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- 2021-05-10 发布
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备战2012中考:全等三角形精华试题汇编(500套)
一、选择题
1. (2011安徽芜湖,6,4分)如图,已知中,, 是高和的交点,,则线段的长度为( ).
A. B. 4 C. D.
【答案】B
2. (2011山东威海,6,3分)在△ABC中,AB>AC,点D、E分别是边AB、AC的中点,点F在BC边上,连接DE,DF,EF.则添加下列哪一个条件后,仍无法判定△BFD与△EDF全等( ).
A. EF∥AB B.BF=CF C.∠A=∠DFE D.∠B=∠DFE
【答案】C
3. (2011浙江衢州,1,3分)如图,平分于点,点是射线上的一个动点,若,则的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D. 4
(第6题)
【答案】B
4. (2011江西,7,3分)如图下列条件中,不能证明△ABD≌△ACD的是( ).
A.BD=DC,AB=AC B.∠ADB=∠ADC
C.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C,BD=DC
第7题图
【答案】D
5. (2011江苏宿迁,7,3分)如图,已知∠1=∠2,则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是(▲)
A.AB=AC B.BD=CD C.∠B=∠C D.∠ BDA=∠CDA
【答案】B
6. (2011江西南昌,7,3分)如图下列条件中,不能证明△ABD≌△ACD的是( ).
A.BD=DC,AB=AC B.∠ADB=∠ADC
C.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C,BD=DC
第7题图
【答案】D
7. (2011上海,5,4分)下列命题中,真命题是( ).
(A)周长相等的锐角三角形都全等; (B) 周长相等的直角三角形都全等;
(C)周长相等的钝角三角形都全等; (D) 周长相等的等腰直角三角形都全等.
【答案】D
8. (2011安徽芜湖,6,4分)如图,已知中,, 是高和的交点,,则线段的长度为( ).
A. B. 4 C. D.
【答案】B
9.
10.
二、填空题
1. (2011江西,16,3分)如图所示,两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起,且∠DAB=30°。有以下四个结论:①AF⊥BC ;②△ADG≌△ACF; ③O为BC的中点; ④AG:DE=:4,其中正确结论的序号是 .(错填得0分,少填酌情给分)
【答案】①②③
2. (2011广东湛江19,4分)如图,点在同一直线上, ,,
(填“是”或“不是”) 的对顶角,要使,还需添加一个条件,这个条件可以是 (只需写出一个).
【答案】
3.
4.
5.
三、解答题
1. (2011广东东莞,13,6分)已知:如图,E,F在AC上,AD∥CB且AD=CB,∠D=∠B.
求证:AE=CF.
【答案】∵AD∥CB
∴∠A=∠C
又∵AD=CB,∠D=∠B
∴△ADF≌△CBE
∴AF=CE
∴AF+EF=CE+EF
即AE=CF
2. (2011山东菏泽,15(2),6分)已知:如图,∠ABC=∠DCB,BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线.求证:AB=DC
证明:在△ABC与△DCB中
(∵AC平分∠BCD,BD平分∠ABC)
∴△ABC≌△DCB
∴AB=DC
3. (2011浙江省,19,8分)如图,点D,E分别在AC,AB上.
(1) 已知,BD=CE,CD=BE,求证:AB=AC;
(2) 分别将“BD=CE”记为①,“CD=BE” 记为②,“AB=AC”记为③.添加条件①、③,以②为结论构成命题1,添加条件②、③以①为结论构成命题2.命题1是命题2的 命题,命题2是 命题.(选择“真”或“假”填入空格).
【答案】(1) 连结BC,∵ BD=CE,CD=BE,BC=CB.
∴ △DBC≌△ECB (SSS)
∴ ∠DBC =∠ECB
∴ AB=AC
(2) 逆, 假;
4. (2011浙江台州,19,8分)如图,在□ABCD中,分别延长BA,DC到点E,使得AE=AB,CH=CD,连接EH,分别交AD,BC于点F,G。求证:△AEF≌△CHG.
【答案】证明: ∵ □ABCD
∴ AB=CD,∠BAD=∠BCD AB∥CD
∴ ∠EAF=∠HCG ∠E=∠H
∵ AE=AB,CH=CD
∴ AE=CH
∴ △AEF≌△CHG.
5. (2011四川重庆,19,6分)如图,点A、F、C、D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.求证:BC∥EF.
【证明】∵AF=DC,∴AC=DF,又∠A=∠D ,
AB=DE,∴△ABC≌△DEF,
∴∠ACB=∠DFE,∴BC∥EF.
6. (2011江苏连云港,20,6分)两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF,按如图所示的方式叠放,阴影部分为重叠部分,点O为边AC和DF的交点.不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等?为什么?
【答案】解:全等 .理由如下:∵两三角形纸板完全相同,∴BC=BF,AB=BD,∠A=∠D,∴AB-BF=BD-BC,即AF=DC.在△AOF和△DOC中,∵AF=DC,∠A=∠D,∠AOF=∠DOC,∴△AOF≌△DOC(AAS).
7. (2011广东汕头,13,6分)已知:如图,E,F在AC上,AD∥CB且AD=CB,∠D=∠B.
求证:AE=CF.
【答案】∵AD∥CB
∴∠A=∠C
又∵AD=CB,∠D=∠B
∴△ADF≌△CBE
∴AF=CE
∴AF+EF=CE+EF
即AE=CF
8. ( 2011重庆江津, 22,10分)在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;
(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.
A
B
C
E
F
第22题图
【答案】(1)∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
∵AE=CF, AB=BC, ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)
(2)∵AB=BC, ∠ABC=90°, ∴ ∠CAB=∠ACB=45°.
∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.
由(1)知 Rt△ABE≌Rt△CBF, ∴∠BCF=∠BAE=15°,
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.
9. (2011福建福州,17(1),8分)如图6,于点,于点,交于点,且.
求证.
图6
【答案】(1)证明:∵,
∴
在和中
∴≌
∴
10.(2011四川内江,18,9分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合,连结BE、EC.
试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.
A
B
C
D
E
【答案】BE=EC,BE⊥EC
∵AC=2AB,点D是AC的中点
∴AB=AD=CD
∵∠EAD=∠EDA=45°
∴∠EAB=∠EDC=135°
∵EA=ED
∴△EAB≌△EDC
∴∠AEB=∠DEC,EB=EC
∴∠BEC=∠AED=90°
∴BE=EC,BE⊥EC
11. (2011广东省,13,6分)已知:如图,E,F在AC上,AD∥CB且AD=CB,∠D=∠B.
求证:AE=CF.
【答案】∵AD∥CB
∴∠A=∠C
又∵AD=CB,∠D=∠B
∴△ADF≌△CBE
∴AF=CE
∴AF+EF=CE+EF
即AE=CF
12. (2011湖北武汉市,19,6分)(本题满分6分)如图,D,E,分 别 是 AB,AC 上 的 点 ,且AB=AC,AD=AE.求证∠B=∠C.
【答案】证明:在△ABE和△ACD中,
AB=AC ∠A=∠A AE=AD
∴△ABE≌△ACD
∴∠B=∠C
13. (2011湖南衡阳,21,6分)如图,在△ABC中,AD是中线,分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF,垂足分别为点E、F.求证:BE=CF.
【证明】∵在△ABC中,AD是中线,
∴BD=CD,∵CF⊥AD,BE⊥AD,∴∠CFD=∠BED=90° ,在△BED与△CFD中,∵∠BED=∠CFD,∠BDE=∠CDF,BD=CD,∴△BED≌△CFD,∴BE=CF.
14. (20011江苏镇江,22,5分)已知:如图,在△ABC中,D为BC上的一点,AD平分∠EDC,且∠E=∠B,ED=DC.
求证:AB=AC
【答案】证明∵AD平分∠EDC,∴∠ADE=∠ADC,又DE=DC,AD=AD,
∴△ADE≌△ADC, ∴∠E=∠C,
又∠E=∠B, ∴∠B =∠C, ∴AB=AC.
15. (2011湖北宜昌,18,7分)如图,在平行四边形ABCD 中,E为BC 中点,AE的延长线与DC的延长线相交于点F.
