河北省中考数学真题试卷含解析 22页

‎2019年河北省中考数学试卷 一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．下列图形为正多边形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．规定：（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作（　　）‎ A．+3 B．﹣3 C．﹣ D．+‎ ‎3．如图，从点C观测点D的仰角是（　　）‎ A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC ‎4．语句“x的与x的和不超过5”可以表示为（　　）‎ A．+x≤5 B．+x≥5 C．≤5 D．+x＝5‎ ‎5．如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（　　）‎ A．30° B．25° C．20° D．15°‎ ‎6．小明总结了以下结论：‎ ‎①a（b+c）＝ab+ac；‎ ‎②a（b﹣c）＝ab﹣ac；‎ ‎③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0）；‎ ‎④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0）‎ 其中一定成立的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容 则回答正确的是（　　）‎ A．◎代表∠FEC B．@代表同位角 ‎ C．▲代表∠EFC D．※代表AB ‎8．一次抽奖活动特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（　　）‎ A．5×10﹣4 B．5×10﹣5 C．2×10﹣4 D．2×10﹣5‎ ‎9．如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（　　）‎ A．10 B．6 C．3 D．2‎ ‎10．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：‎ ‎①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 ‎②去图书馆收集学生借阅图书的记录 ‎③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 ‎④整理借阅图书记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是（　　）‎ A．②→③→①→④ B．③→④→①→②‎ C．①→②一④→③ D．②→④→③→①‎ ‎12．如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是（　　）‎ A．点M B．点N C．点P D．点Q ‎13．如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（　　）‎ A．段① B．段② C．段③ D．段④‎ ‎14．图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯＝（　　）‎ A．x2+3x+2 B．x2+2 C．x2+2x+1 D．2x2+3x ‎15．小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（　　）‎ A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 ‎ C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根 ‎16．对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．‎ 甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13．‎ 乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．‎ 丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n＝13．‎ 下列正确的是（　　）‎ A．甲的思路错，他的n值对 ‎ B．乙的思路和他的n值都对 ‎ C．甲和丙的n值都对 ‎ D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对 二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分：18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上）‎ ‎17．若7﹣2×7﹣1×70＝7p，则p的值为　 　．‎ ‎18．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．‎ 示例：即4+3＝7‎ 则（1）用含x的式子表示m＝　 　；‎ ‎（2）当y＝﹣2时，n的值为　 　．‎ ‎19．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．‎ ‎（1）A，B间的距离为　 　km；‎ ‎（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为　 　km．‎ 三、解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎20．（8分）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．‎ ‎（1）计算：1+2﹣6﹣9；‎ ‎（2）若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；‎ ‎（3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．‎ ‎21．（9分）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．‎ 尝试 化简整式A．‎ 发现 A＝B2，求整式B．‎ 联想 由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：‎ 直角三角形三边 n2﹣1‎ ‎2n B 勾股数组Ⅰ ‎/‎ ‎8‎ ‎　 　‎ 勾股数组Ⅱ ‎35‎ ‎/‎ ‎　 　‎ ‎22．（9分）某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种．从中随机拿出一个球，已知P（一次拿到8元球）＝．‎ ‎（1）求这4个球价格的众数；‎ ‎（2）若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练．‎ ‎①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；‎ ‎②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到8元球的概率．‎ 又拿 先拿 ‎23．（9分）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．‎ ‎（1）求证：∠BAD＝∠CAE；‎ ‎（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；‎ ‎（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．‎ ‎24．（10分）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）．‎ ‎（1）当v＝2时，解答：‎ ‎①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；‎ ‎②当甲赶到排头位置时，求S的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）‎ ‎（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．