中考数学命题技巧方法研究全国各地中考数学试卷分类汇编弧长与扇形面积 12页

弧长与扇形面积 一．选择题 ‎3．（2013•东营，8，3分）如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形 的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树 叶形图案的周长为（ ）‎ ‎（第8题图）‎ A B C D A． B． ‎ C． D． ‎ 答案：A 解析：由题意得，树叶形图案的周长为两条相等的弧长，所以其周长为．‎ ‎5.（2013四川遂宁，8，4分）用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2πcm B．‎ ‎1.5cm C．‎ πcm D．‎ ‎1cm 考点：‎ 圆锥的计算．‎ 分析：‎ 把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．‎ 解答：‎ 解：设此圆锥的底面半径为r，‎ 根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，‎ ‎2πr=，‎ 解得：r=1cm．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．‎ ‎6.（2013山西，1，2分）如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ B ）‎ A．－　　　B．－　　C．π－　　D．π－ ‎【答案】B ‎【解析】扇形BEF的面积为：S1==，‎ 菱形ABCD的面积为SABCD=，‎ 如右图，连结BD，易证：△BDP≌△BCQ，所以，△BCQ与△BAP的面积之和为△BAD的面积为：，因为四边形BPDQ的面积为，‎ 阴影部分的面积为：－ ‎7.（2013四川遂宁，8，4分）用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2πcm B．‎ ‎1.5cm C．‎ πcm D．‎ ‎1cm 考点：‎ 圆锥的计算．‎ 分析：‎ 把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．‎ 解答：‎ 解：设此圆锥的底面半径为r，‎ 根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，‎ ‎2πr=，‎ 解得：r=1cm．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．‎ ‎8．（2013河北省，14，3分）如图7，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C = 30°，‎ CD = 2.则S阴影= ‎ ‎ A．π B．2π ‎ C． D．π 答案：D 解析：∠AOD＝2∠C＝60°，可证：△EAC≌△EOD，因此阴影部分的面积就是扇形AOD的面积，半径OD＝2，S扇形AOD＝＝π ‎10. 2013•绍兴4分）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎90°‎ B．‎ ‎120°‎ C．‎ ‎150°‎ D．‎ ‎180°‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】设正圆锥的底面半径是r，则母线长是2r，底面周长是2πr，‎ 设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，则=2πr，‎ 解得：n=180．‎ ‎【方法指导】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．‎ ‎11．（2013山东德州，10，3分）如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝900，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）‎ A、 B、 C、 D、 ‎【答案】C ‎【解析】∵扇形AOB的半径为1，∠AOB＝900，∴，在△ABO中，AB=，. ∴.‎ ‎∴=.故选C.‎ ‎【方法指导】本题考查与圆有关计算.计算组合体中阴影部分面积，需要观察好所求阴影部分与相关图形的面积和差.‎ ‎【易错警示】本问题中需要注意半圆面积而不是圆的面积，这里容易计算出错.‎ 二．填空题 ‎1．（2013广东珠海，8，4分）若圆锥的母线长为5cm，地面半径为3cm，则它的测面展开图的面积为　15π　cm2（结果保留π）‎ 考点：‎ 圆锥的计算．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先计算出圆锥底面圆的周长2π×3，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可．‎ 解答：‎ 解：圆锥的测面展开图的面积=×2π×3×5=15π（cm2）．‎ 故答案为15π．‎ 点评：‎ 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．‎ ‎2．（2013贵州毕节，19，5分）已知圆锥的底面半径是2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是　10π　 cm3（结果保留π）‎ 考点：‎ 圆锥的计算．‎ 分析：‎ 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．‎ 解答：‎ 解：圆锥的侧面积=2π×2×5÷2=10π．‎ 故答案为：10π．‎ 点评：‎ 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．‎ ‎3．