直线两旁的部分都不能重合.
故选:A.
【点评】轴对称的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合.
4.下图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,它的俯视图是( )
A. B. C. D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】找到从上面看所得到的图形即可.
【解答】解:从上往下看时,下面一行两个正方体,上面一行三个正方体,故选D.
【点评】本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图.
5.一个扇形的圆心角为60°,它所对的弧长为2πcm,则这个扇形的半径为( )
A.6cm B.12cm C.2cm D. cm
【考点】弧长的计算.
【分析】由已知的扇形的圆心角为60°,它所对的弧长为2πcm,代入弧长公式即可求出半径R.
【解答】解:由扇形的圆心角为60°,它所对的弧长为2πcm,
即n=60°,l=2π,
根据弧长公式l=,得2π=,
即R=6cm.
故选A.
【点评】此题考查了弧长的计算,解题的关键是熟练掌握弧长公式,理解弧长公式中各个量所代表的意义.
6.在反比例函数y=的图象的每一条曲线上,y都随x的增大而增大,则k的值可以是( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
【考点】反比例函数的性质.
【分析】对于函数来说,当k<0时,每一条曲线上,y随x的增大而增大;当k>0时,每一条曲线上,y随x的增大而减小.
【解答】解:反比例函数的图象上的每一条曲线上,y随x的增大而增大,
∴1﹣k<0,
∴k>1.
故选:D.
【点评】本题考查反比例函数的增减性的判定.在解题时,要注意整体思想的运用.易错易混点:学生对解析式中k的意义不理解,直接认为k<0,错选A.
7.如图,点F是矩形ABCD的边CD上一点,射线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
【考点】相似三角形的判定与性质;矩形的性质.
【分析】先根据矩形的性质得AD∥BC,CD∥AB,再根据平行线分线段成比例定理,由DE∥BC得到=, =,则可对B、C进行判断;由DF∥AB得=,则可对A进行判断;由于=,利用BC=AD,则可对D进行判断.
【解答】解:∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,CD∥AB
∵DE∥BC,
∴=, =,所以B、选项结论正确,C选项错误;
∵DF∥AB,
∴=,所以A选项的结论正确;
=,
而BC=AD,
∴=,所以D选项的结论正确.
故选C.
【点评】本题考查了平行线分线段成比例:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,熟记定理是解题的关键.
8.如图,△ABC是一张纸片,∠C=90°,AC=6,BC=8,现将其折叠.使点B与点A重合,折痕为DE,则DE的长为( )
A. B.3 C. D.4
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长,再利用相似三角形的判定与性质得出DE的长.
【解答】解:如图所示:∵∠C=90°,AC=6,BC=8,
∴AB=10,
∵现将其折叠.使点B与点A重合,折痕为DE,
∴AE=BE=5,
∵∠DEB=∠C=90°,∠B=∠B,
∴△BDE∽△BAC,
∴=,
即=,
解得:DE=.
故选:C.
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识,正确得出△BDE∽△BAC是解题关键.
9.如图,△ABC为等边三角形,D、E分别是AC、BC上的点,且AD=CE,AE与BD相交于点P,BF⊥AE于点F.若BP=4,则PF的长( )
A.2 B.3 C.1 D.8
【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;含30度角的直角三角形.
【分析】证△ABD≌△CAE,推出∠ABD=∠CAE,求出∠BPF=∠APD=60°,得出∠PBF=30°,根据含30度角的直角三角形性质求出即可.
【解答】解:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC.
∴∠BAC=∠C.
在△ABD和△CAE中,
,
∴△ABD≌△CAE(SAS).
∴∠ABD=∠CAE.
∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°.
∴∠BPF=∠APD=60°.
∵∠BFP=90°,∠BPF=60°,
∴∠PBF=30°.
∴PF=.
故选;A.
【点评】本题考查了等边三角形性质,全等三角形的性质和判定,三角形外角性质,含30度角的直角三角形性质的应用,关键是求出∠PBF=30°.