(1)证明:∠DFA = ∠FAB;
(2)证明: △ABE≌△FCE.
(第18题图)
【答案】证明:(1)∵AB与CD是平行四边形ABCD的对边,∴AB∥CD,(1分)∴∠F=∠FAB.(3分)(2)在△ABE和△FCE中, ∠FAB=∠F (4分)∵ ∠AEB=∠FEC (5分)BE=CE (6分)∴ △ABE≌△FCE.(7分)
一、选择题
1.(2010四川凉山)如图所示,,,,结论:①;②;③;④.其中正确的有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
2.(2010四川 巴中)如图2 所示,AB = AC ,要说明△ADC≌△AEB,需添加的条件
不能是( )
图2
F
A.∠B =∠C B. AD = AE
C.∠ADC=∠AEB D. DC = BE
【答案】D
3.(2010广西南宁)如图2所示,在中,,平分,
交于点,且,则点到的距离是:
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
【答案】A
4.(2010广西柳州)如图3,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于D,若CD=3cm,则点D到AB的距离DE是
A.5cm B.4cm C.3cm D.2cm
【答案】C
5.(2010贵州铜仁)如图,△ABC≌△DEF,BE=4,AE=1,则DE的长是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】A
二、填空题
1.(2010 天津)如图,已知,,点A、D、B、F在一
条直线上,要使△≌△,还需添加一个条件,
这个条件可以是 .
第(13)题
A
C
D
B
E
F
【答案】(答案不惟一,也可以是或)2.(2010 广西钦州市)如图,在△ABC和△BAD中,BC = AD,请你再补充一个条件,
使△ABC≌△BAD.你补充的条件是_ ▲ _(只填一个).
第8题
【答案】AC =BD或∠CBA=∠DAB
三、解答题
1.(2010江苏苏州) (本题满分6分)如图,C是线段AB的中点,CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,CD=CE.
(1)求证:△ACD≌△BCE;
(2)若∠D=50°,求∠B的度数.
【答案】
2.(2010江苏南通)(本小题满分8分)
如图,已知:点B、F、C、E在一条直线上,FB=CE,AC=DF.
能否由上面的已知条件证明AB∥ED?如果能,请给出证明;如果不能,请从下列三个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,使AB∥ED成立,并给出证明.
供选择的三个条件(请从其中选择一个):
①AB=ED;
②BC=EF;
③∠ACB=∠DFE.
A
B
D
E
F
C
(第25题)
【答案】解:由上面两条件不能证明AB//ED.有两种添加方法.
第一种:FB=CE,AC=DF添加 ①AB=ED
证明:因为FB=CE,所以BC=EF,又AC=EF,AB=ED,所以ABCDEF
所以∠ABC=∠DEF 所以AB//ED
第二种:FB=CE,AC=DF添加 ③∠ACB=∠DFE
证明:因为FB=CE,所以BC=EF,又∠ACB=∠DFE AC=EF,所以ABCDEF
所以∠ABC=∠DEF 所以AB//ED
3.(2010浙江金华)A
C
B
D
F
E
(第18题图)
如图,在△ABC中,D是BC边上的点(不与B,C重合),F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE. 请你添加一个条件,使△BDE≌△CDF (不再添加其它线段,不再标注或使用其他字母),并给出证明.
(1)你添加的条件是: ▲ ;
(2)证明:
【答案】 解:(1)(或点D是线段BC的中点),,中
任选一个即可﹒
(2)以为例进行证明:
∵CF∥BE,
∴∠FCD﹦∠EBD.
又∵,∠FDC﹦∠EDB,
∴△BDE≌△CDF.
4.(2010福建福州)(每小题7分,共14分)
(1)如图,点B、E、C、F在一条直线上,BC=EF,AB∥DE,∠A=∠D.
求证:△ABC≌△DEF.
(第17(1)题)
【答案】证明:∵ AB∥DE. ∴ ∠B=∠DEF.
在△ABC和△DEF中,
∴ △ABC≌△DEF.
5.(2010四川宜宾,13(3),5分)如图,分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线,垂足分
别为E、F.求证:BF=CE.
【答案】∵CE⊥AF,FB⊥AF,∴∠DEC =∠DFB=90°
又∵AD为BC边上的中线,∴BD=CD, 且∠EDC =∠FDB(对顶角相等)
∴所以△BFD≌△CDE(AAS),∴BF=CE.
6.(2010福建宁德)如图,已知AD是△ABC的角平分线,在不添加任何辅助线的前提下,要使△AED≌△AFD,需添加一个条件是:_______________,并给予证明.
B D C
A
E
F
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【答案】解法一:添加条件:AE=AF,
证明:在△AED与△AFD中,
∵AE=AF,∠EAD=∠FAD,AD=AD,
∴△AED≌△AFD(SAS).
解法二:添加条件:∠EDA=∠FDA,
证明:在△AED与△AFD中,
∵∠EAD=∠FAD,AD=AD,∠EDA=∠FDA
∴△AED≌△AFD(ASA).
7.(2010湖北武汉)如图,B,F,C,E在同一条直线上,点A,D在直线BE的两侧,AB∥DE,AC∥DF,BF=CE.求证:AC=DF
【答案】证明:∵AB∥DE, ∴∠ABC=∠DEF
∵AC∥DF, ∴∠ABC=∠DEF
∵BF=CE,∴BC=EF
∴△ABC≌△DEF
∴AC=DF
8.(2010江苏淮安)已知:如图,点C是线段AB的中点,CE=CD,∠ACD=∠BCE,
求证:AE=BD.
题20图
【答案】证明:
∵点C是线段AB的中点,
∴AC=BC,
∵∠ACD=∠BCE,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
即∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中,,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD.
9.(2010北京)已知:如图,点A、B、C、D在同一条直线上,EA⊥AD,FD⊥AD,AE=DF,AB=DC.
求证:∠ACE=∠DBF.
【答案】证明:∵AB=DC
∴AC=DB
∵EA⊥AD,FD⊥AD
∴∠A=∠D=90°
在△EAC与△FDB中
∴△EAC≌△FDB
∴∠ACE=∠DBF.
10.(2010云南楚雄)如图,点A、E、B、D在同一条直线上,AE=DB,AC=DF,AC∥DF.
请探索BC与EF有怎样的位置关系?并说明理由.
【答案】解:BC∥EF.理由如下:∵AE=DB ,∴AE+BE=DB+BE,∴AD=DE.∵AC∥DF, ∴∠A=∠D,∵AC=DF, ∴△ACB≌△DFE,∴∠FED=∠CBA,∴BC∥EF.
11.(2010云南昆明)如图,点B、D、C、F在一条直线上,且BC = FD,AB = EF.
(1)请你只添加一个条件(不再加辅助线),使△ABC≌△EFD,你添加的条件是 ;
(2)添加了条件后,证明△ABC≌△EFD.
F
A
B
C
D
E
【答案】(1)∠B = ∠F 或 AB∥EF 或 AC = ED.
(2)证明:当∠B = ∠F时
在△ABC和△EFD中
∴△ABC≌△EFD (SAS)
12.(2010四川 泸州)如图4,已知AC∥DF,且BE=CF.
(1)请你只添加一个条件,使△ABC≌△DEF,你添加的条件是 ;
(2)添加条件后,证明△ABC≌△DEF.
【答案】(1)添加的条件是AC=DF(或AB∥DE、∠B=∠DEF、∠A=∠D)(有一个即可)
(2)证明:∵AC∥DF,∴∠ACB=∠F,∵BE=CF,∴BC=EF,在△ABC和△DEF中, ,∴△ABC≌△DEF.
13.(2010 甘肃)(8分)如图,.
(1)要使,可以添加的条件为: 或 ;(写出2个符合题意的条件即可)
(2)请选择(1)中你所添加的一个条件,证明.
D
O
C
B
AB
【答案】解:(1)答案不唯一. 如
,或,或,或. ……4分
说明:2空全填对者,给4分;只填1空且对者,给2分.
(2)答案不唯一. 如选证明OC=OD.
