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  • 2021-05-10 发布

反比例函数在中考中的常见题型

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中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练 反比例函数在中考中的常见题型 ‎◆知识讲解 ‎ 1.反比例函数的图像是双曲线,故也称双曲线y=(k≠0).‎ ‎ 2.反比例函数y=(k≠0)的性质 ‎ (1)当k>0时函数图像的两个分支分别在第一,三象限内在每一象限内,y随x的增大而减小.‎ ‎ (2)当k<0时函数图像的两个分支分别在第二,四象限内在每一象限内,y随x的增大而增大.‎ ‎ (3)在反比例函数y=中,其解析式变形为xy=k,故要求k的值,也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积,通常将反比例函数图像上一点的坐标当作某一元二次方程的两根,运用两根之积求k的值.‎ ‎ (4)若双曲线y=图像上一点(a,b)满足a,b是方程Z2-4Z-2=0的两根,求双曲线的解析式.由根与系数关系得ab=-2,又ab=k,∴k=-2,故双曲线的解析式是y=.‎ ‎ (5)由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零,所以图像和x轴,y轴都没有交点,但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势.‎ ‎◆例题解析 ‎ 例1 如图,在直角坐标系中,O为原点,点A在第一象限,它的纵坐标是横坐标的3倍,反比例函数y=的图像经过点A,‎ ‎ (1)求点A的坐标;‎ ‎(2)如果经过点A的一次函数图像与y轴的正半轴交于点B,且OB=AB,求这个一次函数的解析式.‎ ‎ 【分析】(1)用含一个字母a的代数式表示点A的横坐标,纵坐标,把点A的坐标代入y=可求得a的值,从而得出点A的坐标.‎ ‎ (2)设点B的坐标为(0,m),根据OB=AB,可列出关于m的一个不等式,从而求出点B的坐标,进而求出经过点A,B的直线的解析式.‎ ‎ 【解答】(1)由题意,设点A的坐标为(a,3a),a>0.‎ ‎ ∵点A在反比例函数y=的图像上,得3a=,解得a1=2,a2=-2,经检验a1=2,a2=-2是原方程的根,但a2=-2不符合题意,舍去.‎ ‎ ∴点A的坐标为(2,6).‎ ‎ (2)由题意,设点B的坐标为(0,m).‎ ‎ ∵m>0,∴m=.‎ ‎ 解得m=,经检验m=是原方程的根,‎ ‎ ∴点B的坐标为(0,).‎ ‎ 设一次函数的解析式为y=kx+.‎ ‎ 由于这个一次函数图像过点A(2,6),‎ ‎ ∴6=2k+,得k=.‎ ‎ ∴所求一次函数的解析式为y=x+.‎ ‎ 例2 如图,已知Rt△ABC的顶点A是一次函数y=x+m与反比例函数y=的图像在第一象限内的交点,且S△AOB=3.‎ ‎ (1)该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定?如能确定,请写出它们的解析式;如不能确定,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ (2)如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点,过D作DE⊥x轴于E,那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定?‎ ‎(3)请判断△AOD为何特殊三角形,并证明你的结论.‎ ‎ 【分析】△AOB是直角三角形,所以它的面积是两条直角边之积的,而反比例函数图像上任一点的横坐标,纵坐标之积就是反比例函数中的系数.由题意不难确定m,则所求一次函数,反比例函数的解析式就确定了.‎ ‎ 由反比例函数的定义可知,过反比例函数图像上任一点作x轴,y轴的垂线,该点与两垂足及原点构成的矩形的面积都是大小相等的.‎ ‎ 【解答】(1)设B(x,0),则A(x0,),其中0>0,m>0.‎ ‎ 在Rt△ABO中,AB=,OB=x0.‎ ‎ 则S△ABO =·x0·=3,即m=6.‎ ‎ 所以一次函数的解析式为y=x+6;反比例函数的解析式为y=.‎ ‎ (2)由得x2+6x-6=0,‎ ‎ 解得x1=-3+,x2=-3-.