10.甲、乙两车在同一直线公路上,匀速行驶,开始时甲车在乙车的前面,当乙车追上甲车后,两车停下来,把乙车的货物转给甲车,然后甲车继续前行,乙车向原地返回.设乙车行驶的时间为x秒,两车间的距离为y千米,图中折线表示y关于x的函数图象,下列四种说法正确的有( )个
(1)开始时,两车的距离为500米.
(2)转货用了100秒.
(3)甲的速度为25米/秒,乙的速度为30米/秒.
(4)当乙车返回到出发地时,甲车离乙车900米.
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】函数的图象.
【分析】(1)根据函数图象,可得开始时,两车的距离为500米;
(2)根据函数图象可得,线段BC的实际意义是表示乙车的货物转给甲车所用的时间为100秒;
(3)设甲车的速度是a米/秒,乙车的速度为b米/秒,根据函数图象反应的数量关系建立方程组求出其解即可;
(4)观察图形可得乙车返回到出发地时的时间,进一步根据路程和=速度和×时间得到甲车离乙车的距离.
【解答】解:(1)开始时,两车的距离为500米是正确的;
(2)200﹣100=100(秒)
故转货用了100秒是正确的;
(3)设甲车的速度是a米/秒,乙车的速度为b米/秒,由题意,得
,
解得:.
答:甲车的速度是20米/秒,乙车的速度为25米/秒.故原来的说法是错误的;
(4)(20+25)×100
=45×100
=4500(米).
答:甲车离乙车4500米.故原来的说法是错误的.
故四种说法正确的有2个.
故选:B.
【点评】本题考查了函数的图象,解答时认真分析函数图象的含义是关键,根据条件建立方程组是难点.
二、填空题(共10小题,每小题3分,满分30分)
11.2012年广东省人口数超过104000000,将104000000这个数用科学记数法表示为 1.04×108 .
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将104000000这个数用科学记数法表示为1.04×108,
故答案为:1.04×108.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
12.使函数y=有意义的自变量x的取值范围是 x≠3 .
【考点】函数自变量的取值范围.
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解.
【解答】解:由题意得,3﹣x≠0,
解得x≠3.
故答案为:x≠3.
【点评】本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑:
(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;
(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;
(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.
13.分解因式:3a2b﹣6ab2+3b3= 3b(a﹣b)2 .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】原式提取公因式,再利用完全平方公式分解即可.
【解答】解:原式=3b(a2﹣2ab+b2)=3b(a﹣b)2,
故答案为:3b(a﹣b)2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
14.不等式组的解集为 ﹣1≤x<2. .
【考点】解一元一次不等式组.
【分析】分别解得不等式①②,然后再求得他们公共部分即使不等式组的解集.
【解答】解:∵不等式组,
∴解不等式①得:x<2,
解不等式②得:x≥﹣1,
∴不等式组的解集为﹣1≤x<2.
故答案为:﹣1≤x<2.
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组的知识,要掌握解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.
15.暑假即将来临,小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动,那么小明和小亮选到同一个社区参加实践活动的概率为 .
【考点】列表法与树状图法.
【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数,再找出小明和小亮选到同一个社区参加实践活动的结果数,然后根据概率公式求解.
【解答】解:画树状图为:
共有9种等可能的结果数,其中小明和小亮选到同一个社区参加实践活动的结果数为3,
所以小明和小亮选到同一个社区参加实践活动的概率==.
故答案为.
【点评】本题考查了列表法与树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.
16.如图(1)是四边形纸片ABCD,其中∠B=120°,∠D=50度.若将其右下角向内折出△PCR,恰使CP∥AB,RC∥AD,如图(2)所示,则∠C= 95 度.
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】根据折叠前后图形全等和平行线,先求出∠CPR和∠CRP,再根据三角形内角和定理即可求出∠C.