D
O
C
B
AB
证明: ∵ ,
∴ OA=OB. ……………………6分
又 ,
∴ AC-OA=BD-OB,或AO+OC=BO+OD.
∴ . ……………………8分
14.(2010 重庆江津)已知:点B、E、C、F在同一直线上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.
求证:⑴ △ABC≌△DEF;
⑵ BE=CF.
【答案】证明:(1)∵AC∥DF
∴∠ACB=∠F……………………………………………………………………2分
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF……………………………………………………………………6分
(2) ∵△ABC≌△DEF
∴BC=EF
∴BC–EC=EF–EC
即BE=CF……………………………………………………………………………10分
15.(2010 福建泉州南安)如图,已知点在线段上,,请在下列四个等式中,
C
E
B
F
D
A
①AB=DE,②∠ACB=∠F,③∠A=∠D,④AC=DF.选出两个作为条件,推出.并予以证明.(写出一种即可)
已知: , .
求证:.
证明:
【答案】C
E
B
C
D
A
解:已知:①④(或②③、或②④)……………3分
证明:若选①④
∵
∴.…………………………………………5分
在△ABC和△DEF中
AB=DE,BC=EF,AC=DF.……………………………8分
∴.……………………………………9分
16.(2010青海西宁)八(1)班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图).设计了如下方案:
(Ⅰ)∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
(Ⅱ)∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行?若可行,请证明;若不可行,请说明理由.
(2)在方案(Ⅰ)PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?请说明理由.
【答案】解:(1)方案(Ⅰ)不可行.缺少证明三角形全等的条件. ……………………………2分
(2)方案(Ⅱ)可行. ……………………………3分
证明:在△OPM和△OPN中
∴△OPM≌△OPN(SSS)
∴∠AOP=∠BOP(全等三角形对应角相等) ……………………………5分
(3)当∠AOB是直角时,此方案可行. ……………………………6分
∵四边形内角和为360°,又若PM⊥OA,PN⊥OB, ∠OMP=∠ONP=90°, ∠MPN=90°,
∴∠AOB=90°
∵若PM⊥OA,PN⊥OB,
且PM=PN
∴OP为∠AOB的平分线.(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上)
当∠AOB不为直角时,此方案不可行. …………8分
17.(2010广西梧州)如图,AB是∠DAC的平分线,且AD=AC。
求证:BD=BC
D
A
B
C
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【答案】证明:∵AB是∠DAC的平分线
∴∠DAB=∠BAC
在△DAB=∠CAB中
∴△DAB≌△CAB
∴BD=BC
18.(2010广西南宁)如图10,已知,,
与相交于点,连接.
(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;(2)求证:.
【答案】(1), 2分
(2)证法一:连接 3分
∵
∴ 4分
∴ 5分
又∵
∴ 6分
∴
即 7分
∴ 8分
证法二:∵
∴,
∴
即 3分
∴ 4分
∴ 5分
又∵
∴ 6分
又∵
∴ 7分
∴ 8分
证法三:连接 3分
∵
∴
又∵
∴ 5分
∴ 6分
又∵
∴ 7分
即 8分
19.(2010辽宁大连)如图7,点A、B、C、D在同一条直线上,AB=DC,AE//DF,AE=DF,求证:EC=FB
E
C
B
D
F
A
图7
【答案】
20.(2010广西柳州)如图9,在8×8的正方形网格中,△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的顶点上.
(1)填空:∠ABC=___________,BC=___________;
(2)请你在图中找出一点D,再连接DE、DF,使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等,并加以证明.
【答案】
21.(2010吉林)如图,在△ABC中,∠ACB=900,AC=BC,CE⊥BE,CE与AB相交于点F,AD⊥CF于点D,且AD平分∠FAC,请写出图中两对全等三角形,并选择其中一对加以证明。
【答案】
22.(2010湖南娄底)如图10,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连结AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.
求证:(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD
【答案】解:(1)因为E是CD的中点,所以DE=CE.因为AB//CD,所以∠ADE=∠FCE,∠DAE=∠CFE.所以△ADE≌△FCE.所以FC=AD.(2)因为△ADE≌△FCE,所以AE=FE.又因为BE⊥AE,所以BE是线段AF的垂直平分线,所以AB=FB.因为FB=BC+FC=BC+AD.所以AB==BC+AD.
23.(2010内蒙呼和浩特)如图,点A、E、F、C在同一条直线上,AD∥BC,AD=CB,AE=CF,求证:BE=DF.
D
C
F
E
B
A
【答案】18.证明:∵AD∥BC
∴∠A=∠C ……………………………………………………………………………1分
∵AE=FC
∴AF=CE ………………………………………………………………………………2分
在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE ………………………………………………………………………5分
∴BE=DF ………………………………………………………………………………6分D1
C
B
A
F
E
D2
D3
D4
(1)∠ABC=135°,BC=2, ………………………………………………………2分
(2)(说明:D的位置有四处,分别是图中的D1、D2、D3、D4.此处画出D在D1处的位置及证明,D在其余位置的画法及证明参照此法给分)
解:△EFD的位置如图所示. …………………3分
证明:∵ FD=BC=…………4分
∠EFD=∠ABC=90°+45°=135° …5分
EF=AB=2
∴ △EFD≌△ABC …………………6分
2009年中考试题专题之16-三角形与全等三角形试题及答案
一、选择题
1.(2009年江苏省)如图,给出下列四组条件:
①;
②;
③;
④.
其中,能使的条件共有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
2.(2009年浙江省绍兴市)如图,分别为的,边的中点,将此三角形沿折叠,使点落在边上的点处.若,则等于( )
A. B. C . D.
3. (2009年义乌)如图,在中,,EF//AB,,则的度数为
A. B. C. D.
【关键词】三角形内角度数
【答案】D
4.(2009年济宁市)如图,△ABC中,∠A=70°,∠B=60°,点D在BC的延长线上,则∠ACD等于
A. 100° B. 120° C. 130° D. 150°
A
C
B
图2
5、(2009年衡阳市)如图2所示,A、B、C分别表示三个村庄,AB=1000米,BC=600米,AC=800米,在社会主义新农村建设中,为了丰富群众生活,拟建一个 文化活动中心,要求这三个村庄到活动中心的距离相等,则活动中心P 的位置应在( )
A.AB中点 B.BC中点
C.AC中点 D.∠C的平分线与AB的交点
6、(2009年海南省中考卷第5题)已知图2中的两个三角形全等,则∠度数是( )
A.72° B.60° C.58° D.50°
7、(2009 黑龙江大兴安岭)如图,为估计池塘岸边、两点的距离,小方在池塘的一侧选取一点,测得米,米,、间的距离不可能是 ( )
A.5米 B.10米 C. 15米 D.20米
【
8、(2009年崇左)一个等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为( )
A.7 B.9 C.12 D.9或12
9、(2009年湖北十堰市)下列命题中,错误的是( ).
A.三角形两边之和大于第三边
B.三角形的外角和等于360°
C.三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分
D.等边三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形
A
D
C
E
B
10、(09湖南怀化)如图,在中, ,是的垂直平分线,交于点,交于点.已知,则的度数为( )
A. B.
C. D.
11、(2009年清远)如图,,于交于,已知,则( )
A.20° B.60° C.30° D.45°
C
D
B
A
E
F
1
2
12、(2009年广西钦州)如图,在等腰梯形ABCD中,AB=DC,AC、BD交于点O,则图中全等三角形共有( )
A.2对 B.3对
C.4对 D.5对
【形
13、(2009年甘肃定西)如图4,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=( )
A.2 B.3 C. D.
