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- 2021-05-11 发布
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2006年中考数学试题分类汇编及解析-----函数
1、(2006重庆)已知:是方程的两个实数根,且,抛物线的图像经过点A()、B().
(1) 求这个抛物线的解析式;
(2) 设(1)中抛物线与轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C、D的坐标和△BCD的面积;(注:抛物线的顶点坐标为)
(3) P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥轴,与抛物线交于H点,若直线BC把△PCH分成面积之比为2:3的两部分,请求出P点的坐标.
[解析] (1)解方程得
由,有
所以点A、B的坐标分别为A(1,0),B(0,5).
将A(1,0),B(0,5)的坐标分别代入.
得解这个方程组,得
所以,抛物线的解析式为
(2)由,令,得
解这个方程,得
所以C点的坐标为(-5,0).由顶点坐标公式计算,得点D(-2,9).
过D作轴的垂线交轴于M.
则
,
所以,.
(3)设P点的坐标为()
因为线段BC过B、C两点,所以BC所在的值线方程为.
那么,PH与直线BC的交点坐标为,
PH与抛物线的交点坐标为.
由题意,得①,即
解这个方程,得或(舍去)
②,即
解这个方程,得或(舍去)
P点的坐标为或.
2、(2006黑龙江鸡西)某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件,该机器运行过程分为加油过程和加工过程:加工过程中,当油箱中油量为10升时,机器自动停止加工进入加油过程,将油箱加满后继续加工,如此往复.已知机器需运行185分钟才能将这批工件加工完.下图是油箱中油量y(升)与机器运行时间x(分)之间的函数图象.根据图象回答下列问题:
(1)求在第一个加工过程中,油箱中油量y(升)与机器运行时间x(分)之间的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围);
(2)机器运行多少分钟时,第一个加工过程停止?
(3)加工完这批工件,机器耗油多少升?
[解析] (1)设所求函数关系式为y=kx+b.
由图象可知过(10,100),(30,80)两点,
得
解得
∴ y=-x+llO
(2)当y=10时,-x+110=10,x=100
机器运行100分钟时,第一个加工过程停止
(3)第一个加工过程停止后再加满油只需9分钟
加工完这批工件,机器耗油166升
3、(2006北京海淀)已知抛物线的部分图象如图1所示。
图1 图2
(1)求c的取值范围;
(2)若抛物线经过点(0,-1),试确定抛物线的解析式;
(3)若反比例函数的图象经过(2)中抛物线上点(1,a),试在图2所示直角坐标系中,画出该反比例函数及(2)中抛物线的图象,并利用图象比较与的大小。
[解析] (1)根据图象可知
且抛物线与x轴有两个交点
所以一元二次方程有两个不等的实数根。
所以,且
所以
(2)因为抛物线经过点(0,-1)
把代入
得
故所求抛物线的解析式为
(3)因为反比例函数的图象经过抛物线上的点(1,a)
把代入,得
把代入,得
所以
画出的图象如图所示。
观察图象,除交点(1,-2)外,还有两个交点大致为和
把和分别代入和可知,
和是的两个交点
根据图象可知:当或或时,
当时,
当时,
4、(2006浙江嘉兴)某旅游胜地欲开发一座景观山.从山的侧面进行堪测,迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成,其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下,BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上.以过山脚(点C)的水平线为x轴、过山顶(点A)的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图(单位:百米).已知AB所在抛物线的解析式为,BC所在抛物线的解析式为,且已知.
(1)设是山坡线AB上任意一点,用y表示x,并求点B的坐标;
(2)从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶.这种台阶每级的高度为20厘米,长度因坡度的大小而定,但不得小于20厘米,每级台阶的两端点在坡面上(见图).
①分别求出前三级台阶的长度(精确到厘米);
②这种台阶不能一直铺到山脚,为什么?