【解答】解:因为折叠前后两个图形全等,故∠CPR=∠B=×120°=60°,
∠CRP=∠D=×50°=25°;
∴∠C=180°﹣25°﹣60°=95°;∠C=95度;
故应填95.
【点评】折叠前后图形全等是解决折叠问题的关键.
17.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′,AB′与BC相交于点D,当B′C′∥AB时,CD= .
【考点】旋转的性质.
【分析】设CD=x,由B′C′∥AB,可推得∠BAD=∠B′,由旋转的性质得:∠B=∠B′,于是得到∠BAD=∠B,AC=AC′=3,AD=BD=4﹣x,在直角△ADC中,由勾股定理可求得结论.
【解答】解:设CD=x,
∵B′C′∥AB,
∴∠BAD=∠B′,
由旋转的性质得:∠B=∠B′,AC=AC′=3,
∴∠BAD=∠B,
∴AD=BD=4﹣x,
∴(4﹣x)2=x2+32,
解得:x=.
故答案为:.
【点评】本题主要考查了旋转的性质,平行线的性质,勾股定理,能够证得∠BAD=∠B,AD=BD,构造直角三角形是解题的关键.
18.如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=4,点E在AB上,点F在CD上,点G、H在对角线AC上,若四边形EGFH是正方形,则△AGE的面积为 .
【考点】正方形的性质;三角形的面积;矩形的性质;相似三角形的判定与性质.
【分析】先根据正方形的性质和矩形的性质,判定△CFO≌△AOE,并求得AO的长,再判定△AOE∽△ABC,求得OE和AG的长,最后计算△AGE的面积.
【解答】解:连接EF交AC于O,
∵四边形EGFH是正方形,
∴EF⊥AC,OE=OF,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=90°,AB∥CD,
∴∠ACD=∠CAB,
在△CFO与△AOE中,
,
∴△CFO≌△AOE(AAS),
∴AO=CO,
∵AC==4,
∴AO=AC=2,
∵∠CAB=∠EAO,∠AOE=∠B=90°,
∴△AOE∽△ABC,
∴,即
∴OE==OG
∴AG=AO﹣GO=2﹣=
∵EF⊥AC
∴△AGE的面积=×AG×OE=××=
故答案为:
【点评】本题主要考查了正方形的性质,解决问题的关键是掌握全等三角形的判定与性质,以及相似三角形的判定与性质.本题若不运用相似三角形,则可以过点F作AB的垂线,构造直角三角形,并运用勾股定理进行计算求解.
19.已知ABCD在矩形中,BE平分∠ABC交矩形的一边于点E,若BD=10,∠EBD=15°,则AB= 5 .
【考点】矩形的性质.
【分析】画出图形,点E在AB边上,先证明∠ABD=60°,根据AB=BD即可解决问题.
【解答】解:如图,∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=45°,
∵∠EBD=45°,
∴∠ABD=60°,
∴∠ADB=30°,
∵BD=10,
∴AB=BD=5,
故答案为5
【点评】本题考查矩形的性质、角平分线的性质、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半等知识,解题的关键是理解题意正确画出图形,属于中考常考题型.
20.如图,正方形ABCD的顶点D在正方形ECGF的边EC上,顶点B在GC的延长线上,连接EG、BE,∠EGC的平分线GH过点D交BE于H,连接HF交EG于M,则的值为 +1 .
【考点】正方形的性质.
【分析】取EG中点O,连接OH,先证明△BCE≌△DCG推出HG⊥BE,再证明△BGH≌△EGH,推出OH是三角形中位线,设HN=a,则BC=2a,设正方形ECGF的边长是2b,则NC=b,CD=2a,利用△DHN∽△DGC,得=,求出a、b之间的关系,最后由△EFM∽△OMH,得==,推出==即可解决问题.
