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- 2021-05-10 发布
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江苏省13市2015年中考数学压轴题
1. (2015年江苏连云港3分)如图是本地区一种产品30天的销售图象,图①是产品日销售量y(单位:件)与时间t(单位;天)的函数关系,图②是一件产品的销售利润z(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关系,已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润,下列结论错误的是【 】
A. 第24天的销售量为200件 B. 第10天销售一件产品的利润是15元
C. 第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D. 第30天的日销售利润是750元
2. (2015年江苏南京2分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点,过点D作⊙O的切线交BC于点M,则DM的长为【 】
A. B. C. D.
3. (2015年江苏苏州3分)如图,在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站,AB=2km,从A测得船C在北偏东45°的方向,从B测得船C在北偏东22.5°的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为【 】
A.km B.km C.km D.km
4. (2015年江苏泰州3分)如图,△中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交 AC、AD、AB于点E、O、F,则图中全等的三角形的对数是【 】
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
5. (2015年江苏无锡3分)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90º,AC=3,BC=4,将边AC沿CE翻折,使点A落在AB上的点D处;再将边BC沿CF翻折,使点B落在CD的延长线上的点B′处,两条折痕与斜边AB分别交于点E、F,则线段B′F的长为【 】
A. B. C. D.
6. (2015年江苏徐州3分)若函数的图像如图所示,则关于的不等式的解集为【 】
A. B. C. D.
7. (2015年江苏盐城3分)如图,在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG,动点P从点A出发,沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B),则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图像大致为【 】
A. B. C. D.
8. (2015年江苏扬州3分)已知x=2是不等式的解,且x=1不是这个不等式的解,则实数的取值范围是【 】
A. B. C. D.
9. (2015年江苏常州2分)将一张宽为4cm的长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形,重叠部分是一个三角形,则这个三角形面积的最小值是【 】
A. cm2 B.8 cm2 C. cm2 D. 16cm2
10. (2015年江苏淮安3分)如图,l1∥l2∥l3,直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F,若,DE=4,则EF的长是【 】
A. B. C. D.
11. (2015年江苏南通3分)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,弦AD平分∠BAC,交BC于点E,AB=6,AD=5,则AE的长为【 】
A. 2.5 B. 2.8 C. 3 D. 3.2
12. (2015年江苏宿迁3分)在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(3,0),点P在反比例函数的图象上,若△PAB为直角三角形,则满足条件的点P的个数为【 】
A. 2个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
13. (2015年江苏镇江3分)如图,坐标原点O为矩形ABCD的对称中心,顶点A的坐标为(1,t),AB∥x轴,矩形与矩形ABCD是位似图形,点O为位似中心,点A′,B′分别是点A,B的对应点,.已知关于x,y的二元一次方程(m,n是实数)无解,在以m,n为坐标(记为(m,n))的所有的点中,若有且只有一个点落在矩形的边上,则的值等于【 】
A. B. C. D.
1. (2015年江苏连云港3分)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=90°,直线l1∥l2∥l3,l1与l2之间距离是1,l2与l3之间距离是2,且l1,l2,l3分别经过点A,B,C,则边AC的长为 ▲ .
2. (2015年江苏南京2分)如图,过原点O的直线与反比例函数y1,y2的图象在第一象限内分别交于点A、B,且A为OB的中点,若函数,则y2与x的函数表达式是 ▲ .
3. (2015年江苏苏州3分)如图,四边形ABCD为矩形,过点D作对角线BD的垂线,交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF,DF=4.设AB=x,AD=y,则的值为 ▲ .
4. (2015年江苏泰州3分)如图, 矩形中,AB=8,BC=6,P为AD上一点, 将△ABP 沿BP翻折至△EBP, PE与CD相交于点O,且OE=OD,则AP的长为 ▲ .
5. (2015年江苏无锡2分)某商场在“五一”期间举行促销活动,根据顾客按商品标价一次性购物总额,规定相应的优惠方法:①如果不超过500元,则不予优惠;②如果超过500元,但不超过800元,则按购物总额给予8折优惠;③如果超过800元,则其中800元给予8折优惠,超过800元的部分给予6折优惠.促销期间,小红和她母亲分别看中一件商品,若各自单独付款,则应分别付款480元和520元;若合并付款,则她们总共只需付款 ▲ 元.
6. (2015年江苏徐州3分)用一个圆心角为90°,半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面,该圆锥底面圆的半径 ▲ .
7. (2015年江苏盐城3分)设△ABC的面积为1,如图①将边BC、AC分别2等份,、相交于点O,△AOB的面积记为;如图②将边BC、AC分别3等份,、相交于点O,△AOB的面积记为;……, 依此类推,则可表示为 ▲ .(用含的代数式表示,其中为正整数)
8. (2015年江苏扬州3分)如图,已知△ABC的三边长为,且,若平行于三角形一边的直线将△ABC的周长分成相等的两部分,设图中的小三角形①、②、③的面积分别为,则的大小关系是 ▲ (用“<”号连接).