上山方向
长度
高度
(3)在山坡上的700米高度(点D)处恰好有一小块平地,可以用来建造索道站.索道的起点选择在山脚水平线上的点E处,(米).假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线,解析式为.试求索道的最大悬空高度.
[解析] (1)∵是山坡线AB上任意一点,
∴,,
∴,
∵,∴=4,∴
(2)在山坡线AB上,,
①令,得 ;令,得
∴第一级台阶的长度为(百米)(厘米)
同理,令、,可得、
∴第二级台阶的长度为(百米)(厘米)
第三级台阶的长度为(百米)(厘米)
②取点,又取,则
∵
∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B,从而就不能一直铺到山脚
(注:事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到700米高度,共500级.从100米高度到700米高度都不能铺设这种台阶.解题时取点具有开放性)
②另解:连接任意一段台阶的两端点P、Q,如图
∵这种台阶的长度不小于它的高度
∴
当其中有一级台阶的长大于它的高时,
在题设图中,作于H
则,又第一级台阶的长大于它的高
∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B,从而就不能一直铺到山脚
上山方向
(3)
、、、
由图可知,只有当索道在BC上方时,索道的悬空高度才有可能取最大值
索道在BC上方时,悬空高度
当时,
∴索道的最大悬空高度为米.
5、如图14,抛物线E:交x轴于A、B两点,
交y轴于M点。抛物线E关于y轴对称的抛物线F交x轴于
C、D两点。
⑴求F的解析式;
⑵在x轴上方的抛物线F或E上是否存在一点N,使以A、C
N、M为顶点的四边形是平行四边形。若存在,求点N坐标;
若不存在,请说明理由;
⑶若将抛物线E的解析式改为,试探索问题⑵。
[解析] 当y=0时,,解得x1=-3,x2=-1,
∴A、B点坐标分别为(-3,0)、(-1,0)
当x=0时,y=3,∴M点坐标为(0,3),A、B、M三点关于y轴得对称点分别是D、C、M,∴D、C坐标为(3,0)、(1,0)
设F的解析式为
∴a=1,b=-4
∴F的解析式为
(2)存在。假设MN∥AC,∴N点的纵坐标为3。
若在抛物线F上,当y=3时,,则x1=0,x2=4
∴N点坐标为(4,3),∴MN=4,
由(1)可求AC=4,∴MN=AC,∴四边形ACNM为平行四边形。
根据抛物线F和E关于y轴对称,故N点坐标为(4,3)或(-4,3)
(3) 存在。假设MN∥AC,∴N点的纵坐标为c。设y=0,∴
∴,
∴A点坐标为(,0),B点坐标为(,0)
∴C点坐标为(,0),∴AC=
在抛物线E上,当y=c时,,x1=0,x2=
∴N点坐标为(,0)
NM=0-()=,∴NM=AC,∴四边形ACMN为平行四边形。
根据抛物线F和E关于y轴对称,故N点坐标为(,c)或(,c)。
6、(2006山东烟台)如图,已知抛物线L1: y=x2-4的图像与x有交于A、C两点
(1)若抛物线l2与l1关于x轴对称,求l2的解析式;
(2)若点B是抛物线l1上的一动点(B不与A、C重合),以AC为对角线,A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D,求证:点D在l2上;
(3)探索:当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时,平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值?若存在,判断它是何种特殊平行四边形,并求出它的面积;若不存在,请说明理由。
[解析] (1)设l2的解析式为y=a(x-h)2+k
∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,-4),l1与l2关于x轴对称,
∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,4)
∴y=ax2+4
∴0=4a+4 得 a=-1
∴l2的解析式为y=-x2+4
(2)设B(x1 ,y1)
∵点B在l1上
∴B(x1 ,x12-4)
∵四边形ABCD是平行四边形,A、C关于O对称
∴B、D关于O对称
∴D(-x1 ,-x12+4).
将D(-x1 ,-x12+4)的坐标代入l2:y=-x2+4
∴左边=右边
∴点D在l2上.
