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- 2021-05-11 发布
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初中数学总复习提纲
第一章 实数
★重点★ 实数的有关概念及性质,实数的运算
☆内容提要☆
一、 重要概念
实数
无理数(无限不循环小数)
有理数
正分数
负分数
正整数如:
0
负整数
(有限或无限循环小数)
整数
分数
正无理数
负无理数
1.数的分类及概念
正数
0
实数
负数
说明:“分类”的原则:1)相称(不重、不漏)2)有标准
2.非负数:正实数与零的统称。(表为:x≥0)
常见的非负数有:
│a│
(a≥0)
(a为一切实数)
性质:若干个非负数的和为0,则每个非负担数均为0。
3.倒数: ①定义:如果两个数的乘积为1.那么这两个数互为倒数.
②性质:A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中,a≠0;C.0<a<1时1/a>1;a>1时,1/a<1;D.积为1。
4.相反数: ①定义:如果两个数的和为0.那么这两个数互为相反数.
②求相反数的公式: a的相反数为-a.
③性质:A.a≠0时,a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置关于原点对称;C.两个相反数的和为0,商为-1。
5.数轴:
①定义(“三要素”):具有原点、正方向、单位长度的直线叫数轴.
②作用:A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.所有的有理数可以在数轴上表示出来,所有的无理数如都可以在数轴上表示出来,故数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,数轴上的点与实数是一一对应关系。
6.奇数、偶数、质数、合数(正整数—自然数)
定义及表示:
奇数:2n-1
偶数:2n(n为自然数)
7.绝对值:
①代数定义:正数的绝对值是它的本身,0的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数。
a(a≥0)
-a(a<0)
│a│=
几何定义:数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;
③数a的绝对值只有一个;
④处理任何类型的题目,只要其中有“││”出现,其关键一步是去掉“││”符号。
11.科学记数法:N=(1≤a<10,n是整数)。(1)当N是大于1的数时,n=N的整数位数减去1。如:.(2) 当N是小于1的数时,n=N的第一个有效数字前0的个数.如:
12 有效数字:从左边第一个不是0的数字起到右边的所有数字止,所有的数字叫这个数的有效数字。如:0.004015,有效数字是4,0,1,5.一共四个.又如:0.00401500,有效数字是4,0,1,5,0,0,一共六个.
一、 实数的运算
1 运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方)
2 运算定律(五个:加法交换律,加法结合律; 乘法交换律,乘法结合律,乘法对加法的分配律)
3 运算顺序:高级运算到低级运算,同级运算从左到右(如5÷×5),有括号时由小中大。
4 逆运算:加法与减法互为逆运算,乘法与除法互为逆运算,乘方与开方互为逆运算。
二、 应用举例(略)
附:典型例题
1. 已知:a、b、x在数轴上的位置如下图,求证:│x-a│+│x-b│=b-a.
a
x
b
2.已知:a-b=-2且ab<0,(a≠0,b≠0),判断a、b的符号。
第二章 代数式
★重点★代数式的有关概念及性质,代数式的运算
☆内容提要☆
一 重要概念
单项式
多项式
整式
分式式式样
有理式
无理式
代数式
分类:
1.代数式、有理式、无理式
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。
有根号的代数式叫无理式,如:、。没有根号的代数式叫有理式。如:a、。整式和分式统称为有理式。
2.整式和分式
分母中含有字母的代数式叫做分式。如:、。
分母中不含有字母的代数式叫做整式。
整式和分式统称有理式,或含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
3.单项式与多项式
数字和字母之间,字母和字母之间只有乘除运算的代数式叫单项式。如:,。单独的一个数或字母也是单项式。如:、0、-3。
几个单项式的和或差,叫做多项式。
说明:①根据除式中有否字母,将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算,把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时,是以所给的代数式为对象,而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时,是从外形来看。如,
=x,=│x│等。
4.系数与指数
区别与联系:①从位置上看;②从表示的意义上看
5.同类项及其合并
条件:①字母相同;②相同字母的指数相同
合并依据:乘法分配律
6.根式
表示方根的代数式叫做根式。
含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。
注意:①从外形上判断;②区别:、是根式,但不是无理式,是无理数。
7.各种方根的概念
1 平方根:如果一个数的平方等于另一个数,那么这个数叫另一个数的平方根.即:
2 算术平方根:一个正数的平方等于另一个数,这个正数叫另个一数的算术平方根。a的算术根记作:
⑴正数a的正的平方根([a≥0—与“平方根”的区别]);
⑵算术平方根与绝对值
① 联系:都是非负数,=│a│
②区别:│a│中,a为一切实数;中,a为非负数。
3 立方根:一个数的立方等于另一个数,这个数叫另个一数的立方根。如:
8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化
化为最简二次根式以后,被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
满足条件:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。
把分母中的根号划去叫做分母有理化。
a·a…a=
n个
9.指数
⑴ (—幂,乘方运算)
① a>0时,>0;②a<0时,>0(n是偶数),<0(n是奇数)
⑵ 零指数公式:=1(a≠0)
负整指数公式:
一、 运算定律、性质、法则
1.分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则
2.分式的性质
⑴基本性质:=(m≠0)
⑵符号法则:
⑶繁分式:①定义;②化简方法(两种)
3.整式运算法则(去括号、添括号法则)
4.幂的运算性质:
①同底数幂相乘:·=;②同底数幂相除:÷=;③幂的乘方:=;④积的乘方:=;⑤分式乘方:(注意:凡是公式都可以倒用)
技巧:
5.乘法法则:⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。
6.乘法公式:
(a+b)(a-b)=
(a±b)= (注意:凡是公式都可以倒用)
7.除法法则:⑴单÷单;⑵多÷单。
8.因式分解:⑴定义;⑵方法:A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。
9.算术根的性质:
=;;(a≥0,b≥0);(a≥0,b>0)(注意:凡是公式都可以倒用)
10.根式运算法则:⑴加法法则(合并同类二次根式);⑵乘、除法法则;⑶分母有理化:A.;B.
