浙江省金华丽水中考数学试卷 29页

‎2018年浙江省金华丽水中考数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）在0，1，﹣‎1‎‎2‎，﹣1四个数中，最小的数是（　　）‎ A．0 B．1 C．‎-‎‎1‎‎2‎ D．﹣1‎ ‎2．（3分）计算（﹣a）3÷a结果正确的是（　　）‎ A．a2 B．﹣a2 C．﹣a3 D．﹣a4‎ ‎3．（3分）如图，∠B的同位角可以是（　　）‎ A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4‎ ‎4．（3分）若分式x-3‎x+3‎的值为0，则x的值为（　　）‎ A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．0‎ ‎5．（3分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体是（　　）‎ A．直三棱柱 B．长方体 C．圆锥 D．立方体 ‎6．（3分）如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是（　　）‎ 第29页（共29页）‎ A．‎1‎‎6‎ B．‎1‎‎4‎ C．‎1‎‎3‎ D．‎‎7‎‎12‎ ‎7．（3分）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是（　　）‎ A．（5，30） B．（8，10） C．（9，10） D．（10，10）‎ ‎8．（3分）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（　　）‎ A．tanαtanβ B．sinβsinα C．sinαsinβ D．‎cosβcosα ‎9．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是（　　）‎ A．55° B．60° C．65° D．70°‎ 第29页（共29页）‎ ‎10．（3分）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（　　）‎ A．每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱 B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多 C．每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱 D．每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱 ‎　‎ 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．（4分）化简（x﹣1）（x+1）的结果是　 　．‎ ‎12．（4分）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是　 　．‎ ‎13．（4分）如图是我国2013～2017年国内生产总值增长速度统计图，则这5年增长速度的众数是　 　．‎ 第29页（共29页）‎ ‎14．（4分）对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：x*y=ax+by．若1*（﹣1）=2，则（﹣2）*2的值是　 　．‎ ‎15．（4分）如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则ABBC的值是　 　．‎ ‎16．（4分）如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉弓的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．‎ ‎（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为　 　cm．‎ ‎（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为　 　cm．‎ ‎　‎ 第29页（共29页）‎ 三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）‎ ‎17．（6分）计算：‎8‎+（﹣2018）0﹣4sin45°+|﹣2|．‎ ‎18．（6分）解不等式组：‎‎&x‎3‎+2＜x‎&2x+2≥3(x-1)‎ ‎19．（6分）为了解朝阳社区20～60岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：‎ ‎（1）求参与问卷调查的总人数．‎ ‎（2）补全条形统计图．‎ ‎（3）该社区中20～60岁的居民约8000人，估算这些人中最喜欢微信支付方式的人数．‎ ‎20．（8分）如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长为1，点A在格点（小正方形的顶点）上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．‎ 第29页（共29页）‎ ‎21．（8分）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．‎ ‎（1）求证：AD是⊙O的切线．‎ ‎（2）若BC=8，tanB=‎1‎‎2‎，求⊙O的半径．‎ ‎22．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式．‎ ‎（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？‎ ‎（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．‎ 第29页（共29页）‎ ‎23．