2020年山东省菏泽市中考数学试卷(含解析） 23页

‎2020年山东省菏泽市中考数学试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）‎ ‎1．（3分）下列各数中，绝对值最小的数是（　　）‎ A．﹣5 B．‎1‎‎2‎ C．﹣1 D．‎‎2‎ ‎2．（3分）函数y‎=‎x-2‎x-5‎的自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x≠5 B．x＞2且x≠5 C．x≥2 D．x≥2且x≠5‎ ‎3．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'，则点P'关于x轴的对称点的坐标为（　　）‎ A．（0，﹣2） B．（0，2） C．（﹣6，2） D．（﹣6，﹣2）‎ ‎4．（3分）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（3分）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（　　）‎ A．互相平分 B．相等 ‎ C．互相垂直 D．互相垂直平分 ‎6．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED等于（　　）‎ A．α‎2‎ B．‎2‎‎3‎α C．α D．180°﹣α ‎7．（3分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，‎ 第23页（共23页）‎ 则k的值为（　　）‎ A．3 B．4 C．3或4 D．7‎ ‎8．（3分）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）‎ ‎9．（3分）计算（‎3‎‎-‎4）（‎3‎‎+‎4）的结果是　 　．‎ ‎10．（3分）方程x-1‎x‎=‎x+1‎x-1‎的解是　 　．‎ ‎11．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC＝4，CD＝3，则cos∠DCB的值为　 　．‎ ‎12．（3分）从﹣1，2，﹣3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数y‎=‎abx，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是　 　．‎ ‎13．（3分）如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为　 　．‎ 第23页（共23页）‎ ‎14．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为　 　．‎ 三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）‎ ‎15．计算：2﹣1+|‎6‎‎-‎3|+2‎3‎sin45°﹣（﹣2）2020•（‎1‎‎2‎）2020．‎ ‎16．先化简，再求值：（2a‎-‎‎12aa+2‎）‎÷‎a-4‎a‎2‎‎+4a+4‎，其中a满足a2+2a﹣3＝0．‎ ‎17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．‎ ‎18．某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i＝1：2.4，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD．‎ ‎（参考数据：sin53°‎≈‎‎4‎‎5‎，cos53°‎≈‎‎3‎‎5‎，tan53°‎≈‎‎4‎‎3‎）‎ ‎19．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图．‎ 第23页（共23页）‎ ‎（1）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？‎ ‎（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内？‎ ‎（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A：60≤x＜70组的学生有多少人？‎ ‎20．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y‎=‎mx的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．‎ ‎（1）求一次函数和反比例函数的表达式；‎ ‎（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．‎ ‎21．今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．‎ ‎（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？‎ ‎（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．‎ ‎22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．