14、(2009年广西钦州)如图,AC=AD,BC=BD,则有( )
A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB
C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB
15、(2009肇庆)如图,中,,DE 过点C,且,若,则∠B的度数是( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
A
B
C
D
E
16、(2009年邵阳市)如图,将Rt△ABC(其中∠B=34,∠C=90)绕A点按顺时针方向旋转到△AB1 C1的位置,使得点C、A、B1 在同一条直线上,那么旋转角最小等于( )
A.56 B.68 C.124 D.180
34
B1
C
B
A
C1
17、(2009年湘西自治州)一个角是80°,它的余角是( )
A.10° B.100° C.80° D.120°
18、(2009河池)C
B
F
A
E
如图,在Rt△ABC中,,AB=AC=,点E
为AC的中点,点F在底边BC上,且,则△
的面积是( )
A. 16 B. 18 C. D.
C
D
B
A
19、(2009柳州)如图所示,图中三角形的个数共有( )
A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个
2
12
C
D
B
A
20、(2009年牡丹江)如图, 中,于一定能确定为直角三角形的条件的个数是( )
①②③④
⑤
A.1 B.2 C.3 D.4
【
21、(2009桂林百色)如图所示,在方格纸上建立的平面直角坐标系中,
将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°,
得 ,则点的坐标为( ).
A.(3,1) B.(3,2)C.(2,3) D.(1,3)
22、(2009年长沙)已知三角形的两边长分别为3cm和8cm,则此三角形的第三边的长可能是( )
A.4cm B.5cm C.6cm D.13cm
23、(2009年湖南长沙)已知三角形的两边长分别为3cm和8cm,则此三角形的第三边的长可能是( )
A.4cm B.5cm C.6cm D.13cm
24、(2009陕西省太原市)如图,,=30°,则的度数为( )
A.20° B.30° C.35° D.40°
C
A
B
25、 (2009陕西省太原市)如果三角形的两边分别为3和5,那么连接这个三角形三边中点,所得的三角形的周长可能是( )
A.4 B.4.5 C.5 D.5.5
26、(2009年牡丹江)尺规作图作的平分线方法如下:以为圆心,任意长为半径画弧交、于、,再分别以点、为圆心,以大于长为半径画弧,两弧交于点,作射线由作法得的根据是( )
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
27、(2009年新疆)如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,
,则的度数等于( )
A. B. C. D.
1
2
3
28、(2009年牡丹江市)尺规作图作的平分线方法如下:以为圆心,任意长为半径画弧交、于、,再分别以点、为圆心,以大于长为半径画弧,两弧交于点,作射线由作法得的根据是( )
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
O
D
P
C
A
B
【
29、(2009年包头)已知在中,,则的值为( )
A. B. C. D.
【
30、(2009年齐齐哈尔市)如图,为估计池塘岸边的距离,小方在池塘的一侧选取一点,测得米,=10米,间的距离不可能是( )
A.20米 B.15米 C.10米 D.5米
O
A
B
31、(2009年台湾)图(三)、图(四)、图(五)分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图。已知
甲的路线为:A®C®B。
乙的路线为:A®D®E®F®B,其中E为的中点。
丙的路线为:A®I®J®K®B,其中J在上,且>。
若符号「®」表示「直线前进」,则根据图(三)、图(四)、图(五)的数据,判断三人行进路线
长度的大小关系为何?
A
B
C
A
B
D
A
B
I
50°
E
F
60°
70°
50°
60°
70°
50°
60°
70°
50°
60°
70°
50°
60°
70°
J
K
圖(三)
圖(四)
圖(五)
(A) 甲=乙=丙 (B) 甲<乙<丙 (C) 乙<丙<甲 (D )丙<乙<甲 。
32、(2009年娄底)如图1,已知AC∥ED,∠C=26°,∠CBE=37°,则∠BED的度数是 ( )
A.63° B.83° C.73° D.53°
33、(2009烟台市)如图,等边的边长为3,为上一点,且,为上一点,若,则的长为( )
A. B. C. D.
34、(2009武汉)在直角梯形中,,为边上一点,,且.连接交对角线于,连接.下列结论:
①; ②为等边三角形; ③; ④.
其中结论正确的是( )
A.只有①② B.只有①②④ C.只有③④ D.①②③④
D
C
B
E
A
H
35、(2009年台湾) 若rABC中,ÐB为钝角,且=8,=6,则下列何者可能为之长度?
(A) 5 (B) 8 (C) 11 (D) 14 。
36、(2009年重庆)观察下列图形,则第个图形中三角形的个数是( )
……
第1个
第2个
第3个
A. B. C. D.
37、(2009年重庆)如图,在等腰中,,F是AB边上的中点,点D、E分别在AC、BC边上运动,且保持.连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,下列结论:
①是等腰直角三角形;
②四边形CDFE不可能为正方形,
③DE长度的最小值为4;
④四边形CDFE的面积保持不变;
⑤△CDE面积的最大值为8.
其中正确的结论是( )
A.①②③ B.①④⑤ C.①③④ D.③④⑤
C
E
B
A
F
D
【
A
B
C
D
(第7题)
38、(2009江西)如图,已知那么添加下列一个条件后,
仍无法判定的是( )
A. B.
C. D.
39、(2009年温州)下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A.1cm, 2cm, 3.5cm B.4cm, 5cm, 9cmC.5cm,8cm, 15cm D.6cm,8cm, 9cm
40、如图,OP平分,,,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( )
A. B.平分
C. D.垂直平分
O
B
A
P
二、填空题
1、(2009年遂宁)如图,已知△ABC中,AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么AC边上的中线BD的长为 cm.
2、(2009年遂宁)已知△ABC中,AB=BC≠AC,作与△ABC只有一条公共边,且与△ABC全等的三角形,这样的三角形一共能作出 个.
3.(2009年济宁市)观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,则第5个大三角形中白色三角形有 个 .
4. (2009年四川省内江市)如图所示,将△ABC沿着DE翻折,若∠1+∠2=80O,则∠B=_____________。
5、(2009年厦门市)如图,在ΔABC中,∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米,BC=8厘米,则点D到直线AB的距离是__________厘米。
6、(2009恩施市)如图1,已知,,,则的度数为________.
7、(2009年吉林省)将一个含有60°角的三角板,按图所示的方式摆放在半圆形纸片上,为圆心,则= 度.
8、(2009年包头)如图,已知与是两个全等的直角三角形,量得它们的斜边长为10cm,较小锐角为30°,将这两个三角形摆成如图(1)所示的形状,使点在同一条直线上,且点与点重合,将图(1)中的绕点
顺时针方向旋转到图(2)的位置,点在边上,交于点,则线段的长为 cm(保留根号).
C
(F)
D
图(2)
9、(2009年长沙)如图,是的直径,是上一点,,则的度数为 .答案:C
B
A
O
10、(2009年甘肃白银)如图5,Rt△ACB中,∠ACB=90°,DE∥AB,若∠BCE=30°,则∠A= .
11、(2009河池)如图2,的顶点坐标分别为.若将绕点顺时针旋转,得到,则点的对应点的坐标为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
O
A
B
C
y
x
图2
12、(2009河池)某小区有一块等腰三角形的草地,它的一边长为,
面积为,为美化小区环境,现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏,
则需要栅栏的长度为 m.
13、(2009白银市).如图5,Rt△ACB中,∠ACB=90°,DE∥AB,若∠BCE=30°,则∠A= .(缺图)
14、 (2009宁夏)如图,的周长为32,且于,的周长为24,那么的长为 .
A
B
C
D
15、(2009年郴州市)如图,桌面上平放着一块三角板和一把直尺,小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘,他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转,还是将三角板沿直尺平移,与的和总是保持不变,那么与的和是_______度.
三角形
【
16、(2009年常德市)已知△ABC中,BC=6cm,E、F分别是AB、AC的中点,那么EF长是 cm.
17、(2009年广西梧州)如图,△ABC中,∠A=60°,∠C=40°,延长CB到D ,则∠ABD= ★度.
A
B
C
D
18、(2009年清远)如图,若,且,则= .
A
B
C
C1
A1
B1
19、(09湖南邵阳)如图(四),点是菱形的对角线上的任意一点,连结 .请找出图中一对全等三角形为___________.
A
C
E
B
D
20、(09湖南怀化)如图,已知,,要使 ≌,可补充的条件是 (写出一个即可).
A
D
F
C
B
O
E
21、(2009年咸宁市)如图,在中,和的平分线相交于点,过点作交于,交于,过点作于.下列四个结论:
;
②以为圆心、为半径的圆与以为圆心、为半径的圆外切;
③设则;
④不能成为的中位线.
