- 3.14 MB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
【类型综述】
特殊四边形的几何动点问题,很多困难源于问题中的可动点,常见的动点四边形有平行四边形、矩形、菱形等问题,其中尤其是平行四边形的问题出现次数最多。实际上,求解特殊四边形的动点问题,关键是利用图解法抓住它运动中的某一瞬间,寻找合理的代数关系式,确定运动变化过程中的数量关系、图形位置关系,分类画出符合条件的图形进行讨论,就能找到解决问题的途径,有效避免思维混乱。21·cn·jy·com
【方法揭秘】
我们先思考三个问题:
1.已知A、B、C三点,以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个,怎么画?
2.在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等?
3.在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分?
图1 图2 图3www.21-cn-jy.com
如图1,过△ABC的每个顶点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生三个点D.
如图2,已知A(0, 3),B(-2, 0),C(3, 1),如果四边形ABCD是平行四边形,怎样求点D的坐标呢?2-1-c-n-j-y
点B先向右平移2个单位,再向上平移3个单位与点A重合,因为BA与CD平行且相等,所以点C(3, 1) 先向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到点D(5, 4).2·1·c·n·j·y
如图3,如果平行四边形ABCD的对角线交于点G,那么过点G画任意一条直线(一般与坐标轴垂直),点A、C到这条直线的距离相等,点B、D到这条直线的距离相等.www-2-1-cnjy-com
关系式xA+xC=xB+xD和yA+yC=yB+yD有时候用起来很方便.
我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合.
如图4,点A是抛物线y=-x2+2x+3在x轴上方的一个动点,AB⊥x轴于点B,线段AB交直线y=x-1于点C,那么
点A的坐标可以表示为(x,-x2+2x+3),
点C的坐标可以表示为(x, x-1),
线段AB的长可以用点A的纵坐标表示为
AB=yA=-x2+2x+3,
线段AC的长可以用A、C两点的纵坐标 图4
表示为AC=yA-yC=(-x2+2x+3)-(x-1)=-x2+x+2.
通俗地说,数形结合就是:点在图象上,可以用图象的解析式表示点的坐标,用点的坐标表示点到坐标轴的距离.21世纪教育网版权所有
【典例分析】
例1 如图1,直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,抛物线y=a(x-2)2+经过A、B两点,并与x轴交于另一点C,其顶点为P.
(1)求a,的值;
(2)抛物线的对称轴上有一点Q,使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形,求点Q的坐标;
(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M、N,使以A、C、M、N为顶点的四边形为正方形,求此正方形的边长.】
图1
思路点拨
1.第(2)题的等腰三角形只考虑QA=QB的情形.
2.第(3)题的正方形不可能AC为边,只存在AC为对角线的情形.
满分解答
图2 图3 图4
考点伸展
如果把第(3)题中的正方形改为平行四边形,那么符合条件的点M有几个?
①如果AC为对角线,上面的正方形AMCN是符合条件的,M(2,-1).
②如图5,如果AC为边,那么MN//AC,MN=AC=2.所以点M的横坐标为4或0.
此时点M的坐标为(4, 3)或(0, 3).
第(2)题如果没有限制等腰三角形ABQ的底边,那么符合条件的点Q有几个?
①如图2,当QA=QB时,Q(2, 2).
②如图6,当BQ=BA=时,以B为圆心,BA为半径的圆与直线x=2有两个交点.
根据BQ2=10,列方程22+(m-3)2=10,得.
此时Q或.
③如图7,当AQ=AB时,以A为圆心,AB为半径的圆与直线x=2有两个交点,但是点(2,-3)与A、B三点共线,所以Q(2, 3).21cnjy.com
图5 图6 图7
例2如图1,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动,同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P、Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?
(3)在动点P、Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.
图1
思路点拨
1.把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形,高的和等于AD.
2.用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来.
3.构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形,再用邻边相等列方程验证菱形是否存在.
满分解答
考点伸展
第(3)题的解题思路是这样的:
因为FE//QC,FE=QC,所以四边形FECQ是平行四边形.再构造点F关于PE轴对称的点H′,那么四边形EH′CQ也是平行四边形.
再根据FQ=CQ列关于t的方程,检验四边形FECQ是否为菱形,根据EQ=CQ列关于t的方程,检验四边形EH′CQ是否为菱形.
,,,.
如图2,当FQ=CQ时,FQ2=CQ2,因此.
整理,得.解得,(舍去).
如图3,当EQ=CQ时,EQ2=CQ2,因此.
整理,得..所以,(舍去).