‎ 第23页（共23页）‎ ‎（1）求证：DE⊥AC；‎ ‎（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．‎ ‎23．如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD．‎ ‎（1）过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：AE＝BE；‎ ‎（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD'．‎ ‎①求证：BD'∥CD；‎ ‎②若AD'∥BC，求证：CD2＝2OD•BD．‎ ‎24．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是‎9‎‎2‎时，求△ABD的面积；‎ ‎（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第23页（共23页）‎ 第23页（共23页）‎ ‎2020年山东省菏泽市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）‎ ‎1．（3分）下列各数中，绝对值最小的数是（　　）‎ A．﹣5 B．‎1‎‎2‎ C．﹣1 D．‎‎2‎ ‎【解答】解：∵|﹣5|＝5，|‎1‎‎2‎|‎=‎‎1‎‎2‎，|﹣1|＝1，|‎2‎|‎=‎‎2‎，‎ ‎∴绝对值最小的数是‎1‎‎2‎．‎ 故选：B．‎ ‎2．（3分）函数y‎=‎x-2‎x-5‎的自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x≠5 B．x＞2且x≠5 C．x≥2 D．x≥2且x≠5‎ ‎【解答】解：由题意得x﹣2≥0且x﹣5≠0，‎ 解得x≥2且x≠5．‎ 故选：D．‎ ‎3．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'，则点P'关于x轴的对称点的坐标为（　　）‎ A．（0，﹣2） B．（0，2） C．（﹣6，2） D．（﹣6，﹣2）‎ ‎【解答】解：∵将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'，‎ ‎∴点P'的坐标是（0，2），‎ ‎∴点P'关于x轴的对称点的坐标是（0，﹣2）．‎ 故选：A．‎ ‎4．（3分）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为（　　）‎ 第23页（共23页）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：从正面看所得到的图形为．‎ 故选：A．‎ ‎5．（3分）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（　　）‎ A．互相平分 B．相等 ‎ C．互相垂直 D．互相垂直平分 ‎【解答】解：由矩形的性质知，矩形的四角为直角，即每组邻边互相垂直，故原四边形的对角线应互相垂直．‎ 故选：C．‎ ‎6．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED等于（　　）‎ A．α‎2‎ B．‎2‎‎3‎α C．α D．180°﹣α ‎【解答】解：∵∠ABC＝∠ADE，∠ABC+∠ABE＝180°，‎ ‎∴∠ABE+∠ADE＝180°，‎ ‎∴∠BAD+∠BED＝180°，‎ ‎∵∠BAD＝α，‎ ‎∴∠BED＝180°﹣α．‎ 故选：D．‎ ‎7．（3分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（　　）‎ A．3 B．4 C．3或4 D．7‎ ‎【解答】解：当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，‎ 第23页（共23页）‎ 解得：k＝3；‎ 当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，‎ 解得：k＝4，此时两腰之和为4，4＞3，符合题意．‎ ‎∴k的值为3或4．‎ 故选：C．‎ ‎8．（3分）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误；‎ B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项正确；‎ C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项错误；‎ D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误．‎ 故选：B．‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）‎ ‎9．（3分）计算（‎3‎‎-‎4）（‎3‎‎+‎4）的结果是　﹣13　．‎ ‎【解答】解：原式＝（‎3‎）2﹣42‎ ‎＝3﹣16‎ ‎＝﹣13．‎ 第23页（共23页）‎ 故答案为：﹣13．‎ ‎10．（3分）方程x-1‎x‎=‎x+1‎x-1‎的解是　x‎=‎‎1‎‎3‎　．‎ ‎【解答】解：方程x-1‎x‎=‎x+1‎x-1‎，‎ 去分母得：（x﹣1）2＝x（x+1），‎ 整理得：x2﹣2x+1＝x2+x，‎ 解得：x‎=‎‎1‎‎3‎，‎ 经检验x‎=‎‎1‎‎3‎是分式方程的解．