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- 2021-05-10 发布
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26.相似
一、选择题
1.(2009年滨州)如图所示,给出下列条件:
①;②;③;④.
其中单独能够判定的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【关键词】三角形相似的判定.
【答案】C
2.(2009年上海市)如图,已知,那么下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【关键词】平行线分线段成比例
【答案】A
3.(2009成都)已知△ABC∽△DEF,且AB:DE=1:2,则△ABC的面积与△DEF的面积之比为
(A)1:2 (B)1:4 (C)2:1 (D)4:1
【关键词】
【答案】B
4. (2009年安顺)如图,已知等边三角形ABC的边长为2,DE是它的中位线,则下面四个结论:
(1)DE=1,(2)△CDE∽△CAB,(3)△CDE的面积与△CAB的面积之比为1:4.其中正确的有:
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【关键词】等边三角形,三角形中位线,相似三角形
【答案】D
5.(2009重庆綦江)若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为1∶2,则△ABC与△DEF的周长比为( )
A.1∶4 B.1∶2 C.2∶1 D.1∶
【关键词】
【答案】B
6.(2009年杭州市)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x,那么x的值( )
A.只有1个 B.可以有2个
C.有2个以上但有限 D.有无数个
【关键词】相似三角形有关的计算和证明
【答案】B
7.2009年宁波市)如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,M、N分别是边AB、AD的中点,连接OM、ON、MN,则下列叙述正确的是( )
A.△AOM和△AON都是等边三角形
B.四边形MBON和四边形MODN都是菱形
C.四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
D.四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形
D
B
C
A
N
M
O
【关键词】位似
【答案】C
8.(2009年江苏省)如图,在方格纸中,将图①中的三角形甲平移到图②
中所示的位置,与三角形乙拼成一个矩形,那么,下面的平
移方法中,正确的是( )
A.先向下平移3格,再向右平移1格
B.先向下平移2格,再向右平移1格
C.先向下平移2格,再向右平移2格
D.先向下平移3格,再向右平移2格
【关键词】平移
【答案】D
9.(2009年义乌)在中华经典美文阅读中,小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm,则它的宽约为
A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm
【关键词】黄金比
【答案】A
10. (2009年娄底)小明在一次军事夏令营活动中,进行打靶训练,在用枪瞄准目标点B时,要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上,如图4所示,在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A′,若OA=0.2米,OB=40米,AA′=0.0015米,则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为 ( )
A.3米B.0.3米C.0.03米D.0.2米
【关键词】相似三角形
【答案】B
11.(2009恩施市)如图,在中,是上一点,于,且,则的长为( )
A.2 B. C. D.
【关键词】解直角三角形、相似
【答案】B
12.(2009年甘肃白银)如图3,小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m,则旗杆的高为( )
A.12m B.10m C.8m D.7m
【关键词】相似三角形判定和性质
【答案】A
13.(2009年孝感)如图,将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得△A′OB′.已知∠AOB=30°,∠B=90°,AB=1,则B′点的坐标为
A. B. C. D.
【关键词】旋转
【答案】A
14.(2009年孝感)美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时,越给人一种美感.如图,某女士身高165cm,下半身长x与身高l的比值是0.60,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
【关键词】黄金比
【答案】C
15. (2009年新疆)如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( )
A.
【关键词】相似三角形的判定
【答案】A
16.(2009年天津市)在和中,,如果的周长是16,面积是12,那么的周长、面积依次为( )
A.8,3 B.8,6 C.4,3 D.4,6
【关键词】相似三角形的性质
【答案】A
17.(2009年牡丹江市)如图, 中,于一定能确定为直角三角形的条件的个数是( )
①②③④
⑤
A.1 B.2 C.3 D.4
【关键词】三角形相似的判定和性质
【答案】C
18. (2009白银市)如图,小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m,则旗杆的高为( )
A.12m B.10m C.8m D.7m
【关键词】相似三角形的判定和性质
【答案】A
19. (2009年衢州)在△ABC中,AB=12,AC=10,BC=9,AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠,使点A与点D重合,折痕为EF,则△DEF的周长为
A.9.5 B.10.5
C.11 D.15.5
【关键词】线段的比和比例线段
【答案】D
20.(2009年衢州)如图,△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的横坐标是a,则点B的横坐标是
A. B.
C. D.
【关键词】相似三角形判定和性质
【答案】D
21.(2009年舟山)在△ABC中,AB=12,AC=10,BC=9,AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠,使点A与点D重合,折痕为EF,则△DEF的周长为
A.9.5 B.10.5
C.11 D.15.5
【关键词】线段的比和比例线段
【答案】D
22.(2009年舟山)如图,△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的横坐标是a,则点B的横坐标是
A. B.
C. D.
【关键词】相似三角形判定和性质
【答案】D
23.(2009年济宁市)如图,在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中,截去一个矩形,使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似,则留下矩形的面积是( )
A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 8 cm2 D. 16 cm2
【关键词】相似多边形
【答案】C
24. (2009年福州)如图,正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的,若AB:FG=2:3,则下列结论正确的是( )
A.2DE=3MN, B.3DE=2MN, C. 3∠A=2∠F D.2∠A=3∠F
【关键词】位似变换
【答案】B
25.(2009年宜宾)若一个图形的面积为2,那么将它与成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形面积为( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【关键词】相似图形的性质
【答案】A.
26. .(2009年广西梧州)如图,正方形ABCD中,E为AB的中点,AF⊥DE于点O, 则等于( )
A. B.
C. D.
【关键词】相似三角形
【答案】D
27.(2009年甘肃定西)如图,小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m,则旗杆的高为( )
A.12m B.10m C.8m D.7m
【关键词】相似三角形
【答案】A
28. (2009年湖州)如图,在正三角形中,,,分别是,,上的点,,,,则的面积与的面积之比等于( )
A.1∶3 B.2∶3 C.∶2 D.∶3
【关键词】等边三角形的性质,相似的性质
【答案】A
29.(2009年温州)一张等腰三角形纸片,底边长l5cm,底边上的高长22.5cm
.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条,如图所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形,则这张正方形纸条是( )
A.第4张 B.第5张 C.第6张 D.第7张
【关键词】等腰三角形性质,三角形相似的性质,梯形中位线
【答案】C
30.(2009年兰州)如图,丁轩同学在晚上由路灯走向路灯,当他走到点时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯的底部,当他向前再步行20m到达点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯的底部,已知丁轩同学的身高是1.5m,两个路灯的高度都是9m,则两路灯之间的距离是
A.24m B.25m
C.28m D.30m
【关键词】相似三角形、灯光与影子
【答案】D
31.(2009年济宁市)如图,在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中,截去一个矩形,使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似,则留下矩形的面积是( )
A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 8 cm2 D. 16 cm2
【关键词】相似多边形
【答案】C
32. (09湖南怀化)如图1,、分别是、的中点,则( )
A. 1∶2 B.1∶3
C.1∶4 D. 2∶3
【关键词】相似三角形有关的计算
【答案】C
33. (2009年山西省)如图,是的直径,是的切线,点在上,,则的长为( )
A. B. C. D.
【关键词】圆周角和圆心角;切线定理;相似三角形有关的计算;相似三角形与圆
【答案】A
34.(2009年山西省)如图,在中,的垂直平分线交的延长线于点,则的长为( )
A. B. C. D.2
【关键词】相似三角形判定和性质;勾股定理;线段和角的概念、性质
【答案】B
35. (2009年枣庄市)如图,△DEF是由△ABC经过位似变换得到的,
点O是位似中心,D,E,F分别是OA,OB,OC
的中点,则△DEF与△ABC的面积比是( )
A.