其中正确的结论是_____________.(把你认为正确结论的序号都填上)
【
22、(2009年达州)如图5,△ABC中,AB=AC,与∠BAC相邻的外角为80°,则∠B=____________.
23、(2009年达州)长度为2㎝、3㎝、4㎝、5㎝的四条线段,从中任取三条线段能组成三角形的概率是______________.
【关键词】三角形三边关系,概率
【答案】
三、解答题
1、(2009年浙江省绍兴市)如图,在中,,分别以为边作两个等腰直角三角形和,使.
(1)求的度数;
(2)求证:.
2、(2009年宁波市)如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为,直线BC经过点,,将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转
度得到四边形,此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q.
(1)四边形OABC的形状是 ,
当时,的值是 ;
(2)①如图2,当四边形的顶点落在轴正半轴时,求的值;
②如图3,当四边形的顶点落在直线上时,求的面积.
(Q)
B
A
O
x
P
(图3)
y
Q
C
B
A
O
x
P
(图2)
y
C
B
A
O
y
x
(备用图)
(第26题)
(3)在四边形OABC旋转过程中,当时,是否存在这样的点P和点Q,使?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
综.
3、(2009年福州)如图,已知AC平分∠BAD,∠1=∠2,求证:AB=AD
4、(2009年宜宾)已知:如图,在四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD。
求证:∠C=∠A.
5、(2009年安顺)如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连结BF。
(1) 求证:BD=CD;
(2) 如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论。
【形.
6、(2009年南充)如图,ABCD是正方形,点G是BC上的任意一点,于E,,交AG于F.
求证:.
D
C
B
A
E
F
G
7、(2009年湖州)如图:已知在中,
,为边的中点,过点作,
垂足分别为.
(1) 求证:;
(2)若,求证:四边形是正方形.
D
C
B
E
A
F
,为正方形.
8、(2009年湖州)若P为所在平面上一点,且,则点叫做的费马点.
(1)若点为锐角的费马点,且,则的值为________;
(2)如图,在锐角外侧作等边′连结′.
求证:′过的费马点,且′=.
A
C
B
9、(2009临沂)数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边
BC的中点.,且EF交正方形外角的平行线CF于点F,求证:AE=EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证,所以.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
A
D
F
C
G
E
B
图1
A
D
F
C
G
E
B
图2
A
D
F
C
G
E
B
图3
10、(2009年娄底)如图10,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,连结AD,在AD的延长线上取一点E,连结BE,CE.
(1)求证:△ABE≌△ACE
(2)当AE与AD满足什么数量关系时,四边形ABEC是
菱形?并说明理由.
11、(2009丽水市)已知命题:如图,点A,D,B,E在同一条直线上,且AD=BE,∠A=∠FDE,则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题,如果是真命题,请给出证明;如果是假命题,请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明.
12、(2009烟台市)如图,直角梯形ABCD中,,,且,过点D作,交的平分线于点E,连接BE.
(1)求证:;
(2)将绕点C,顺时针旋转得到,连接EG..求证:CD垂直平分EG.
(3)延长BE交CD于点P.求证:P是CD的中点.
即.A
D
G
E
C
B
(2
13、(2009恩施市)两个完全相同的矩形纸片、如图7放置,,求证:四边形为菱形.
【答案】
C
D
E
M
A
B
F
N
14、(2009年上海市)已知线段与相交于点,联结,为的中点,为的中点,联结(如图所示).
O
D
C
A
B
E
F
(1)添加条件∠A=∠D,,求证:AB=DC.
(2)分别将“”记为①,“”记为②,“”记为③,添加条件①、③,以②为结论构成命题1,添加条件②、③,以①为结论构成命题2.命题1是 命题,命题2是 命题(选择“真”或“假”填入空格).
15、(2009武汉)如图,已知点在线段上,BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.
求证:.
C
E
B
F
D
A
16、(2009年陕西省)如图,在□ABCD中,点E是AD的中点,连接CE并延长,交BA的延长线于点F.
求证:FA=AB.
17、(2009年泸州)如图,已知△ABC为等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,
AD与BE相交于点F.
(1)求证:≌△CAD;
(2)求∠BFD的度数.
18、 (2009年四川省内江市)如图,已知AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE. AE得∠ADE=∠AED
∴∠ADB=∠AEC
A
B D E C
∴△ABD≌△ACE
∴BD=CE
A
B
D
E
C
F
19、 (2009年四川省内江市)如图,四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相交于点E、F在AC上,AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC
求证:(1)CD⊥DF;
(2)BC=2CD
∴CD⊥DF
20、(2009年重庆市江津区)如图,在△ABE中,AB=AE,AD=AC,∠BAD=∠EAC, BC、DE交于点O.
求证:(1) △ABC≌△AED;
(2) OB=OE .
21、(2009年北京市)已知:如图,在△ABC中,∠ACB=,于点D,点E 在AC上,CE=BC,过E点作AC的垂线,交CD的延长线于点F .求证:AB=FC
22、(2009年吉林省)如图,,请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明.
B
D
C
F
A 郜
E
23.(2009年深圳市)如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G。
(1)求证:△ABE≌△CBF;
(2)若∠ABE=50º,求∠EGC的大小。
25、(2009年长沙)如图,是平行四边形对角线上两点,,求证:.D
C
A
B
E
F
26、(2009年莆田)已知:如图在中,过对角线的中点作直线分别交的延长线、的延长线于点
(1)观察图形并找出一对全等三角形:____________________,请加以证明;
E
B
M
O
D
N
F
C
A
E
B
M
O
D
N
F
C
A
(2)在(1)中你所找出的一对全等三角形,其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到?
27、(2009年莆田)(1)根据下列步骤画图并标明相应的字母:(直接在图1中画图)
①以已知线段(图1)为直径画半圆;
②在半圆上取不同于点的一点,连接;
③过点画交半圆于点
(2)尺规作图:(保留作图痕迹,不要求写作法、证明)
已知:(图2).
求作:的平分线.
图2
O
B
A
B
A
图1
作射线
A
D
C
B
E
28、(2009年漳州)如图,在等腰梯形中,为底的中点,连结、.求证:.
【.
29、(2009年哈尔滨)如图,在⊙O中,D、E分别为半径OA、OB上的点,且AD=BE.
点C为弧AB上一点,连接CD、CE、CO,∠AOC=∠BOC.
求证:CD=CE.
30、(2009年牡丹江)已知中,为边的中点,
绕点旋转,它的两边分别交、(或它们的延长线)于、
当绕点旋转到于时(如图1),易证
当绕点旋转到不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,、、又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.
A
E
C
F
B
D
图1
图3
A
D
F
E
C
B
A
D
B
C
E
图2
F
32、(2009年甘肃白银)如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点,求证:
(1);(2).
A
D
O
C
B
33、(2009桂林百色)如图:在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于O.
(1)图中共有 对全等三角形;
(2)写出你认为全等的一对三角形,并证明.
34、(2009白银市)如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点,求证:
(1);(2).
35、(2009宁夏) E
C
B
A
D
如图:在中,,是边上的中线,将沿边所在的直线折叠,使点落在点处,得四边形.
求证:.
36、(2009东营)已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)
D
F
B
A
C
E
图③
F
B
A
D
C
E
G
图②
F
B
A
D
C
E
G
图①
.
37、(眉山)在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AB⊥BC,∠A=60°,AB=2CD,E、F分别为AB、AD的中点,连结EF、EC、BF、CF。。
⑴判断四边形AECD的形状(不证明);
⑵在不添加其它条件下,写出图中一对全等的三角形,用符号“≌”表示,并证明。
⑶若CD=2,求四边形BCFE的面积。
38、(2009年山西省)在中,将绕点顺时针旋转角得交于点,分别交于两点.
(1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段与有怎样的数量关系?并证明你的结论;
A
D
B
E
C
F
A
D
B
E
C
F
(2)如图2,当时,试判断四边形的形状,并说明理由;
(3)在(2)的情况下,求的长.
39、(2009年黄石市)如图,在上,.
求证:.
