中考数学中考最后压轴题训练折叠旋转问题 35页

一．折叠类 ‎1. （13江苏徐州卷）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD中，边，边，且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A落在边DC上，设点是点A落在边DC上的对应点．‎ ‎（图1）‎ ‎（1）当矩形ABCD沿直线折叠时（如图1），‎ 求点的坐标和b的值；‎ ‎（2）当矩形ABCD沿直线折叠时，‎ ‎① 求点的坐标（用k表示）；求出k和b之间的关系式；‎ ‎② 如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分 为如图2、3、4所示的三种情形，‎ 请你分别写出每种情形时k的取值范围．‎ ‎（将答案直接填在每种情形下的横线上）‎ ‎（——当如图1、2折叠时，求D的取值范围？）‎ ‎（图4）‎ ‎（图2）‎ ‎（图3）‎ ‎ ‎ k的取值范围是 ； k的取值范围是 ；k的取值范围是 ；‎ ‎[解] （1）如图答5，设直线与OD交于点E，与OB交于点F，连结，则 OE = b，OF = 2b，设点的坐标为（a，1）‎ 因为，，‎ 所以，所以△∽△OFE．‎ 所以，即，所以．‎ 所以点的坐标为（，1）．‎ 连结，则．‎ 在Rt△中，根据勾股定理有 ， ‎ 即，解得． ‎ ‎（2）如图答6，设直线与OD交于点E，与OB交于点F，连结，则 OE = b，，设点的坐标为（a，1）．‎ 因为，．‎ 所以，所以△∽△OFE．‎ 所以，即，所以．‎ 所以点的坐标为（，1）．‎ 连结，在Rt△中，，，．‎ 因为，‎ 所以．所以．‎ 在图答6和图答7中求解参照给分．‎ ‎（3）图13﹣2中：；‎ 图13﹣3中：≤≤；‎ 图13﹣4中： ‎ ‎（图答5）‎ ‎（图答7）‎ ‎（图答6）‎ ‎[点评]这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会。‎ ‎2. （13广西钦州卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为原点，为上一点，把沿折叠，使点恰好落在边上的点处，点的坐标分别为和．‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）求所在直线的解析式；‎ ‎5‎ D Ｏ E A x y C M B ‎（3）设过点的抛物线与直线的另一个交点为，问在该抛物线上是否存在点，使得为等边三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解] （1）根据题意，得，‎ ‎，． ‎ 点的坐标是； ‎ ‎（2），设，‎ 则，‎ ‎，‎ 在中，．‎ ‎．‎ ‎5‎ D H Ｏ G E A x y C F M B 解之，得，‎ 即点的坐标是． ‎ 设所在直线的解析式为，‎ ‎ ‎ 解之，得 ‎ 所在直线的解析式为； ‎ ‎（3）点在抛物线上，．‎ 即抛物线为．‎ 假设在抛物线上存在点，使得为等边三角形，‎ 根据抛物线的对称性及等边三角形的性质，得点一定在该抛物线的顶点上．‎ 设点的坐标为，‎ ‎，，‎ 即点的坐标为． ‎ 设对称轴与直线交于点，与轴交于点．‎ 则点的坐标为．‎ ‎，点在轴的右侧，‎ ‎，． ‎ ‎，‎ 在中，，．‎ 解之，得． ‎ ‎，．‎ 点的坐标为． ‎ 在抛物线上存在点，使得为等边三角形． ‎ ‎[点评]这是一道以折叠为背景的综合型压轴题，综合性较强，这类试题在各地中考题中出现的频率不小，本题中第1、2小题只需根据折叠的基本性质结合函数知识即可得解，第3小题是探究型问题，是一道检测学生能力的好题。‎ ‎3（13湖北咸宁卷）如图，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，．‎ ‎（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求点，的坐标；‎ ‎（2）若过点的抛物线与轴相交于点，求抛物线的解析式和对称轴方程；‎ ‎（3）若（2）中的抛物线与轴交于点，在抛物线上是否存在点，使的内心在坐标轴上？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎（4） ‎3‎ ‎5‎ 若（2）中的抛物线与轴相交于点，点在线段上移动，作直线，当点移动到什么位置时，两点到直线的距离之和最大？请直接写出此时点的坐标及直线的解析式．‎ ‎4. .(14台州市) O x y ‎（第24题）‎ C B E D 24．如图，四边形 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点在轴上，点在轴上，将边折叠，使点落在边的点处．已知折叠，且．‎ ‎（1）判断与是否相似？请说明理由；‎ ‎（2）求直线与轴交点的坐标；‎ ‎（3）是否存在过点的直线，使直线、直线与轴所围成的三角形和直线、直线与轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．‎ 解：（1）与相似．‎ 理由如下：‎ 由折叠知，，‎ ‎（第24题图2）‎ O x y C B E D P M G l N A F ‎，‎ 又，‎ ‎．