（2013湖北孝感，16，3分）用半径为10cm，圆心角为216°的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为　8　cm．‎ 考点：‎ 圆锥的计算．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据圆的周长公式和扇形的弧长公式解答．‎ 解答：‎ 解：如图：圆的周长即为扇形的弧长，‎ 列出关系式解答：=2πx，‎ 又∵n=216，r=10，‎ ‎∴（216×π×10）÷180=2πx，‎ 解得x=6，‎ h==8．‎ 故答案为：8cm．‎ 点评：‎ 考查了圆锥的计算，先画出图形，建立起圆锥底边周长和扇形弧长的关系式，即可解答．‎ ‎4 ．（2013湖南郴州，16，3分）圆锥的侧面积为6πcm2，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的母线长为　3　cm．‎ 考点：‎ 圆锥的计算．‎ 分析：‎ 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．‎ 解答：‎ 解：设母线长为R，底面半径是2cm，则底面周长=4π，侧面积=2πR=6π，‎ ‎∴R=3．‎ 故答案为：3．‎ 点评：‎ 本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．比较基础，重点是掌握公式．‎ ‎5 ．（2013湖南娄底，17，4分）一圆锥的底面半径为1cm，母线长2cm，则该圆锥的侧面积为　2π　cm2．‎ 考点：‎ 圆锥的计算．‎ 分析：‎ 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．‎ 解答：‎ 解：圆锥的侧面积=2π×1×2÷2=2π．‎ 故答案为：2π．‎ 点评：‎ 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．‎ ‎6．（2013湖南张家界，11，3分）如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，顺次连接三个圆心，则图中阴影部分的面积是　　．‎ 考点：‎ 相切两圆的性质；扇形面积的计算．‎ 分析：‎ 根据三角形内角和定理以及扇形面积公式直接求出即可．‎ 解答：‎ 解：∵⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，‎ ‎∴阴影部分的面积是：=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 此题主要考查了扇形面积求法，根据已知得出扇形圆心角的和是解题关键．‎ ‎7．（2013•徐州，17，3分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为10πcm，则扇形的半径为　　cm．‎ 考点：弧长的计算．‎ 分析：运用弧长计算公式，将其变形即可求出扇形的半径．‎ 解答：解：扇形的弧长公式是L＝＝，解得r＝15．‎ 点评：此题主要考查了扇形的弧长公式的变形，难度不大，计算应认真．‎ ‎8．（2013·聊城，14，3分）已知一个扇形的半径为60cm，圆心角为150°，用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为 cm．‎ 考点：圆锥的计算．‎ 分析：首先利用扇形的弧长公式求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求解．‎ 解答：解：扇形的弧长是：＝50πcm，设底面半径是rcm，则2πr＝50π，‎ 解得：r＝25．故答案是：25．‎ 点评：考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．　‎ ‎9.（2013陕西，16，3分）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，‎ 且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，‎ 直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，‎ C A B C G H E F 第16题图 则GE+FH的最大值为 ．‎ 考点：此题一般考查的是与圆有关的计算，考查有垂径定理、相交弦定理、圆心角与圆周角的关系，及扇形的面积及弧长的计算公式等知识点。‎ 解析：本题考查圆心角与圆周角的关系应用，中位线及最值问题。连接OA，OB，‎ 因为∠ACB=30°，所以∠AOB=60°，所以OA=OB=AB=7，因为E、F中AC、BC的中点，‎ 所以EF==3.5，因为GE+FH=GH－EF，要使GE+FH最大，而EF为定值，所以GH取最大值时GE+FH有最大值，所以当GH为直径时，GE+FH的最大值为14-3.5=10.5‎ ‎10.（2013四川巴中，16，3分）底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积等于　2π　．‎ 考点：‎ 圆锥的计算．‎ 分析：‎ 根据圆锥的侧面积就等于母线长乘底面周长的一半．依此公式计算即可解决问题．‎ 解答：‎ 解：圆锥的侧面积=2×2π÷2=2π．‎ 故答案为：2π．‎ 点评：‎ 本题主要考查了圆锥的侧面积的计算公式．熟练掌握圆锥侧面积公式是解题关键．‎ ‎12.（2013四川遂宁，14，4分）如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，且点A′、C′仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是　7.2　．（π≈3.14，结果精确到0.1）‎ 考点：‎ 扇形面积的计算；旋转的性质．‎ 分析：‎ 扇形BAB'的面积减去△BB'C'的面积即可得出阴影部分的面积．