A
B
C
F
E
D
40、(2009年郴州市)如图6,在下面的方格图中,将ABC先向右平移四个单位得到AB1C1,再将AB1C1绕点A1逆时针旋转得到AB2C2,请依次作出AB1C1和AB2C2。
图6
【答案】正确作出图形即可,图略.平移(4分)旋转(2分)
41、(2009年常德市)如图9,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别EB,CD的中点,易证:CD=BE,△AMN是等边三角形.
(1)当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时,CD=BE是否仍然成立?若成立请证明,若不成立请说明理由;(4分)
(2)当△ADE绕A点旋转到图11的位置时,△AMN是否还是等边三角形?若是,请给出证明,并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比;若不是,请说明理由.(6分)
图9 图10 图11
图8
42、(2009年广西钦州)(1)已知:如图1,在矩形ABCD中,AF=BE.求证:DE=CF;
43、(2009年广西梧州)如图(7),△ABC中,AC的垂直平分线MN交AB于
点D,交AC于点O,CE∥AB交MN于E,连结AE、CD.
(1)求证:AD=CE;图(7)
(2)填空:四边形ADCE的形状是 ★ .
44、(2009年甘肃定西)如图13,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点,求证:
(1);(2).
45、(2009年清远)如图,已知正方形,点是上的一点,连结,以为一边,在的上方作正方形,连结.
求证:
E
B
C
G
D
F
A
图7
46、(2009年衢州)如图,四边形ABCD是矩形,△PBC和△QCD都是等边三角形,且点P在矩形上方,点Q在矩形内.
求证:(1)∠PBA=∠PCQ=30°;(2)PA=PQ.
A
C
B
D
P
Q
47、(2009年舟山)如图,四边形ABCD是矩形,△PBC和△QCD都是等边三角形,且点P在矩形上方,点Q在矩形内.
求证:(1)∠PBA=∠PCQ=30°;(2)PA=PQ.
A
C
B
D
P
Q
A
C
B
D
P
Q
48、(2009河池)如图7,在△中,∠ACB=.
(1)根据要求作图:
① 作的平分线交AB于D;
② 过D点作DE⊥BC,垂足为E.
(2)在(1)的基础上写出一对全等三角形
和一对相似比不为1的相似三角形:
△ ≌△ ;△ ∽△ .
请选择其中一对加以证明.
(2)△BDE≌△CDE ;
49、(09湖南怀化)如图9,P是∠BAC内的一点,,垂足分别为点.求证:(1);
(2)点P在∠BAC的角平分线上.
【
50、(09湖北宜昌)已知:如图2,在Rt△ABC和Rt△BAD中,AB为斜边,AC=BD,BC,AD相交于点E.
(1) 求证:AE=BE;
(2) 若∠AEC=45°,AC=1,求CE的长.
图2
51、(09湖北宜昌)已知:如图, AF平分∠BAC,BC⊥AF, 垂足为E,点D与点A关于点E对称,PB分别与线段CF, AF相交于P,M.
(1)求证:AB=CD;
(2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD
的数量关系,并说明理由.
52、(2009年宁德市)如图(1),已知正方形ABCD在直线MN的上方,BC在直线MN上,E是BC上一点,以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG.
(1)连接GD,求证:△ADG≌△ABE;
(2)连接FC,观察并猜测∠FCN的度数,并说明理由;
(3)如图(2),将图(1)中正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=a,BC=b(a、b为常数),E是线段BC上一动点(不含端点B、C),以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG,使顶点G恰好落在射线CD上.判断当点E由B向C运动时,∠FCN的大小是否总保持不变,若∠FCN的大小不变,请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值;若∠FCN的大小发生改变,请举例说明.
图(2)
M
B
E
A
C
D
F
G
N
N
M
B
E
C
D
F
G
图(1)
54、(2009年山东青岛市)用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
A
B
C
为美化校园,学校准备在如图所示的三角形()空地上修建一个面积最大的圆形花坛,请在图中画出这个圆形花坛.
解:
结论:
结论.
A
D
G
C
B
F
E
第3题图
55、(2009年山东青岛市)已知:如图,在中,AE是BC边上的高,将沿方向平移,使点E与点C重合,得.
(1)求证:;
(2)若,当AB与BC满足什么数量关系时,四边形是菱形?证明你的结论.
,
57、(2009年湖北荆州)如图,D是等边△ABC的边AB上的一动点,以CD为一边向上作等边△EDC,连接AE,找出图中的一组全等三角形,并说明理由.
E
D
C
B
A
【答案】
58、(2009湖北荆州年)把一个正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多,除了可以分成能相互全等的四个三角形外,你还能用三种不同的方法将正方形分成面积相等的四个三角形吗?请分别画出示意图。
【
【答案】
59、(2009年茂名市)如图,方格中有一个请你在方格内,画出满足条件
的并判断与是否一定全等?
B
A
C
60、(2009年肇庆市)如图 8,在中,,线段 AB 的垂直平分线交 AB于 D,交 AC
于 E,连接BE.
A
E
C
B
D
图8
(1)求证:∠CBE=36°;
(2)求证:.
61、(2009年崇左)如图,在等腰梯形中,已知,,延长到,使.
(1)证明:;
D
A
B
E
C
F
(2)如果,求等腰梯形的高的值.
62、(2009年佳木斯)如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E.
(1)试找出一个与△AED全等的三角形,并加以证明.
(2)若AB=8,DE=3,P为线段AC上的任意一点,PG⊥AE于G,PH⊥EC于H,试求PG+PH的值,并说明理由.
63、(2009年赤峰市)如图,在四边形ABCD中,AB=BC,BF是∠ABC的平分线,AF∥DC,连接AC、CF,求证:CA是∠DCF的平分线。
64、(2009年云南省)如图,在△ABC和△DCB中,AB = DC,AC = DB,AC与DB交于点M.
(1)求证:△ABC≌△DCB ;
(2)过点C作CN∥BD,过点B作BN∥AC,CN与BN交于点N,试判断线段BN与CN的数量关系,并证明你的结论.
B C
A D
M
N
三角形全等
一、 选择题
1. (2011深圳市全真中考模拟一)如图,将两根钢条、的中点O连在一起,使、可以绕着点0自由转动,就做成了一个测量工件,则的长等于内槽宽AB,那么判定△AOB△的理由是
(A)边角边 (B)角边角 (C)边边边 (D)角角边
答案;A
二、填空题
第1题
D
C
B
A
1、(2011北京四中模拟8)如图,∠ACB=∠ADB,要使△ACB≌△BDA,请写出一个符合要求的条件
答案 ∠CAB=∠DBA或∠CBA=DAB
2、(2011年北京四中模拟28)
如图,某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,最省事的办法是带编号为 的碎片去.
答案:③
(第2题)
①
②
③
A
D
F
C
B
E
(第3题)图)
3.(2011年海宁市盐官片一模)如图,有一块边长为4的正方形塑料摸板,将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点,两条直角边分别与交于点,与延长线交于点.则四边形的面积是 .
答案:16
三、解答题
A组
1、(浙江省杭州市2011年中考数学模拟)如图,在△ABC中,D是BC边上的点(不与B,C重合),F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE. 请你添加一个条件,使△BDE≌△CDF(不再添加其它线段,不再标注或使用其他字母),并给出证明.
【根据习题改编】
(1)你添加的条件是: ;
(2)证明:
A
C
B
D
F
E
(第1题)图)
答案: 解:(1)(或点D是线段BC的中点),,中任选一个即可﹒
(2)以为例进行证明:
∵ CF∥BE,
∴ ∠FCD﹦∠EBD.
又∵,∠FDC﹦∠EDB,
∴ △BDE≌△CDF.
2、(2011年北京四中三模)
如图,正方形ABCD中,E、F分别是AB和AD上的点,已知CE⊥BF,垂足为M,请找出和BE相等的线段,并证明你的结论。
答案:和BE相等的线段是:AF 通过证明△ABF≌△BCE得证BE=AF
3、(2011年如皋市九年级期末考)如图,已知AD是△ABC的角平分线,在不添加任何辅助线的前提下,要使△AED≌△AFD,需添加一个条件是: ,并给予证明.
B
A
E
F
D
C
(第3题)
答案:答案不惟一.添加条件为AE=AF或∠EDA=∠FDA或∠AED=∠AFD.