‎ 故答案为：x‎=‎‎1‎‎3‎．‎ ‎11．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC＝4，CD＝3，则cos∠DCB的值为　‎2‎‎3‎　．‎ ‎【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，‎ ‎∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，‎ ‎∴DE∥AC，‎ 又∵点D为AB边的中点，‎ ‎∴BE＝EC‎=‎‎1‎‎2‎BC＝2，‎ 在Rt△DCE中，cos∠DCB‎=ECCD=‎‎2‎‎3‎，‎ 故答案为：‎2‎‎3‎．‎ ‎12．（3分）从﹣1，2，﹣3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比 第23页（共23页）‎ 例函数y‎=‎abx，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是　‎2‎‎3‎　．‎ ‎【解答】解：画树状图得：‎ 则共有12种等可能的结果，‎ ‎∵反比例函数y‎=‎abx中，图象在二、四象限，‎ ‎∴ab＜0，‎ ‎∴有8种符合条件的结果，‎ ‎∴P（图象在二、四象限）‎=‎8‎‎12‎=‎‎2‎‎3‎，‎ 故答案为：‎2‎‎3‎．‎ ‎13．（3分）如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为　2‎3‎‎-‎π　．‎ ‎【解答】解：连接OD，‎ ‎∵四边形OABC为菱形，‎ ‎∴OA＝AB，‎ ‎∵OA＝OB，‎ ‎∴OA＝OB＝AB，‎ ‎∴△OAB为等边三角形，‎ ‎∴∠A＝∠AOB＝60°，‎ ‎∵AB是⊙O的切线，‎ ‎∴OD⊥AB，‎ ‎∴OD＝OA•sinA‎=‎‎3‎，‎ 第23页（共23页）‎ 同理可知，△OBC为等边三角形，‎ ‎∴∠BOC＝60°，‎ ‎∴图中阴影部分的面积＝2‎×‎3‎-‎120π×(‎‎3‎‎)‎‎2‎‎360‎=‎2‎3‎‎-‎π，‎ 故答案为：2‎3‎‎-‎π．‎ ‎14．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为　3‎17‎　．‎ ‎【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，∠BAD＝∠BCD＝90°，‎ ‎∴BD‎=AB‎2‎+AD‎2‎=‎13，‎ ‎∵BP＝BA＝5，‎ ‎∴PD＝BD﹣BP＝8，‎ ‎∵BA＝BP，‎ ‎∴∠BAP＝∠BPA＝∠DPQ，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BAP＝∠DQP，‎ ‎∴∠DPQ＝∠DQP，‎ ‎∴DQ＝DP＝8，‎ ‎∴CQ＝DQ﹣CD＝DQ﹣AB＝8﹣5＝3，‎ ‎∴在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得 BQ‎=BC‎2‎+CQ‎2‎=‎153‎=‎3‎17‎．‎ 故答案为：3‎17‎．‎ 三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）‎ 第23页（共23页）‎ ‎15．计算：2﹣1+|‎6‎‎-‎3|+2‎3‎sin45°﹣（﹣2）2020•（‎1‎‎2‎）2020．‎ ‎【解答】解：原式‎=‎1‎‎2‎+‎3‎-‎6‎+‎2‎3‎‎×‎2‎‎2‎-‎（﹣2‎×‎‎1‎‎2‎）2020‎ ‎=‎1‎‎2‎+‎‎3‎-‎6‎+‎6‎-‎1‎ ‎＝2‎1‎‎2‎．‎ ‎16．先化简，再求值：（2a‎-‎‎12aa+2‎）‎÷‎a-4‎a‎2‎‎+4a+4‎，其中a满足a2+2a﹣3＝0．‎ ‎【解答】解：原式＝（‎2a‎2‎+4aa+2‎‎-‎‎12aa+2‎）‎‎÷‎a-4‎‎(a+2‎‎)‎‎2‎ ‎=‎‎2a‎2‎-8aa+2‎‎•‎(a+2‎‎)‎‎2‎a-4‎ ‎ ‎=‎‎2a(a-4)‎a+2‎‎•‎(a+2‎‎)‎‎2‎a-4‎ ‎ ‎＝2a（a+2）‎ ‎＝2（a2+2a）‎ ‎＝2a2+4a，‎ ‎∵a2+2a﹣3＝0，‎ ‎∴a2+2a＝3，‎ 则原式＝2×3＝6．‎ ‎17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．‎ ‎【解答】证明：∵ED⊥AB，‎ ‎∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，BC＝DE，‎ ‎∴△ABC≌△AED（AAS），‎ ‎∴AE＝AB，AC＝AD，‎ ‎∴CE＝BD．‎ ‎18．某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i＝1：2.4，点A到大 第23页（共23页）‎ 楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD．‎ ‎（参考数据：sin53°‎≈‎‎4‎‎5‎，cos53°‎≈‎‎3‎‎5‎，tan53°‎≈‎‎4‎‎3‎）‎ ‎【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于点D，BF⊥CD于点F，‎ ‎∵CD⊥AD，‎ ‎∴四边形BEDF是矩形，‎ ‎∴FD＝BE，FB＝DE，‎ 在Rt△ABE中，BE：AE＝1：2.4＝5：12，‎ 设BE＝5x，AE＝12x，‎ 根据勾股定理，得 AB＝13x，‎ ‎∴13x＝52，‎ 解得x＝4，‎ ‎∴BE＝FD═5x＝20，‎ AE＝12x＝48，‎ ‎∴DE＝FB＝AD﹣AE＝72﹣48＝24，‎ ‎∴在Rt△CBF中，CF＝FB×tan∠CBF≈24‎×‎4‎‎3‎≈‎32，‎ ‎∴CD＝FD+CF＝20+32＝52（米）．‎ 答：大楼的高度CD约为52米．‎ ‎19．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机 第23页（共23页）‎ 抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图．‎ ‎（1）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？‎ ‎（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内？‎ ‎（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A：60≤x＜70组的学生有多少人？‎ ‎【解答】解：（1）本次抽取的学生有：12÷20%＝60（人），‎ C组学生有：60﹣6﹣12﹣18＝24（人），‎ 即被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有24人；‎ ‎（2）所抽取学生成绩的中位数落在C：80≤x＜90这一组内；‎ ‎（3）1500‎×‎6‎‎60‎=‎150（人），‎ 答：这次竞赛成绩在A：60≤x＜70组的学生有150人．‎ ‎20．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y‎=‎mx的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．‎ ‎（1）求一次函数和反比例函数的表达式；‎ ‎（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．‎ 第23页（共23页）‎ ‎【解答】解：（1）将点A（1，2）代入y‎=‎mx，得：m＝2，‎ ‎∴y‎=‎‎2‎x，‎ 当y＝﹣1时，x＝﹣2，‎ ‎∴B（﹣2，﹣1），‎ 将A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，‎ 得：k+b=2‎‎-2k+b=-1‎，‎ 解得k=1‎b=1‎，‎ ‎∴y＝x+1；‎ ‎∴一次函数解析式为y＝x+1，反比例函数解析式为y‎=‎‎2‎x；‎ ‎（2）在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，‎ 解得x＝﹣1，‎ ‎∴C（﹣1，0），‎ 设P（m，0），‎ 则PC＝|﹣1﹣m|，‎ ‎∵S△ACP‎=‎‎1‎‎2‎•PC•yA＝4，‎ ‎∴‎1‎‎2‎‎×‎|﹣1﹣m|×2＝4，‎ 解得m＝3或m＝﹣5，‎ ‎∴点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．‎ ‎21．今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．‎ ‎（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？‎ ‎（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．‎ ‎【解答】解：（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，‎ 依题意，得：‎2x+5y=32‎‎4x+3y=36‎，‎ 第23页（共23页）‎ 解得：x=6‎y=4‎．‎ 答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元．‎ ‎（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，‎ 依题意，得：‎6m+4(54-m)≤260‎m＞20‎，‎ 解得：20＜m≤22．‎ 又∵m为正整数，‎ ‎∴m可以为21，22．‎ ‎∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．‎ ‎22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．‎ ‎（1）求证：DE⊥AC；‎ ‎（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AD、OD．‎ ‎∵AB是圆O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°．‎ ‎∴∠ADO+∠ODB＝90°．‎ ‎∵DE是圆O的切线，‎ ‎∴OD⊥DE．‎ ‎∴∠EDA+∠ADO＝90°．‎ ‎∴∠EDA＝∠ODB．‎ 第23页（共23页）‎ ‎∵OD＝OB，‎ ‎∴∠ODB＝∠OBD．‎ ‎∴∠EDA＝∠OBD．‎ ‎∵AC＝AB，AD⊥BC，‎ ‎∴∠CAD＝∠BAD．