‎ ‎（2），设，‎ 则．‎ 由勾股定理得．‎ ‎．‎ 由（1），得，‎ ‎，‎ ‎．‎ 在中，，‎ ‎，解得．‎ ‎，点的坐标为，‎ 点的坐标为，‎ 设直线的解析式为，‎ 解得 ‎，则点的坐标为．‎ ‎（3）满足条件的直线有2条：，‎ ‎．‎ 如图2：准确画出两条直线．‎ ‎5. (14宁德市)26. 已知：矩形纸片中，厘米，厘米，点在上，且厘米，点是边上一动点．按如下操作：‎ 步骤一，折叠纸片，使点与点重合，展开纸片得折痕（如图1所示）；‎ 步骤二，过点作，交所在的直线于点，连接（如图2所示）‎ ‎（1）无论点在边上任何位置，都有 （填“”、“”、“”号）；‎ ‎（2）如图3所示，将纸片放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：‎ ‎①当点在点时，与交于点点的坐标是（ ， ）；‎ ‎②当厘米时，与交于点点的坐标是（ ， ）；‎ ‎③当厘米时，在图3中画出（不要求写画法），并求出与的交点的坐标；‎ ‎（3）点在运动过程，与形成一系列的交点观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式．‎ A P B C M D ‎(P)E B C 图1‎ ‎0(A)‎ B C D E ‎6‎ ‎12‎ ‎18‎ ‎24‎ x y ‎6‎ ‎12‎ ‎18‎ 图3‎ A N P B C M D E Q T 图2‎ 解: （1）．‎ ‎（2）①；②．‎ ‎③画图，如图所示．‎ 解：方法一：设与交于点．‎ ‎0(A)‎ B C D E ‎6‎ ‎12‎ ‎18‎ ‎24‎ x y ‎6‎ ‎12‎ ‎18‎ F M G P 在中，，‎ ‎．‎ ‎，， ‎ ‎．‎ 又，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ 方法二：过点作，垂足为，则四边形是矩形．‎ ‎，．‎ 设，则．‎ 在中，．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎（3）这些点形成的图象是一段抛物线．‎ 函数关系式：． ‎ ‎6. (14日照市)24. 如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AB=a,AD=b,BE=x．‎ ‎(Ⅰ)求证：AF=EC；‎ ‎(Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C.‎ ‎ （1）求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的 x︰b的值；‎ ‎ （2）在直线EE′‎ 经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE′，直线BE′与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？‎ 解: (Ⅰ)证明：∵AB=a，AD=b，BE=x ，S梯形ABEF= S梯形CDFE．‎ ‎∴a(x+AF)=a(EC+b-AF)，‎ ‎∴2AF=EC+(b-x)．‎ 又∵EC＝b-x，‎ ‎∴2AF=2EC，即AF=EC；‎ ‎ (Ⅱ)（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图（一），‎ ‎∵EC∥E′B′，‎ ‎∴=.‎ 由EC＝b-x，E′B′=EB=x， DB′=DC+CB′=2a，‎ 得，‎ ‎∴x︰b= ；‎ 当直线E′E经过原矩形的顶点A时，如图（二），‎ 在梯形AE′B′D中，‎ ‎∵EC∥E′B′,点C是DB′的中点，‎ ‎∴CE=(AD+ E′B′)， ‎ 即b-x＝（b＋x），‎ ‎∴x︰b=． ‎ ‎(2) 如图（一）， 当直线EE′ 经过原矩形的顶点D时，BE′∥EF．‎ 证明：连接BF．‎ ‎∵FD∥BE, FD=BE，‎ ‎∴四边形FBED是平行四边形，‎ ‎∴FB∥DE， FB=DE,‎ 又∵EC∥E′B′， 点C是DB′的中点，‎ ‎∴DE=EE′，‎ ‎∴FB∥EE′, FB= EE′，‎ ‎∴四边形BE′EF是平行四边形 ‎∴BE′∥EF．‎ 如图（二）， 当直线EE′ 经过原矩形的顶点A时，显然BE′与EF不平行，设直线EF与BE′交于点G.过点E′作E′M⊥BC于M， 则E′M=a.．‎ ‎∵x︰b=，‎ ‎∴EM=BC=b．‎ 若BE′与EF垂直，则有∠GBE+∠BEG=90°，‎ 又∵∠BEG＝∠FEC＝∠MEE′， ∠MEE′+∠ME′E=90°，‎ ‎∴∠GBE=∠ME′E.‎ 在Rt△BME′中，tan∠E′BM= tan∠GBE==．‎ 在Rt△EME′中，tan∠ME′E ==，‎ ‎∴＝．‎ 又∵a＞0，b＞0，‎ ‎，‎ ‎∴当时，BE′与EF垂直.‎ ‎7. (14荆门市)28. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．‎ ‎(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；‎ ‎(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；‎ ‎(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．