图2 图3
例3 如图1,抛物线经过A(1, 0)、B(5, 0)、C三点.设点E(x, y)是抛物线上一动点,且在x轴下方,四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点E(x, y)运动时,试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式,并求出面积S的最大值;21教育名师原创作品
(3)是否存在这样的点E,使平行四边形OEBF为正方形?若存在,求点E、F的坐标;若不存在,请说明理由.
思路点拨
1.平行四边形OEBF的面积等于△OEB面积的2倍.
2.第(3)题探究正方形OEBF,先确定点E在OB的垂直平分线上,再验证EO=EB.
满分解答
(1)因为抛物线与x轴交于A(1, 0)、B(5, 0)两点,设y=a(x-1)(x-5).
代入点C,得.解得.
所以抛物线的解析式为.
图2 图3
考点伸展
既然第(3)题正方形OEBF是存在的,命题人为什么不让探究矩形OEBF有几个呢?
如图4,如果平行四边形OEBF为矩形,那么∠OEB=90°.
根据EH2=HO·HB,列方程.
或者由DE=OB=,根据DE2=,列方程.
这两个方程整理以后都是一元三次方程4x3-28x2+53x-20=0,这个方程对于初中毕业的水平是不好解的.【来源:21cnj*y.co*m】
事实上,这个方程可以因式分解,.
如图3,x=;如图4,x=4;如图5,x=,但此时点E在x轴上方了.
这个方程我们也可以用待定系数法解:
设方程的三个根是、m、n,那么4x3-28x2+53x-20=.
根据恒等式对应项的系数相等,得方程组解得
图4 图5
例4如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线l:y=x+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.
(1)直接写出点A的坐标,并求直线l的函数表达式(其中、b用含a的式子表示);
(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点,若△ACE的面积的最大值为 ,求a的值;
(3)设P是抛物线的对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.21教育【出处:21教育名师】
图1 备用图
思路点拨
1.过点E作x轴的垂线交AD于F,那么△AEF与△CEF是共底的两个三角形.
2.以AD为分类标准讨论矩形,当AD为边时,AD与QP平行且相等,对角线AP=QD;当AD为对角线时,AD与PQ互相平分且相等.
满分解答
(3)已知A(-1, 0)、D(4, 5a),xP=1,以AD为分类标准,分两种情况讨论:
①如图2,如果AD为矩形的边,那么AD//QP,AD=QP,对角线AP=QD.
由xD-xA=xP-xQ,得xQ=-4.
当x=-4时,y=a(x+1)(x-3)=21a.所以Q(-4, 21a).
由yD-yA=yP-yQ,得yP=26a.所以P(1, 26a).
由AP2=QD2,得22+(26a)2=82+(16a)2.
整理,得7a2=1.所以.此时P.
②如图3,如果AD为矩形的对角线,那么AD与PQ互相平分且相等.
由xD+xA=xP+xQ,得xQ=2.所以Q(2,-3a).
由yD+yA=yP+yQ,得yP=8a.所以P(1, 8a).
由AD2=PQ2,得52+(5a)2=12+(11a)2.
整理,得4a2=1.所以.此时P.
图1 图2 图321教育网
考点伸展
第(3)题也可以这样解.设P(1,n).
①如图2,当AD时矩形的边时,∠QPD=90°,所以,即.
解得.所以P.所以Q.
将Q代入y=a(x+1)(x-3),得.所以.
②如图3,当AD为矩形的对角线时,先求得Q(2,-3a).
由∠AQD=90°,得,即.解得.
例5 如图1,已知抛物线C:y=-x2+bx+c经过A(-3,0)和B(0, 3)两点.将这条抛物线的顶点记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N.
(1)求抛物线C的表达式;
(2)求点M的坐标;
(3)将抛物线C平移到抛物线C′,抛物线C′的顶点记为M′,它的对称轴与x轴的交点记为N′.如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形,那么应将抛物线C怎样平移?为什么?21世纪教育版权所有
图1
思路点拨
1.抛物线在平移的过程中,M′N′与MN保持平行,当M′N′=MN=4时,以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形.【来源:21·世纪·教育·网】
2.平行四边形的面积为16,底边MN=4,那么高NN′=4.
3.M′N′=4分两种情况:点M′在点N′的上方和下方.
4.NN′=4分两种情况:点N′在点N的右侧和左侧.
