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- 2021-05-10 发布
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2014年甘肃省平凉市中考数学试卷
一、选择题:本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,将此选项的字母填涂在答题卡上.
1.(3分))﹣3的绝对值是( )
A. 3 B. ﹣3 C. ﹣ D.
2.(3分))节约是一种美德,节约是一种智慧.据不完全统计,全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人.350 000 000用科学记数法表示为( )
A. 3.5×107 B. 3.5×108 C. 3.5×109 D. 3.5×1010
3.(3分))如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的,它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.(3分))下列计算错误的是( )
A.
•=
B.
+=
C.
÷=2
D.
=2
5.(3分))将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上,且斜边与这根直尺平行,那么,在形成的这个图中与∠α互余的角共有( )
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
6.(3分))下列图形中,是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
7.(3分))已知⊙O的半径是6cm,点O到同一平面内直线l的距离为5cm,则直线l与⊙O的位置关系是( )
A.
相交
B.
相切
C.
相离
D.
无法判断
8.(3分))用10米长的铝材制成一个矩形窗框,使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x米,则根据题意可列出关于x的方程为( )
A.
x(5+x)=6
B.
x(5﹣x)=6
C.
x(10﹣x)=6
D.
x(10﹣2x)=6
9.(3分))二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图象一定过点( )
A.
(﹣1,﹣1)
B.
(1,﹣1)
C.
(﹣1,1)
D.
(1,1)
10.(3分))如图,边长为1的正方形ABCD中,点E在CB延长线上,连接ED交AB于点F,AF=x(0.2≤x≤0.8),EC=y.则在下面函数图象中,大致能反映y与x之闻函数关系的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.把答案写在答题卡中的横线上.
11.(4分))分解因式:2a2﹣4a+2= .
12.(4分))化简:= .
13.(4分))等腰△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上的高是 cm.
14.(4分))一元二次方程(a+1)x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0,则a= 1 .
15.(4分))△ABC中,∠A、∠B都是锐角,若sinA=,cosB=,则∠C= 60° .
16.(4分)已知x、y为实数,且y=﹣+4,则x﹣y= 或﹣7 .
17.如图,四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时,则阴影部分的面积为 .
18.(4分))观察下列各式:
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102
…
猜想13+23+33+…+103= 552 .
三、解答题(一):本大题共5小题,共38分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(6分))计算:(﹣2)3+×(2014+π)0﹣|﹣|+tan260°.
20.(6分))阅读理解:
我们把称作二阶行列式,规定他的运算法则为=ad﹣bc.如=2×5﹣3×4=﹣2.
如果有>0,求x的解集.
21.(8分))如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.
(1)用尺规作图作AB边上的中垂线DE,交AC于点D,交AB于点E.(保留作图痕迹,不要求写作法和证明);
(2)连接BD,求证:BD平分∠CBA.
22.(8分))为倡导“低碳生活”,人们常选择以自行车作为代步工具、图(1)所示的是一辆自行车的实物图.图(2)是这辆自行车的部分几何示意图,其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm,且它们互相垂直,座杆CE的长为20cm.点A、C、E在同一条只显示,且∠CAB=75°.(参考数据:sin75°=0.966,cos75°=0.259,tan75°=3.732)
(1)求车架档AD的长;
(2)求车座点E到车架档AB的距离(结果精确到1cm).
23.(10分))如图,在直角坐标系xOy中,直线y=mx与双曲线相交于A(﹣1,a)、B两点,BC⊥x轴,垂足为C,△AOC的面积是1.
(1)求m、n的值;
(2)求直线AC的解析式.
四、解答题(二):本大题共5小题,共50分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
24.(8分))在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球,它们的材质、形状、大小完全相同,小凯从布袋里随机取出一个小球,记下数字为x,小敏从剩下的3个小球中随机取出一个小球,记下数字为y,这样确定了点P的坐标(x,y).
(1)请你运用画树状图或列表的方法,写出点P所有可能的坐标;
(2)求点(x,y)在函数y=﹣x+5图象上的概率.
