中考数学复习学案专题复习五图形的折叠问题人教版含答案四川专用 7页

图形的折叠问题 折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．‎ 类型1　三角形中的折叠问题 ‎　　　　　　‎ ‎　(2015·宜宾)如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB.若C(，)，则该一次函数的解析式为________．‎ ‎【思路点拨】　利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出CO，AO的长，进而得出A、B两点的坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式．‎ ‎【解答】　连接OC，过点C作CD⊥x轴于点D，‎ ‎∵将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB，C(，)，‎ ‎∴AO＝AC，OD＝，DC＝，BO＝BC，‎ 则tan∠COD＝＝，‎ 故∠COD＝30°，∠BOC＝60°，‎ ‎∴△BOC是等边三角形，且∠CAD＝60°.‎ 则sin60°＝，则AC＝＝1，‎ 故A(1，0)，‎ sin30°＝＝＝.‎ 则CO＝，故BO＝，B点坐标为(0，)，‎ 设直线AB的解析式为y＝kx＋，把A(1，0)代入解析式可得k＝－.‎ ‎∴直线AB的解析式为y＝－x＋.‎ 折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．‎ ‎1．(2015·绵阳)如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE∶CF＝（ ）‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C. D. ‎2．(2014·德阳)如图，△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE的度数为________．‎ ‎　　‎ ‎3．(2014·宜宾)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________．‎ ‎4．(2015·滨州)如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为________．‎ 类型2　四边形及其他图形中的折叠问题 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　(2015·南充)如图，在矩形纸片ABCD中，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP＞AM)，点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．‎ ‎(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)‎ ‎(2)如果AM＝1，sin∠DMF＝，求AB的长．‎ ‎【思路点拨】　(1)由矩形的性质得∠A＝∠B＝∠C＝90°‎ ‎，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠BPQ＝∠AMP＝∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD；‎ ‎(2)设AP＝x，由折叠关系可得：BP＝AP＝EP＝x，AB＝DC＝2x，AM＝1，根据△AMP∽△BPQ得：＝，即BQ＝x2，根据△AMP∽△CQD得：＝，即CQ＝2，从而得出AD＝BC＝BQ＋CQ＝x2＋2，MD＝AD－AM＝x2＋2－1＝x2＋1，根据Rt△FDM中∠DMF的正弦值得出x的值，从而求出AB的值．‎ ‎【解答】　(1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD.‎ 理由如下：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠A＝∠B＝∠C＝90°.‎ 根据折叠可知：∠APM＝∠EPM，∠EPQ＝∠BPQ，∴∠APM＋∠BPQ＝∠EPM＋∠EPQ＝90°.‎ ‎∵∠APM＋∠AMP＝90°，‎ ‎∴∠BPQ＝∠AMP，∴△AMP∽△BPQ，‎ 同理：△BPQ∽△CQD.‎ ‎∴△AMP∽△BPQ∽△CQD.‎ ‎(2)设AP＝x，‎ ‎∴由折叠关系，BP＝AP＝EP＝x，AB＝DC＝2x.‎ 由△AMP∽△BPQ得，＝，即＝，‎ 得BQ＝x2.‎ 由△AMP∽△CQD得，＝，即＝，‎ 得CQ＝2.‎ ‎∴AD＝BC＝BQ＋CQ＝x2＋2.‎ ‎∴MD＝AD－1＝x2＋1.‎ ‎∵在Rt△FDM中，sin∠DMF＝，‎ ‎∴＝.解得x1＝3，x2＝(不合题意，舍去)．‎ 即AB＝6.‎ 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2013·南充)如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（ ）‎ A．12 B．‎24 ‎ C．12 D．16 ‎2．(2015·泸州)如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24，tanC＝2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为（ ）‎ A．13 B. C. D．12‎ ‎3．(2015·德阳)将抛物线y＝－x2＋2x＋3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝x＋b与此新图象的交点个数的情况有（ ）‎ A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 ‎4．(2015·成都)如图，在 □ ABCD中，AB＝，AD＝4，将ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________．‎ ‎5．(2015·内江)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角(∠D，∠C)向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD＝2，BC＝3，则EF的长为________．‎ ‎6．(2014·南充)如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD(包括端点)，设BA′＝x，则x的取值范围是________．‎ ‎7．(2014·绵阳)如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.‎ ‎(1)求证：△DEC≌△EDA；‎ ‎(2)求DF的值；‎ ‎(3)如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，顶点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．‎ ‎参考答案 类型1　三角形中的折叠问题 ‎1．B　提示：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.又∵折叠△ABC，使得点C恰好与边AB上的点D重合，折痕为EF，∴∠EDF＝∠C＝60°，CE＝DE，CF＝DF.∴∠ADE＋∠FDB＝120°.∴∠AED＝∠FDB.∴△AED∽△BDF.∴＝＝.设等边△ABC边长为6个单位，CE＝x，CF＝y，AE＝6－x，BC＝6－y，∴＝＝，解得x＝，y＝.∴x∶y＝4∶5，故选择B.‎ ‎2.65°　3.1.5　4.(10，3)‎ 类型2　四边形及其他图形中的折叠问题 ‎1．D　2.A　‎ ‎3.B　提示：由题意，易知y＝－x2＋2x＋3与x轴的两个交点坐标分别为(3，0)和(－1，0)，顶点坐标为(1，4)，顶点关于x轴对称点的坐标为(1，－4)．当直线y＝x＋b过(－1，0)时，b＝1，此时直线与新的函数图象只有一个交点；当b>1时，此时直线与新的函数图象无交点；当直线y＝x＋b过(3，0)时，b＝－3，此时直线与新的函数图象有三个交点；观察图象，易知：当－3