满分解答
图2 图3
考点伸展
本题的抛物线C向右平移m个单位,两条抛物线的交点为D,那么△MM′D的面积S关于m有怎样的函数关系?2-1-c-n-j-y
如图4,△MM′D是等腰三角形,由M(-1,4)、M′(-1+m, 4),可得点D的横坐标为.
将代入y=-(x+1)2+4,得.所以DH=.
所以S=.
图4
例6如图1,已知抛物线y=-x2+bx+c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求tan∠ABO的值;
(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB为平行四边形,求点M的坐标.【出处:21教育名师】
图1
思路点拨
1.第(2)题求∠ABO的正切值,要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形.
2.第(3)题解方程MN=yM-yN=BC,并且检验x的值是否在对称轴左侧.
满分解答
(1)将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y=-x2+bx+c,得
解得,c=1.
所以抛物线的解析式是.
(2)在Rt△BOC中,OC=4,BC=3,所以OB=5.
如图2,过点A作AH⊥OB,垂足为H.
在Rt△AOH中,OA=1,,
所以. 图2
所以,.
在Rt△ABH中,.
图3 图4
考点伸展
第(3)题如果改为:点M是抛物线上的一个点,直线MN平行于y轴交直线AB于N,如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.【版权所有:21教育】
那么求点M的坐标要考虑两种情况:MN=yM-yN或MN=yN-yM.
由yN-yM=4x-x2,解方程x2-4x=3,得(如图5).
所以符合题意的点M有4个:,,,.
图5
例7将抛物线c1:沿x轴翻折,得到抛物线c2,如图1所示.
(1)请直接写出抛物线c2的表达式;
(2)现将抛物线c1向左平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、B;将抛物线c2向右也平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为N,与x轴的交点从左到右依次为D、E.
①当B、D是线段AE的三等分点时,求m的值;
②在平移过程中,是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.www.21-cn-jy.com
图1
思路点拨
1.把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来,用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来.
2.B、D是线段AE的三等分点,分两种情况讨论,按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程.
3.根据矩形的对角线相等列方程.
满分解答
①B、D是线段AE的三等分点,存在两种情况:
情形一,如图2,B在D的左侧,此时,AE=6.所以2(1+m)=6.解得m=2.
情形二,如图3,B在D的右侧,此时,AE=3.所以2(1+m)=3.解得.
图2 图3 图4
考点伸展
第(2)题②,探求矩形ANEM,也可以用几何说理的方法:
在等腰三角形ABM中,因为AB=2,AB边上的高为,所以△ABM是等边三角形.
同理△DEN是等边三角形.当四边形ANEM是矩形时,B、D两点重合.
因为起始位置时BD=2,所以平移的距离m=1.
【变式训练】
1.(2017四川省达州市)
探究:小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现,对于平面直角坐标系内任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),可通过构造直角三角形利用图1得到结论:他还利用图2证明了线段P1P2的中点P(x,y)P的坐标公式:,.21*cnjy*com
(1)请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程;
运用:(2)①已知点M(2,﹣1),N(﹣3,5),则线段MN长度为 ;
②直接写出以点A(2,2),B(﹣2,0),C(3,﹣1),D为顶点的平行四边形顶点D的坐
标: ;
拓展:(3)如图3,点P(2,n)在函数(x≥0)的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上,请在OL、x轴上分别找出点E、F,使△PEF的周长最小,简要叙述作图方法,并求出周长的最小值.
【答案】(1)答案见解析;(2)①;②(﹣3,3)或(7,1)或(﹣1,﹣3);(3).
【解析】
试题分析:(1)用P1、P2的坐标分别表示出OQ和PQ的长即可证得结论;
试题解析:
(1)∵P1(x1,y1),P2(x2,y2),∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1,∴Q1Q=,∴
OQ=OQ1+Q1Q=x1+= ,∵PQ为梯形P1Q1Q2P2的中位线,∴PQ= =,即
线段P1P2的中点P(x,y)P的坐标公式为x=,y=;
(2)①∵M(2,﹣1),N(﹣3,5),∴MN==,故答案为:;
②∵A(2,2),B(﹣2,0),C(3,﹣1),∴当AB为平行四边形的对角线时,其对称中心坐标为(0,1),设D(x,y),则x+3=0,y+(﹣1)=2,解得x=﹣3,y=3,∴此时D点坐标为(﹣3,3),当AC为对角线时,同理可求得D点坐标为(7,1),当BC为对角线时,同理可求得D点坐标为(﹣1,﹣3),综上可知
D点坐标为(﹣3,3)或(7,1)或(﹣1,﹣3),故答案为:(﹣3,3)或(7,1)或(﹣1,﹣3);
(3)如图,设P关于直线OL的对称点为M,关于x轴的对称点为N,连接PM交直线OL于点R,连接PN交x轴于点S,连接MN交直线OL于点E,交x轴于点F,又对称性可知EP=EM,FP=FN,∴
PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN,∴此时△PEF的周长即为MN的长,为最小,设R(x,),由题意可知OR=OS=2,PR=PS=n,∴=2,解得x=﹣(舍去)或x=,∴R(,),∴
,解得n=1,∴P(2,1),∴N(2,﹣1),设M(x,y),则=, =,
解得x=,y=,∴M(,),∴MN= =,即△PEF的周长的最小值为.