‎ 图1‎ 图2‎ 解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．‎ ‎∴Rt△POE∽Rt△BPA．‎ ‎∴．即．∴y=(0＜x＜4)．‎ 且当x=2时，y有最大值．‎ ‎(2)由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．‎ 设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c，则∴‎ y=．‎ ‎(3)由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．‎ 直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)．‎ 将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，‎ ‎∴该直线为y=x＋1．‎ 由得∴Q(5，6)．‎ 故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．‎ ‎8. (14湖北省孝感市)25.在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是： ‎ 第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；‎ 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）.‎ ‎（图1） （图2） ‎ 请解答以下问题：‎ ‎（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论．‎ ‎（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？‎ ‎（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线为，当=60°时，求k的值.此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？ ‎ ‎（图3）‎ 解：（1）△BMP是等边三角形. ‎ ‎ 证明：连结AN ‎ ∵EF垂直平分AB ∴AN = BN 由折叠知 AB = BN ‎ ‎∴AN = AB = BN ∴△ABN为等边三角形 ‎ ‎∴∠ABN =60° ∴∠PBN =30° ‎ 又∵∠ABM =∠NBM =30°，∠BNM =∠A =90°‎ ‎ ∴∠BPN =60°‎ ‎∠MBP =∠MBN +∠PBN =60°‎ ‎∴∠BMP =60°‎ ‎∴∠MBP =∠BMP =∠BPM =60°‎ ‎∴△BMP为等边三角形 . ‎ ‎（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC ≥BP 在Rt△BNP中， BN = BA =a，∠PBN =30°‎ ‎∴BP = ∴b≥ ∴a≤b .‎ ‎∴当a≤b时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP.‎ ‎（3）∵∠M′BC =60° ∴∠ABM′ =90°－60°=30°‎ 在Rt△ABM′中，tan∠ABM′ = ∴tan30°= ∴AM′ =‎ ‎∴M′(，2). 代入y=kx中 ，得k== ‎ 设△ABM′沿BM′折叠后，点A落在矩形ABCD内的点为 过作H BC交BC于H.‎ ‎∵△BM′ ≌△ABM′ ∴==30°, B = AB =2‎ ‎∴－=30°.‎ 在Rt△BH中， H =B =1 ，BH=‎ ‎∴‎ ‎∴落在EF上. ‎ ‎ ‎ ‎(图2) (图3) ‎ ‎9. (14广东省茂名市)25. 如图，已知平面直角坐标系中，有一矩形纸片OABC，O为坐标原点，轴， B（3，），现将纸片按如图折叠，AD，DE为折痕，．折叠后，点O落在点，点C落在点，并且与在同一直线上．‎ ‎（1）求折痕AD 所在直线的解析式； ‎ ‎(第25题图)‎ C D O A B E O1‎ C1‎ x y ‎（2）求经过三点O，，C的抛物线的解析式；‎ ‎（3）若⊙的半径为，圆心在（2）的抛物线上运动，‎ ‎⊙与两坐标轴都相切时，求⊙半径的值．‎ 解：‎ ‎(第25题图)‎ C D O A B E O1‎ C1‎ x y F ‎（1）由已知得 ‎．‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 设直线AD的解析式为．‎ 把A，D坐标代入上式得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ 折痕AD所在的直线的解析式是．‎ ‎（2）过作于点F，‎ 由已知得，∴．‎ 又DC＝3－1＝2，∴．‎ ‎∴在中， ．‎ ‎，‎ ‎∴，而已知．‎ 法一：设经过三点O，C1，C的抛物线的解析式是 点在抛物线上，∴，∴‎ ‎∴为所求 法二：设经过三点O，C1，C的抛物线的解析式是．