B.
C.
D.
【关键词】相似三角形有关的计算和证明
【答案】B
36. (2009呼和浩特)如图,AB是的直径,点C在圆上,,则图中与相似的三角形的个数有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
C
B
D
O
A
E
【关键词】相似三角形判定和性质
【答案】
37.(2009年抚顺市)如图所示,已知点分别是中边的中点,相交于点,,则的长为( )
A
F
E
C
B
A.4 B.4.5 C.5 D.6
G
【关键词】中位线
二、填空题
1.(2009年重庆市江津区)锐角△ABC中,BC=6,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动,且MN∥BC,以MN为边向下作正方形MPQN,设其边长为x,正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y(y >0),当x = ,公共部分面积y最大,y最大值 = ,
【关键词】三角形、正方形、二次函数极值 相似
【答案】
2.(2009年滨州)在平面直角坐标系中,顶点的坐标为,若以原点O为位似中心,画的位似图形,使与的相似比等于,则点的坐标为 .
【关键词】三角形位似..
【答案】(4,6)
3.(2009威海)如图,△ABC与△A′B′C ′是位似图形,点O是位似中心,若OA=2A A′,S△ABC=8,则S△A′B′C ′=________.
【关键词】位似图形
【答案】18
4.(2009年吉林省)如图,的顶点的坐标为(4,0),把沿轴向右平移得到如果那么的长为 .
【关键词】平移,平面直角坐标系内的平移
【答案】7
5.(2009山西省太原市)如图是一种贝壳的俯视图,点分线段近似于黄金分割.已知=10,则的长约为 .(结果精确到0.1)
解析:本题考查黄金分割的有关知识,由题意知,
∴,解得≈6.2,故填6.2..
【关键词】黄金分割
【答案】6.2.
6.(2009烟台市)如图,与中,交于.给出下列结论:
①;
②;
③;
④.
其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号).
【关键词】全等、相似
【答案】①,③,④
7.(2009年甘肃庆阳)如图11,正方形OEFG和正方形ABCD是位似形,点F的坐标为(1,1),点C的坐标为(4,2),则这两个正方形位似中心的坐标是 .
【关键词】相似三角形判定和性质
【答案】(,0)
8.(2009年广西南宁)三角尺在灯泡的照射下在墙上形成影子(如图6所示).现测得,这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 .
【关键词】投影;相似三角形
【答案】
9.(2009年孝感)如图,点M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形△1、△2、△3(图中阴影部分)的面积分别是4,9和49.则△ABC的面积是 ▲ .
【关键词】相似三角形
【答案】144;
10.(2009年牡丹江市)如图,中,直线交于点交于点交于点若则 .
【关键词】相似三角形的性质
【答案】
11. (2009年日照市)将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B′,折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点B′,F,C为顶点的三角形与△ABC相似,那么BF的长度是 .
【关键词】相似三角形的性质
【答案】或2;
12.(2009年重庆)已知与相似且面积比为4∶25,则与的相似比为 .
【关键词】相似三角形的性质
【答案】2:5.
13.(2009年莆田)如图,两处被池塘隔开,为了测量两处的距离,在外选一适当的点,连接,并分别取线段的中点,测得=20m,则=__________m.
【关键词】相似三角形
答案:40
14. (2009年牡丹江)如图,中,直线交于点交于点交于点若则 .
【关键词】相似三角形的面积比
【答案】
15.(2009年凉山州)已知且,则= .
【关键词】相似三角形的性质
【答案】
16. (2009年宁德市)如图,△ABC与△DEF是位似图形,位似比为2∶3,已知AB=4,则DE的长为 ____.
【关键词】位似
【答案】6
17.(2009年湖北荆州)如图,已知零件的外径为25,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等,OC=OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA=1∶2,量得CD=10,则零件的厚度.
【关键词】相似三角形
【答案】
18.(2009年新疆乌鲁木齐市)如图,在中,,若,则 .
【关键词】相似三角形判定和性质
【答案】8
19. (2009年山西省)如图,与是位似图形,且顶点都在格点上,则位似中心的坐标是 .
【关键词】相似,中心投影
【答案】(9,0)
20. (2009年黄石市)在□ABCD中,在上,若,则 .
【关键词】平行四边形的性质;相似三角形判定和性质
【答案】
21.(2009东营)将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B′,折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点B′,F,C为顶点的三角形与△ABC相似,那么BF的长度是 .
【关键词】相似三角形
【答案】或2;
三、解答题
1.(2009年台湾) 某校一年级有64人,分成甲、乙、丙三队,其人数比为4:5:7。若由外校转入1人加入 乙队,则后来乙与丙的人数比为何? (A) 3:4 (B) 4:5 (C) 5:6 (D) 6:7 。
【关键词】比例
【答案】A
2.(2009年长春)如图,在矩形中,点分别在边上,,,求的长.
【关键词】矩形的性质、直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明
【答案】
解:∵四边形是矩形,AB=6
∴∠A=∠D=90°,DC=AB=6
又∵AE=9
∴在Rt△ABE中,由勾股定理得:BE=
∵,
∴,即
∴EF=
3.(2009年长春)如图,在中,,分别以为边向外作和
,使.延长交边于点 EMBED Equation.DSMT4 ,点在两点之间,连结.
(1)求证:.
(2)当时,求的度数.
【关键词】平行四边形的性质、相似三角形有关的计算和证明
【答案】
(1)证明:在平行四边形ABCD中,AB=DC.
又∵DF=DC,
∴AB=DF.
同理EB=AD.
在平行四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC.
又∵∠EBC=∠CDF,
∴∠ABE=∠ADF,
∴△ABE≌△FDA.(4分)
(2)解:∵△ABE≌△FDA,
∴∠AEB=∠DAF.
∵∠EBH=∠AEB+∠EAB,
∴∠EBH=∠DAF+∠EAB.
∵AE⊥AF,∴∠EAF=90°.
∵∠BAD=32°,
∴∠DAF+∠EAB=90°-32°=58°,
∴∠EBH=58°.
4.(2009年安徽)如图,M为线段AB的中点,AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B=α,
且DM交AC于F,ME交BC于G.
(1)写出图中三对相似三角形,并证明其中的一对;
(2)连结FG,如果α=45°,AB=,AF=3,求FG的长.
【关键词】直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明
【答案】
(1)证:△AMF∽△BGM,△DMG∽△DBM,△EMF∽△EAM(写出两对即可)
以下证明△AMF∽△BGM.
∵∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG,∠A=∠B
∴△AMF∽△BGM.
(2)解:当α=45°时,可得AC⊥BC且AC=BC
∵M为AB的中点,∴AM=BM=分
又∵AMF∽△BGM,∴
∴
又,∴,
∴
5.(2009年郴州市)如图,在ABC中,已知DE∥BC,AD=4,DB=8,DE=3,
(1)求的值,(2)求BC的长
【关键词】相似
【答案】解:(1)因为
所以
所以
(2)因为,所以
所以
因为
所以
所以
6.(2009年常德市)如图,△ABC内接于⊙O,AD是△ABC的边BC上的高,AE是⊙O的直径,连接BE,△ABE与△ADC相似吗?请证明你的结论.
