备战广东数学中考————中考数学常用公式和定理大全 6页

‎2015年数学中考重要考点及较易遗忘的公式理 ‎1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：－3，，0.231，0.737373…，，．‎ ‎ 无限不环循小数叫做无理数．如：π，－，0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)．有理数和无理数统称为实数．‎ ‎2、绝对值：a≥0丨a丨＝a ； a≤0丨a丨＝－a． ‎ ‎4、把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－4.07×105， 0.000043＝4.3×10－5．‎ ‎5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2． ‎ ‎ ②(a±b)2＝a2±2ab＋b2． ③ a2＋b2＝(a＋b)2－2ab， ‎ ‎④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．‎ ‎6、幂的运算性质：①am×an＝am＋n．②am÷an＝am－n．③(am)n＝amn．④(ab)n＝anbn．⑤()n＝．⑥a－n＝(a≠0)， ⑦a0＝1(a≠0)．特别要注意指数是负的幂等于底数的倒数的正次幂 ‎7、二次根式：①()2＝a(a≥0)，②＝丨a丨，③＝×，④＝(a＞0，b≥0)．如：①(3)2＝45．②＝6．③a＜0时，＝－a．④的平方根＝4的平方根＝±2．‎ ‎（注意平方根、立方根、算术平方根的概念）‎ ‎8、一元二次方程：对于方程：ax2＋bx＋c＝0：‎ ‎①求根公式是x＝，其中△＝b2－‎4ac叫做根的判别式．‎ 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；‎ 当△＝0时，方程有两个相等的实数根；‎ 当△＜0时，方程没有实数根． 注意：当△≥0时，方程有实数根．‎ ‎②若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)．‎ ‎9、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线 当b>0时 直线交于y轴的正半轴；当b=0时直线过原点；当b<0时 直线交于y轴的负半轴．‎ 当k＞0时，y随x的增大而增大(直线过一、三象限)；当k＜0时，y随x的增大而减小(直线过二、四象限)．‎ 特别：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例，其中y与x都可以是一个整体)，图象必过原点．‎ ‎10、反比例函数y＝(k≠0)的图象叫做双曲线．‎ 当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，y随x的增大而减小)；‎ 当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，y随x的增大而增大)．因此，它的增减性与一次函数相反．‎ ‎11、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数．③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．‎ ‎（2）公式：设有n个数x1，x2，…，xn，那么：‎ ‎①平均数为：；‎ ‎③方差：数据、……, 的方差为，则=‎ 一组数据的方差越小，这组数据的波动越小，越稳定。‎ ‎12、频率与概率：‎ ‎（1）频率=，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方图中各个小长方形的面积为各组频率。‎ ‎（2）概率 ‎①如果用P表示一个事件A发生的概率，则0≤P（A）≤1；‎ P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；‎ ‎②对于完成某个实验需要2个步骤时，可以运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。‎ ‎13、锐角三角函数：‎ ‎①设∠A是Rt△ABC的任一锐角，则∠A的正弦：sinA＝，‎ ‎∠A的余弦：cosA＝，∠A的正切：tanA＝． ‎ h l α 并且sin‎2A＋cos‎2A＝1．0＜sinA＜1， 0＜cosA＜1， tanA＞0． ∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小．‎ ‎③特殊角的三角函数值：sin30º＝；cos60º＝，‎ sin45º＝；cos45º＝，sin60º＝；cos30º＝， ‎ tan30º＝，tan45º＝1，tan60º＝．‎ ‎④斜坡的坡度：（如图）i＝＝．设坡角为α，则i＝tanα＝．‎ ‎14、平面直角坐标系中的有关知识：‎ ‎（1）对称性：若直角坐标系内一点P（a，b），则P关于x轴对称的点为P1（a，－b），P关于y轴对称的点为P2（－a，b），P关于原点对称的点为P3（－a，－b）.‎ ‎15、二次函数的有关知识：‎ ‎1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.‎ ‎2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.‎ ‎ ①的符号决定抛物线的开口方向：‎ 当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.‎ ‎ ②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.‎ 几种特殊的二次函数的图像特征如下：‎ 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 ‎（轴）‎ ‎（0,0）‎ ‎（轴）‎ ‎(0, )‎ ‎(,0)‎ ‎(,)‎ ‎()‎ ‎4.求抛物线的顶点、对称轴的方法 ‎ （1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.‎ ‎ （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.‎ ‎ （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。‎ ‎ 若已知抛物线上两点（及y值相同），则对称轴可以表示为：直线 ‎9.抛物线中，的作用 ‎ （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.‎ ‎ （2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线 ‎，故：①时，对称轴为轴； ② 、同号时，对称轴在轴左侧； ③ 、异号时，对称轴在轴右侧.‎ ‎ （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.‎ ‎ 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：‎ ‎ ①，抛物线经过原点; ‎ ‎②,与轴交于正半轴；‎ ‎③,与轴交于负半轴.‎ ‎ 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .‎ ‎11.用待定系数法求二次函数的解析式 ‎ （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.‎ ‎ （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.‎ ‎ （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.‎ ‎12.直线与抛物线的交点 ‎ （1）轴与抛物线得交点为(0, ).