‎ 把O，C1，C的坐标代入上式得:‎ ‎，‎ ‎　解得，∴为所求．‎ ‎（3）设圆心，则当⊙P与两坐标轴都相切时，有．‎ 由，得，解得（舍去），．‎ 由，得解得（舍去），．‎ ‎∴所求⊙P的半径或．‎ ‎10. (14重庆市) 28．已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2。若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）若抛物线（≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；‎ ‎（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。‎ 注：抛物线（≠0）的顶点坐标为，对称轴公式为 解: （1）过点C作CH⊥轴，垂足为H ‎ ∵在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2‎ ‎ ∴OB＝4，OA＝‎ ‎ 由折叠知，∠COB＝300，OC＝OA＝‎ ‎ ∴∠COH＝600，OH＝，CH＝3‎ ‎ ∴C点坐标为（，3）‎ ‎ （2）∵抛物线（≠0）经过C（，3）、A（，0）两点 ‎ ∴ 解得：‎ ‎ ∴此抛物线的解析式为：‎ ‎ （3）存在。因为的顶点坐标为（，3）即为点C ‎ MP⊥轴，设垂足为N，PN＝，因为∠BOA＝300，所以ON＝‎ ‎ ∴P（，）‎ ‎ 作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E 把代入得：‎ ‎ ∴ M（，），E（，）‎ ‎ 同理：Q（，），D（，1）‎ ‎ 要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD ‎ 即，解得：，（舍）‎ ‎ ∴ P点坐标为（，）‎ ‎ ∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）‎ ‎11. （15山东青岛）24．（本小题满分12分）‎ 已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接．若设运动的时间为（），解答下列问题：‎ ‎（1）当为何值时，？‎ ‎（2）设的面积为（），求与之间的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；‎ A Q C P B 图①‎ A Q C P B 图②‎ ‎（4）如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．‎ ‎12. （15浙江湖州）24．（本小题12分）‎ 已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．‎ ‎（1）求证：与的面积相等；‎ ‎（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？‎ ‎（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（15浙江湖州24题解析）24．（本小题12分）‎ ‎（1）证明：设，，与的面积分别为，，‎ 由题意得，．‎ ‎，．‎ ‎，即与的面积相等．‎ ‎（2）由题意知：两点坐标分别为，，‎ ‎，‎ ‎．‎ 当时，有最大值．‎ ‎．‎ ‎（3）解：设存在这样的点，将沿对折后，点恰好落在边上的点，过点作，垂足为．‎ 由题意得：，，，‎ ‎，．‎ 又，‎ ‎．‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎，，解得．‎ ‎．‎ 存在符合条件的点，它的坐标为．‎ ‎13（15浙江衢州）24、(本题14分)已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；‎ ‎(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；‎ ‎(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；‎ ‎(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由。‎ y B C y T A C B O x O T A x ‎（15浙江衢州24题解析）24、(本题14分)‎ 解：(1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，)，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴‎ ‎ 当点A´在线段AB上时，∵，TA=TA´，‎ ‎ ∴△A´TA是等边三角形，且，‎ ‎ ∴，，‎ A´‎ y E ‎ ∴，‎ x O C T P B A ‎ 当A´与B重合时，AT=AB=，‎ ‎ 所以此时。