（10分）如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=mx与y=nx（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．‎ ‎（1）当m=4，n=20时．‎ ‎①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．‎ ‎②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．‎ ‎（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．‎ ‎24．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G．‎ ‎（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．‎ ‎①若点G为DE中点，求FG的长．‎ ‎②若DG=GF，求BC的长．‎ ‎（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG 第29页（共29页）‎ 是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．‎ ‎　‎ 第29页（共29页）‎ ‎2018年浙江省金华市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）在0，1，﹣‎1‎‎2‎，﹣1四个数中，最小的数是（　　）‎ A．0 B．1 C．‎-‎‎1‎‎2‎ D．﹣1‎ ‎【解答】解：∵﹣1＜﹣‎1‎‎2‎＜0＜1，‎ ‎∴最小的数是﹣1，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）计算（﹣a）3÷a结果正确的是（　　）‎ A．a2 B．﹣a2 C．﹣a3 D．﹣a4‎ ‎【解答】解：（﹣a）3÷a=﹣a3÷a=﹣a3﹣1=﹣a2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）如图，∠B的同位角可以是（　　）‎ A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4‎ ‎【解答】解：∠B的同位角可以是：∠4．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）若分式x-3‎x+3‎的值为0，则x的值为（　　）‎ A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．0‎ 第29页（共29页）‎ ‎【解答】解：由分式的值为零的条件得x﹣3=0，且x+3≠0，‎ 解得x=3．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体是（　　）‎ A．直三棱柱 B．长方体 C．圆锥 D．立方体 ‎【解答】解：观察三视图可知，该几何体是直三棱柱．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是（　　）‎ A．‎1‎‎6‎ B．‎1‎‎4‎ C．‎1‎‎3‎ D．‎‎7‎‎12‎ ‎【解答】解：∵黄扇形区域的圆心角为90°，‎ 所以黄区域所占的面积比例为‎90‎‎360‎=‎1‎‎4‎，‎ 即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是‎1‎‎4‎，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm 第29页（共29页）‎ ‎，则图中转折点P的坐标表示正确的是（　　）‎ A．（5，30） B．（8，10） C．（9，10） D．（10，10）‎ ‎【解答】解：如图，‎ 过点C作CD⊥y轴于D，‎ ‎∴BD=5，CD=50÷2﹣16=9，‎ AB=OD﹣OA=40﹣30=10，‎ ‎∴P（9，10）；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（　　）‎ A．tanαtanβ B．sinβsinα C．sinαsinβ D．‎cosβcosα ‎【解答】解：在Rt△ABC中，AB=ACsinα，‎ 第29页（共29页）‎ 在Rt△ACD中，AD=ACsinβ，‎ ‎∴AB：AD=ACsinα：ACsinβ=sinβsinα，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是（　　）‎ A．55° B．60° C．65° D．70°‎ ‎【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．‎ ‎∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE，‎ ‎∴∠ACD=90°﹣20°=70°，‎ ‎∵点A，D，E在同一条直线上，‎ ‎∴∠ADC+∠EDC=180°，‎ ‎∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，‎ ‎∴∠ADC=∠E+20°，‎ ‎∵∠ACE=90°，AC=CE ‎∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°‎ 在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，‎ 即45°+70°+∠ADC=180°，‎ 解得：∠ADC=65°，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（　　）‎ 第29页（共29页）‎ A．每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱 B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多 C．每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱 D．