25.(10分))某校课外小组为了解同学们对学校“阳光跑操”活动的喜欢程度,抽取部分学生进行调查,被调查的每个学生按A(非常喜欢)、B(比较喜欢)、C(一般)、D(不喜欢)四个等级对活动评价,图1和图2是该小组采集数据后绘制的两幅统计图,经确认扇形统计图是正确的,而条形统计图尚有一处错误且并不完整.请你根据统计图提供的信息.解答下列问题:
(1)此次调查的学生人数为 ;
(2)条形统计图中存在错误的是 (填A、B、C、D中的一个),并在图中加以改正;
(3)在图2中补画条形统计图中不完整的部分;
(4)如果该校有600名学生,那么对此活动“非常喜欢”和“比较喜欢”的学生共有多少人?
26.(10分))D、E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB、AC的中点.O是△ABC所在平面上的动点,连接OB、OC,点G、F分别是OB、OC的中点,顺次连接点D、G、F、E.
(1)如图,当点O在△ABC的内部时,求证:四边形DGFE是平行四边形;
(2)若四边形DGFE是菱形,则OA与BC应满足怎样的数量关系?(直接写出答案,不需要说明理由.)
27.(10分))如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D,点E为BC的中点,连接DE.
(1)求证:DE是半圆⊙O的切线.
(2)若∠BAC=30°,DE=2,求AD的长.
28.(12分))如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.
(1)求点M、A、B坐标;
(2)联结AB、AM、BM,求∠ABM的正切值;
(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求P点坐标.
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,将此选项的字母填涂在答题卡上.
1.A. 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D 7.A 8.B 9.D
10.解:根据题意知,BF=1﹣x,BE=y﹣1,且△EFB∽△EDC,
则=,即=,
所以y=(0.2≤x≤0.8),该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分.
A、D的图象都是直线的一部分,B的图象是抛物线的一部分,C的图象是双曲线的一部分.
故选C.
二、填空题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.把答案写在答题卡中的横线上.
11. 2(a﹣1)2 . 12. x+2 . 13. 8 cm. 14. a= 1 .
15.∠C= 60° . 16. x﹣y= ﹣1或﹣7 .
17.如图,四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时,则阴影部分的面积为 12 .
解:∵菱形的两条对角线的长分别为6和8,
∴菱形的面积=×6×8=24,
∵O是菱形两条对角线的交点,
∴阴影部分的面积=×24=12.
故答案为:12.
18.分析: 13=12
13+23=(1+2)2=32
13+23+33=(1+2+3)2=62
13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102
13+23+33+…+103=(1+2+3…+10)2=552.
解:根据数据可分析出规律为从1开始,连续n个数的立方和=(1+2+…+n)2
所以13+23+33+…+103=(1+2+3…+10)2=552.
三、解答题(一):
19.解:原式=﹣8+﹣+3=﹣5.
20.解:由题意得2x﹣(3﹣x)>0,
去括号得:2x﹣3+x>0,
移项合并同类项得:3x>3,
把x的系数化为1得:x>1.
21.
(1)解:如图所示,DE就是要求作的AB边上的中垂线;
(2)证明:∵DE是AB边上的中垂线,∠A=30°,
∴AD=BD,
∴∠ABD=∠A=30°,
∵∠C=90°,
∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°,
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°,
∴∠ABD=∠CBD,
∴BD平分∠CBA.
22.解:(1)∵在Rt△ACD中,AC=45cm,DC=60cm
∴AD==75(cm),
∴车架档AD的长是75cm;
(2)过点E作EF⊥AB,垂足为F,
∵AE=AC+CE=(45+20)cm,
∴EF=AEsin75°=(45+20)sin75°≈62.7835≈63(cm),
∴车座点E到车架档AB的距离约是63cm.
23.
解:(1)∵直y=mx与双曲线y=相交于A(﹣1,a)、B两点,
∴B点横坐标为1,即C(1,0),
∵△AOC的面积为1,
∴A(﹣1,2),
将A(﹣1,2)代入y=mx,y=可得m=﹣2,n=﹣2;
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,
∵y=kx+b经过点A(﹣1,2)、C(1,0)
∴,
解得k=﹣1,b=1,
∴直线AC的解析式为y=﹣x+1.