‎ ‎ (2)当点A´在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，‎ ‎ 纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA´与CB的交点)，‎ A´‎ y x ‎ 当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0)‎ ‎ 又由(1)中求得当A´与B重合时，T的坐标是(6，0)‎ P B E ‎ 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，。‎ F C ‎ (3)S存在最大值 A T O ‎ 当时，，‎ ‎ 在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，‎ ‎∴当t=6时，S的值最大是。‎ 当时，由图，重叠部分的面积 ‎∵△A´EB的高是，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 当t=2时，S的值最大是；‎ 当，即当点A´和点P都在线段AB的延长线是(如图，其中E是TA´与CB的交点，F是TP与CB的交点)，‎ ‎∵，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，‎ ‎∴‎ 综上所述，S的最大值是，此时t的值是。‎ ‎14 15浙江绍兴）24．将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为（秒）．‎ ‎（1）用含的代数式表示；‎ ‎（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；‎ ‎（3）连结，将沿翻折，得到，如图2．问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．‎ 图1‎ O P A x B D C Q y ‎（第24题图）‎ 图2‎ O P A x B C Q y E ‎（15浙江绍兴24题解析）24．（本题满分14分）‎ 解：（1），．‎ 图1‎ O P A x B D C Q y 图2‎ O P A x B C Q y 图3‎ O F A x B C y E Q P ‎（2）当时，过点作，交于，如图1，‎ 则，，‎ ‎，．‎ ‎（3）①能与平行．‎ 若，如图2，则，‎ 即，，而，‎ ‎．‎ ‎②不能与垂直．‎ 若，延长交于，如图3，‎ 则．‎ ‎．‎ ‎．‎ 又，，‎ ‎，‎ ‎，而，‎ 不存在．‎ ‎15. （15浙江宿迁24题解析）24．如图，在矩形中，，，点是边上的动点（点不与点，点重合），过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为．‎ ‎（1）求的度数；‎ ‎（2）当取何值时，点落在矩形的边上？‎ ‎（3）①求与之间的函数关系式；‎ ‎②当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？‎ D Q C B P R A ‎（第24题）‎ B A D C ‎（备用图1）‎ B A D C ‎（备用图2）‎ 二．旋转类 ‎1. （15湖南常德26题）如图9，在直线上摆放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD＝6㎝；在△ABC中：∠C＝90O，∠A＝300，AB＝4㎝；在直角梯形DEFG中：EF//DG，∠DGF＝90O ,DG＝6㎝，DE＝4㎝，∠EDG＝600。解答下列问题：‎ ‎（1）旋转：将△ABC绕点C顺时针方向旋转900，请你在图中作出旋转后的对应图形 ‎△A1B1C，并求出AB1的长度；‎ ‎（2）翻折：将△A1B1C沿过点B1且与直线垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形 ‎△A2B1C1，试判定四边形A2B1DE的形状？并说明理由；‎ ‎（3）平移：将△A2B1C1沿直线向右平移至△A3B2C2，若设平移的距离为ｘ，△A3B2C2与直角梯形重叠部分的面积为ｙ，当ｙ等于△ABC面积的一半时,ｘ的值是多少？‎ A B C D E F G 图9‎ ‎ ‎ ‎（15湖南常德26题解析）‎ 解：（1）在△ABC中由已知得：BC=2，AC＝AB×cos30°=，‎ ‎∴AB1=AC+C B1=AC+CB=.……………………………………2分 ‎(2)四边形A2B1DE为平行四边形.理由如下：‎ ‎∵∠EDG＝60°，∠A2B1C1＝∠A1B1C＝∠ABC＝60°，∴A2B1∥DE 又A2B1＝A1B1＝AB＝4，DE＝4，∴A2B1＝DE,故结论成立.………………4分 ‎（3）由题意可知：‎ ‎ S△ABC=，‎ ① 当或时，ｙ＝0‎ 此时重叠部分的面积不会等于△ABC的面积的一半……………5分 ‎②当时，直角边B2C2与等腰梯形的下底边DG重叠的长度为DC2=C1C2-DC1=（ｘ－2）㎝，则ｙ＝,‎ ‎ 当ｙ= S△ABC= 时，即 ，‎ 解得（舍）或.‎ ‎∴当时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.‎ ‎③当时，△A3B2C2完全与等腰梯形重叠，即……………7分 ‎④当时,B2G=B2C2-GC2=2－(－8)=10-‎ 则ｙ＝,‎ 当ｙ= S△ABC= 时，即 ，‎ 解得,或(舍去).