考点:1.一次函数综合题;2.阅读型;3.分类讨论;4.最值问题
2.(2017湖北省襄阳市)如图,矩形OABC的两边在坐标轴上,点A的坐标为(10,0),抛物线过点B,C两点,且与x轴的一个交点为D(﹣2,0),点P是线段CB上的动点,设CP=t(0<t<10).
(1)请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式;
(2)过点P作PE⊥BC,交抛物线于点E,连接BE,当t为何值时,∠PBE=∠OCD?
(3)点Q是x轴上的动点,过点P作PM∥BQ,交CQ于点M,作PN∥CQ,交BQ于点N,当四边形PMQN为正方形时,请求出t的值.
【答案】(1)B(10,4),C(0,4),;(2)3;(3)t的值为或.
试题解析:
(1)在中,令x=0可得y=4,∴C(0,4),∵四边形OABC为矩形,且A(10,0),∴B(10,4),把B、D坐标代入抛物线解析式可得:,解得:,∴抛物线解析式为;
考点:1.二次函数综合题;2.分类讨论;3.动点型;4.压轴题.
3.(2017山东省枣庄市)如图,抛物线 与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点B坐标为(6,0),点C坐标为(0,6),点D是抛物线的顶点,过点D作x轴的垂线,垂足为E,连接BD.
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)点F是抛物线上的动点,当∠FBA=∠BDE时,求点F的坐标;
(3)若点M是抛物线上的动点,过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N,点P在x轴上,点Q在坐标平面内,以线段MN为对角线作正方形MPNQ,请写出点Q的坐标.21cnjy.com
【答案】(1),D(2,8);(2)(﹣1,)或(﹣3,﹣);(3)(2,
)或(2,).
试题解析:
(1)把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得:,解得:,∴抛物线解析式为 ,∵=,∴D(2,8);
(2)如图1,过F作FG⊥x轴于点G,设F(x,),则FG=||,∵∠FBA=∠BDE,∠FGB=∠BED=90°,∴△FBG∽△BDE,∴,∵B(6,0),D(2,8),∴E(2,0),BE=4,DE=8,OB=6,∴BG=6﹣x,∴,当点F在x轴上方时,有,解得x=﹣1或x=6(舍去),此时F点的坐标为(﹣1,);
当点F在x轴下方时,有,解得x=﹣3或x=6(舍去),此时F点的坐标为(﹣3,﹣);
综上可知F点的坐标为(﹣1,)或(﹣3,﹣);
考点:1.二次函数综合题;2.分类讨论;3.动点型;4.压轴题.
4. (2017湖北恩施第24题)如图12,已知抛物线过点,,过定点的直线与抛物线交于,两点,点在点的右侧,过点作轴的垂线,垂足为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点在抛物线上运动时,判断线段与的数量关系(、、),并证明你的判断;
(3)为轴上一点,以为顶点的四边形是菱形,设点,求自然数的值;
(4)若,在直线下方的抛物线上是否存在点,使得的面积最大,若存在,求出点的坐标及的最大面积,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2+1;(2)BF=BC,理由详见解析;(3)6;(4)当t=2时,S△QBF
有最大值,最大值为+1,此时Q点坐标为(2,2).
试题解析:
(1)把点(﹣2,2),(4,5)代入y=ax2+c得,解得,
所以抛物线解析式为y=x2+1;
(2)BF=BC.
理由如下:
设B(x,x2+1),而F(0,2),
∴BF2=x2+(x2+1﹣2)2=x2+(x2﹣1)2=(x2+1)2,∴BF=x2+1,
∵BC⊥x轴,∴BC=x2+1,∴BF=BC;
(3)如图1,m为自然数,则点P在F点上方,
∵以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形,∴CB=CF=PF,
而CB=FB,∴BC=CF=BF,∴△BCF为等边三角形,∴∠BCF=60°,∴∠OCF=30°,
在Rt△OCF中,CF=2OF=4,∴PF=CF=4,∴P(0,6),
即自然数m的值为6;
考点:二次函数综合题.