每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱 ‎【解答】解：A、观察函数图象，可知：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确；‎ B、观察函数图象，可知：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确；‎ C、设当x≥25时，yA=kx+b，‎ 将（25，30）、（55，120）代入yA=kx+b，得：‎ ‎&25k+b=30‎‎&55k+b=120‎‎，解得：‎&k=3‎‎&b=-45‎，‎ ‎∴yA=3x﹣45（x≥25），‎ 当x=35时，yA=3x﹣45=60＞50，‎ ‎∴每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱，结论C正确；‎ D、设当x≥50时，yB=mx+n，‎ 将（50，50）、（55，65）代入yB=mx+n，得：‎ ‎&50m+n=50‎‎&55m+n=65‎‎，解得：‎&m=3‎‎&n=-100‎，‎ ‎∴yB=3x﹣100（x≥50），‎ 当x=70时，yB=3x﹣100=110＜120，‎ ‎∴结论D错误．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 第29页（共29页）‎ 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．（4分）化简（x﹣1）（x+1）的结果是　x2﹣1　．‎ ‎【解答】解：原式=x2﹣1，‎ 故答案为：x2﹣1‎ ‎　‎ ‎12．（4分）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是　AC=BC　．‎ ‎【解答】解：添加AC=BC，‎ ‎∵△ABC的两条高AD，BE，‎ ‎∴∠ADC=∠BEC=90°，‎ ‎∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，‎ ‎∴∠EBC=∠DAC，‎ 在△ADC和△BEC中‎&∠BEC=∠ADC‎&∠EBC=∠DAC‎&AC=BC，‎ ‎∴△ADC≌△BEC（AAS），‎ 故答案为：AC=BC．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）如图是我国2013～2017年国内生产总值增长速度统计图，则这5年增长速度的众数是　6.9%　．‎ 第29页（共29页）‎ ‎【解答】解：这5年增长速度分别是7.8%、7.3%、6.9%、6.7%、6.9%，‎ 则这5年增长速度的众数是6.9%，‎ 故答案为：6.9%．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：x*y=ax+by．若1*（﹣1）=2，则（﹣2）*2的值是　﹣1　．‎ ‎【解答】解：∵1*（﹣1）=2，‎ ‎∴a‎1‎‎+‎b‎-1‎=2‎ 即a﹣b=2‎ ‎∴原式=a‎-2‎‎+‎b‎2‎=‎-‎‎1‎‎2‎（a﹣b）=﹣1‎ 故答案为：﹣1‎ ‎　‎ ‎15．（4分）如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则ABBC的值是　‎2‎‎+1‎‎4‎　．‎ ‎【解答】解：设七巧板的边长为x，则 第29页（共29页）‎ AB=‎1‎‎2‎x+‎2‎‎2‎x，‎ BC=‎1‎‎2‎x+x+‎1‎‎2‎x=2x，‎ ABBC‎=‎1‎‎2‎x+‎2‎‎2‎x‎2x=‎2‎‎+1‎‎4‎．‎ 故答案为：‎2‎‎+1‎‎4‎．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉弓的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．‎ ‎（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为　30‎3‎　cm．‎ ‎（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为　10‎5‎﹣10　cm．‎ ‎【解答】解：（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．‎ ‎∵D1A=D1B1=30‎ ‎∴D1是B‎1‎AC‎1‎的圆心，‎ ‎∵AD1⊥B1C1，‎ ‎∴B1H=C1H=30×sin60°=15‎3‎，‎ ‎∴B1C1=30‎‎3‎ ‎∴弓臂两端B1，C1的距离为30‎‎3‎ ‎（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．‎ 第29页（共29页）‎ 设半圆的半径为r，则πr=‎120⋅π⋅30‎‎180‎，‎ ‎∴r=20，‎ ‎∴AG=GB2=20，GD1=30﹣20=10，‎ 在Rt△GB2D2中，GD2=‎3‎0‎‎2‎-2‎‎0‎‎2‎=10‎‎5‎ ‎∴D1D2=10‎5‎﹣10．‎ 故答案为30‎3‎，10‎5‎﹣10，‎ ‎　‎ 三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）‎ ‎17．（6分）计算：‎8‎+（﹣2018）0﹣4sin45°+|﹣2|．‎ ‎【解答】解：原式=2‎2‎+1﹣4×‎2‎‎2‎+2‎ ‎=2‎2‎+1﹣2‎2‎+2‎ ‎=3．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）解不等式组：‎‎&x‎3‎+2＜x‎&2x+2≥3(x-1)‎ ‎【解答】解：解不等式x‎3‎+2＜x，得：x＞3，‎ 解不等式2x+2≥3（x﹣1），得：x≤5，‎ ‎∴不等式组的解集为3＜x≤5．