【解答】解:取EG中点O,连接OH
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=DC,∠BCE=90°,
同理可得CE=CG,∠DCG=90°,
在△BCE和△DCG中,
,
∴△BCE≌△DCG,
∴∠BEC=∠DGC,
∵∠EDH=∠CDG,∠DGC+∠CDG=90°,
∴∠EDH+∠BEC=90°,
∴∠EHD=90°,
∴HG⊥BE,
在△BGH和△EGH中,
,
∴△BGH≌△EGH,
∴BH=EH,
∵EH=HB,EO=OG,
∴HO∥BG,HO=BG=EF,
设EC和OH相交于点N.
设HN=a,则BC=2a,设正方形ECGF的边长是2b,则NC=b,CD=2a,
∵OH∥BC,
∴△DHN∽△DGC,
∴=,即=,即a2+2ab﹣b2=0,
解得:a=(﹣1+)b,或a=(﹣1﹣)b(舍去),
则=﹣1,
∵EF∥OH,
∴△EFM∽△OMH,
∴==,
∴=, =,
∴====,
∴=+1.
故答案为.
【点评】本题考查了正方形的性质,以及全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键,题目比较难.
三、解答题(其中21~22题各7分,23~24题各8分,25~27题各10分,共计60分)
21.先化简,再求值:÷(x+2﹣),其中x=2cos45°﹣tan60°.
【考点】分式的化简求值;特殊角的三角函数值.
【分析】先算括号里面的,再算除法,求出x的值代入进行计算即可.
【解答】解:原式=÷
=•
=,
当x=2×﹣×=﹣3时,原式==.
【点评】本题考查的是分式的化简求值,分式求值题中比较多的题型主要有三种:转化已知条件后整体代入求值;转化所求问题后将条件整体代入求值;既要转化条件,也要转化问题,然后再代入求值.
22.如图,在小正方形的边长均为1的方格纸中,有线段AB和线段CD,点A、B、C、D均在小正方形的顶点上.
(1)在方格纸中画出以A为直角顶点的直角三角形ABE,点E在小正方形的顶点上,且△ABE的面积为5;
(2)在方格纸中画出以CD为一边的△CDF,点F在小正方形的顶点上,且△CDF的面积为3,CF与(1)中所画线段AE平行,连接BF,请直接写出线段BF的长.
【考点】作图—应用与设计作图.
【分析】(1)过点A作EA⊥AB,不难找到点E,满足△ABE面积为5.
(2)过点C作CF∥AE,根据△CDF面积为3即可找到点F(有两个).
【解答】解:(1)满足条件的点E如图所示.
(2)图中点F和点F′就是所求的点.
BF==或BF==5.
【点评】本题考查三角形面积的计算、学生的动手能力,灵活掌握在网格图中求三角形面积的方法是解决问题的关键,注意一题多解.
23.某校为了解九年级学生体育测试情况,以九年级(1)班学生的体育测试成绩为样本,按A,B,C,D四个等级进行统计,并将统计结果绘制成如下的统计图,请你结合图中所给信息解答下列问题:
(说明:A级:90分~100分;B级:75分~89分;C级:60分~74分;D级:60分以下)
(1)请把条形统计图补充完整;
(2)样本中D级的学生人数占全班学生人数的百分比是 10% ;
(3)扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是 72° ;
(4)若该校九年级有600名学生,请样本估计体育测试中A级学生人数约为 120 人.
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)先根据A级有10人,占20%,求得总人数,再用总人数减去A、B、C三个级别的人数,求出D级的人数,即可作出条形统计图;
(2)根据扇形统计图,用1减去A、B、C三个级别的百分比,即可求出D级的学生人数占全班学生人数的百分比;
(3)用360°乘以A级所占的百分比即可求解;
(4)用总人数乘以A级所占的百分比即可求解.
【解答】解:(1)总人数是:10÷20%=50,
则D级的人数是:50﹣10﹣23﹣12=5.
条形统计图补充如下:
(2)D级的学生人数占全班学生人数的百分比是:1﹣46%﹣20%﹣24%=10%;
(3)A级所在的扇形的圆心角度数是360×20%=72°;
(4)∵A级所占的百分比为20%,
∴A级的人数为:600×20%=120(人).