以添加条件AE=AF为例证明.
证明:在△AED与△AFD中,
∵AE=AF,∠EAD=∠FAD,AD=AD,
∴△AED≌△AFD(SAS).
4、(北京四中模拟)
已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线
交DC于点E.
求证:(1)△BFC≌△DFC;
(2)AD=DE.
答案:略
2、(2011杭州模拟26) 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OA=10cm,OC=6cm。P是线段OA上的动点,从点O出发,以1cm/s的速度沿OA方向作匀速运动,点Q在线段AB上。已知A、Q两点间的距离是O、P两点间距离的a倍。若用(a,t)表示经过时间t(s)时,△OCP、△PAQ 、△CBQ中有两个三角形全等。请写出(a,t)的所有可能情况 .
答案:(0,10),(1,4),(,5)
3、(北京四中模拟)如图,已知.求证:.
证明:
.
.
又,
.
4、(2011年北京四中模拟26)已知:如图,D是AC上一点,BE∥AC,BE=AD,AE分别交BD、BC于点F、G,∠1=∠2。
(1)图中哪个三角形与△FAD全等?证明你的结论;
答案:解:(1)△。证明:。
A
B
C
D
E
F
又
5、(2011年北京四中模拟28)
如图,点F是CD 的中点,且AF⊥CD,BC=ED,∠BCD=∠EDC.
(1)求证:AB=AE;
(2)连接BE,请指出BE与AF、BE与CD分别有怎样的关系?
(只需写出结论,不必证明).
答案:
(1) 证明:联结AC、AD----------------------------------------------------------------1分
∵点F是CD 的中点,且AF⊥CD,∴AC=AD---------------1分
∴∠ACD=∠ADC------------------------------------------------------1分
∵∠BCD=∠EDC, ∴∠ACB=∠ADE-------------------------1分
∵BC=DE,AC=AD
∴△ABC≌△AED, -------------------------------------------------------1分
∴AB=AE-------------------------------------------------------------------1分
(2) BE⊥AF,BE//CD,AF平分BE--------------------------------------1分,1分,2分
(注:写出一个得1分,写出两个得2分,写出三个得4分)
6、(2011年北京四中中考模拟20)(本题8分)如图,AB∥CD
(1)用直尺和圆规作的平分线CP,CP交AB于点E(保留作图痕迹,不写作法)
A
B
C
D
A
C
D
B
(2)在(1)中作出的线段CE上取一点F,连结AF。要使△ACF≌△AEF,还需要添加一个什么条件?请你写出这个条件(只要给出一种情况即可;图中不再增加字母和线段;不要求证明)。
C
A
B
D
E
P
F
解:(1)作图略;
(2)取点F和画AF正确(如图);
添加的条件可以是:F是CE的中点;
AF⊥CE;∠CAF=∠EAF等。(选一个即可)
7. (2011年黄冈市浠水县中考调研试题)已知:如图,在△ABC、△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上,连结BD.
求证:(1)△BAD≌△CAE; (2)试猜想BD、CE有何特殊位置关系,并证明.
答案:(1)AB=AC,易证∠BAD=∠CAE ,AD=AE,所以△BAD≌△CAE(SAS)
(2)BD⊥CE,证明略.
8. (2011年北京四中中考全真模拟17)已知:如图,已知:D是△ABC的边AB上一点,CN∥AB,DN交AC于,若MA=MC.
求证:CD=AN.
答案:证明:如图,
因为 AB∥CN,所以 在和中
≌
是平行四边形
B组
1.(2011 天一实验学校 二模)如图,已知中,厘米,厘米,点为的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,与是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使与全等?
A
Q
C
D
B
P
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇?
答案: ⑴
①全等。
理由:∵AB=AC,∴∠B=∠C,运动1秒时BP=3,CP=5,CQ=3
∵D为AB中点,AB=10,∴BD=5.
∴BP=CQ,BD=CP,∴△BPD≌△CQP
②若Q与P的运动速度不等,则BP≠CQ,若△BPD与△CQP全等,则BP=CP=4
CQ=5,Q的运动速度为5×cm/s
⑵设经过t秒两点第一次相遇则
(-3)t=20
t=
3t=80,
80÷28=2
×28=24,所以在AB边上。
即经过两点第一次相遇,相遇点在AB上。
2.(2011年安徽省巢湖市七中模拟)如图,是平行四边形的对角线上的点,.
A
B
C
D
E
F
(第2题)
请你猜想:与有怎样的位置关系和数量关系?
并对你的猜想加以证明.
猜想:
证明:
答案:猜想:BE∥DF BE=DF
证明:在平行四边形ABCD中,AB=CD、AB∥CD
∴∠BAC=∠DCA
又∵ AF=CE
∴AE=CF
∴△ABE≌△CDF (SAS)
∴BE=DF ∠AEB=∠CFD
∴∠BEF=∠DFE
∴BE∥DF
3.(2011北京四中一模)如图,在 △ABC中,以AB为直径的⊙O交 BC于点 D,连结 AD,请你添加一个条件,
使△ABD≌△ACD,并说明全等的理由.
你添加的条件是
证明:
答案: 本题答案不唯一,添加的条件可以是
①AB=AC,②∠B=∠C,③BD=DC(或D是BC中点),
④∠BAD=∠CAD(或AD平分∠BAC)等.
4.(2011浙江杭州义蓬一模)(本小题满分10分) 图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°, △ABD是等边三角形,E是AB的中点,连结CE并延长交AD于F.
(1)求证:① △AEF≌△BEC;② 四边形BCFD是平行四边形;
(2)如图2,将四边形ACBD折叠,使D与C重合,HK为折痕,求sin∠ACH的值.
图2
A
B
C
D
K
H
30°
图1
A
B
C
D
E
F
30°
答案:(1)求证:① △AEF≌△BEC;
∠ABC=90°,E是AB的中点,AE=BE,∠FAB=∠EBC=60°,∠FEB=∠BEC
所以△AEF≌△BEC;
② 四边形BCFD是平行四边形;
可得DF∥BC,FC∥DB,或DF∥BC,且DF=BC均可
(2)设BC=1,则AC=,AD=AB=2
设DH=x,由折叠得DH=CH=x,(2-x)+3=x
X= 所以Sin∠ACH=
5. (2011深圳市全真中考模拟一) 如图l,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,连结EB,过点A作AMBE,垂足为M,AM交BD于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)如图2,若点E在AC的延长线上,AMBE于点M,交DB的延长线于点F,其它条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
答案:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形.
∴BOE=AOF=90.OB=OA ……………… (1分)
又∵AMBE,∴MEA+MAE=90=AFO+MAE
∴MEA=AFO………………(2分)
∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ……………… (3分)
∴OE=OF ………………(4分)
(2)OE=OF成立 ……………… (5分)
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴BOE=AOF=90.OB=OA ……………… (6分)
又∵AMBE,∴F+MBF=90=B+OBE
又∵MBF=OBE
∴F=E………………(7分)
∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ……………… (8分)
∴OE=OF ………………(9分)
6. (河南新乡2011模拟)(10分).如图,在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO.将纸片翻折后,点B恰好落在x轴上,记为B′,折痕为CE,已知tan∠OB′C=.
(1)求B′ 点的坐标;
(2)求折痕CE所在直线的解析式.
答案:解:(1)在Rt△B′OC中,tan∠OB′C=,OC=9,
∴ . ………………………………………………………………………3分
解得OB′=12,即点B′ 的坐标为(12,0). ………………………………………4分
(2)将纸片翻折后,点B恰好落在x轴上的B′ 点,CE为折痕,
∴ △CBE≌△CB′E,故BE=B′E,CB′=CB=OA.
由勾股定理,得 CB′==15. … …………………………………5分
设AE=a,则EB′=EB=9-a,AB′=AO-OB′=15-12=3.
由勾股定理,得 a2+32=(9-a)2,解得a=4.
∴点E的坐标为(15,4),点C的坐标为(0,9). 5分
设直线CE的解析式为y=kx+b,根据题意,得 …………… 8分
解得 ∴CE所在直线的解析式为 y=-x+9. ……
7、(2011年黄冈市浠水县)如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,AE=EC,CF∥AB.