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）为了解朝阳社区20～60‎ 第29页（共29页）‎ 岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：‎ ‎（1）求参与问卷调查的总人数．‎ ‎（2）补全条形统计图．‎ ‎（3）该社区中20～60岁的居民约8000人，估算这些人中最喜欢微信支付方式的人数．‎ ‎【解答】解：（1）（120+80）÷40%=500（人）．‎ 答：参与问卷调查的总人数为500人．‎ ‎（2）500×15%﹣15=60（人）．‎ 补全条形统计图，如图所示．‎ ‎（3）8000×（1﹣40%﹣10%﹣15%）=2800（人）．‎ 答：这些人中最喜欢微信支付方式的人数约为2800人．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长为1，点A在格点（小正方形的顶点）上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．‎ 第29页（共29页）‎ ‎【解答】解：符合条件的图形如图所示；‎ ‎　‎ ‎21．（8分）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．‎ ‎（1）求证：AD是⊙O的切线．‎ ‎（2）若BC=8，tanB=‎1‎‎2‎，求⊙O的半径．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，‎ ‎∵OB=OD，‎ ‎∴∠3=∠B，‎ ‎∵∠B=∠1，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ 在Rt△ACD中，∠1+∠2=90°，‎ ‎∴∠4=180°﹣（∠2+∠3）=90°，‎ ‎∴OD⊥AD，‎ 第29页（共29页）‎ 则AD为圆O的切线；‎ ‎（2）设圆O的半径为r，‎ 在Rt△ABC中，AC=BCtanB=4，‎ 根据勾股定理得：AB=‎4‎‎2‎‎+‎‎8‎‎2‎=4‎5‎，‎ ‎∴OA=4‎5‎﹣r，‎ 在Rt△ACD中，tan∠1=tanB=‎1‎‎2‎，‎ ‎∴CD=ACtan∠1=2，‎ 根据勾股定理得：AD2=AC2+CD2=16+4=20，‎ 在Rt△ADO中，OA2=OD2+AD2，即（4‎5‎﹣r）2=r2+20，‎ 解得：r=‎3‎‎5‎‎2‎．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式．‎ ‎（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？‎ ‎（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．‎ 第29页（共29页）‎ ‎【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣10），‎ ‎∵当t=2时，AD=4，‎ ‎∴点D的坐标为（2，4），‎ ‎∴将点D坐标代入解析式得﹣16a=4，‎ 解得：a=﹣‎1‎‎4‎，‎ 抛物线的函数表达式为y=﹣‎1‎‎4‎x2+‎5‎‎2‎x；‎ ‎（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t，‎ ‎∴AB=10﹣2t，‎ 当x=t时，AD=﹣‎1‎‎4‎t2+‎5‎‎2‎t，‎ ‎∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD）‎ ‎=2[（10﹣2t）+（﹣‎1‎‎4‎t2+‎5‎‎2‎t）]‎ ‎=﹣‎1‎‎2‎t2+t+20‎ ‎=﹣‎1‎‎2‎（t﹣1）2+‎41‎‎2‎，‎ ‎∵﹣‎1‎‎2‎＜0，‎ ‎∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为‎41‎‎2‎；‎ ‎（3）如图，‎ 当t=2时，点A、B、C、D的坐标分别为（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），‎ ‎∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2），‎ 第29页（共29页）‎ 当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分；‎ 当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分；‎ ‎∴当G、H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形的面积平分，‎ 当点G、H分别落在线段AB、DC上时，直线GH过点P必平分矩形ABCD的面积，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴线段OD平移后得到的线段GH，‎ ‎∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P，‎ 在△OBD中，PQ是中位线，‎ ‎∴PQ=‎1‎‎2‎OB=4，‎ 所以抛物线向右平移的距离是4个单位．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=mx与y=nx（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．‎ ‎（1）当m=4，n=20时．‎ ‎①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．‎ ‎②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．