‎ ‎∴当时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.………9分 由以上讨论知,当或时, 重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.………10分 ‎2. （广西玉林卷）在矩形中，，，以为坐标原点，所在的直线为轴，建立直角坐标系．然后将矩形绕点逆时针旋转，使点落在轴的点上，则和点依次落在第二象限的点上和轴的点上（如图）．‎ ‎（1）求经过三点的二次函数解析式；‎ ‎（2）设直线与（1）的二次函数图象相交于另一点，试求四边形的周长．‎ ‎（3）设为（1）的二次函数图象上的一点，，求点的坐标．‎ Ｃ Ｂ Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ Ａ ‎[解] （1）解：由题意可知，，． ‎ ‎　　　　　　　，，． ‎ 设经过三点的二次函数解析式是．‎ ‎　　　　　　　　把代入之，求得． 3分 ‎　　　　　　　　所求的二次函数解析式是：‎ ‎． ‎ ‎（2）解：由题意可知，四边形为矩形．‎ ‎　　　，且． ‎ ‎　　　直线与二次函数图象的交点的坐标为，‎ ‎　　　． ‎ ‎　　　与与关于抛物线的对称轴对称，‎ ‎　　　． ‎ ‎　　　四边形的周长 ‎　　　　‎ ‎　　　　． ‎ Ｃ Ｂ Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ Ａ Ｍ Ｈ ‎（3）解法1：设交轴于．‎ ‎　　　，‎ ‎　　　，‎ ‎　　　即．‎ ‎　　　　　　　，于是． ‎ ‎　　　　　　　设直线的解析式为．‎ ‎　　　　　　　把，代入之，‎ 得解得 ‎　　　　　　　． ‎ ‎　　　　　　　联合一次，二次函数解析式组成方程组 ‎　　　　　　　解得或（此组数为点坐标）‎ ‎　　　　　　　所求的点坐标为． ‎ ‎　　解法2：过作轴于．由，得．‎ ‎　　　　　　设所求点的横坐标为，则纵坐标为． ‎ ‎　　　　　　，，‎ ‎　　　　　　． ‎ ‎　　　　　　，‎ ‎　　　　　　　，‎ ‎　　　　　　．‎ ‎　　　　　　解之，得或． ‎ ‎　　　　　　经检验可知，是原方程的根；是原方程的增根，故应舍去．‎ ‎　　　　　　当时，．‎ ‎　　　　　　所求的点坐标为． ‎ ‎[点评]此题的综合性较强，考查的知识点较多，但是解法较多，使试题的切入点也较多，很容易入题。‎ ‎3. (14南京市) 27．在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角．‎ ‎（1）填空：‎ ‎ ①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（ ， ）；‎ ‎②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为 ；‎ Ｃ Ａ B D E 图1‎ Ａ B Ｃ D E 图2‎ Ｅ Ｄ Ｂ Ｆ Ｇ Ｃ Ｈ Ａ Ｉ 图3‎ ‎（2）如图3，分别以锐角三角形的三边，，为边向外作正方形，，，点，，分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用与，与之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段 与之间的关系．‎ 解：（1）①，；‎ ‎②；‎ ‎（2）经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段；‎ ‎ 经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段．‎ ‎，，‎ ‎，．‎ ‎4. （15湖北恩施）六、(本大题满分12分)‎ ‎24. 如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.‎ ‎（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.‎ ‎（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.‎ ‎ （3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE.‎ G y x 图12‎ O F E D C B A G 图11‎ F E D C B A ‎ （4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（15湖北恩施24题解析）六、(本大题满分12分)‎ ‎24. 解:(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA 1分 ‎ ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°‎ ‎ ∴∠BAE=∠CDA ‎ 又∠B=∠C=45°‎ ‎ ∴∆ABE∽∆DCA 3分 ‎ (2)∵∆ABE∽∆DCA ‎ ∴‎ ‎ 由依题意可知CA=BA=‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴m= 5分 ‎ 自变量n的取值范围为1