‎ ‎∵∠DBA+∠DAB＝90°，‎ ‎∴∠EAD+∠EDA＝90°．‎ ‎∴∠DEA＝90°．‎ ‎∴DE⊥AC．‎ ‎（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC，‎ ‎∴BD＝CD，‎ ‎∵⊙O的半径为5，BC＝16，‎ ‎∴AC＝10，CD＝8，‎ ‎∴AD‎=AC‎2‎-CD‎2‎=‎1‎0‎‎2‎-‎‎8‎‎2‎=‎6，‎ ‎∵S△ADC‎=‎1‎‎2‎AD⋅DC=‎‎1‎‎2‎AC•DE，‎ ‎∴DE‎=AD⋅DCAC=‎6×8‎‎10‎=‎‎24‎‎5‎．‎ ‎23．如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD．‎ ‎（1）过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：AE＝BE；‎ ‎（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD'．‎ ‎①求证：BD'∥CD；‎ ‎②若AD'∥BC，求证：CD2＝2OD•BD．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AE∥DC，‎ ‎∴∠CDO＝∠AEO，∠EAO＝∠DCO，‎ 第23页（共23页）‎ 又∵OA＝OC，‎ ‎∴△AOE≌△COD（AAS），‎ ‎∴CD＝AE，OD＝OE，‎ ‎∵OB＝OE+BE，OB＝OD+CD，‎ ‎∴BE＝CD，‎ ‎∴AE＝BE；‎ ‎（2）①证明：如图1，过点A作AE∥DC交BD于点E，‎ 由（1）可知△AOE≌△COD，AE＝BE，‎ ‎∴∠ABE＝∠AEB，‎ ‎∵将△ABD沿AB翻折得到△ABD'，‎ ‎∴∠ABD'＝∠ABD，‎ ‎∴∠ABD'＝∠BAE，‎ ‎∴BD'∥AE，‎ 又∵AE∥CD ‎∴BD'∥CD．‎ ‎②证明：如图2，过点A作AE∥DC交BD于点E，延长AE交BC于点F，‎ ‎∵AD'∥BC，BD'∥AE，‎ ‎∴四边形AD'BF为平行四边形．‎ ‎∴∠D'＝∠AFB，‎ ‎∵将△ABD沿AB翻折得到△ABD'．‎ 第23页（共23页）‎ ‎∴∠D'＝∠ADB，‎ ‎∴∠AFB＝∠ADB，‎ 又∵∠AED＝∠BEF，‎ ‎∴△AED∽△BEF，‎ ‎∴AEDE‎=‎BEEF，‎ ‎∵AE＝CD，‎ ‎∴CDDE‎=‎BEEF，‎ ‎∵EF∥CD，‎ ‎∴△BEF∽△BDC，‎ ‎∴BEEF‎=‎BDDC，‎ ‎∴CDDE‎=‎BDCD，‎ ‎∴CD2＝DE•BD，‎ ‎∵△AOE≌△COD，‎ ‎∴OD＝OE，‎ ‎∴DE＝2OD，‎ ‎∴CD2＝2OD•BD．‎ ‎24．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是‎9‎‎2‎时，求△ABD的面积；‎ ‎（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第23页（共23页）‎ ‎【解答】解：（1）∵OA＝2，OB＝4，‎ ‎∴A（﹣2，0），B（4，0），‎ 把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣6中得：‎4a-2b-6=0‎‎16a+4b-6=0‎，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y‎=‎‎3‎‎4‎x2‎-‎‎3‎‎2‎x﹣6；‎ ‎（2）如图1，过D作DG⊥x轴于G，交BC于H，‎ 当x＝0时，y＝﹣6，‎ ‎∴C（0，﹣6），‎ 设BC的解析式为：y＝kx+b，‎ 则b=-6‎‎4k+b=0‎，解得：k=‎‎3‎‎2‎b=-6‎，‎ ‎∴BC的解析式为：y‎=‎‎3‎‎2‎x﹣6，‎ 设D（x，‎3‎‎4‎x2‎-‎‎3‎‎2‎x﹣6），则H（x，‎3‎‎2‎x﹣6），‎ 第23页（共23页）‎ ‎∴DH‎=‎‎3‎‎2‎x﹣6﹣（‎3‎‎4‎x2‎-‎‎3‎‎2‎x﹣6）‎=-‎3‎‎4‎x‎2‎+3x，‎ ‎∵△BCD的面积是‎9‎‎2‎，‎ ‎∴‎1‎‎2‎DH⋅OB=‎‎9‎‎2‎，‎ ‎∴‎1‎‎2‎‎×4×(-‎3‎‎4‎x‎2‎+3x)=‎‎9‎‎2‎，‎ 解得：x＝1或3，‎ ‎∵点D在直线l右侧的抛物线上，‎ ‎∴D（3，‎-‎‎15‎‎4‎），‎ ‎∴△ABD的面积‎=‎1‎‎2‎AB⋅DG=‎1‎‎2‎×6×‎15‎‎4‎=‎‎45‎‎4‎；‎ ‎（3）分两种情况：‎ ‎①如图2，N在x轴的上方时，四边形MNBD是平行四边形，‎ ‎∵B（4，0），D（3，‎-‎‎15‎‎4‎），且M在x轴上，‎ ‎∴N的纵坐标为‎15‎‎4‎，‎ 当y‎=‎‎15‎‎4‎时，即‎3‎‎4‎x2‎-‎‎3‎‎2‎x﹣6‎=‎‎15‎‎4‎，‎ 解得：x＝1‎+‎‎14‎或1‎-‎‎14‎，‎ ‎∴N（1‎-‎‎14‎，‎15‎‎4‎）或（1‎+‎‎14‎，‎15‎‎4‎）；‎ ‎②如图3，点N在x轴的下方时，四边形BDNM是平行四边形，此时M与O重合，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∴N（﹣1，‎-‎‎15‎‎4‎）；‎ 综上，点N的坐标为：（1‎-‎‎14‎，‎15‎‎4‎）或（1‎+‎‎14‎，‎15‎‎4‎）或（﹣1，‎-‎‎15‎‎4‎）．‎ 第23页（共23页）‎