‎ ‎ ∴A(-3+,3+),D(-3-,3-).‎ ‎ 由反比例函数的定义可知,对反比例函数图像上任意一点P(x,y),有 ‎ y=.即xy=6.‎ ‎ ∴S△DEO =│xDyD│=3,即S△DEO =S△ABO.‎ ‎ (3)由A(-3+,3+)和D(-3-,3-)可得AO=4,DO=4,即AO=DO.‎ ‎ 由图可知∠AOD>90°,∴△AOD为钝角等腰三角形.‎ ‎ 【点评】特殊三角形主要指边的关系和角的关系.通过对直观图形的观察,借助代数运算验证,便不难判断.‎ ‎◆强化训练 一、填空题 ‎1.如图1,直线y=kx(k>0)与双曲线y=交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则2x1y2-7x2y1的值等于_______.‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ ‎2.(2006,重庆)如图2,矩形AOCB的两边OC,OA分别位于x轴,y轴上,点B的坐标为B(-,5),D是AB边上的一点,将△ADO沿直线OD翻折,使A点恰好落在对角线OB上的点E处,若点E在一反比例函数的图像上,那么该函数的解析式是______.‎ ‎3.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例,已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m,则y与x的函数关系式为_______.‎ ‎4.若y=中,y与x为反比例函数,则a=______.若图像经过第二象限内的某点,则a=______.‎ ‎5.反比例函数y=的图像上有一点P(a,b),且a,b是方程t2-4t-2=0的两个根,则k=_______;点P到原点的距离OP=_______.‎ ‎6.已知双曲线xy=1与直线y=-x+无交点,则b的取值范围是______.‎ ‎7.反比例函数y=的图像经过点P(a,b),其中a,b是一元二次方程x2+kx+4=0的两个根,那么点P的坐标是_______.‎ ‎8.两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图像如图3所示,点P在y=的图像上,PC⊥x轴于点C,交y=的图像于点A,PD⊥y轴于点D,交y=的图像于点B,当点P在y=的图像上运动时,以下结论:‎ ‎ ①△ODB与△OCA的面积相等;‎ ‎ ②四边形PAOB的面积不会发生变化;‎ ‎ ③PA与PB始终相等 ‎ ④当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点.‎ ‎ 其中一定正确的是_______(把你认为正确结论的序号都填上,少填或错填不给分).‎ 二、选择题 ‎9.如图4所示,等腰直角三角形ABC位于第一象限,AB=AC=2,直角顶点A在直线y=x上,其中A点的横坐标为1,且两条直角边AB,AC分别平行于x轴,y轴,若双曲线y=(k≠0)与△ABC有交点,则k的取值范围是( )‎ ‎ A.10)的第一象限内的图像如图5所示,P为该图像上任意一点,PQ垂直于x轴,垂足为Q,设△POQ的面积为S,则S的值与k之间的关系是( )‎ ‎ A.S= B.S= C.S=k D.S>k ‎11.如图6,已知点A是一次函数y=x的图像与反比例函数y=‎ 的图像在第一象限内的交点,点B在x轴的负半轴上,且OA=OB,那么△AOB的面积为( )‎ ‎ A.2 B. C. D.2‎ ‎12.函数y=与y=mx-m(m≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是( )‎ ‎13.如果不等式mx+n<0的解集是x>4,点(1,n)在双曲线y=上,那么函数y=(n-1)x+2m的图像不经过( )‎ ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎14.正比例函数y=2kx与反比例函数y=在同一坐标系中的图像不可能是( )‎ ‎15.已知P为函数y=的图像上一点,且P到原点的距离为,则符合条件的P点数为( )‎ ‎ A.0个 B.2个 C.4个 D.无数个 ‎16.如图,A,B是函数y=的图像上关于原点O对称的任意两点,AC平行于y轴,交x轴于点C,BD平行于y轴,交x轴于点D,设四边形ADBC的面积为S,则( )‎ A.S=1 B.12‎ 三、解答题 ‎17.