‎ ‎25．（10分）如图1和2，▱ABCD中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝．点P为AB延长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP＝x．‎ ‎（1）如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关系；‎ ‎（2）当x＝4时，如图2，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小；‎ ‎（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围．‎ ‎26．（12分）如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y＝﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．‎ ‎（1）若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；‎ ‎（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；‎ ‎（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；‎ ‎（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．‎ ‎2019年河北省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，‎ 故选：D．‎ ‎2．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作﹣3．‎ 故选：B．‎ ‎3．【解答】解：∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，‎ ‎∴从点C观测点D的仰角是∠DCE，‎ 故选：B．‎ ‎4．【解答】解：“x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5．‎ 故选：A．‎ ‎5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝150°，‎ ‎∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1，‎ ‎∴∠BAD+∠D＝180°，‎ ‎∴∠BAD＝180°﹣150°＝30°，‎ ‎∴∠1＝15°；‎ 故选：D．‎ ‎6．【解答】解：①a（b+c）＝ab+ac，正确；‎ ‎②a（b﹣c）＝ab﹣ac，正确；‎ ‎③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0），正确；‎ ‎④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0），错误，无法分解计算．‎ 故选：C．‎ ‎7．【解答】证明：延长BE交CD于点F，‎ 则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．‎ 又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC．‎ 故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．‎ 故选：C．‎ ‎8．【解答】解：＝0.00002＝2×10﹣5．‎ 故选：D．‎ ‎9．【解答】解：如图所示，n的最小值为3，‎ 故选：C．‎ ‎10．【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．‎ 故选：C．‎ ‎11．【解答】解：由题意可得，‎ 正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类，‎ 故选：D．‎ ‎12．【解答】解：由已知可知函数y＝关于y轴对称，‎ 所以点M是原点；‎ 故选：A．‎ ‎13．【解答】解∵﹣＝﹣＝1﹣＝‎ 又∵x为正整数，‎ ‎∴≤x＜1‎ 故表示﹣的值的点落在②‎ 故选：B．‎ ‎14．【解答】解：∵S主＝x2+2x＝x（x+2），S左＝x2+x＝x（x+1），‎ ‎∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，‎ 则俯视图的面积S俯＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2，‎ 故选：A．‎ ‎15．【解答】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，‎ ‎∴（﹣1）2﹣4+c＝0，‎ 解得：c＝3，‎ 故原方程中c＝5，‎ 则b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，‎ 则原方程的根的情况是不存在实数根．‎ 故选：A．‎ ‎16．【解答】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n＝14；‎ 乙的思路与计算都正确；‎ 丙的思路错误，图示情况不是最长；‎ 故选：B．‎ 二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分：18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上）‎ ‎17．【解答】解：∵7﹣2×7﹣1×70＝7p，‎ ‎∴﹣2﹣1+0＝p，‎ 解得：p＝﹣3．‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎18．【解答】解：（1）根据约定的方法可得：‎ m＝x+2x＝3x；‎ 故答案为：3x；‎ ‎（2）根据约定的方法即可求出n x+2x+2x+3＝m+n＝y．‎ 当y＝﹣2时，5x+3＝﹣2．‎ 解得x＝﹣1．‎ ‎∴n＝2x+3＝﹣2+3＝1．‎ 故答案为：1．‎ ‎19．【解答】解：（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，‎ ‎∴AB＝12﹣（﹣8）＝20；‎ ‎（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，‎ 由（1）可知：CE＝1﹣（﹣17）＝18，‎ AE＝12，‎ 设CD＝x，‎ ‎∴AD＝CD＝x，‎ 由勾股定理可知：x2＝（18﹣x）2+122，‎ ‎∴解得：x＝13，‎ ‎∴CD＝13，‎ 故答案为：（1）20；（2）13；‎ 三、解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎20．【解答】解：（1）1+2﹣6﹣9‎ ‎＝3﹣6﹣9‎ ‎＝﹣3﹣9‎ ‎＝﹣12；‎ ‎（2）∵1÷2×6□9＝﹣6，‎ ‎∴1××6□9＝﹣6，‎ ‎∴3□9＝﹣6，‎ ‎∴□内的符号是“﹣”；‎ ‎（3）这个最小数是﹣20，‎ 理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，‎ ‎∴1□2□6的结果是负数即可，‎ ‎∴1□2□6的最小值是1﹣2×6＝﹣11，‎ ‎∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9＝﹣20，‎ ‎∴这个最小数是﹣20．‎ ‎21．【解答】解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，‎ ‎∵A＝B2，B＞0，‎ ‎∴B＝n2+1，‎ 当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝15；‎ 当n2﹣1＝35时，n2+1＝37．‎ 故答案为：15；37‎ ‎22．