北京中考数学一模26题探索型专题 12页

图1 D C B A 2017 年北京中考数学一模 26 题 “探索型”专题 西城 26．阅读下列材料： 某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源以后，在初始温度 20℃下加热水箱中的水；当水温达到 设定温度 80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到 20℃时，再次自动加热水箱中 的水至 80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到 20℃时，再次自动加热，……，按照以上方式不断循 环. 小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温 y 是 时间 x 的函数，其中 y（单位：℃）表示水箱中水的温度，x（单位：min）表示接通电源后的时间. 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）下表记录了 32min 内 14 个时间点的温控水箱中水的温度 y 随时间 x 的变化情况 接通电源后 的时间 x （单位：min） 0 1 2 3 4 5 8 10 16 18 20 21 24 32 … 水箱中水的温度 y （单位：℃） 20 35 50 65 80 64 40 32 20 m 80 64 40 20 … m 的值为 ； （2）① 当 0≤x≤4 时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ； 当 4＜x≤16 时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ； ② 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当 0≤x ≤32 时，温度 y 随时间 x 变化的函数图象； （3）如果水温 y 随时间 x 的变化规律不变，预测水温第 8 次达到 40℃时，距离接通电源 min. 东城 26. 在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质. 定义 1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹 四边形（如图 1）. y x3836 4034 80 60 40 20 O 2 323028262422201816141210864 D C B A D C B A D C B A （1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ； ○1 ○2 ○3 定义 2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图 2）. 特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形. 小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究. 下面是小洁的探究过程，请补充完整： （2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想 加以证明； （3）如图 2，在燕尾四边形 ABCD 中，AB=AD=6，BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四边形 ABCD 的面积（直接写出结果）. 朝阳 26. 有这样一个问题：探究函数 的图象与性质． 小 华 根 据 学 习 函 数 的 经 验 ， 对 函 数 的 图 象 与 性 质 进 行 了 探 究 . 下 面 是 小 华 的 探 究 过 程 ,请 补 充 完 整 : (1)函 数 的 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 ； (2)下 表 是 y 与 x 的 几 组 对 应 值 . x … -3 -2 -1 0 1 3 4 5 6 7 … y … 6 6 m … 求 m 的 值 ； （3）如下图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对 对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象； （4）结合函数的图象，写出该函数的一条性 质： . ( )2 6 2 y x = − ( )2 6 2 y x = − ( )2 6 2 y x = − 1 2 7 2 6 25 3 8 2 3 3 2 8 3 8 3 3 2 2 3 3 8 x y –1–2–3 1 2 3 4 5 6 –1 –2 1 2 3 4 5 O 房山 26.小东根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程， 请补充完整，并解决相关问题： （1）函数 的自变量 x 的取值范围是 ； （2）下表是 y 与 x 的几组对应值. x … 0 1 2 3 4 … y … 2 4 2 m … 表中 m 的值为________________； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点. 根据描出的点，画出函数 的大致图象； （4）结合函数图象，请写出函数 的一条性质：______________________________. （5）解决问题：如果函数 与直线 y=a 的交 点 有 2 个，那么 a 的取值范围是______________ . 顺义 26．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数 的图象和性质进行了探究，探究 过程如下，请补充完整： （1）该函数的自变量 x 的取值范围是　　　　； （2）同学们先找到 y 与 x 的几组对应值，然后在下图的平面直角坐标系 xOy 中，描出各对对应值为 坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质： ． ( )2 4 1 1 y x = − + ( )2 4 1 1 y x = − + 2− 1− 1 2 − 1 2 3 2 5 2 2 5 4 5 16 13 16 5 16 5 16 13 4 5 ( )2 4 1 1 y x = − + ( )2 4 1 1 y x = − + ( )2 4 1 1 y x = − + ( )22 64 − +−= x xy 平谷 26 ．