A
B
C
D
E
F
求证:AD=CF.
答案:证明:,.…………(2分)
又,,
.………………………(5分)
.…………………………………(6分)
8. (2011年浙江省杭州市模2)(本小题满分10分)
如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边∆ABC边AB、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s,
(1)连接AQ、CP交于点M,则在P、Q运动的过程中,∠CMQ变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;
(2)何时∆PBQ是直角三角形?
(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则∠CMQ变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;
A
P
B
Q
C
M
第8题图2
A
P
B
Q
C
M
第8题图1
答案:(1)不变。
又由条件得AP=BQ,∴≌(SAS)
∴
∴
(2)设时间为t,则AB=BQ=t,PB=4-t
当
当
∴当第秒或第2秒时,∆PBQ为直角三角形
(3)不变。
∴
又由条件得BP=CQ,∴≌(SAS)
∴ 又
∴
全等三角形
一、 选择题
1.(2010年武汉市中考模拟数学试题(15))如图,△ABC中,∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P,下列结论:
①PC平分∠ACF;
②∠ABC+∠APC=180°
③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影,
则AM+CN=AC;
④∠BAC=2∠BPC
其中正确的是( ).
A.只有①②③ B.只有①③④
C.只有②③④ D.只有①③
答:B
二、填空题
1.(2010年德州第一次练兵)如图,点P在的平分线上,若使≌,则需添加的一个条件是 (写一个即可,不添加辅助线)。
A
O
P
B
答案:不唯一 ;
A
B
C
O
P
D
第2题图
2.(陕西新希望教育2010年 一模)如图,在等边△ABC中,AC=3,点O在AC上,且AO=1.点P是AB上一点,连接OP,以线段OP为一边作正△OPD,且O、P、D三点依次呈逆时针方向,当点D恰好落在边BC上时则AP的长是 .
答案:2
3.(2010模拟题四)如图△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件:___________,使△AEH≌△CEB.
答案:AH=BC
三、解答题
A
B
C
D
E
第1题图
1.(2010学年度武汉市九年级复习备考数学测试试卷16)等边△ABC和等边△ADE如图放置,且B、C、E三点在一条直线上,连接CD,求证:∠ACD=60°.
答案:证△ABE≌△ACD即可(或证△ABE∽△ACD亦可)
2.(2010年武汉市中考模拟数学试题(24))中,,AC=BC,CO为中线.现将一直角三角板的直角顶点放在点上并绕点旋转,若三角板的两直角边分别交AC,CB的延长线于点G,H.请从图中选一组相等的线段并给予证明(除AC=BC,OA=OB=OC外)
我选择证明 = .
证明:(1)(任一组都行)
(利用等角的补角相等证比照给分)
.
3.(2010年武汉市中考模拟数学试题(27))已知如图,∠A=90°∠D=90°且AE=DE,求证:∠ACB=∠DBC.
答:略.
4.(2010年武汉中考模拟试卷6)如图,AB=DE,AC=DF,点E、C在直线BF上,且BE=CF。求证△ABC≌△DEF。
答案:、证明 ∵BE=CF ∴BE+EC=EC+CF即BC=EF
又∵AB=DE AC=DF ∴△ABC≌△DEF
5.(2010年溧水县)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,连结AD,在AD的延长线上取一点E,连结BE,CE.
(1)求证:△ABE≌△ACE
(2)当AE与AD满足什么数量关系时,四边形ABEC是菱形?并说明理由.
答案:
(1)证明:∵AB=AC
点D为BC的中点
∴∠BAE=∠CAE
AE=AE
∴△ABE≌△ACE(SAS)
(2)当AE=2AD(或AD=DE或DE=AE)时,四边形ABEC是菱形
理由如下:
∵AE=2AD,∴AD=DE
又点D为BC中点,∴BD=CD
∴四边形ABEC为平行四形边
∵AB=AC
∴四边形ABEC为菱形
(其他方法参照本方法给分)
6.(2010永嘉学业二模)阅读:下题及证明过程:
已知:如图,在△ABC中,点D是BC上的一点,点E是AD上的一点,且EB=EC,∠ABE=∠ACE.
求证:∠BAE=∠CAE
证明:在△AEB和△AEC中
EB = EC ( )
∠ABE=∠ACE( )
AE=AE( )
(第6题图)
∴△AEB≌△AEC( )
∴∠BAE=∠CAE( )
上面的证明过程是否正确?若认为正确,请在各步后面的括号内填入依据;若认为不正确,请给予正确的证明.
解:上述的证明过程不正确。
证明:∵BE=EC
∴∠EBD=∠ECD
∵∠ABE=∠ACE
∴∠ABD=∠ACD
∴AB=AC
在△ABE与△ACE中
AB=AC
∠ABE=∠ACE
第6题图
BE=CE
∴△ABE≌△ACE(SAS)
∴∠BAE=∠CAE
7.(河南邓北七校联考模拟试题)如图:ACB与DCE是全等的两个直角三角形,其中ACB=DCE=900,AC=4,BC=2,点D、C、B在同一条直线上,点E在边AC上.
(1)直线DE与AB有怎样的位置关系?请证明你的结论;
(2)如图(1)若DCE沿着直线DB向右平移多少距离时,点E恰好落在边AB上,求平移距离DD,;
D
E
A
B
C
备用图
D
E
A
B
C
(1)
D,
(3)在DCE沿着直线DB向右平移的过程中,使DCE与ACB的公共部分是四边形,设平移过程中的平移距离为,这个四边形的面积为,求与的函数关系式,并写出它的定义域.
D
E
A
B
C
答案:解:(1)点 M
(2)经过t秒时,, 则,
∵==
∴
∴ ∴
∴
∵∴当时,S的值最大.
(3)存在.
设经过t秒时,NB=t,OM=2t 则,
∴==
①若,则是等腰Rt△底边上的高
∴是底边的中线 ∴
∴∴
∴点的坐标为(1,0)
②若,此时与重合
∴
∴
∴
∴点的坐标为(2,0)
8.(2010年·武汉市·中考模拟试卷)如图:已知等边三角形ABC,D为AC边上的一动点,CD=nDA,连线段BD,M为线段BD上一点,∠AMD=60°,AM交BC于E.
⑴.若n=1,则= ,= .
⑵.若n=2,求证:BM=6DM.
⑶.当n= 时,M为BD中点.
(直接写结果,不要求证明)。
答案:(1) 1 . 2 .
(2).证明:
∠AMD=∠ABD+∠BAE=60°
∠CAE+∠BAE=60°
∴∠ABD=∠CAE
又,BA=CA ,∠BAD=∠ACE=60°
∴△BAD≌△ACE(ASA)
∴AD=CE ∴CD=BE
作CF∥BD交AE于F
∴= = =①
= =②
①×②得 =
∴BM=6DM
(3) n=
9. 如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠A=90°,BC=CD,BE⊥DC于点E.求证:△ABD≌△EBD
答案:∵AD∥ BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∵BC=BD,
∵∠DBC=∠CDB,∴∠CDB=∠ADB
又,∵BE⊥DC ∴∠BDE=
又∵∠A= ∴∠BED=∠A
又∵BD=BD ∴△ABD≌△EBD
10.(2010年武汉中考命题)如图,A、D、F、B在同一直线上,AD=BF,AE=BC,且AE∥BC,求证EF∥CD。
证明略
11.(武汉市2010年初中学业考试)如图,要测量河两岸相对的两点A、B的
距离,可以在AB的垂线BF上取两点C、D,使BC=CD,再
定出BF的垂线DE,使A、C、E在一条直线上,这时测得
DE的长就是AB的长.请说明理由.
答案:证△ABC≌△EDC得DE=AB.
12.(2010星子二中月考)如图是由正三角形组成的正六边形网格,请在网格中画出两个互不重叠且各个顶点均在格点上的全等三角形.
答案:如:
13.(2010星子二中月考)如图所示,把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,将重合部分剪去,得到△ABF和△EDF.
求证:△ABF≌△EDF
证明:略