【关键词】相似
【答案】
△ABE 与△ADC相似.理由如下:
在△ABE与△ADC中
∵AE是⊙O的直径, ∴∠ABE=90o,
∵AD是△ABC的边BC上的高,
∴∠ADC=90o, ∴∠ABE=∠ADC.
又∵同弧所对的圆周角相等, ∴∠BEA=∠DCA.
∴△ABE ~△ADC.
7.(2009武汉)如图1,在中,,于点,点是边上一点,连接交于,交边于点.
(1)求证:;
(2)当为边中点,时,如图2,求的值;
(3)当为边中点,时,请直接写出的值.
B
B
A
A
C
O
E
D
D
E
C
O
F
图1
图2
F
【关键词】相似三角形的判定和性质
【答案】解:(1),.
.
,
,.
;
B
A
D
E
C
O
F
G
(2)解法一:作,交的延长线于.
,是边的中点,.
由(1)有,,
.
,,
又,.
,.
,,,
,.
B
A
D
E
C
O
F
解法二:于,
..
设,则,
.
,
.
由(1)知,设,,.
在中,.
..
(3).
8.(2009年上海市)已知∠ABC=90°,AB=2,BC=3,AD∥BC,P为线段BD上的动点,点Q在射线AB上,且满足(如图1所示).
(1)当AD=2,且点与点重合时(如图2所示),求线段的长;
(2)在图中,联结.当,且点在线段上时,设点之间的距离为,,其中表示△APQ的面积,表示的面积,求关于的函数解析式,并写出函数定义域;
(3)当,且点在线段的延长线上时(如图3所示),求的大小.
A
D
P
C
B
Q
图1
D
A
P
C
B
(Q)
)
图2
图3
C
A
D
P
B
Q
【关键词】等腰直角三角形 相似三角形 共高三角形的面积 直角三角形相似的判定
【答案】(1)∵Rt△ABD中,AB=2,AD=2,
∴=1,∠D=45°
∴PQ=PC即PB=PC,
过点P作PE⊥BC,则BE=。
而∠PBC=∠D=45°
∴PC=PB=
(2)在图8中,过点P作PE⊥BC,PF⊥AB于点F。
∵∠A=∠PEB=90°,∠D=∠PBE
∴Rt△ABD∽Rt△EPB
∴
设EB=3k,则EP=4k,PF=EB=3k
∴,
=
∴
函数定义域为
F
E
F
E
A
D
P
C
B
Q
图1
D
A
P
C
B
(Q)
)
图2
图3
C
A
D
P
B
Q
(3)答:90°
证明:在图8中,过点P作PE⊥BC,PF⊥AB于点F。
∵∠A=∠PEB=90°,∠D=∠PBE
∴Rt△ABD∽Rt△EPB
∴
∴=
∴Rt△PQF∽Rt△PCE
∴∠FPQ=∠EPC
∴∠EPC+∠QPE=∠FPQ+∠QPE=90°
8. (2009年陕西省)20.小明想利用太阳光测量楼高,他带着皮尺来到一栋楼下,发现对面墙上有这栋楼的影子,针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下:
如示意图,小明边移动边观察,发现站到点E处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同.此时,测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m,CE=0.8m,CA=30m(点A、E、C在同一直线上).
已知小明的身高EF是1.7m,请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1m).
【关键词】利用相似知识测物高
【答案】解:过点D作DG⊥AB,分别交AB、EF于点G、H,则EH=AG=CD=1.2,
DH=CE=0.8,DG=CA=30.
∵EF∥AB,
∴.
由题意,知FH=EF-EH=1.7-1.2=0.5.
∴,解之,得BG=18.75.
∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0.
∴楼高AB约为20.0米.
9. (2009年安顺)如图,已知抛物线与交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与轴交于点B(0,3)。
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积;
(3) △AOB与△DBE是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。
【关键词】待定系数法,相似三角形判定和性质
【答案】(1)∵抛物线与轴交于点(0,3),
∴设抛物线解析式为
根据题意,得,解得
∴抛物线的解析式为 (5′)
(2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4)
设对称轴与x轴的交点为F
∴四边形ABDE的面积=
=
==9
(3)似
如图,BD=;∴BE=
DE= ∴,
即: ,所以是直角三角形
∴,且,
∴∽
10. (2009山西省太原市)甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米,一天晚上,当小华走到距路灯乙底部5米处时,发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部.已知小华的身高为1.5米,那么路灯甲的高
为 米.
甲
小华乙
解析:本题考查相似的有关知识,设路灯高为米,由相似得
,解得,所以路灯甲的高为9米,故填9.
【关键词】相似三角形的应用
【答案】9.
11. (2009年浙江省绍兴市)定义一种变换:平移抛物线得到抛物线,使经过的顶点.设的对称轴分别交于点,点是点关于直线的对称点.
(1)如图1,若:,经过变换后,得到:,点的坐标为,则①的值等于______________;
②四边形为( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
(2)如图2,若:,经过变换后,点的坐标为,求的面积;
(3)如图3,若:,经过变换后,,点是直线上的动点,求点到点的距离和到直线的距离之和的最小值.
【关键词】平移变换
【答案】
12.(2009年吉林省)如图,⊙中,弦相交于的中点,连接并延长至点, 使,连接BC、.
O
F
D
A
E
B
C
(1)求证:;
(2)当时,求的值
【关键词】相似三角形判定和性质
【答案】(1)证明:
是的中位线,
又
(2)解:由(1)知,
又
.
13.(2009年宁波市)如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为,直线BC经过点,,将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形,此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q.
(1)四边形OABC的形状是 ,
当时,的值是 ;
(2)①如图2,当四边形的顶点落在轴正半轴时,求的值;
②如图3,当四边形的顶点落在直线上时,求的面积.
(Q)
C
B
A
O
x
P
(图3)
y
Q
C
B
A
O
x
P
(图2)
y
C
B
A
O
y
x
(备用图)
(第26题)
(3)在四边形OABC旋转过程中,当时,是否存在这样的点P和点Q,使?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【关键词】相似三角形有关的计算和证明
【答案】解:(1)矩形(长方形);
.
(2)①,,
.
,即,
,.
同理,
EMBED Equation.DSMT4 ,即,
,.
.
②在和中,
.
.
设,
在中, ,解得.
.
(3)存在这样的点和点,使.
点的坐标是,.
对于第(3)题,我们提供如下详细解答,对学生无此要求.
过点画于,连结,则,
,,
.
设,
Q
C
B
A
O
x
P
y
H
,
,
① 如图1,当点P在点B左侧时,
,
在中,,
Q
C
B
A
O
x
P
y
H
解得,(不符实际,舍去).
,
.
②如图2,当点P在点B右侧时,
,.
在中,,解得.
,
.
综上可知,存在点,,使.