9. (2015年江苏常州2分)如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD=60°,点C为弧BD的中点,则AC的长是 ▲ .
10. (2015年江苏淮安3分)将连续正整数按如下规律排列:
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
1
2
3
4
第2行
8
7
6
5
第3行
9
10
11
12
第4行
16
15
14
13
第5行
17
18
19
20
………
若正整数565位于第行,第列,则= ▲ .
11. (2015年江苏南通3分)关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间(不包括﹣1和0),则a的取值范围是 ▲ .
12. (2015年江苏宿迁3分)当x=m或x=n(m≠n)时,代数式的值相等,则x=m+n时,代数式的值为 ▲ .
13. (2015年江苏镇江2分)如图,△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等三角形,AB=AC=3cm,BC=2cm,将△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D1B1C1,连接AC1,BD1.如果四边形ABD1C1是矩形,那么平移的距离为 ▲ cm.
1. (2015年江苏连云港12分)在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为的正方形AEFG按图1位置放置,AD与AE在同一直线上,AB与AG在同一直线上.
(1)小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由.
(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长.
(3)如图3,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转,将线段DG与线段BE相交,交点为H,写出△GHE与△BHD面积之和的最大值,并简要说明理由.
2. (2015年江苏连云港14分)如图,已知一条直线过点(0,4),且与抛物线交于A,B两点,其中点A的横坐标是﹣2.
(1)求这条直线的函数关系式及点B的坐标.
(2)在x轴上是否存在点C,使得△ABC是直角三角形?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)过线段AB上一点P,作PM∥x轴,交抛物线于点M,点M在第一象限,点N(0,1),当点M的横坐标为何值时,MN+3MP的长度最大?最大值是多少?
3. (2015年江苏南京8分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,BC的延长线与AD的延长线交于点E,且DC=DE.
(1)求证:∠A=∠AEB.
(2)连接OE,交CD于点F,OE⊥CD.求证:△ABE是等边三角形.
4. (2015年江苏南京10分)某企业生产并销售某种产品,假设销售量与产量相等.下图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单元:元)、销售价y2(单位:元)与产量x(单位:kg)之间的函数关系.
(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义.
(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式.
(3)当该产品产量为多少时,获得的利润最大?最大利润是多少?
5. (2015年江苏苏州10分)如图,已知二次函数(其中0<m<1)的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴为直线l.设P为对称轴l上的点,连接PA、PC,PA=PC.
(1)∠ABC的度数为 ▲ °;
(2)求P点坐标(用含m的代数式表示);
(3)在坐标轴上是否存在点Q(与原点O不重合),使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似,且线段PQ的长度最小?如果存在,求出所有满足条件的点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
6. (2015年江苏苏州10分)如图,在矩形ABCD中,AD=acm,AB=bcm(a>b>4),半径为2cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切.现有动点P从A点出发,在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动,当点P到达D点时停止移动;⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移,移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回,当⊙O回到出发时的位置(即再次与AB相切)时停止移动.已知点P与⊙O同时开始移动,同时停止移动(即同时到达各自的终止位置).
(1)如图①,点P从A→B→C→D,全程共移动了 ▲ cm(用含a、b的代数式表示);
(2)如图①,已知点P从A点出发,移动2s到达B点,继续移动3s,到达BC的中点.若点P与⊙O的移动速度相等,求在这5s时间内圆心O移动的距离;
(3)如图②,已知a=20,b=10.是否存在如下情形:当⊙O到达⊙O1的位置时(此时圆心O1在矩形对角线
BD上),DP与⊙O1恰好相切?请说明理由.
7. (2015年江苏泰州12分)如图,正方形ABCD的边长为8cm,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 上的动点,且AE=BF=CG=DH.
(1)求证:四边形EFGH是正方形;
(2)判断直线EG是否经过一个定点,并说明理由;
(3)求四边形EFGH面积的最小值.
8. (2015年江苏泰州14分)已知一次函数的图像与 轴、轴分别相交于点A、B,点P在该函数图像上, P到轴、轴的距离分别为、.
(1)当P为线段AB的中点时,求的值;
(2)直接写出的范围,并求当时点P的坐标;
(3)若在线段AB 上存在无数个P点,使(为常数), 求的值.
9. (2015年江苏无锡10分)一次函数的图像如图所示,它与二次函数的图像交于A、B两点(其中点A在点B的左侧),与这个二次函数图像的对称轴交于点C.
(1)求点C的坐标;
(2)设二次函数图像的顶点为D.
①若点D与点C关于x轴对称,且△ACD的面积等于3,求此二次函数的关系式;
②若CD=AC,且△ACD的面积等于10,求此二次函数的关系式.