5.(2017山东临沂第26题)如图,抛物线经过点,与轴负半轴交于点,与轴交于点,且.21·世纪*教育21*cnjy*com
(1)求抛物线的解析式;
(2)点在轴上,且,求点的坐标;
(3)点在抛物线上,点在抛物线的对称轴上,是否存在以点,,,为顶点的四边形是平行四边形?若存在。求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.21*cnjy*com
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)D1(0,1),D2(0,﹣1);(3)存在,M(4,5)或(﹣2,5)或(0,﹣3)
试题解析:(1)由y=ax2+bx﹣3得C(0.﹣3),
∴OC=3,
∵OC=3OB,
∴OB=1,
∴B(﹣1,0),
把A(2,﹣3),B(﹣1,0)代入y=ax2+bx﹣3得,
∴,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)设连接AC,作BF⊥AC交AC的延长线于F,
∵A(2,﹣3),C(0,﹣3),
∴AF∥x轴,
∴F(﹣1,﹣3),
∴BF=3,AF=3,
∴∠BAC=45°,
设D(0,m),则OD=|m|,
∵∠BDO=∠BAC,
∴∠BDO=45°,
∴OD=OB=1,
∴|m|=1,
∴m=±1,
∴D1(0,1),D2(0,﹣1);
②以AB为对角线,BN=AM,BN∥AM,如图3,
则N在x轴上,M与C重合,
∴M(0,﹣3),
综上所述,存在以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形,M(4,5)或(﹣2,5)或(0,﹣3).【:21cnj*y.co*m】
考点:1、二次函数的综合,2、待定系数法求二次函数的解析式,3、全等三角形的判定和性质,4、平行四边形的判定和性质
6.(2017湖北省襄阳市)如图,矩形OABC的两边在坐标轴上,点A的坐标为(10,0),抛物线过点B,C两点,且与x轴的一个交点为D(﹣2,0),点P是线段CB上的动点,设CP=t(0<t<10).
(1)请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式;
(2)过点P作PE⊥BC,交抛物线于点E,连接BE,当t为何值时,∠PBE=∠OCD?
(3)点Q是x轴上的动点,过点P作PM∥BQ,交CQ于点M,作PN∥CQ,交BQ于点N,当四边形PMQN为正方形时,请求出t的值.
【答案】(1)B(10,4),C(0,4),;(2)3;(3)t的值为或.
(3)当四边形PMQN为正方形时,则可证得△COQ∽△QAB,利用相似三角形的性质可求得CQ
的长,在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ,则可用t分别表示出PM和PN,可得到关于t的方程,可求得t的值.
试题解析:
(1)在中,令x=0可得y=4,∴C(0,4),∵四边形OABC为矩形,且A(10,0),∴B(10,4),把B、D坐标代入抛物线解析式可得:,解得:,∴抛物线解析式为;
(2)由题意可设P(t,4),则E(t,),∴PB=10﹣t,PE=﹣4=,∵∠BPE=∠COD=90°,∠PBE=∠OCD,∴△PBE∽△OCD,∴,即BP•OD=CO•PE,∴2(10﹣t)=4(),解得t=3或t=10(不合题意,舍去),∴当t=3时,∠PBE=∠OCD;
考点:1.二次函数综合题;2.分类讨论;3.动点型;4.压轴题.
7.(2017郴州第25题) 如图,已知抛物线与轴交于两点,与轴交于点,且,直线与轴交于点,点是抛物线上的一动点,过点作轴,垂足为,交直线于点.
(1)试求该抛物线的表达式;
(2)如图(1),若点在第三象限,四边形是平行四边形,求点的坐标;
(3)如图(2),过点作轴,垂足为,连接,
①求证:是直角三角形;
②试问当点横坐标为何值时,使得以点为顶点的三角形与相似?
【答案】(1)y=x2+x﹣4;(2)点P的坐标为(﹣,﹣)或(﹣8,﹣4);(3)①详见解析;②,点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时,使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似.www-2-1-cnjy-com
试题解析:
(1)由题意得: ,解得: ,
∴抛物线的表达式为y=x2+x﹣4.
(2)设P(m,m2+m﹣4),则F(m,﹣m﹣4).
∴PF=(﹣m﹣4)﹣(m2+m﹣4)=﹣m2﹣m.
∵PE⊥x轴,
∴PF∥OC.