;C..
第三章 方程(组)
★重点★一元一次、一元二次方程,二元一次方程组的解法;方程的有关应用题(特别是行程、工程问题)
☆ 内容提要☆
一、 基本概念
1.方程、方程的解(根)、方程组的解、解方程(组)
1. 分类:
二次方程
一次方程
高次方程
整式方程
分式方程
有理方程
无理方程
方程
二、 解方程的依据—等式性质
1.a=b←→a+c=b+c
2.a=b←→ac=bc (c≠0)
三、 解法
1.一元一次方程的解法:去分母→去括号→移项→合并同类项→
系数化成1→解。
2. 二元一次方程组的解法:⑴基本思想:“消元”⑵方法:①代入法
②加减法
四、 一元二次方程
1.定义及一般形式:
如何将一个方程化为一元二次方程的一般形式?
答:去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列.
2.解法:⑴配方法(注意步骤和推导求根公式)
(2)公式法:
(3)因式分解法(特征:左边=0)
说明:用配方法和公式法,都要先将方程化为标准形式才行。对于不规则的方程首先要化成一元二次方程的标准形式。
3.根的判别式:
当>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根.反之亦然.
当=0时,一元二次方程有两个相等的实数根. 反之亦然.
当<0时,一元二次方程没有的实数根. 反之亦然.
4.根与系数顶的关系:
逆定理:若,则以为根的一元二次方程是:。
5.常用等式:
一、 分式方程
1.分式方程
⑴定义:分母中含未知数的方程,叫分式方程。如:
去分母
分式方程
整式方程
⑵基本思想:
如何将分式方程化为整式方程?答:去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列.
⑶基本解法:①去分母法②换元法(如,)
⑷验根:将求出的未知数的值代入公分母,若分母不为0则是原方程的根,否则,是原方程的增根。
(5)解分式方程的步骤:去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列→求出未知数的值→检验
六、无理方程
乘方
无理方程
有理方程
⑴定义
⑵基本思想:
⑶基本解法:①乘方法(注意技巧!!)②换元法(例,)⑷验根及方法
七、一元一次不等式(组)
★重点★一元一次不等式的性质、解法
1. 定义:a>b、a<b、a≥b、a≤b、a≠b。
2. 一元一次不等式:ax>b、ax<b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。
3. 一元一次不等式组:
4. 不等式的性质:⑴a>b←→a+c>b+c
⑵a>b←→ac>bc(c>0)
⑶a>b←→acb,b>c→a>c
⑸a>b,c>d→a+c>b+d.
5.一元一次不等式的解、解一元一次不等式
6.一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组(在数轴上表示解集)
7.应用举例(略)
八 列方程(组)解应用题
㈠概述
列方程(组)解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是:
⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元(未知数)。①直接未知数②
间接未知数(往往二者兼用)。一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出),列方程。一般地,未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答案。
综上所述,列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程),在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。在这个过程中,列方程起着承前启后的作用。因此,列方程是解应用题的关键。
㈡常用的相等关系
1. 行程问题(匀速运动)
A
B
C
甲→
←乙
相遇处
基本关系:s=vt
⑴相遇问题(同时出发):
+=;
A
B
C
甲→
乙→
(相遇处)
⑵追及问题(同时出发):
乙→
A
B
(甲)→
(相遇处)
若甲出发t小时后,乙才出发,而后在B处追上甲,则
⑶水中航行:;
2. 配料问题:溶质=溶液×浓度
溶液=溶质+溶剂
3.增长率问题:分析方法:逐年逐月的分析方法.