有这样一个问题：探究函数 的图象与性质． 小军根据学习函数的经验， 对函数 的图象与性质进行了探究． 下面是小军的探究过程， 请补充完整： （1）函数 的自变量 x 的取值范围是 ； （2）下表是 y 与 x 的几组对应值 x ﹣2 ﹣1.9 ﹣1.5 ﹣1 ﹣0.5 0 1 2 3 4 … y 2 1.60 0.80 0 ﹣0.72 ﹣1.41 ﹣0.37 0 0.76 1.55 … 在平面直角坐标系 xOy 中， 描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点， 画出该函数的图象； （3）观察图象，函数的最小值是 ； （4）进一步探究，结合函数的图象， 写出该函数的一条性质（函数最小值除 外）： ． 门头沟 26.在一节数学实践课上，老师出示了这样一道题， 如图 26-1，在锐角三角形 ABC 中，∠A、∠B、∠C 所对边分别是 a、b、c, 请用 a、c、∠B 表示 . 经过同学们的思考后， 甲同学说：要将锐角三角形转化为直角三角形来解决，并且不能破坏∠B，因此可以经过点 A，作 AD ⊥BC 于点 D,如图 26-2，大家认同； 乙同学说要想得到 要在 Rt△ABD 或 Rt△ACD 中解决； 丙同学说那就要先求出 ________, _______；(用含 c，∠B 的三角函数表示) 丁同学顺着他们的思路，求出 =AD2+DC2=_____________(其中 )； 请利用丁同学的结论解决如下问题： y x –3 –2 –1 1 2 3 4 –2 –1 1 2 3 4 5 O +2y x x= − + +2y x x= − + +2y x x= − + 2b 2b AD = BD = 2b 2 2sin cos 1α α+ = a c b B C A a c b DB C A 26-1 26-2 如图 26-3，在四边形 ABCD 中， , , . 求 AC 的长（补全图形，直接写出结果即可）. 海淀 26．有这样一个问题：探究函数 的图象与性质． 下面是小文的探究过程，请补充完整： （1）函数 的自变量 x 的取值范围是 ； （2）下表是 y 与 x 的几组对应值． x … 0 2 3 4 5 … y … 0 2 … 如下图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点． ①观察图中各点的位置发现：点 和 ， 和 ， 和 ， 和 均关于某点中心对称， 则该点的坐标为 ； ②小文分析函数 的表达式发现：当 时,该函数的最大值为 0，则该函数图象在直 线 左侧的最高点的坐标为 ； （3）小文补充了该函数图象上两个点（ ），（ ）， ①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象； ②写出该函数的一条性质：________________ ． 2− x y B2 B3 B4 B1 A4 A3A2A1 –1–2–3 1 2 3 4 5 –1 –2 1 2 3 O 90B D∠ = ∠ = ° 60BAD∠ = ° 4, 5AB AD= = 2 2 2 xy x = − 2 2 2 xy x = − 3− 1− 9 8 − 2 3 − 1 4 − 9 4 3 8 25 8 1A 1B 2A 2B 3A 3B 4A 4B 2 2 2 xy x = − 1x < 1x = 1 1 2 4 −， 3 9 2 4 ， x=1 C B A D 26-3 图 1 图 2 图 3 图 4 丰台 26．【问题情境】 已知矩形的面积为 a（a 为常数， ），当该矩形的长为多少时，它的周长 最小?最小值是多少? 【数学模型】 设该矩形的长为 x，周长为 y，则 y 与 x 的函数表达式为 ． 【探索研究】 小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数 的图象性质． （1）结合问题情境，函数 的自变量 x 的取值范围是 ， 下表是 y 与 x 的几组对应值． x … 1 2 3 m … y … 2 … ①写出 m 的值； ②画出该函数图象，结合图象，得出当 x =______时，y 有最小值，y 最小=________； 【解决问题】 （2）直接写出“问题情境”中问题的结论． 石景山 26．（1）定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁， 这样的四边形叫做凹四边形．如图 1，四边形 为凹四边形． （2）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明． 已知：如图 2，四边形 是凹四边形． 求证： ． （3）性质应用： 如图 3，在凹四边形 中， 的角平分线与 的角平分线交于 0>a      += x axy 2 ( )0>x xxy 1+= xxy 1+= 0>x 4 1 3 1 2 1 4 14 3 13 2 12 2 12 3 13 4 14 ABCD ABCD BCD B A D∠ = ∠ + ∠ + ∠ ABCD BAD∠ BCD∠ O y x 1 2 4 3 1 2 43 B C A D E D A CB D A B C B D A C 点 ，若 ， ，则 ． （4）类比学习： 如图 4，在凹四边形 中，点 ， ， ， 分别是边 ， ， ， 的中点，顺 次连接各边中点得到四边形 ．若 ， ， 则四边形 是 ．（填写序号即可） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 通州 26．已知 y 是 x 的函数，自变量 x 的取值范围是 x>0，下表是 y 与 x 的几组对应值. x … 1 2 4 5 6 8 9 … y … 3.92 1.95 0.98 0.78 2.44 2.44 0.78 … 小风根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的 y 与 x 之间的变化规律，对该函数的图象和性质 进行了探究. 