14.(2009年义乌)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动,设AP=,现将纸片折叠,使点D与点P重合,得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点),再将纸片还原。
(1)当时,折痕EF的长为;当点E与点A重合时,折痕EF的长为;
(2)请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围,并求出当时菱形的边长;
(3)令,当点E在AD、点F在BC上时,写出与的函数关系式。当取最大值时,判断与是否相似?若相似,求出的值;若不相似,请说明理由。
温馨提示:用草稿纸折折看,或许对你有所帮助哦!
【关键词】相似三角形
【答案】
解:(1)3,
(2).
D
C
B
A
P
E
F
图1
当时,如图1,连接,
为折痕,,
令为,则,
在中,,
,
D
C
F
B
A
P
E
O
图2
H
解得,此时菱形边长为.
(3)如图2,过作,
易证,
,
D
C
(F)
H
B
A
P
E
O
图3
当与点重合时,如图3,连接,
,,
.
显然,函数的值在轴的右侧随的增大而增大,
当时,有最大值.
此时,.
综上所述,当取最大值时,,(不写不扣分).
15.(2009恩施市)如图,在中,的面积为25,点为边上的任意一点(不与、重合),过点作,交于点.设,以为折线将翻折(使落在四边形所在的平面内),所得的与梯形重叠部分的面积记为.
(1)用表示的面积;
(2)求出时与的函数关系式;
(3)求出时与的函数关系式;
(4)当取何值时,的值最大?最大值是多少?
E
D
B
C
A
B
C
A
【关键词】相似、二次函数
【答案】解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC ∴
即
(2)∵BC=10 ∴BC边所对的三角形的中位线长为5
∴当0﹤ 时
(3)﹤10时,点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形
∵S△A'DE=S△ADE=
∴DE边上的高AH=AH'=
由已知求得AF=5
∴A'F=AA'-AF=x-5
由△A'MN∽△A'DE知
∴
(4)在函数中
∵0﹤x≤5
∴当x=5时y最大为:
在函数中
当时y最大为:
∵﹤
∴当时,y最大为:
16.(2009年甘肃庆阳)如图,网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.
△ACB和△DCE的顶点都在格点上,ED的延长线交AB于点F.
(1)求证:△ACB∽△DCE;(2)求证:EF⊥AB.
【关键词】相似三角形
【答案】
证明:(1)
∵
∴
又 ∠ACB=∠DCE=90°,
∴ △ACB∽△DCE.
(2)
∵ △ACB∽△DCE,∴ ∠ABC=∠DEC.
又 ∠ABC+∠A =90°,∴ ∠DEC+∠A=90°.
∴ ∠EFA=90°. ∴ EF⊥AB.
7.(2009泰安)将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图(1)放置,图(2)是由他抽象出的几何图形,其中点B在半圆O的直径DE的延长线上,AB切半圆O于点F,且BC=OD。
(1) 求证:DB∥CF。
(2) 当OD=2时,若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似,求OB。
【关键词】相似、切线
【答案】证明:
(1)连接OF,如图
∵AB且半圆O于F,
∴OF⊥AB。
∵CB⊥AB ,∴BC∥OF。
∵BC=OD,OD=OF,
∴BC=OF。
∴四边形OBCF是平行四边形,
∴DB∥CF。
(2)
∵以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似,∠OFB=∠ABC=90°,
∴∠A∠OBF∠BOF
∵∠OBF=∠BFC,∠BFC>∠A,
∴∠OBF>∠A
∴∠OBF与∠A不可能是对顶角。
∴∠A与∠BOF是对应角。
∴∠BOF=30° ∴OB=OF/cos30°=
18.(2009泰安)如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F。
(1) 求证:FD2=FB●FC。
(2) 若G是BC的中点,连接GD,GD与EF垂直吗?并说明理由。
【关键词】相似、垂直
【答案】证明:(1)∵E是Rt△ACD斜边中点
∴DE=EA
∴∠A=∠2
∵∠1=∠2
∴∠1=∠A…
∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1,∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A
∴∠FDC=∠FBD
∵F是公共角
∴△FBD∽△FDC
∴
∴
(2)GD⊥EF
理由如下:
∵DG是Rt△CDB斜边上的中线,
∴DG=GC
∴∠3=∠4
由(1)得∠4=∠1
∴∠3=∠1
∵∠3+∠5=90°
∴∠5+∠1=90°
∴DG⊥EF
19、(2009江西)问题背景 在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:
甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.
乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.
丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.
任务要求
(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;
(2)如图3,设太阳光线与相切于点.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段的影长;需要时可采用等式).
D
D
F
E
900cm
图2
B
C
A
60cm
80cm
图1
G
H
NE
156cm
ME
OE
200cm
图3
KE
【关键词】相似、光影
【答案】解:(1)由题意可知:
∴
∴即
∴DE=1200(cm).
所以,学校旗杆的高度是12m.
(2)解法一:
与①类似得:即
∴GN=208.
在中,根据勾股定理得:
∴NH=260.
设的半径为rcm,连结OM,
∵NH切于M,∴
则又
∴∴
又.
∴解得:r=12.
所以,景灯灯罩的半径是12cm.
D
D
F
E
900cm
图2
B
C
A
60cm
80cm
图1
图3
G
H
NE
156cm
ME
OE
200cm
KE
解法二:
与①类似得:即
∴GN=208.
设的半径为rcm,连结OM,
∵NH切于M,∴
则又
∴
∴即
∴又.
在中,根据勾股定理得:
即
解得:(不合题意,舍去)
所以,景灯灯罩的半径是12cm.
20. (2009年湘西自治州如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,
求证:△ADE∽△EFC.
【关键词】相似三角形的判定和判定
【答案】证明:∵DE∥BC,∴DE∥FC,∴∠AED=∠C
又∵EF∥AB,∴EF∥AD,∴∠A=∠FEC
∴△ADE∽△EFC
21. (2009年清远)如图,已知是的直径,过点作弦的平行线,交过点的切线于点,连结.
(1)求证:;
(2)若,,求的长.
【关键词】相似三角形有关的计算和证明
【答案】(1)证明:
是直径
是的切线,切点为
(2)
22.(2009年清远)如图,已知一个三角形纸片,边的长为8,边上的高为,和都为锐角,为一动点(点与点不重合),过点作,交于点,在中,设的长为,上的高为.
(1)请你用含的代数式表示.
(2)将沿折叠,使落在四边形所在平面,设点落在平面的点为,
与四边形重叠部分的面积为,当为何值时,最大,最大值为多少?
【关键词】分类讨论思想
【答案】解:(1)
(2)
的边上的高为,
当点落在四边形内或边上时,
=(0)
当落在四边形外时,如下图,
设的边上的高为,
则
所以
综上所述:当时,,取,
当时,,
取,
当时,最大,
M
N
C
B
E
F
A
A1
23. (2009年济宁市)如图,中,,,.半径为1的圆的圆心以1个单位/的速度由点沿方向在上移动,设移动时间为(单位:).
(1)当为何值时,⊙与相切;
(2)作交于点,如果⊙和线段交于点,证明:当时,四边形为平行四边形.
【关键词】相似
【答案】(1)解:当⊙在移动中与相切时,设切点为,连,
则.
∴∽.∴.
∵,,
∴.∴.
(2)证明:∵,,∴∥.
当时,.
∴.∴.
∴.
∵∽,∴.∴,
∴.∴.