故答案为10%;72°;120.
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
24.如图,平行四边形ABCD,E、F两点在对角线BD上,且BE=DF,连接AE,EC,CF,FA.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)若AF=EF,∠BAF=108°,∠CDF=36°,直接写出图中所有的等腰三角形.
【考点】平行四边形的判定与性质;等腰三角形的判定.
【分析】(1)连接AC交BD于点O,根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC,OB=OD,然后求出OE=OF,再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明;
(2)根据平行线的性质得到∠ABF=∠CDF=36°,根据三角形的内角和得到∠AFB=180°﹣108°﹣36°=36°,即可得到结论.
【解答】(1)证明:如图,连接AC交BD于点O,
在▱ABCD中,OA=OC,OB=OD,
∵BE=DF,
∴OB﹣BE=OD﹣DF,
即OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形);
(2)解:∵AB∥CD,
∴∠ABF=∠CDF=36°,
∴∠AFB=180°﹣108°﹣36°=36°,
∴AB=AF,
∵AF=EF,
∴△ABF和△AFE是等腰三角形,
同理△EFC与△CDE是等腰三角形.
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质,主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形,邻边相等的平行四边形是菱形,作出辅助线是解题的关键.
25.(10分)(2016•松北区模拟)松雷中学图书馆近日购进甲、乙两种图书,每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高20元,花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同.
(1)求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元?
(2)松雷中学计划购进甲、乙两种图书共70本,总购书费用不超过4000元,则最多购进甲种图书多少本?
【考点】分式方程的应用;一元一次不等式的应用.
【分析】(1)设乙种图书每本的进价为x元,则甲种图书每本的进价是(x+20)元,根据花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同,列方程求解;
(2)设购进甲种图书m本,则购进乙种图书为(70﹣m)本,根据总购书费用不超过4000元,列不等式求解.
【解答】解:(1)设乙种图书每本的进价为x元,则甲种图书每本的进价是(x+20)元,
由题意得, =,
解得:x=45,
经检验,x=45是原分式方程的解,且符合题意,
则x+20=65.
答:甲种图书每本的进价为45元,乙种图书每本的进价是65元;
(2)设购进甲种图书m本,则购进乙种图书为(70﹣m)本,
由题意得,65m+45(70﹣m)≤4000,
解得:m≤42.5,
∵m为整数,且取最大值,
∴m=42.
答:最多购进甲种图书42本.
【点评】本题考查了分式方程的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程求解.
26.(10分)(2016•松北区模拟)已知:CD为△ABC的外角平分线,交△ABC的外接圆O于D.
(1)如图1,连接OA,OD,求证:∠AOD=2∠BCD;
(2)如图2,若CB平分∠ACD,求证:AB=BD;
(3)在(2)的条件下,若⊙O的半径为,tan∠ABC=,求CD的长.
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)连接BD,由圆周角定理可知∠ABD=2∠ABD,要证明∠AOD=2∠BCD,即证明∠ABD=∠BCD,由圆内接四边形的性质和角平分线即可知∠HCD=∠BCD=∠ABD;
(2)由CB平分∠ACD可知∠ACB=∠DCB,所以,从而可得AB=BD;
(3)由(2)可知△ABD是等边三角形,且⊙O的半径为,所以AB的长度可求,连接OC并延长交⊙O于点E,连接AE,所以CE=,利用tan∠ABC=tan∠E可求得AC的长度,设CN=x,由因为tan∠ABC=tan∠CDA,所以DN=2x,利用勾股定理列出方程即可求得x,进而求得CD的长度.