(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则
S=2*S△ABC =AC*|y1|=4|y1|
a.当点B在x轴上方时,y1>0
∴S=4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大,
∴S既无最大值也无最小值
b.当点B在x轴下方时,-4≤y1<0
∴S=-4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小,
∴当y1 =-4时,S由最大值16,但他没有最小值
此时B(0,-4)在y轴上,它的对称点D也在y轴上.
∴AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形
此时S最大=16.
7、(2006吉林长春)某厂生产一种零件,每个成本为40元,销售单价为60元。该厂为了鼓励客户购买,决定当一次购买零件超过100个时,多购买一个,全部零件的销售单价均降低0.02元,但不能低于51元。
(1)当一次购买多少个零件时,销售单价恰为51元?
(2)设一次购买零件x个时,销售单价为y元,求y与x的函数关系式。
(3)当客户一次购买500个零件时,该厂获得的利润是多少?当客户一次购买1000个零碎件时,利润又是多少?(利润 = 售价-成本)
[解析]
(1)设当一次购买x个零件时,销售单价为51元,则
(x-100)×0.02 = 60-51,
解得 x = 550。
答:当一次购买550个零件时,销售单价为51元。
(2)当0<x≤100时, y = 60;
当100<x≤550时, y = 62-0.02x;
当x>550时, y = 51。
(3)当x = 500时,利润为
(62-0.02×500)×500-40×500 = 6000(元)。
当x = 1000时,利润为1000×(51-40)= 11000(元)。
答:当一次购买500个零件时,该厂获得利润为6000元;当一次购买1000个零件时,该厂获得利润11000元。
8、(2006吉林长春)如图,在平面直角坐标系中,两个函数的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动,作PQ∥x轴交直线BC于点Q,以PQ为一边向下作正方形PQMN,设它与△OAB重叠部分的面积为S。
(1)求点A的坐标。
(2)试求出点P在线段OA上运动时,S与运动时间t(秒)的关系式。
(3)在(2)的条件下,S是否有最大值?若有,求出t为何值时,S有最大值,并求出最大值;若没有,请说明理由。
(4)若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动,当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时,运动时间t满足的条件是____________。
[解析]
(1)由 可得
∴A(4,4)。
(2)点P在y = x上,OP = t,
则点P坐标为
点Q的纵坐标为,并且点Q在上。
∴,
即点Q坐标为。
。
当时,。
当,
当点P到达A点时,,
当时,
。
(3)有最大值,最大值应在中,
当时,S的最大值为12。
(4)。
9、(2006临安)如图,△OAB是边长为的等边三角形,其中O是坐标原点,顶点B在轴正方向上,将△OAB 折叠,使点A落在边OB上,记为A′,折痕为EF.
(1)当A′E//轴时,求点A′和E的坐标;
(2)当A′E//轴,且抛物线经过点A′和E时,求抛物线与轴的交点的坐标;
(3) 当点A′在OB上运动,但不与点O、B重合时,能否使△A′EF成为直角三角形?若能,请求出此时点A′的坐标;若不能,请你说明理由.
[解析](1)由已知可得∠A,OE=60o , A,E=AE
由A′E//轴,得△OA,E是直角三角形,
设A,的坐标为(0,b)
AE=A,E=,OE=2b
所以b=1,A,、E的坐标分别是(0,1)与(,1)
(2) 因为A,、E在抛物线上,所以
所以,函数关系式为
由得
与x轴的两个交点坐标分别是(,0)与(,0)
(2) 不可能使△A′EF成为直角三角形。
∵∠FA,E=∠FAE=60o,若△A′EF成为直角三角形,只能是∠A,EF=90o或∠A,FE=90o
若∠A,EF=90o,利用对称性,则∠AEF=90o, A,、E、A三点共线,O与A重合,与已知矛盾;
同理若∠A,FE=90o也不可能
所以不能使△A′EF成为直角三角形。