∴当时,四边形为平行四边形.
24.(2009年宜宾)如图,公园内有一个长5米的跷跷板AB,当支点O在距离A端2米时,A端的人可以将B端的人跷高1.5米,那么当支点O在AB的中点时,A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高 米.
【关键词】相似三角形的性质
【答案】1.
25.(2009年广西钦州)已知:如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB上的点O为圆心,OB的长为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D.
(1)求证:BC=CD;
(2)求证:∠ADE=∠ABD;
(3)设AD=2,AE=1,求⊙O直径的长.
【关键词】切线长定理、相似三角形.
【答案】
解:(1)∵∠ABC=90°,
∴OB⊥BC.
∵OB是⊙O的半径,
∴CB为⊙O的切线.
又∵CD切⊙O于点D,
∴BC=CD;
(2)∵BE是⊙O的直径,
∴∠BDE=90°.
∴∠ADE+∠CDB =90°.
又∵∠ABC=90°,
∴∠ABD+∠CBD=90°.
由(1)得BC=CD,∴∠CDB =∠CBD.
∴∠ADE=∠ABD;
(3)由(2)得,∠ADE=∠ABD,∠A=∠A.
∴△ADE∽△ABD.
∴=.
∴=,∴BE=3,
∴所求⊙O的直径长为3.
26.(2009年广西钦州)如图,已知抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点, A点的坐标为(-1,0),过点C的直线y=x-3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,过P作PH⊥OB于点H.若PB=5t,且0<t<1.
(1)填空:点C的坐标是_▲_,b=_▲_,c=_▲_;
(2)求线段QH的长(用含t的式子表示);
(3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.
【关键词】二次函数、相似三角形.
【答案】
解:(1)(0,-3),b=-,c=-3.
(2)由(1),得y=x2-x-3,它与x轴交于A,B两点,得B(4,0).
∴OB=4,又∵OC=3,∴BC=5.
由题意,得△BHP∽△BOC,
∵OC∶OB∶BC=3∶4∶5,
∴HP∶HB∶BP=3∶4∶5,
∵PB=5t,∴HB=4t,HP=3t.
∴OH=OB-HB=4-4t.
由y=x-3与x轴交于点Q,得Q(4t,0).
∴OQ=4t.
①当H在Q、B之间时,
QH=OH-OQ
=(4-4t)-4t=4-8t.
②当H在O、Q之间时,
QH=OQ-OH
=4t-(4-4t)=8t-4.
综合①,②得QH=|4-8t|;
(3)存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似.
①当H在Q、B之间时,QH=4-8t,
若△QHP∽△COQ,则QH∶CO=HP∶OQ,得=,
∴t=.
若△PHQ∽△COQ,则PH∶CO=HQ∶OQ,得=,
即t2+2t-1=0.
∴t1=-1,t2=--1(舍去).
②当H在O、Q之间时,QH=8t-4.
若△QHP∽△COQ,则QH∶CO=HP∶OQ,得=,
∴t=.
若△PHQ∽△COQ,则PH∶CO=HQ∶OQ,得=,
即t2-2t+1=0.
∴t1=t2=1(舍去).
综上所述,存在的值,t1=-1,t2=,t3=.
27.(2009年莆田)已知,如图1,过点作平行于轴的直线,抛物线上的两点的横坐标分别为1和4,直线交轴于点,过点分别作直线的垂线,垂足分别为点、,连接.
(1)求点的坐标;
(2)求证:;
(3)点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点,过点作交轴于点,是否存在点使得与相似?若存在,请求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
【关键词】二次函数、抛物线、一次函数、相似三角形
(1)解:方法一,如图1,当时,
当时,
∴
设直线的解析式为
则 解得
∴直线的解析式为
当时,
方法二:求两点坐标同方法一,如图2,作,,垂足分别为、,交轴于点,则四边形和四边形均为矩形,设 3分
E
D
C
A
F
B
x
O
y
l
(图2)
G
H
M
解得
(2)证明:方法一:在中,
在中,
由(1)得
方法二:由 (1)知
同理:
同理:
即
(3)存在.
解:如图3,作轴,垂足为点 9分
E
D
C
O
F
x
y
图3
M
P
l
Q
又
设,则
①当时,
解得
②当时,
解得
综上,存在点、使得与相似. 14分
28.(2009年包头)如图,已知是的直径,点在上,过点的直线与的延长线交于点,,.
(1)求证:是的切线;
(2)求证:;
(3)点是的中点,交于点,若,求的值.
【关键词】圆、切线
解:
(1),
又,
.
又是的直径,
,
,即,
而是的半径,
是的切线.
(2),
,
又,
.)
(3)连接,
点是的中点,,,
而,,而,
,,,
又是的直径,,
.
,.
29. (2009肇庆).如图 ,在中,,线段 AB 的垂直平分线交 AB于 D,交 AC
于 E,连接BE.
(1)求证:∠CBE=36°;
(2)求证:.
【关键词】三角形相似
【答案】证明:(1)∵DE是AB的垂直平分线,∴,
∴.∵,∴.∴.(2)由(1)得,在△BCE中,,
∴,∴.在△ABC 与△BEC中,,,
∴.
∴,即.
故.
30. (2009年南充)如图,半圆的直径,点C在半圆上,.
(1)求弦的长;
(2)若P为AB的中点,交于点E,求的长.
【关键词】圆的性质,三角形相似的性质
【答案】解:是半圆的直径,点在半圆上,
.
在中,
(2),
.,
.
又,
,
.
31.(2009年温州)如图,在平面直角坐标系中,直线AB与Y轴和X轴分别交于点A、点8,与反比例函数y一罟在第一象限的图象交于点c(1,6)、点D(3,x).过点C作CE上y轴于E,过点D作DF上X轴于F.
(1)求m,n的值;
(2)求直线AB的函数解析式;
(3)求证:△AEC∽△DFB.
【关键词】反比例函数的定义,待定系数法确定一次函数的解析式,相似的判定
【答案】解:(1)由题意得1= ∴m=6
∴n= ∴n=2
(2)设直线AB的函数解析式为y=kx+b
由题意得
解得
∴直线AB的函数解析式为y=-2x+8。
(3)∵y=-2x+8
∴A(0,8),B(4,0)
∵CE⊥y轴,DF⊥x轴,
∴∠AEC=∠DFB=Rt∠
∵AE=DF=2,CE=BF=1,
∴△AEC≌△DFB。
32.(2009年温州)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.0为BC边上一点,以0为圆心,OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E,连结DE. ’
(1)当BD=3时,求线段DE的长;
(2)过点E作半圆O的切线,当切线与AC边相交时,设交点为F.求证:△FAE是等腰三角形.
【关键词】直角三角形、圆的性质,相似的判定,切线的性质,等腰三角形的判定
【答案】解:(1)∵∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴AB=5,
∵DB为直径,
∴∠DEB=∠C=90°,
又∵∠B=∠B ,∴△DBE∽△ABC
∴ 即
∴DE=。
(2)解法一:连结OE,
∵EF为半圆O的切线,
∴∠DEO+∠DEF=90°,
∵∠AEF+∠DEF=90°,
∴∠AEF=∠DEO,
∵△DBE∽△ABC,
∴∠A=∠EDB,
又∵∠EDO=∠DEO,
∴∠AEF=∠A,
∴△FAE是等腰三角形。
解法二:连结OE,
∵EF为半圆O的切线,
∴∠AEF+∠OEB=90°,
∵∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∵OE=OB
∴∠OEB=∠B,
∴∠AEF=∠A
∴△FAE是等腰三角形。
33(2009临沂)如图,抛物线经过三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得的面积最大,求出点D的坐标.
