中考中的几何证明专题 13页

中考中几何证明专题 ‎ ‎【目标，决定命运】‎ ‎ 有什么样的目标，就有什么样的人生。有人做了一个实验，把一只跳骚放在广口瓶中，用透明的盖子盖上。跳骚在瓶子里不停的跳动，并撞到了盖子。经过数次的撞盖子后，跳骚不再跳到足以撞到盖子的高度了。实验职员拿掉盖子，固然跳骚继续在跳，但不会跳出广口瓶以外。由于跳骚已经调节了自己跳的高度，而且适应这种情况，不再改变。人也是一样：有什么样的目标就有什么样的人生。尽管很多人都明白自己该做些什么，但是目标的局限性束缚了他的才能。还有就是安于现状，缺少了奋斗和进取的精神。‎ 一、 知识点回顾 ‎1、你能证明它吗？‎ ‎（1）三角形全等的性质及判定 性质：全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、‎ ‎（2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）‎ 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）‎ 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）‎ ‎（3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。‎ 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。‎ ‎（4）含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。‎ ‎2、直角三角形 ‎（1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。‎ 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。‎ ‎（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。‎ ‎（3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）‎ ‎3、线段的垂直平分线 ‎（1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。‎ 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。‎ ‎（2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。‎ ‎（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。‎ ‎4、角平分线 ‎（1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；‎ 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。‎ ‎（2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。‎ ‎（3）如何用尺规作图法作出角平分线 ‎5、平行四边行 ‎（1）平行四边形的定义、性质及判定 定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形 性质：平行四边形的对边分别平行；平行四边形的对边分别相等；平行四边形的对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分。‎ 判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边行。‎ ‎（2）等腰梯形的性质及判定 性质：等腰梯形在同一底上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。‎ 判定：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形。‎ ‎（3）三角形中位线定义及性质 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。‎ 性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。‎ ‎6、特殊图形的证明 名称 性质 判定 矩 形 1、 矩形的对边平行且相等，对角相等，四个角都是直角 2、 矩形的对角线互相平分且相等 ①有一个角是直角的平行四边形是矩形②有三个角是直角的四边形是矩形③对角线相等的四边形是矩形④对角线互相平分且相等的四边形是矩形 菱 形 1、 菱形的四条边都相等 2、 菱形的对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角 ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形②四条边都相等的四边形是菱形③对角线互相垂直的平行四边形是菱形④对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 正 方 形 1、 正方形的四条边都相等，四个角都是直角 2、 正方形的对角线互相垂直、平分且相等，且每条对角线平分一组对角 ①一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形是正方形②一组邻边相等的矩形是正方形③有一个角是直角的菱形是正方形④对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形 ‎ 圆 1、 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心 2、 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径③‎ 1、 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 一、 ‎ 专题讲解 考点1 直角三角形的判定 ‎【例1】如图，△ABC 中，CD 为AB 边上的中线，CD=AB．求证：△ABC 是直角三角形．‎ 考点2 等腰三角形的判定 ‎【例2】如图 ，已知△ABC 中，∠B=90°，AB=BC，BD=CE，M 是AC 边的中点．求证：△DEM 是等腰三角形．‎ 如图，△ABC 中，AB=AC，BD、CF 分别平分∠B、∠C 且AG⊥BD，垂足为G，AH⊥CE 于F 交BC 于H．‎ 求证：(1)△AFG 为等腰三角形．‎ ‎(2)△CAH 是等腰三角形 考点3 证明角的和、差、倍、分、相等关系关系 ‎【例3】如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，M 为AC的中点，AD⊥BM．‎ 求证：∠CMD=∠MBD+∠MCD A ‎1、已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C C D B ‎2、以的、为边向三角形外作等边、，连结、相交于点．求证：平分．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点4 线段的和、差、倍、分、相等关系 ‎ ‎【例4】如图，已知△ABC 为等边三角形，延长BC到D，延BA到E，使AE=BD，连结CE、DE．求证：CE=DE．‎ ‎1、如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=AC，BD 是∠ABC的平分线，AE⊥BD，垂足为E，求证：BD=2AE ‎ ‎ ‎2、如图 ，AB=AC，DB=DC，E 是AD 延长线上的一点．求证：BE=CE．‎ 考点5 线段倍差关系 ‎【例5】如图，已知△ABC 中，AB=AC，∠A=100°，∠B 的平分线交AC 于D求证：AD+BD=BC ‎1．已知三角形ABC 中，∠A=90°，AB=AC，∠B 的平分线交AC 于D．求证：AD+AB=BC 一般性：已知△ABC 中，∠A=2∠B，∠B 的平分线交AC 于D，求证∴AD+AB=BC ‎2．已知△ABC 中，∠A=108°，AB=AC，∠B 的平分线交AC 于D，求证：AB+CD=BC．‎ ‎3．已知△ABC 中，∠A=120°，AB=AC，∠B 的平分线交AC 于D，求证：AB+2AD=BC．‎ 一、 巩固练习 ‎（1）填空、‎ ‎1、△ABC中，AB=AC ，AB的中垂线交于AC于D，∠DBC=∠ABD，则∠BAC= ，‎ ‎2、已知△ABC 中，m 是BC 边上的中线，AB=8，AC=6，则中线m 的取值范围是 ．‎ ‎（2）解答题 ‎3、已知如图，AD 是△ABC 的角平分线交BC 于D，EF 是AD 的垂直平分线交BC 的延长线于点F．求证：∠BAF=∠ACF．‎ ‎4、如图3-110，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，BE=EC，过E 作GH ‎⊥AD，交AC、AD 和AB 的延长线于H、F、G，求证：AC-AB=2BG．‎ 一、 拓展训练 ‎ 5、如图3-101，以Rt△ABC 的两直角边AC、BC 为边向外作等边三角形ACE 和等边△BCF，BE 和AF 相交于点D．求证：EC、FC 是△DEF 的内角平分线．‎ 五、 反思总结 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线 !‎ 1、 过分点做平行线 2、 梯形中辅助线的添法 1、 等腰三角形三线合一 ‎4、截长补短 当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功）‎ ‎1、（10分）（2012•成都）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．‎ ‎（1）求证：KE=GE；‎ ‎（2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．‎ ‎ ‎ ‎2、(本小题满分1 0分)已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥ A C，垂足为K。过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．‎ ‎(1)求证：AE=CK；‎ ‎ (2)如果AB=，AD= (为大于零的常数)，求BK的长：‎ ‎(3)若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．‎ ‎3、（2010年四川成都，27，10分）已知：如图，内接于，为直径，弦　于，是弧AD的中点，连结并延长交的延长线于点，连结，分别交、于点、．‎ ‎（1）求证：是的外心；‎ ‎ （2）若,求的长；‎ ‎（3）求证：．‎ ‎ ‎