‎ ‎（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）①如图1，∵m=4，‎ 第29页（共29页）‎ ‎∴反比例函数为y=‎4‎x，‎ 当x=4时，y=1，‎ ‎∴B（4，1），‎ 当y=2时，‎ ‎∴2=‎4‎x，‎ ‎∴x=2，‎ ‎∴A（2，2），‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，‎ ‎∴‎&2k+b=2‎‎&4k+b=1‎，‎ ‎∴‎&k=-‎‎1‎‎2‎‎&b=3‎，‎ ‎∴直线AB的解析式为y=﹣‎1‎‎2‎x+3；‎ ‎②四边形ABCD是菱形，‎ 理由如下：如图2，由①知，B（4，1），‎ ‎∵BD∥y轴，‎ ‎∴D（4，5），‎ ‎∵点P是线段BD的中点，‎ ‎∴P（4，3），‎ 当y=3时，由y=‎4‎x得，x=‎4‎‎3‎，‎ 由y=‎20‎x得，x=‎20‎‎3‎，‎ ‎∴PA=4﹣‎4‎‎3‎=‎8‎‎3‎，PC=‎20‎‎3‎﹣4=‎8‎‎3‎，‎ ‎∴PA=PC，‎ ‎∵PB=PD，‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∵BD⊥AC，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形；‎ 第29页（共29页）‎ ‎（2）四边形ABCD能是正方形，‎ 理由：当四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴PA=PB=PC=PD，（设为t，t≠0），‎ 当x=4时，y=mx=m‎4‎，‎ ‎∴B（4，m‎4‎），‎ ‎∴A（4﹣t，m‎4‎+t），‎ ‎∴（4﹣t）（m‎4‎+t）=m，‎ ‎∴t=4﹣m‎4‎，‎ ‎∴点D的纵坐标为m‎4‎+2t=m‎4‎+2（4﹣m‎4‎）=8﹣m‎4‎，‎ ‎∴D（4，8﹣m‎4‎），‎ ‎∴4（8﹣m‎4‎）=n，‎ ‎∴m+n=32．‎ 第29页（共29页）‎ ‎　‎ ‎24．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G．‎ ‎（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．‎ ‎①若点G为DE中点，求FG的长．‎ ‎②若DG=GF，求BC的长．‎ ‎（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）①在正方形ACDE中，DG=GE=6，‎ 中Rt△AEG中，AG=AE‎2‎+EG‎2‎=6‎5‎，‎ ‎∵EG∥AC，‎ ‎∴△ACF∽△GEF，‎ ‎∴FGAF=EGAC，‎ ‎∴FGAF=‎6‎‎12‎=‎1‎‎2‎，‎ ‎∴FG=‎1‎‎3‎AG=2‎5‎．‎ ‎②如图1中，正方形ACDE中，AE=ED，∠AEF=∠DEF=45°，‎ ‎∵EF=EF，‎ ‎∴△AEF≌△DEF，‎ ‎∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x，‎ ‎∵AE∥BC，‎ ‎∴∠B=∠1=x，‎ ‎∵GF=GD，‎ 第29页（共29页）‎ ‎∴∠3=∠2=x，‎ 在△DBF中，∠3+∠FDB+∠B=180°，‎ ‎∴x+（x+90°）+x=180°，‎ 解得x=30°，‎ ‎∴∠B=30°，‎ ‎∴在Rt△ABC中，BC=ACtan30°‎=12‎3‎．‎ ‎（2）在Rt△ABC中，AB=AC‎2‎+BC‎2‎=‎1‎2‎‎2‎+‎‎9‎‎2‎=15，‎ 如图2中，当点D中线段BC上时，此时只有GF=GD，‎ ‎∵DG∥AC，‎ ‎∴△BDG∽△BCA，‎ 设BD=3x，则DG=4x，BG=5x，‎ ‎∴GF=GD=4x，则AF=15﹣9x，‎ ‎∵AE∥CB，‎ ‎∴△AEF∽△BCF，‎ ‎∴AEBC=AFBF，‎ ‎∴‎9-3x‎9‎=‎15-9x‎9x，‎ 整理得：x2﹣6x+5=0，‎ 解得x=1或5（舍弃）‎ ‎∴腰长GD为=4x=4．‎ 如图3中，当点D中线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GF=DG，设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，‎ ‎∴FG=DG=12+4x，‎ ‎∵AE∥BC，‎ ‎∴△AEF∽△BCF，‎ ‎∴AEBC=AFBF，‎ ‎∴‎3x‎9‎=‎9x+12‎‎9x+27‎，‎ 第29页（共29页）‎ 解得x=2或﹣2（舍弃），‎ ‎∴腰长DG=4x+12=20．‎ 如图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DF=DG，过点D作DH⊥FG．‎ 设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x+12，‎ ‎∴FH=GH=DG•cos∠DGB=（4x+12）×‎4‎‎5‎=‎16x+48‎‎5‎，‎ ‎∴GF=2GH=‎32x+96‎‎5‎，‎ ‎∴AF=GF﹣AG=‎7x+96‎‎5‎，‎ ‎∵AC∥DG，‎ ‎∴△ACF∽△GEF，‎ ‎∴ACEG=AFFG，‎ ‎∴‎12‎‎4x=‎7x+96‎‎5‎‎32x+96‎‎5‎，‎ 解得x=‎12‎‎14‎‎7‎或﹣‎12‎‎14‎‎7‎（舍弃），‎ ‎∴腰长GD=4x+12=‎84+48‎‎14‎‎7‎，‎ 如图5中，当点D中线段CB的延长线上时，此时只有DF=DG，作DH⊥AG于H．‎ 设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x﹣12，‎ ‎∴FH=GH=DG•cos∠DGB=‎16x-48‎‎5‎，‎ ‎∴FG=2FH=‎32x-96‎‎5‎，‎ ‎∴AF=AG﹣FG=‎96-7x‎5‎，‎ ‎∵AC∥EG，‎ ‎∴△ACF∽△GEF，‎ ‎∴ACEG=AFFG，‎ 第29页（共29页）‎ ‎∴‎12‎‎4x=‎96-7x‎5‎‎32x-96‎‎5‎，‎ 解得x=‎12‎‎14‎‎7‎或﹣‎12‎‎14‎‎7‎（舍弃），‎ ‎∴腰长DG=4x﹣12=‎-84+48‎‎14‎‎7‎，‎ 综上所述，等腰三角形△DFG的腰长为4或20或‎84+48‎‎14‎‎7‎或‎-84+48‎‎14‎‎7‎．‎ 第29页（共29页）‎ ‎　‎ 第29页（共29页）‎