【关键词】抛物线的解析式,相似的性质,二次函数的最值问题
【答案】解:(1)该抛物线过点,可设该抛物线的解析式为.
将,代入,
得解得
此抛物线的解析式为.
(2)存在.
如图,设点的横坐标为,
则点的纵坐标为,
当时,
,.
又,
①当时,
,
即.
解得(舍去),.
②当时,,即.
解得,(均不合题意,舍去)
当时,.
类似地可求出当时,.
当时,.
综上所述,符合条件的点为或或.
(3)如图,设点的横坐标为,则点的纵坐标为.
过作轴的平行线交于.
由题意可求得直线的解析式为.
点的坐标为.
.
.
当时,面积最大.
.
34.(2009年中山)正方形边长为4,、分别是、上的两个动点,当点在上运动时,保持和垂直,
(1)证明:;
(2)设,梯形的面积为,求与之间的函数关系式;当点运动到什么位置时,四边形面积最大,并求出最大面积;
(3)当点运动到什么位置时,求的值.
【关键词】相似三角形有关的计算和证明
【答案】(1)在正方形中,,
,
,
.
在中,,
,
.
(2),
,
,
,
当时,取最大值,最大值为10.
(3),
要使,必须有,
由(1)知,
,
当点运动到的中点时,,此时.
x
y
A
D
B
O
C
35.(2009年牡丹江)如图,在平面直角坐标系中,若、的长是关于的一元二次方程的两个根,且
(1)求的值.
(2)若为轴上的点,且求经过、两点的直线的解析式,并判断与是否相似?
(3)若点在平面直角坐标系内,则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【关键词】三角函数,一次函数,菱形,相似三角形的综合应用
【答案】(1)解得
在中,由勾股定理有
(2)∵点在轴上,
由已知可知D(6,4)
设当时有
解得
同理时,
在中,
在中,
(3)满足条件的点有四个
36. (2009年凉山州)如图,在方格纸中
(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系,使,并求出点坐标;
(2)以原点为位似中心,相似比为2,在第一象限内将放大,画出放大后的图形;
A
B
C
(3)计算的面积.
【关键词】位似、相似比、面积
【答案】(1)画出原点,轴、轴.,
(2)画出图形.
(3).
37. (2009年济宁市)如图,中,,,.半径为1的圆的圆心以1个单位/的速度由点沿方向在上移动,设移动时间为(单位:).
(1)当为何值时,⊙与相切;
(2)作交于点,如果⊙和线段交于点,证明:当时,四边形为平行四边形.
·
图1
图2
【关键词】相似
【答案】(1)解:当⊙在移动中与相切时,设切点为,连,
则.
∴∽.∴.
∵,,
∴.∴.
(2)证明:∵,,∴∥.
当时,.
∴.∴.
∴.
∵∽,∴.∴,
∴.∴.
∴当时,四边形为平行四边形.
38. (2009年宁德市)如图(1),已知正方形ABCD在直线MN的上方,BC在直线MN上,E是BC上一点,以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG.
(1)连接GD,求证:△ADG≌△ABE;
(2)连接FC,观察并猜测∠FCN的度数,并说明理由;
(3)如图(2),将图(1)中正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=a,BC=b(a、b为常数),E是线段BC上一动点(不含端点B、C),以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG,使顶点G恰好落在射线CD上.判断当点E由B向C运动时,∠FCN的大小是否总保持不变,若∠FCN的大小不变,请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值;若∠FCN的大小发生改变,请举例说明.
N
M
B
E
C
D
F
G
图(1)
【关键词】四边形中三角形全等和相似的运用
M
B
E
A
C
N
D
F
G
图(1)
H
解:(1)∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形
∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90º
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD
∴∠BAE=∠DAG
∴△ BAE≌△DAG
(2)∠FCN=45º
理由是:作FH⊥MN于H
∵∠AEF=∠ABE=90º
∴∠BAE +∠AEB=90º,∠FEH+∠AEB=90º
∴∠FEH=∠BAE
又∵AE=EF,∠EHF=∠EBA=90º
∴△EFH≌△ABE
∴FH=BE,EH=AB=BC,∴CH=BE=FH
∵∠FHC=90º,∴∠FCH=45º
(3)当点E由B向C运动时,∠FCN的大小总保持不变,
理由是:作FH⊥MN于H
由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90º
结合(1)(2)得∠FEH=∠BAE=∠DAG
又∵G在射线CD上
∠GDA=∠EHF=∠EBA=90º
∴△EFH≌△GAD,△EFH∽△ABE
∴EH=AD=BC=b,∴CH=BE,
∴==
∴在Rt△FEH中,tan∠FCN===
∴当点E由B向C运动时,∠FCN的大小总保持不变,tan∠FCN=
39.(2009年潍坊)已知,延长BC到D,使.取的中点,连结交于点.
(1)求的值;
(2)若,求的长.
解:(1)
过点F作,交于点.
为的中点
为的中点,.
由,得,
(2)
又
.
40.(2009年咸宁市)如图,将矩形沿对角线剪开,再把沿方向平移得到.
(1)证明;
C
B
A
D
(2)若,试问当点在线段上的什么位置时,四边形是菱形,并请说明理由.
40. (09湖南怀化)如图,直线经过⊙上的点,并且⊙交直线于、两点,连接,,.求证:(1); (2)∽.
【关键词】圆的基本性质、切线定理
【答案】证明:(1)∵OE=OD,∴△ODE是等腰三角形,
又EC=DC,∴C是底边DE上的中点,
∴
(2)∵AB是直径,∴∠ACB=,
∴∠B+∠BAC=,
又∠DCA+∠ACO=,∠ACO=∠BAC,
∴∠DCA=∠B.又∠ADC=∠CDB,
∴△ACD∽△CBD.
41.(09湖南怀化)如图11,已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、,与轴的交点为.设的外接圆的圆心为点.
(1)求与轴的另一个交点D的坐标;
(2)如果恰好为的直径,且的面积等于,求和的值.
【关键词】圆的基本性质、三角形相似的判定和性质
【答案】解 (1)易求得点的坐标为
由题设可知是方程即 的两根,
所以,
所
如图3,∵⊙P与轴的另一个交点为D,由于AB、CD是⊙P的两条相交弦,设它们的交点为点O,连结DB,∴△AOC∽△DOC,则
由题意知点在轴的负半轴上,从而点D在轴的正半轴上,
所以点D的坐标为(0,1)
(2)因为AB⊥CD, AB又恰好为⊙P的直径,则C、D关于点O对称,
所以点的坐标为,即
又,
所以解得
42.(09湖北宜昌)(09湖北宜昌)已知:如图1,把矩形纸片ABCD折叠,使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D,C重合), MN为折痕,点M,N分别在边BC, AD上,连接AP,MP,AM, AP与MN相交于点F.⊙O过点M,C,P.