‎ 解答：‎ 解：由题意可得，AB=BB'==，∠ABB'=90°，‎ S扇形BAB'==，S△BB'C'=BC'×B'C'=3，‎ 则S阴影=S扇形BAB'﹣S△BB'C'=﹣3≈7.2．‎ 故答案为：7.2．‎ 点评：‎ 本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是求出扇形的半径，及阴影部分面积的表达式．‎ ‎13．（2013贵州省六盘水，18，4分）把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为　　，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为　　．‎ 考点：‎ 弧长的计算；正方形的性质；旋转的性质．‎ 分析：‎ 为了便于标注字母，且更清晰的观察，每次旋转后向右稍微平移一点，作出前几次旋转后的图形，点O的第1次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，第2次旋转路线是以正方形的对角线长为半径，以90°圆心角的扇形，第3次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形；‎ ‎①根据弧长公式列式进行计算即可得解；‎ ‎②求出61次旋转中有几个4次，然后根据以上的结论进行计算即可求解．‎ 解答：‎ 解：如图，为了便于标注字母，且位置更清晰，每次旋转后不防向右移动一点，‎ 第1次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，路线长为=；‎ 第2次旋转路线是以正方形的对角线长为半径，以90°圆心角的扇形，路线长为=；‎ 第3次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，路线长为=；‎ 第4次旋转点O没有移动，旋转后于最初正方形的放置相同，‎ 因此4次旋转，顶点O经过的路线长为++=；‎ ‎∵61÷4=15…1，‎ ‎∴经过61次旋转，顶点O经过的路程是4次旋转路程的15倍加上第1次路线长，即×15+=．‎ 故答案分别是：；．‎ 点评：‎ 本题考查了旋转变换的性质，正方形的性质以及弧长的计算，读懂题意，并根据题意作出图形更形象直观，且有利于旋转变换规律的发现．‎ ‎14．（2013贵州省黔西南州，19，3分）如图，一扇形纸片，圆心角∠AOB为120°，弦AB的长为cm，用它围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为　cm　．‎ 考点：‎ 圆锥的计算．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形．先求出扇形的半径，再求扇形的弧长，利用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系求底面半径．‎ 解答：‎ 解：设扇形OAB的半径为R，底面圆的半径为r，‎ 则R2=（）2+，‎ 解得R=2cm，‎ ‎∴扇形的弧长==2πr，‎ 解得，r=cm．‎ 故答案为cm．‎ 点评：‎ 主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解此类题目要根据所构成的直角三角形的勾股定理作为等量关系求解．‎ ‎　‎ ‎15．（2013河南省，12，3分）已知扇形的半径为4㎝，圆心角为120°，则此扇形的弧长是 ㎝ ‎【解析】有扇形的弧长公式可得：弧长 ‎【答案】 ‎16．（2013黑龙江省哈尔滨市，16）一个圆锥的侧面积是36 cm2，母线长是12cm，则这个圆锥的底面直径是 cm．‎ 考点：弧长和扇形面积 分析：本题考查圆锥形侧面积公式，直接代入公式即可.掌握圆锥形侧面积公式是解题关键 解答：设母线长为R，底面半径为r，则底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，由题知侧面积36=πr12，所以r =3，底面直径是6‎ ‎　‎ ‎18. （2013杭州4分）四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，且BC=CD=2，AB=3，把梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则|S1﹣S2|= （平方单位）‎ ‎19．（2013山东菏泽，10，3分）在半径为5的圆中，30°的圆心角所对弧的弧长为_______.（结果保留）‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由弧长公式得=. ‎ ‎【方法指导】注意理解弧长公式中，n表示弧所对的圆心角、r表半径.‎ ‎【易错提示】利用公式计算时n不带单位.‎ ‎20．（2013四川凉山州，16，4分）如图，在中，，，，两等圆、外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为 。‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】. 中，，，，由勾股定理可得AB=10.‎ 由图形可得两个扇形的面积和为半径为5,圆心角为90度的扇形的面积.即.‎ ‎【方法指导】本题考查求阴影部分的面积.在求阴影部分的面积时一般用转化思想把阴影部分的面积转化成求规则图形的面积的和或差的问题.‎ ‎21．（2013重庆，16，4分）如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA=2，那么图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）‎ O A B ‎（第16题图）‎ ‎【答案】π－2‎ ‎【解析】解：∵S扇＝＝＝π，S△AOB＝OA·OB＝×2×2＝2．