【解答】解:(1)如图1,连接BD,
∵CD为△ABC的外角平分线,
∴∠HCD=∠BCD,
∵∠HCD=∠ABD,
∴∠ABD=∠BCD,
∵∠AOD=2∠ABD,
∴∠AOD=2∠BCD;
(2)∵CB平分∠ACD,
∴∠ACB=∠DCB,
∴=,
∴AB=BD;
(3)连接OC并延长交⊙O于点E,连接AE,
过点O作OM⊥AB于点M,
过点C作CN⊥AD于点N,
由(2)可知:∠HCD=∠DCB=∠ACB=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠AOM=60°,
∵OA=,
∴sin∠AOM=,
∴AM=,
∴由垂径定理可知:AB=2AM=2,
∴AD=AB=2,
∵∠CEA=∠ABC,
∴tan∠CEA=tan∠ABC=,
∴sin∠CEA=,
∴=,
∴AC=,
∵∠CDA=∠ABC,
∴tan∠CDA=,
设CN=x,则DN=2x,
∴AN=2﹣2x,
∵由勾股定理可知:AC2=AN2+CN2,
∴=(2﹣2x)2+x2
∴x=或x=,
当x=时,
∴DN=2x=,
∴CN=,
∵CD=x,
∴CD=.
【点评】本题考查圆的综合问题,涉及锐角三角函数,勾股定理,圆周角定理,垂径定理等知识,考查学生灵活运用知识的能力,解决本题的关键是连接OC并延长交⊙O于点E,连接AE构造直角△ACE.
27.(10分)(2016•松北区模拟)已知:y=ax2﹣4ax交x轴于O、A两点,对称轴交x轴于点E,顶点为点D,若△AOD的面积为4.点P是x轴上方抛物线上一动点,作PH⊥x轴,垂足为H,连接PA,作直线HQ⊥PA交y轴于点Q,
(1)求a的值.
(2)在点P运动过程中,连接QD,若∠PAO=∠QDE,求HE的长度.
(3)点Q关于AP的对称点为点K,若2HA=QH,求点P的坐标及KE的长.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)根据三角形面积公式求出点D坐标,然后代入抛物线解析式即可求出a.
(2)如图1中,设点P(m,﹣ m2+2m),求出直线PA,HQ的解析式,得到点Q坐标(0,﹣2),根据tan∠QDE=tan∠PAO=,列出方程即可解决问题.
(3)设QH交PA于点F,作FN⊥AO于N,由△OQH∽△FAH,以及在RT△OQH中利用勾股定理,想办法求出点F、点K坐标即可解决问题.
【解答】解:(1)令y=0,则ax2﹣4ax=0,x=0或4.
∴•OA•DE=4,
∴DE=2,
∴点D坐标(2,2)代入y=ax2﹣4ax,2=4a﹣8a,
∴a=﹣.
(2)如图1中,由(1)可知抛物线y=﹣x2+2x,设点P(m,﹣ m2+2m),
设直线PA为y=kx+b,把P(m,﹣ m2+2m),A(4,0)代入得,解得,
∴直线PA为y=﹣mx+2m,
∵直线QH⊥PA,设直线HQ为y=x+b′,把H(m,0)代入得,b′=﹣2,
∴OQ=2,
∴tan∠QDE=tan∠PAO=,
∴4﹣m=2(﹣m2+2m) m1=1,m2=4(舍)
∴HE=1.
(3)设QH交PA于点F,作FN⊥AO于N.
∵∠HFA=∠HOQ,∠OHQ=∠FHA,
∴△OQH∽△FAH,
∴AF:OQ=AH:QH=:2,
∴AF=,设HQ=x,则AH=x,
在RT△OHQ中,22+(4﹣x)2=x,解得x=(或2舍弃不合题意),
∴AH=,OH=,FH=,
∵•FH•FA=•AH•FN,
∴××=××FN,
∴FN=1,HN==,
∵点F坐标(1,1),点Q(0,﹣2)
又∵K、Q关于点F对称,
∴点K坐标(2,4),
∵点E坐标(2,0)
∴KE=4.
【点评】本题考查二次函数、一次函数的有关知识,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式,学会利用相似三角形的性质求线段,掌握利用面积法求高,记住中点坐标公式,属于中考压轴题.