下面是小风的探究过程，请补充完整： （1）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该 函数的图象； （2）根据画出的函数图象，写出： ①x=7 对应的函数值 y 约为______________. ②该函数的一条性质：______________________________________________________. 怀柔 26．已知 y 是 x 的函数，下表是 y 与 x 的几组对应值. x 2 3 4 5 6 7 … y 0 1 2 … 小聪根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的 y 与 x 之间的变化规律，对该函数的表达式， 图象和性质进行了探究. 2 3 E 140ADC∠ = ° 102AEC∠ = ° B∠ = ° ABCD E F G H AD AB BC CD EFGH AB AD= CB CD= EFGH 5 y x1 2 3 4 5 6 7 8 9–1–2 1 2 3 4 –1 –2 O 下面是小聪的探究过程，请补充完整: (1)根据上述表格所反映出的 y 与 x 之间的变化规律， 写出该函数的表达式: ; (2)该函数自变量 x 的取值范围是 ; (3)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出上表中各对对应值为坐标的点的位置（近似即可），根 据描出的点，画出该函数的图象; (4)根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质: . 西城 26．解：（1）50；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 （2）①答案不唯一. 如：当 0≤x≤4 时， ； 当 4＜x≤16 时， ； ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 ② ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 （3）56. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 东城 26．解： （1）○2 . …………1 分 （2）它是一个轴对称图形；两组邻边分别相等；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条 对角线等等. …………3 分 已知：如图，在凹四边形 ABCD 中，AB=AD，BC=DC. 求证：∠B=∠D. 证明：连接 AC. ∵AB=AD,CB=CD,AC=AC， ∴△ABC≌△ADC. ∴∠B=∠D. …………4 分 （3）燕尾四边形 ABCD 的面积为 . …………5 分 朝阳 26.解:（1）x≠2 （2）当 x=7 时，y= . ∴ . （3）该函数的图象如下图所示： 15 20y x= + 320y x = 12 2 4 3− 6 25 6 25 m = y x3634 80 60 40 20 O 2 323028262422201816141210864 E D C B A x y –1–2–3 1 2 3 4 5 6 –1 –2 1 2 3 4 5 O （4）答案不唯一,如：函数图象关于直线 x=2 对称. 房山 26.（1）全体实数 ------1 分 （2）m= ------2 分 （3）------3 分 （4）以下情况均给分： ①图象位于第一、二象限 ②当 x=1 时，函数有最大值 4. ③图象有最高点（1，4） ④x>1 时，y 随 x 增大而减小 ⑤x<1 时，y 随 x 增大而增大 ⑥图象与 x 轴没有交点 ⑦图象与 y 轴有一个交点 ⑧图象关于直线 x=1 对称 …… ------4 分 （5）01 时，该函数的最小值为 1． …… （写出一条即可）-------------------------------------------------------------------- 5 分 y x –3 –2 –1 1 2 3 4 –2 –1 1 2 3 4 5 O x y x=1 B2 B3 B4 B1 A4 A3A2A1 –1–2–3 1 2 3 4 5 –1 –2 1 2 3 O - 2 2 0x− ≤ < sinAD C B= ⋅ cosBD C B= ⋅ 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − ⋅ 2 7AC = 1x ≠ E C B A D 图 1 图 2 丰台 26. 解：（1）①m = 4；…………………………………………………………………………1 分 ②图象如图. ……………………………………………………………………2 分 1；2. …………………………………………………………………………4 分 （2）根据小彬的方法可知， 当 时，y 有最小值，即 时， ．…………………5 分 石景山 26．（2）证法一： 连接 并延长到点 ，如图 1． ∵ ， ，…………… 1 分 ∴ ． 即 ． …………… 2 分 证法二： 延长 交 于点 ，如图 2． ∵ ， ，………… 1 分 ∴ ． ………… 2 分 （3） ． ………… 4 分 （4） ． ………… 5 分 通州 26．（1）过点；符合函数概念………………………………..(3 分) （2）答案需和图形统一 ………………………………..(5 分) 怀柔 26．(1)y= ;……………………………2 分 (2)x≥2; ……………………………3 分 (3) 如图：……………………………4 分 (4) x≥2 时，函数图形 y 随 x 的增大而增大. ……………………………5 分 2x − x ax = ax = ay 4=最小 AC E 1 3B∠ = ∠ + ∠ 2 4D∠ = ∠ + ∠ 1+ 2 3 4B D∠ ∠ = ∠ + ∠ + ∠ + ∠ BCD B BAD D∠ = ∠ + ∠ + ∠ DC AB E 1BCD B∠ = ∠ + ∠ 1 A D∠ = ∠ + ∠ BCD D A B∠ = ∠ + ∠ + ∠ 64° C y=x+ 1 x O y x 1 2 4 3 1 2 43 E 4 32 1 D A B C 1 E D A B C