∴阴影部分的面积＝S扇－S△AOB＝π－2．‎ ‎【方法指导】本题考查了扇形的面积、三角形的面积的求法，正确掌握扇形面积公式和三角形的面积公式是解题关键．计算不规则图形的面积时，一般要注意把不规则图形的面积转化为三角形、正方形、圆或扇形等规则图形的面积的和（或差），然后求解．‎ ‎【易错警示】不能熟练记忆扇形面积公式，或者混淆扇形的面积公式与弧长公式，是导致计算扇形而出错的主要原因．‎ ‎23. （2013广东省，16，4分）如题16图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 ．（结果保留）‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】图中三块阴影部分都是扇形，且半径相等，由平行线内错角相等和正方形的对角线的性质可知，三个扇形的圆心角的度数之和为，‎ 所以，图中阴影部分面积的和为=，故答案填．‎ ‎【方法指导】求一个规则图形的面积，往往直接用公式求，而求一个不规则图形的面积，通常需要通过割（补）法，将不规则图形转化为规则图形，从而求解．‎ 三．解答题 ‎1．（2013江西，21，9分）如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图2所示，量得连杆OA长为10cm，雨刮杆AB长为48cm，∠OAB=120°．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图3所示．‎ ‎ （1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；（结果精确到0.01）‎ ‎ （2）求雨刮杆AB扫过的最大面积．（结果保留π的整数倍）‎ ‎ （参考数据： sin60°=，cos60°=，tan60°=，≈26.851，可使用科学计算器）‎ ‎【思路分析】将实际问题转化为数学问题，（1）AB旋转的最大角度为180°；在△OAB中，已知两边及其夹角，可求出另外两角和一边，只不过它不是直角三角形，需要转化为直角三角形来求解，由∠OAB=120°想到作AB边上的高，得到一个含60°角的Rt△OAE和一个非特殊角的Rt△OEB.在Rt△OAE中，已知∠OAE=60°，斜边OA=10，可求出OE、AE的长，进而求得Rt△OEB中EB的长，再由勾股定理求出斜边OB的长；（2）雨刮杆AB扫过的最大面积就是一个半圆环的面积（以OB、OA为半径的半圆面积之差）.‎ ‎[解]（1）雨刮杆AB旋转的最大解度为180° ． ‎ 连接OB，过O点作AB的垂线交BA的延长线于EH噗，‎ ‎∵∠OAB=120°，‎ ‎∴∠OAE=60°‎ 在Rt△OAE中，‎ ‎∵∠OAE=60°，OA=10，‎ ‎∴sin∠OAE==，‎ ‎∴OE=5， ‎ ‎∴AE=5‎ ‎∴EB=AE+AB=53， ‎ 在Rt△OEB中，‎ ‎∵OE=5，EB=53，‎ ‎∴OB===2≈53.70； ‎ ‎（2）∵雨刮杆AB旋转180°得到CD，即△OCD与△OAB关于点O中心对称，‎ ‎∴△BAO≌△OCD，∴S△BAO=S△DCO，（直接证明全等得到面积相等的也给相应的分值） ‎ ‎∴雨刮杆AB扫过的最大面积S=π(OB2－OA2) =1392π ‎ ‎ ‎【方法指导】本题考查的是解直角三角形的应用，以及扇形面积的求法，将斜三角形转化为直角三角形求解.在直角三角形中，已知两边或一边一角都可求出其余的量. 难点是考生缺乏生活经验，弄不懂题意.‎ ‎2．（2013年佛山市，20，6分）如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线AB与高AO的夹角．参考公式：圆锥的侧面积S=πrl，其中r为底面半径，l为母线长．‎ 分析：设出圆锥的半径与母线长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长得到圆锥的半径与母线长，进而表示出母线与高的夹角的正弦值，也就求出了夹角的度数．‎ 解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，‎ 则：πl=2πr，‎ ‎∴l=2r，‎ ‎∴母线与高的夹角的正弦值==，‎ ‎∴母线AB与高AO的夹角30°．‎ 点评：此题主要考查了圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；注意利用一个角相应的三角函数值求得角的度数．‎ ‎3.（2013四川绵阳，21，12分）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE。‎ ‎（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）若E是 的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积。‎ 解（1）直线CD与⊙O相切。‎ ‎ 证明：连结AC，OA=OC，‎ ‎∠OAC=∠OCA，‎ AC平分∠DAB，∠DAC=∠OAC，‎ ‎∠DAC=∠OCA，AD//OC，AD⊥CD，OC⊥CD，CD与⊙O相切。‎ ‎（2）连结OE，， 点E是 的中点，‎ ‎，∠DAC=∠ECA（相等的弧所对的圆周角相等），‎ ‎∠DAC=∠OAC（（1）中已证），∠ECA=∠OAC，CE//OA，AD//OC，‎ 四边形AOCE是平行四边形，CE=OA，AE=OC， OA=OC=OE=1，‎ OC=OE=CE=OA=AE=1，四边形AOCE是菱形，△OCE是等边三角形，‎ ‎∠OCE=60º，∠OCD=90º，∠DCE=∠OCD-∠OCE=90º-60º=30º，‎ AD⊥CD，在Rt△DCE中，ED= CE = ,DC=cos30º•CE= ,‎ CE弧与CE弦所围成部分的面积 = AE弧与AE弦所围成部分的面积，‎ S阴影=S△DCE=•ED•DC=××= .‎ 答：图中阴影部分的面积为。‎