∴PF=OC时,四边形PCOF是平行四边形.
∴﹣m2﹣m=4,解得:m=﹣或m=﹣8.
当m=﹣时,m2+m﹣4=﹣ ,
当m=﹣8时,m2+m﹣4=﹣4.
∴点P的坐标为(﹣,﹣)或(﹣8,﹣4).
②由①得∠ACD=90°.
当△ACD∽△CHP时,,即 或,
解得:n=0(舍去)或n=﹣5.5或n=﹣10.5.
当△ACD∽△PHC时,,即或.
解得:n=0(舍去)或n=2或n=﹣18.
综上所述,点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时,使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似.【:21·世纪·教育·】
考点:二次函数综合题.
8.(2017青海西宁第28题)如图,在平面直角坐标系中,矩形的顶点分别在轴,轴的正半轴上,且.若抛物线经过两点,且顶点在边上,对称轴交于点,点
的坐标分别为.21*cnjy*com21教育名师原创作品
(1)求抛物线的解析式;
(2)猜想的形状并加以证明;
(3)点在对称轴右侧的抛物线上,点在轴上,请问是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+3x;(2)△EDB为等腰直角三角形,证明见解析;(3)存在.点M坐标为(,2)或(,﹣2).
试题解析: (1)在矩形OABC中,OA=4,OC=3,∴A(4,0),C(0,3),
∵抛物线经过O、A两点,∴抛物线顶点坐标为(2,3),
∴可设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+3,
把A点坐标代入可得0=a(4﹣2)2+3,解得a=﹣,
∴抛物线解析式为y=﹣(x﹣2)2+3,即y=﹣x2+3x;
①当AF为平行四边形的一边时,则M到x轴的距离与F到x轴的距离相等,即M到x轴的距离为2,
∴点M的纵坐标为2或﹣2,
在y=﹣x2+3x中,令y=2可得2=﹣x2+3x,解得x=,
∵点M在抛物线对称轴右侧,
∴x>2,
∴x=,
∴M点坐标为(,2);
在y=﹣x2+3x中,令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x,解得x=,
∵点M在抛物线对称轴右侧,
∴x>2,
∴x=,
∴M点坐标为(,﹣2);
考点:二次函数综合题.
9.(2017湖北咸宁第24题)如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于点,其对称轴交抛物线于点,交轴于点,已知.2·1·c·n·j·y21·cn·jy·com
⑴求抛物线的解析式及点的坐标;
⑵连接为抛物线上一动点,当时,求点的坐标;
⑶平行于轴的直线交抛物线于两点,以线段为对角线作菱形,当点在轴上,且时,求菱形对角线的长.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣6,D(2,﹣8);(2)F点的坐标为(7,)或(5,﹣);(3)菱形对角线MN的长为+1或﹣1.
试题解析:
(1)∵OB=OC=6,
∴B(6,0),C(0,﹣6),
∴,解得,
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣6,
∵y=x2﹣2x﹣6=(x﹣2)2﹣8,
∴点D的坐标为(2,﹣8);
(2)如图1,过F作FG⊥x轴于点G,
设F(x,x2﹣2x﹣6),则FG=|x2﹣2x﹣6|,
在y=x2﹣2x﹣6中,令y=0可得x2﹣2x﹣6=0,解得x=﹣2或x=6,
∴A(﹣2,0),
∴OA=2,则AG=x+2,
∵B(6,0),D(2,﹣8),
∴BE=6﹣2=4,DE=8,
(3)∵点P在x轴上,
∴由菱形的对称性可知P(2,0),
如图2,当MN在x轴上方时,设T为菱形对角线的交点,
∵PQ=MN,
∴MT=2PT,
考点:二次函数综合题.
10. (2017山东菏泽第24题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线交轴于点,交轴正半轴于点,与过点的直线相交于另一点,过点作轴,垂足为.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点在线段上(不与点、重合),过作轴,交直线于,交抛物线于点,连接,求面积的最大值;21·世纪*教育网
(3)若是轴正半轴上的一动点,设的长为,是否存在,使以点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【版权所有:21教育】
【答案】(1) ;(2)当m= 时, ;(3)当时,以点为顶点的四边形是平行四边形.
试题解析:
(1)把点,代入抛物线可得,
解得,
∴ ;
(2)∵,
∴A(0,1).
设直线AD的表达式为y=x+b,
把A(0,1),代入得,,
解得,,
∴
(3)存在.
①点P在点C的左边,
∵OP的长为t,设(03),则,,
∴MN= ,