(1)请你在图1中作出⊙O(不写作法,保留作图痕迹);
(2)与 是否相等?请你说明理由;
(3)随着点P的运动,若⊙O与AM相切于点M时,⊙O又与AD相切于点H.
设AB为4,请你通过计算,画出这时的图形.(图2,3供参考)
图1 图2 图3
【关键词】矩形的性质与判定、线段的比和比例线段
【答案】解:(1)如图;
(2)与不相等.
假设,则由相似三角形的性质,得MN∥DC.
∵∠D=90°,∴DC⊥AD,∴MN⊥AD.
∵据题意得,A与P关于MN对称,∴MN⊥AP.
∵据题意,P与D不重合,
∴这与“过一点(A)只能作一条直线与已知直线(MN)垂直”矛盾.
∴假设不成立.
∴不成立.
(2) 解法2:与不相等.
理由如下:
∵P, A关于MN对称,∴MN垂直平分AP.
∴cos∠FAN=.
∵∠D=90°, ∴cos∠PAD=.
∵∠FAN=∠PAD,∴=.
∵P不与D重合,P在边DC上;∴AD≠AP.
∴≠;从而≠.
(3)∵AM是⊙O的切线,∴∠AMP=90°,
∴∠CMP+∠AMB=90°.
∵∠BAM+∠AMB=90°,∴∠CMP=∠BAM.
∵MN垂直平分,∴MA=MP,
∵∠B=∠C=90°, ∴△ABM≌△MCD.
∴MC=AB=4, 设PD=x,则CP=4-x,
∴BM=PC=4-x. (5分)
连结HO并延长交BC于J.
∵AD是⊙O的切线,∴∠JHD=90°.
∴矩形HDCJ. (7分)
∴OJ∥CP, ∴△MOJ∽△MPC,
∴OJ:CP=MO:MP=1:2,
∴OJ=(4-x),OH=MP=4-OJ=(4+x).
∵MC2= MP2-CP2,∴(4+x)2-(4-x)2=16.
解得:x=1.即PD=1,PC=3,
∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7.
由此画图(图形大致能示意即可).
(3)解法2:
连接HO,并延长HO交BC于J点,连接AO.
由切线性质知,JH⊥AD,∵BC∥AD,∴HJ⊥BC,
∴OJ⊥MC,∴MJ=JC.
∵AM,AH与⊙O相切于点M,H,
∴∠AMO=∠AHO=90°,
∵OM=OH, AO=AO,
∴Rt△AMO≌Rt△AHO.
∴设AM=x,则 AM=AH=x,
由切线性质得,AM⊥PM,
∴∠AMP=90°,∴∠BMA+∠CMP=90°.
∵∠BMA+∠BAM=90°,∴∠BAM=∠CMP ,
∵∠B=∠MCP=90°,
∵MN为AP的中垂线,∴AM=MP.
∴△ABM≌△MCP .
∴四边形ABJH为矩形,得BJ=AH=x,
Rt△ABM中,BM=,
∴MJ==JC,(9分)
∴AB=MC.∴4=2(),∴
∴AD=BC==7,
∴PC==3.
由此画图(图形大致能示意即可).
43. (2009年湖北荆州)21.(7分)如图,AB是半圆O的直径,C为半圆上一点,N是线段
BC上一点(不与B﹑C重合),过N作AB的垂线交AB于M,
交AC的延长线于E,过C点作半圆O的切线交EM于F.
⑴求证:△ACO∽△NCF;
⑵若NC∶CF=3∶2,求sinB 的值.
【关键词】相似三角形综合
【答案】
44.(2009年茂名市)如图,在中,点是边上的动点(点与点不重合),过动点作交于点
(1)若与相似,则是多少度? (2分)
(2)试问:当等于多少时,的面积最大?最大面积是多少? (4分)
(3)若以线段为直径的圆和以线段为直径的圆相外切,求线段的长.(4分)
【关键词】二次函数、圆、相似综合题
【答案】(1)当△ABC 与△DAP 相似时,∠APD的度数是60°或30°.
(2)设,∵,,∴,
又∵,∴,,
∴,而,
∴
.
∴PC 等于12时,的面积最大,最大面积是.
(3)设以和为直径的圆心分别为、,过 作 于点,
设的半径为,则.显然,,∴,∴,
∴,
,
又∵和外切,
∴.
在中,有,
∴,
解得:, ∴.
45.(2009年湖北十堰市)如图①,四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F.
(1) 求证:DE-BF = EF.
(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系, 并说明理由.
(3) 若点G为CB延长线上一点,其余条件不变.请你在图②中画出图形,写出此时DE、BF、EF之间的数量关系(不需要证明).
【关键词】正方形的性质与判定、多边形相似
【答案】(1) 证明:
∵ 四边形ABCD 是正方形, BF⊥AG , DE⊥AG
∴ DA=AB, ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90°
∴ ∠BAF = ∠ADE
∴ △ABF ≌ △DAE
∴ BF = AE , AF = DE
∴ DE-BF = AF-AE = EF
(2)EF = 2FG 理由如下:
∵ AB⊥BC , BF⊥AG , AB =2 BG
∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG
∴
∴ AF = 2BF , BF = 2 FG
由(1)知, AE = BF,∴ EF = BF = 2 FG
(3) 如图
DE + BF = EF
46.(2009年山东青岛市)如图,在梯形ABCD中,,,,,点由B出发沿BD方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,线段EF由DC出发沿DA
方向匀速运动,速度为1cm/s,交于Q,连接PE.若设运动时间为(s)().解答下列问题:
(1)当为何值时,?
(2)设的面积为(cm2),求与之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻,使?若存在,求出此时的值;若不存在,说明理由.
(4)连接,在上述运动过程中,五边形的面积是否发生变化?说明理由.
【关键词】全等三角形的性质与判定、相似三角形判定和性质、平行四边形有关的计算
【答案】解:(1)∵
∴.
而,
∴,
∴.
∴当.
(2)∵平行且等于,
∴四边形是平行四边形.
∴.
∵,
∴.
∴.
∴.
.
∴.
过B作,交于,过作,交于.
.
∵,
∴.
又,
,
,
.
(3).
若,
则有,
解得.
(4)在和中,
∴
.
∴在运动过程中,五边形的面积不变.
47.(2009年广东省)正方形边长为4,、分别是、上的两个动点, 当点在上运动时,保持和垂直,
(1)证明:;
(2)设,梯形的面积为,求与之间的函数关系式;当点运动到什么位置时,四边形面积最大,并求出最大面积;
(3)当点运动到什么位置时,求此时的值.
【关键词】正方形的性质;相似三角形判定和性质;直角梯形;与二次函数有关的面积问题;二次函数的极值问题;相似三角形有关的计算和证明
【答案】
解:(1)在正方形中,
,
,
,
,
在中,,
,
,
(2),
,
,
,
当时,取最大值,最大值为10.
(3),
要使,必须有,
由(1)知,
,
当点运动到的中点时,,此时.
48.(2009年山西省)如图,已知直线与直线相交于点分别交轴于两点.矩形的顶点分别在直线上,顶点都在轴上,且点与点重合.
(1)求的面积;
(2)求矩形的边与的长;
(3)若矩形从原点出发,沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为秒,矩形与重叠部分的面积为,求关于的函数关系式,并写出相应的的取值范围.