四、解答题(二):本大题共5小题,共50分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
24.
解:列表得:
1 2 3 4
1 (1,2) (1,3) (1,4)
2 (2,1) (2,3) (2,4)
3 (3,1) (3,2) (3,4)
4 (4,1) (4,2) (4,3)
(1)点P所有可能的坐标有:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)共12种;
(2)∵共有12种等可能的结果,其中在函数y=﹣x+5图象上的有4种,
即:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)
∴点P(x,y)在函数y=﹣x+5图象上的概率为:P=.
25.解:(1)∵40÷20%=200,
80÷40%=200,∴此次调查的学生人数为200;
(2)由(1)可知C条形高度错误,
应为:200×(1﹣20%﹣40%﹣15%)=200×25%=50,
即C的条形高度改为50;
故答案为:200;C;
(3)D的人数为:200×15%=30;
(4)600×(20%+40%)=360(人),
答:该校对此活动“非常喜欢”和“比较喜欢”的学生有360人.
26.(1)证明:∵D、E分别是AB、AC边的中点,
∴DE∥BC,且DE=BC,
同理,GF∥BC,且GF=BC,
∴DE∥GF且DE=GF,
∴四边形DEFG是平行四边形;
(2)解:当OA=BC时,平行四边形DEFG是菱形.
点评: 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,平行四边形的判定,菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系,熟记的定理和性质是解题的关键.
27.(1)证明:连接OD,OE,
∵AB为圆O的直径,
∴∠ADB=∠BDC=90°,
在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,
∴DE=BE,
在△OBE和△ODE中,
,
∴△OBE≌△ODE(SSS),
∴∠ODE=∠ABC=90°,
则DE为圆O的切线;
(2)在Rt△ABC中,∠BAC=30°,
∴BC=AC,
∵BC=2DE=4,
∴AC=8,
又∵∠C=60°,DE=DC,
∴△DEC为等边三角形,即DC=DE=2,
则AD=AC﹣DC=6.
28.分析:(1)根据向右平移横坐标加写出平移后的抛物线解析式,然后写出顶点M的坐标,令x=0求出A点的坐标,把x=3代入函数解析式求出点B的坐标;
(2)过点B作BE⊥AO于E,过点M作MF⊥AO于M,然后求出∠EAB=∠EBA=45°,同理求出∠FAM=∠FMA=45°,然后求出△ABE和△AMF相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出,再求出∠BAM=90°,然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可得解;
(3)过点P作PH⊥x轴于H,分点P在x轴的上方和下方两种情况利用α的正切值列出方程求解即可.
解答: 解:(1)抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=(x﹣1)2﹣3,
顶点M(1,﹣3),
令x=0,则y=(0﹣1)2﹣3=﹣2,
点A(0,﹣2),
x=3时,y=(3﹣1)2﹣3=4﹣3=1,
点B(3,1);
(2)过点B作BE⊥AO于E,过点M作MF⊥AO于M,
∵EB=EA=3,
∴∠EAB=∠EBA=45°,
同理可求∠FAM=∠FMA=45°,
∴△ABE∽△AMF,
∴==,
又∵∠BAM=180°﹣45°×2=90°,
∴tan∠ABM==;
(3)过点P作PH⊥x轴于H,
∵y=(x﹣1)2﹣3=x2﹣2x﹣2,
∴设点P(x,x2﹣2x﹣2),
①点P在x轴的上方时,=,
整理得,3x2﹣7x﹣6=0,
解得x1=﹣(舍去),x2=3,
∴点P的坐标为(3,1);
②点P在x轴下方时,=,
整理得,3x2﹣5x﹣6=0,
解得x1=(舍去),x2=,
x=时,x2﹣2x﹣2=﹣×=﹣,
∴点P的坐标为(,﹣),
综上所述,点P的坐标为(3,1)或(,﹣).