10. (2015年江苏无锡10分)如图,C为∠AOB的边OA上一点,OC=6,N为边OB上异于点O的一动点,P是线段05上一点,过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q,PM∥OB交OA于点M.
(1)若∠AOB=60º,OM=4,OQ=1,求证:05⊥OB;
(2)当点N在边OB上运动时,四边形OMPQ始终保持为菱形;
①问:的值是否发生变化?如果变化,求出其取值范围;如果不变,请说明理由;
②设菱形OMPQ的面积为S1,△NOC的面积为S2,求的取值范围.
11. (2015年江苏徐州8分)为加强公民的节水意识,合理利用水资源。某市对居民用水实行阶梯水价,居民家庭每月用水量划分为三个阶梯,一、二、三级阶梯用水的单价之比等于1︰1.5︰2. 下图折线表示实行阶梯水价后每月水费y(元)与用水量xm³之间的函数关系. 其中线段AB表示第二级阶梯时y与x之间的函数关系.
(1)写出点B的实际意义;
(2)求线段AB所在直线的表达式;
(3)某户5月份按照阶梯水价应缴水费102元,其相应用水量为多少立方米?
12. (2015年江苏徐州12分)如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆,B为半圆上一点,连接AB并延长至C,使BC=AB,过C作CD⊥x轴于点D,交线段OB于点E,已知CD=8,抛物线经过O、E、A三点.
(1)∠OBA= ▲ °;
(2)求抛物线的函数表达式;
(3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点,以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S,则S取何值时,相应的点P有且只有3个?
13. (2015年江苏盐城12分)
知识迁移
我们知道,函数的图像是由二次函数的图像向右平移m个单位,再向上平移n个单位得到.类似地,函数的图像是由反比例函数的图像向右平移m个单位,再向上平移n个单位得到,其对称中心坐标为(m,n).
理解应用
函数的图像可以由函数的图像向右平移 ▲ 个单位,再向上平移
▲ 个单位得到,其对称中心坐标为 ▲ .
灵活运用
如图,在平面直角坐标系xOy中,请根据所给的的图像画出函数的图像,并根据该图像指出,当x在什么范围内变化时,?
实际应用
某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究.假设刚学完新知识时的记忆存留量为1.新知识学习后经过的时间为x,发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为;若在(≥4)时进行一次复习,发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍(复习时间忽略不计),且复习后的记忆存留量随x变化的函数关系为.如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”,且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的,那么当x为何值时,是他第二次复习的“最佳时机点”?
14. (2015年江苏盐城12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,将抛物线的对称轴绕着点P(,2)顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点,点Q是该抛物线上的一点.
(1)求直线AB的函数表达式;
(2)如图①,若点Q在直线AB的下方,求点Q到直线AB的距离的最大值;
(3)如图②,若点Q在y轴左侧,且点T(0,t)(t<2)是直线PO上一点,当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时,求所有满足条件的t的值.
15. (2015年江苏扬州12分)科研所计划建一幢宿舍楼,因为科研所实验中会产生辐射,所以需要有两项配套工程:①在科研所到宿舍楼之间修一条笔直的道路;②对宿舍楼进行防辐射处理,已知防辐射费万元与科研所到宿舍楼的距离之间的关系式为:,当科研所到宿舍楼的距离为1时,防辐射费用为720万元;当科研所到宿舍楼的距离为9或大于9时,辐射影响忽略不计,不进行防辐射处理,设每公里修路的费用为万元,配套工程费=防辐射费+修路费.
(1)当科研所到宿舍楼的距离为时,防辐射费= ▲ 万元; ▲ , ▲ ;
(2)若每公里修路的费用为90万元,求当科研所到宿舍楼的距离为多少时,配套工程费最少?
(3)如果配套工程费不超过675万元,且科研所到宿舍楼的距离小于9,求每公里修路费用
万元的最大值.
16. (2015年江苏扬州12分)如图,直线⊥线段于点,点在上,且,点是直线上的动点,作点关于直线的对称点,直线与直线相交于点,连接.
(1)如图1,若点与点重合,则= ▲ °,线段与的比值为 ▲ ;
(2)如图2,若点与点不重合,设过三点的圆与直线相交于,连接.
求证:①;②;
(3)如图3,,则满足条件的点都在一个确定的圆上,在以下两小题中选做一题:
①如果你能发现这个确定圆的圆心和半径,那么不必写出发现过程,只要证明这个圆上的任意一点Q,都满足QA=2QB;
②如果你不能发现这个确定圆的圆心和半径,那么请取几个特殊位置的点,如点在直线上、点与点重合等进行探究,求这个圆的半径.
17. (2015年江苏常州10分)如图,一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,过点A作x轴的垂线l,点P为直线l上的动点,点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点,点P、Q与点A都不重合.