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
(G)
【关键词】一次函数的几何应用;一次函数与二元一次方程;矩形的性质;特殊平行四边形相关的面积问题;相似三角形有关的计算
【答案】(1)解:由得点坐标为
由得点坐标为
∴
由解得∴点的坐标为
∴
(2)解:∵点在上且
∴点坐标为
又∵点在上且
∴点坐标为
∴
(3)解法一:当时,如图1,矩形与重叠部分为五边形(时,为四边形).过作于,则
A
D
B
E
O
R
F
x
y
y
M
(图3)
G
C
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
G
(图1)
R
M
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
G
(图2)
R
M
∴即∴
∴
即
当时,如图2,为梯形面积,∵G(8-t,0)∴GR=,
∴
当时,如图3,为三角形面积,
49.(2009 黑龙江大兴安岭)已知:在中,,动点绕的顶点逆时针旋转,且,连结.过、的中点、作直线,直线与直线、分别相交于点、.
图2
图3
图1
(N)
(1)如图1,当点旋转到的延长线上时,点恰好与点重合,取的中点,连结、,根据三角形中位线定理和平行线的性质,可得结论(不需证明).
(2)当点旋转到图2或图3中的位置时,与有何数量关系?请分别写出猜想,并任选一种情况证明.
【关键词】三角形中位线、平行线的性质、阅读理解题
【答案】图2:
图3:
证明:如图2,取的中点,连结、
∵是的中点,是的中点,
∴,,
∴.
同理,,,
∴
∵,
∴,
∴
∴.
证明图3的过程与证明图2过程给分相同.
50. (2009年崇左)如图,中,分别是边的中点,相交于.求证:.
B
C
D
G
E
A
【关键词】三角形的相似。利用中点做辅助线可得。连接两中点可利用中位线知识得到其结果。
【答案】
B
C
D
G
E
A
证明:连结,
分别是边的中点,
,
,
,
.
51. (2009东营)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米;上部CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆.
(1)当MN和AB之间的距离为0.5米时,求此时△EMN的面积;
(2)设MN与AB之间的距离为米,试将△EMN的面积S(平方米)表示成关于x的函数;
(3)请你探究△EMN的面积S(平方米)有无最大值,若有,请求出这个最大值;若没有,请说明理由.
【关键词】二次函数与面积,相似
【答案】解:(1)由题意,当MN和AB之间的距离为0.5米时,MN应位于DC下方,且此时△EMN中MN边上的高为0.5米.
所以,S△EMN= =0.5(平方米).
即△EMN的面积为0.5平方米.
(2)①如图1所示,当MN在矩形区域滑动,
即0<x≤1时,
△EMN的面积S= = ;
②如图2所示,当MN在三角形区域滑动,
即1<x< 时,
如图,连接EG,交CD于点F,交MN于点H,
∵ E为AB中点,
∴ F为CD中点,GF⊥CD,且FG= .
又∵ MN∥CD,
∴ △MNG∽△DCG.
∴ ,即 .……4分
故△EMN的面积S=
= ;
综合可得:
(3)①当MN在矩形区域滑动时, ,所以有 ;
②当MN在三角形区域滑动时,S= .
因而,当 (米)时,S得到最大值,
最大值S= = = (平方米). ∵ ,
∴ S有最大值,最大值为 平方米.
52.(2009年枣庄市)宽与长的比是的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中,折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图所示):
第一步:作一个正方形ABCD;
第二步:分别取AD,BC的中点M,N,连接MN;
第三步:以N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于E;
第四步:过E作EF⊥AD,交AD的延长线于F.
请你根据以上作法,证明矩形DCEF为黄金矩形.
A
B
C
D
E
F
M
N
【关键词】黄金矩形
【答案】证明:在正方形ABCD中,取,
∵ N为BC的中点,
∴ .
在中,
.
又∵ ,
∴ .
∴ .
故矩形DCEF为黄金矩形.
53. (2009年厦门市)已知:在中,.
(1)设的周长为,,(≤≤).写出关于的函数关系式,并在直角坐标系中画出此函数的图象;
(2)如图,是线段上一点,连接,若.求证:.
【关键词】一次函数的图象,相似三角形
【答案】(1)解:y=7-2x(2≤x≤3)
画直角坐标系
画线段
(2)证明:∵ AB=AC,∴ ∠B=∠C.
∵ ∠B=∠BAD,∴ ∠BAD=∠C.
又∵ ∠B=∠B,
∴.
【关键词】三角形三边关系
【答案】B
54.(2009年赤峰市)如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=k/x的图象交于A、B、两点,与x轴交于点C,与y轴交于点D,已知OA= ,tan∠AOC=1/3,点B的坐标为(m,-2)。
(1)求反比例函数的解析式
(2)求一次函数的解析式
(3)在y轴上存在一点P,是的△PDC与△ODC相似,
请你求出P点的坐标。
55.(2009年绵阳市)如图,A、P、B、C是⊙O上的四点,∠APC =∠BPC = 60°,
AB与PC交于Q点.
Q
P
C
B
A
O
(1)判断△ABC的形状,并证明你的结论;
(2)求证:;
(3)若∠ABP = 15°,△ABC的面积为4,求PC的长.
【关键词】圆的性质,相似三角形,三角函数
【答案】(1) ∵ ∠ABC =∠APC = 60°,∠BAC =∠BPC = 60°,
∴ ∠ACB = 180°-∠ABC-∠BAC = 60°,
∴ △ABC是等边三角形.
(2)如图,过B作BD∥PA交PC于D,则 ∠BDP =∠APC = 60°.
又 ∵ ∠AQP =∠BQD,∴ △AQP∽△BQD, .
∵ ∠BPD =∠BDP = 60°, ∴ PB = BD. ∴ .
(3)设正△ABC的高为h,则 h = BC· sin 60°.
∵ BC · h = 4, 即BC · BC· sin 60° = 4,解得BC = 4.
连接OB,OC,OP,作OE⊥BC于E.
由△ABC是正三角形知∠BOC = 120°,从而得∠OCE = 30°,
∴ .
由∠ABP = 15° 得 ∠PBC =∠ABC +∠ABP = 75°,于是 ∠POC = 2∠PBC = 150°.
∴ ∠PCO =(180°-150°)÷2 = 15°.
如图,作等腰直角△RMN,在直角边RM上取点G,使∠GNM = 15°,则∠RNG = 30°,作GH⊥RN,垂足为H.设GH = 1,则 cos∠GNM = cos15° = MN.
∵ 在Rt△GHN中,NH = GN · cos30°,GH = GN · sin30°.
于是 RH = GH,MN = RN · sin45°,∴ cos15° =.
在图中,作OF⊥PC于E,∴ PC = 2FD = 2 OC ·cos15° =.
56.(2009年梅州市)如图 ,梯形ABCD中,,点在上,连与的延长线交于点G.
(1)求证:;
D
C
F
E
A
B
G
(2)当点F是BC的中点时,过F作交于点,若,求的长.
【关键词】相似三角形
【答案】(1)证明:∵梯形,,
∴,
∴.
(2) 由(1),
又是的中点,
∴,
∴
又∵,,
∴,得.
∴,
∴.