‎ ‎ （2）抛物线与轴的交点 ‎ 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：‎ ‎ ①有两个交点()抛物线与轴有2个交点；‎ ‎ ②有一个交点（顶点在轴上）()抛物线与轴只有一个交点；‎ ‎ ③没有交点()抛物线与轴没有交点.‎ ‎ （3）平行于轴的直线与抛物线的交点 同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.‎ 当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.‎ ‎ （4）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：‎ ‎①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ‎ ‎②方程组只有一组解时与只有一个交点；‎ ‎③方程组无解时与没有交点.‎ ‎ （5）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，则 ‎ ‎1、多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)180º（n≥3，n是正整数），外角和等于360º ‎＊3、直角三角形中的射影定理：如图：Rt△ABC中，∠ACB＝90o，CD⊥AB于D，则由相似有：‎ ‎（1）（2）（3）‎ ‎4、圆的有关性质：‎ ‎（1）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：①‎ 经过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质．注：具备①，③时，弦不能是直径．‎ ‎（2）两条平行弦所夹的弧相等．‎ ‎（3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数．‎ ‎（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．‎ ‎（5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半．‎ ‎（6）同弧或等弧所对的圆周角相等．‎ ‎（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．‎ ‎（8）90º的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90º，直径是最长的弦．‎ ‎（9）圆内接四边形的对角互补．‎ ‎5、三角形的内心与外心：‎ 三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三内角角平分线的交点．它到三角形三条边的距离相等 三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心是三边垂直平分线的交点．它到三角形三个顶点的距离相等 常见结论：（1）Rt△ABC的三条边分别为：a、b、c（c为斜边），则它的内切圆的半径；‎ ‎（2）△ABC的周长为，面积为S，其内切圆的半径为r，则 ‎8、面积公式：‎ ‎①S正△＝×(边长)2．‎ ‎ ②S平行四边形＝底×高．‎ ‎③S菱形＝底×高＝×(对角线的积)，‎ ‎④S圆＝πR2．‎ ‎⑤l圆周长＝2πR．‎ ‎⑥弧长L＝．‎ ‎ ⑦ ‎ ‎⑧S圆柱侧＝底面周长×高＝2πrh，S全面积＝S侧＋S底＝2πrh＋2πr2‎ ‎⑨S圆锥侧＝×底面周长×母线＝πra（其中a为母线）， S全面积＝S侧＋S底＝πrb＋πr2‎ 圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长相当于圆锥的底面周长，半径相当于圆锥的母线 ‎1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 ‎ ‎15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 ‎ ‎27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 ‎ ‎32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 ‎ ‎43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形 ‎ 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 48. 定理 四边形的内角和等于360° 49. 四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51推论 任意多边的外角和等于360° ‎ ‎37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 ‎ ‎81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它 的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 ‎ ‎52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 61矩形性质定理2 矩形的对角线相等 62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等 65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2 67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 ‎ ‎70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 ‎74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75等腰梯形的两条对角线相等 76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 ‎83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d ‎ ‎91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似 ‎92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 ‎94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似 ‎93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ‎96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比 97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 ‎ ‎109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆 ‎121①直线L和⊙O相交 d＜r ②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 d＞r ‎ ‎122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 （若有交点则连接圆心与切点，证明垂直； 若没有交点则作垂直，证明它与半径相等）‎ ‎123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 ‎ ‎124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 ‎ ‎125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 ‎ ‎139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n ‎