【解答】解：（1）∵P（一次拿到8元球）＝，‎ ‎∴8元球的个数为4×＝2（个），按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9，‎ ‎∴这4个球价格的众数为8元；‎ ‎（2）①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同；理由如下：‎ 原来4个球的价格按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9，‎ ‎∴原来4个球价格的中位数为＝8（元），‎ 所剩的3个球价格为8，8，9，‎ ‎∴所剩的3个球价格的中位数为8元，‎ ‎∴所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同；‎ ‎②列表如图所示：共有9个等可能的结果，乙组两次都拿到8元球的结果有4个，‎ ‎∴乙组两次都拿到8元球的概率为．‎ ‎23．【解答】解：（1）在△ABC和△ADE中，（如图1）‎ ‎∴△ABC≌△ADE（SAS）‎ ‎∴∠BAC＝∠DAE 即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE ‎∴∠BAD＝∠CAE．‎ ‎（2）∵AD＝6，AP＝x，‎ ‎∴PD＝6﹣x 当AD⊥BC时，AP＝AB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3为PD的最大值．‎ ‎（3）如图2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°，‎ ‎∵AB⊥AC ‎∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α，‎ ‎∵I为△APC的内心 ‎∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，‎ ‎∴∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA ‎∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）‎ ‎＝180°﹣（∠PAC+∠PCA）‎ ‎＝180°﹣（90°﹣α+60°）‎ ‎＝α+105°‎ ‎∵0＜α＜90°，‎ ‎∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，‎ ‎∴m＝105，n＝150．‎ ‎24．【解答】解：（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），‎ ‎∴S头＝2t+300‎ ‎②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150 s，此时S头＝2t+300＝600 m 甲返回时间为：（t﹣150）s ‎∴S甲＝S头﹣S甲回＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200；‎ 因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲＝﹣4t+1200．‎ ‎（2）T＝t追及+t返回＝+＝，‎ 在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v×（T﹣150）＝v×（﹣﹣150）＝400﹣150v；‎ 因此T与v的函数关系式为：T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为（400﹣150v）m．‎ ‎25．【解答】解：（1）如图1，AP经过圆心O，∵CP与⊙O相切于P，‎ ‎∴∠APC＝90°，‎ ‎∵▱ABCD，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠PBC＝∠DAB ‎∴＝tan∠PBC＝tan∠DAB＝，设CP＝4k，BP＝3k，由CP2+BP2＝BC2，‎ 得（4k）2+（3k）2＝152，解得k1＝﹣3（舍去），k2＝3，‎ ‎∴x＝BP＝3×3＝9，‎ 故当x＝9时，圆心O落在AP上；‎ ‎∵AP是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AEP＝90°，‎ ‎∴PE⊥AD，‎ ‎∵▱ABCD，‎ ‎∴BC∥AD ‎∴PE⊥BC ‎（2）如图2，过点C作CG⊥AP于G，‎ ‎∵▱ABCD，‎ ‎∴BC∥AD，‎ ‎∴∠CBG＝∠DAB ‎∴＝tan∠CBG＝tan∠DAB＝，‎ 设CG＝4m，BG＝3m，由勾股定理得：（4m）2+（3m）2＝152，解得m＝3，‎ ‎∴CG＝4×3＝12，BG＝3×3＝9，PG＝BG﹣BP＝9﹣4＝5，AP＝AB+BP＝3+4＝7，‎ ‎∴AG＝AB+BG＝3+9＝12‎ ‎∴tan∠CAP＝＝＝1，‎ ‎∴∠CAP＝45°；‎ 连接OP，OQ，过点O作OH⊥AP于H，则∠POQ＝2∠CAP＝2×45°＝90°，PH＝AP＝，‎ 在Rt△CPG中，＝＝13，‎ ‎∵CP是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OPC＝∠OHP＝90°，∠OPH+∠CPG＝90°，∠PCG+∠CPG＝90°‎ ‎∴∠OPH＝∠PCG ‎∴△OPH∽△PCG ‎∴，即PH×CP＝CG×OP，×13＝12OP，‎ ‎∴OP＝‎ ‎∴劣弧长度＝＝，‎ ‎∵＜2π＜7‎ ‎∴弦AP的长度＞劣弧长度．‎ ‎（3）如图3，⊙O与线段AD只有一个公共点，即圆心O位于直线AB下方，且∠OAD≥90°，‎ 当∠OAD＝90°，∠CPM＝∠DAB时，此时BP取得最小值，过点C作CM⊥AB于M，‎ ‎∵∠DAB＝∠CBP，‎ ‎∴∠CPM＝∠CBP ‎∴CB＝CP，‎ ‎∵CM⊥AB ‎∴BP＝2BM＝2×9＝18，‎ ‎∴x≥18‎ ‎26．【解答】解：（1）当x＝0吋，y＝x﹣b＝﹣b，‎ ‎∴B （0，﹣b），‎ ‎∵AB＝8，而A（0，b），‎ ‎∴b﹣（﹣b）＝8，‎ ‎∴b＝4．‎ ‎∴L：y＝﹣x2+4x，‎ ‎∴L的对称轴x＝2，‎ 当x＝2吋，y＝x﹣4＝﹣2，‎ ‎∴L的对称轴与a的交点为（2，﹣2 ）；‎ ‎ （2）y＝﹣（x﹣）2+，‎ ‎∴L的顶点C（）‎ ‎∵点C在l下方，‎ ‎∴C与l的距离b﹣＝﹣（b﹣2）2+1≤1，‎ ‎∴点C与1距离的最大值为1；‎ ‎（3）由題意得，即y1+y2＝2y3，‎ ‎ 得b+x0﹣b＝2（﹣x02+bx0）‎ 解得x0＝0或x0＝b﹣．但x0#0，取x0＝b﹣，‎ 对于L，当y＝0吋，0＝﹣x2+bx，即0＝﹣x（x﹣b），‎ 解得x1＝0，x2＝b，‎ ‎∵b＞0，‎ ‎∴右交点D（b，0）．‎ ‎∴点（x0，0）与点D间的距离b﹣（b﹣）＝‎ ‎（4）①当b＝2019时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019x ‎ 直线解析式a：y＝x﹣2019‎ 联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019，‎ ‎∴可知每一个整数x的值 都对应的一个整数y值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数；‎ ‎∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，‎ ‎∴线段和抛物线上各有2021个整数点 ‎∴总计4042个点，‎ ‎∵这两段图象交点有2个点重复重复，‎ ‎∴美点”的个数：4042﹣2＝4040（个）；‎ ‎②当b＝2019.5时，‎ 抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019.5x，‎ 直线解析式a：y＝x﹣2019.5，‎ 联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019.5，‎ ‎∴当x取整数时，在一次函数y＝x﹣2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0；‎ 在二次函数y＝﹣x2+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知﹣1到2019.5之 间有1010个偶数，因此“美点”共有1010个．‎ 故b＝2019时“美点”的个数为4040个，b＝2019.5时“美点”的个数为1010个．‎