已知:如图,反比例函数y=-与一次函数y=-x+2的图像交于A,B两点,求:‎ ‎(1)A,B两点的坐标; (2)△AOB的面积.‎ ‎18.如图,已知一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=-的图像交于A,B两点,且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2,求:‎ ‎(1)一次函数的解析式; (2)△AOB的面积.‎ ‎19.已知函数y=的图像上有一点P(m,n),且m,n是关于x方程x2-4ax+4a2-6a-8=0的两个实数根,其中a是使方程有实根的最小整数,求函数y=的解析式.‎ ‎20.在平面直角坐标系Oxy中,直线y=-x绕点O顺时针旋转90°得到直线L.直线L与反比例函数y=的图像的一个交点为A(a,3),试确定反比例函数的解析式.‎ ‎21.如图所示,已知双曲线y=与直线y=x相交于A,B两点.第一象限上的点M(m,n)(在A点左侧)是双曲线y=上的动点.过点B作BD∥y轴交x轴于点D.过N(0,-n)作NC∥x轴交双曲线y=于点E,交BD于点C.‎ ‎ (1)若点D的坐标是(-8,0),求A,B两点的坐标及k的值;‎ ‎(2)若B是CD的中点,四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式;‎ ‎(3)设直线AM,BM分别与y轴相交于P,Q两点,且MA=pMP,MB=qMQ,求p-q的值.‎ ‎22.如图,在等腰梯形ABCD中,CD∥AB,CD=6,AD=10,∠A=60°,以CD为弦的弓形弧与AD相切于D,P是AB上的一个动点,可以与B重合但不与A重合,DP交弓形弧于Q.‎ ‎ (1)求证:△CDQ∽△DPA;‎ ‎ (2)设DP=x,CQ=y,试写出y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;‎ ‎ (3)当DP之长是方程x2-8x-20=0的一根时,求四边形PBCQ的面积.‎ 答案:‎ ‎1.20 2.y=- 3.y= 4.2或-1;-1 ‎ ‎5.-2;2 6.0≤b<4 7.(-2,-2)‎ ‎8.①②④ 9.C 10.B 11.C 12.C 13.B 14.D 15.A 16.C ‎17.(1)由,解得,‎ ‎ ∴A(-2,4),B(4,-2).‎ ‎ (2)当y=0时,x=2,故y=-x+2与x轴交于M(2,0),∴OM=2.‎ ‎∴S△AOB=S△AOM +S△BOM =OM·│yA│+OM·│yB│=·2·4+·2·2=4+2=6.‎ ‎18.(1)y=-x+2 (2)S△AOB =6‎ ‎19.由△=(-4a)2-4(4a2-6a-8)≥0得a≥-,‎ ‎ 又∵a是最小整数,‎ ‎ ∴a=-1.‎ ‎ ∴二次方程即为x2+4x+2=0,又mn=2,而(m,n)在y=的图像上,∴n=,∴mn=k,∴k=2,∴y=.‎ ‎20.依题意得,直线L的解析式为y=x.‎ ‎ ∵A(a,3)在直线y=x上,‎ ‎ 则a=3.即A(3,3).‎ ‎ 又∵A(3,3)在y=的图像上,‎ ‎ 可求得k=9.‎ ‎ ∴反比例函数的解析式为y=.‎ ‎21.(1)∵D(-8,0),∴B点的横坐标为-8,代入y=x中,得y=-2.‎ ‎ ∴B点坐标为(-8,-2),而A,B两点关于原点对称,∴A(8,2).‎ ‎ 从而k=8×2=16.‎ ‎ (2)∵N(0,-n),B是CD的中点,A,B,M,E四点均在双曲线上,‎ ‎ ∴mn=k,B(-2m,-),C(-2m,-n),E(-m,-n).‎ ‎ S矩形DCNO=2mn=2k,S△DBO=mn=k,S△OEN =mn=k,‎ ‎ ∴S四边形OBCE=S矩形DCNO-S△DBO -S△OEN =k.‎ ‎ ∴k=4.‎ ‎ 由直线y=x及双曲线y=,得A(4,1),B(-4,-1),‎ ‎ ∴C(-4,-2),M(2,2).‎ ‎ 设直线CM的解析式是y=ax+b,由C,M两点在这条直线上,得 ‎ 解得a=b=.‎ ‎ ∴直线CM的解析式是y=x+.‎ ‎(3)如图所示,分别作AA1⊥x轴,MM1⊥x轴,垂足分别为A1,M1.‎ ‎ 设A点的横坐标为a,则B点的横坐标为-a,于是p=.‎ ‎ 同理q==,‎ ‎ ∴p-q=-=-2.‎ ‎22.(1)证∠CDQ=∠DPA,∠DCQ=∠PDA.‎ ‎ (2)y=(8≤x≤).‎ ‎ (3)S四边形PBCQ=48-9.‎