(1)写出点A的坐标;
(2)当点P在直线l上运动时,是否存在点P使得△OQB与△APQ全等?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
(3)若点M在直线l上,且∠POM=90°,记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2,求的值.
18. (2015年江苏常州10分)如图,反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B,点B的横坐标是4.点P是第一象限内反比例函数图象上的动点,且在直线AB的上方.
(1)若点P的坐标是(1,4),直接写出k的值和△PAB的面积;
(2)设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N,求证:△PMN是等腰三角形;
(3)设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点(与点P、B不重合),连接AQ、BQ,比较∠PAQ与∠PBQ的大小,并说明理由.
19. (2015年江苏淮安12分)
阅读理解:
如图①,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=900,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.
将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示的形状,再展开得到图③,其中CE、CF为折痕,∠BCD=∠ECF=∠FCD,点B′为点B的对应点,点D′为点D的对应点,连接EB′、FD′相交于点O.
简单应用:
(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中,一定为“完美筝形”的是 ▲ ;
(2)当图③中的时,∠AEB′= ▲ °;
(3)当图②中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有 ▲ 个(包含四边形ABCD).
拓展提升:
当图中的时,连接AB′,请探求∠AB′E的度数,并说明理由.
20. (2015年江苏淮安12分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8. 动点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动;同时,动点N从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动. 过线段MN的中点G作边AB的垂线,垂足为点G,交△ABC的另一边于点P,连接PM、PN,当点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动,设运动时间为t秒.
(1)当t= ▲ 秒时,动点M、N相遇;
(2)设△PMN的面积为S,求S与t之间的函数关系式;
(3)取线段PM的中点K,连接KA、KC,在整个运动过程中,△KAC的面积是否变化?若变化,直接写出它的最大值和最小值;若不变化,请说明理由.
21. (2015年江苏南通13分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,BC=9,点P,Q分别在BC,AC上,CP=3x,CQ=4x(0<x<3).把△PCQ绕点P旋转,得到△PDE,点D落在线段PQ上.
(1)求证:PQ∥AB;
(2)若点D在∠BAC的平分线上,求CP的长;
(3)若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T,且12≤T≤16,求x的取值范围.
22. (2015年江苏南通13分)已知抛物线(m是常数)的顶点为P,直线.
(1)求证:点P在直线l上;
(2)当m=﹣3时,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,与直线l的另一个交点为Q,M是x轴下方抛物线上的一点,∠ACM=∠PAQ(如图),求点M的坐标;
(3)若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的m的值.
23. (2015年江苏宿迁10分)已知:⊙O上两个定点A,B和两个动点C,D,AC与BD交于点E.
(1)如图1,求证:EA•EC=EB•ED;
(2)如图2,若,AD是⊙O的直径,求证:AD•AC=2BD•BC;
(3)如图3,若AC⊥BD,点O到AD的距离为2,求BC的长.
24. (2015年江苏宿迁10分)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为2a,2b,点A,D,G在y轴上,坐标原点O为AD的中点,抛物线过C,F两点,连接FD并延长交抛物线于点M.
(1)若a=1,求m和b的值;
(2)求的值;
(3)判断以FM为直径的圆与AB所在直线的位置关系,并说明理由.
25. (2015年江苏镇江9分)
【发现】
如图∠ACB=∠ADB=90°,那么点D在经过A,B,C三点的圆上(如图①)
【思考】
如图②,如果∠ACB=∠ADB=(≠90°)(点C,D在AB的同侧),那么点D还在经过A,B,C三点的圆上吗?
请证明点D也不在⊙O内.
【应用】
利用【发现】和【思考】中的结论解决问题:
若四边形ABCD中,AD∥BC,∠CAD=90°,点E在边AB上,CE⊥DE.
(1)作∠ADF=∠AED,交CA的延长线于点F(如图④),求证:DF为Rt△ACD的外接圆的切线;
(2)如图⑤,点G在BC的延长线上,∠BGE=∠BAC,已知,AD=1,求DG的长.
26. (2015年江苏镇江10分)如图,二次函数的图象经过点(0,3),且当x=1时,y有最小值2.
(1)求a,b,c的值;
(2)设二次函数(k为实数),它的图象的顶点为D.
①当k=1时,求二次函数的图象与x轴的交点坐标;
②请在二次函数与的图象上各找出一个点M,N,不论k取何值,这两个点始终关于x轴对称,直接写出点M,N的坐标(点M在点N的上方);
③过点M的一次函数的图象与二次函数的图象交于另一点P,当k为何值时,点D在∠NMP的平分线上?
④当k取﹣2,﹣1,0,1,2时,通过计算,得到对应的抛物线的顶点分别为(﹣1,﹣6,),(0,﹣5),(1,﹣2),(2,3),(3,10),请问:顶点的横、纵坐标是变量吗?纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的?