4.工程问题:基本关系:工作量=工作效率×工作时间(常把工作量看着单位“1”)。
5.几何问题:常用勾股定理,几何体的面积、体积公式,相似形及有关比例性质等。
㈢注意语言与解析式的互化
如,“多”、“少”、“增加了”、“增加为(到)”、“同时”、“扩大为(到)”、“扩大了”、……
又如,一个三位数,百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则这个三位数为:100a+10b+c,而不是abc。
㈣注意从语言叙述中写出相等关系。
如,x比y大3,则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如,x与y的差为3,则x-y=3。㈤注意单位换算
如,“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。
第四章 函数及其图象
★重点★正、反比例函数,一次、二次函数的图象和性质。
☆ 内容提要☆
一、平面直角坐标系
1.各象限内点的坐标的特点
2.坐标轴上点的坐标的特点
3.关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点
4.坐标平面内点与有序实数对的对应关系
二、函数
1 函数中的三个概念:常量,自变量,因变量。
2.表示方法:⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。
3.确定自变量取值范围的原则:⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有意义。
4.画函数图象:⑴列表;⑵描点;⑶连线。
三、几种特殊函数
(定义→图象→性质)
1. 正比例函数
⑴定义:y=kx(k≠0) 或y/x=k。
⑵图象:直线(过原点)
⑶性质:①k>0,…②k<0,…
2. 一次函数
⑴定义:y=kx+b(k≠0)
⑵图象:直线过点(0,b)—与y轴的交点和(-b/k,0)—与x轴的交点。
x
o
y
(k>0,b>0)
x
o
y
(k<0,b>0)
x
o
y
(k>0,b<0)
x
o
y
(k<0,b<0)
⑶性质:①k>0,…②k<0,…
⑷图象的四种情况:
3. 二次函数
⑴定义:
特殊地,都是二次函数。
⑵图象:抛物线(用描点法画出:先确定顶点、对称轴、开口方向,再对称地描点)。用配方法变为,则顶点为(h,k);对称轴为直线x=h;a>0时,开口向上;a<0时,开口向下。
⑶性质:a>0时,在对称轴左侧…,右侧…;a<0时,在对称轴左侧…,右侧…。
4.反比例函数
⑴定义:三种形式:或xy=k(k≠0)。
⑵图象:双曲线(两支)—用描点法画出。
⑶性质:①k>0时,图象位于…,y随x…;②k<0时,图象位于…,y随x…;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。
四、重要解题方法
x
y
o
(-1,5)
X=2
求解析式?
1. 用待定系数法求解析式(列方程[组]求解)。对求二次函数的解析式,要合理选用一般式或顶点式,并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点,寻找新的点的坐标。如下图:
2.利用图象一次(正比例)函数、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号。
六、应用举例(略)
第三章 统计初步
★重点★
☆ 内容提要☆
一、 重要概念
1.总体:考察对象的全体。
2.个体:总体中每一个考察对象。
3.样本:从总体中抽出的一部分个体。
4.样本容量:样本中个体的数目。
5.众数:一组数据中,出现次数最多的数据。
6.中位数:将一组数据按大小依次排列,处在最中间位置的一个数(或最中间位置的两个数据的平均数)
二、 计算方法
1.样本平均数:⑴;⑵若,,…,,则(a—常数,,,…,接近较整的常数a);⑶加权平均数:;⑷平均数是刻划数据的集中趋势(集中位置)的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数,样本容量越大,估计越准确。
2.样本方差:⑴;⑵若,,…,,则(a—接近、、…、的平均数的较“整”的常数);若、、…、较“小”较“整”,则;⑶样本方差是刻划数据的离散程度(波动大小)的特征数,当样本容量较大时,样本方差非常接近总体方差,通常用样本方差去估计总体方差。
3.样本标准差:
三、 应用举例(略)
第四章 直线形
★重点★相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。
☆ 内容提要☆
一、 直线、相交线、平行线
1.线段、射线、直线三者的区别与联系
从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。
2.线段的中点及表示
3.直线、线段的基本性质(用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”)
4.两点间的距离(三个距离:点-点;点-线;线-线)
5.角(平角、周角、直角、锐角、钝角)
6.互为余角、互为补角及表示方法
7.角的平分线及其表示
8.垂线及基本性质(利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”)
9.对顶角及性质
10.平行线及判定与性质(互逆)(二者的区别与联系)
11.常用定理:①同平行于一条直线的两条直线平行(传递性);②同垂直于一条直线的两条直线平行。
12.定义、命题、命题的组成
13.公理、定理
14.逆命题
一、 三角形
分类:⑴按边分;
⑵按角分
1.定义(包括内、外角)
等边
等角
2.三角形的边角关系:⑴角与角:①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。⑶角与边:在同一三角形中,
大边
大角
小边
小角
3.三角形的主要线段
讨论:①定义②××线的交点—三角形的×心③性质
① 高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线
⑴一般三角形⑵特殊三角形:直角三角形、等腰三角形、等边三角形
4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形)的判定与性质
5.全等三角形
⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)
⑵特殊三角形全等的判定:①一般方法②专用方法
6.三角形的面积
⑴一般计算公式⑵性质:等底等高的三角形面积相等。
7.重要辅助线
⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线
8.证明方法
⑴直接证法:综合法、分析法
⑵间接证法—反证法:①反设②归谬③结论
⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等
⑷证线段倍分关系:加倍法、折半法
⑸证线段和差关系:延结法、截余法
⑹证面积关系:将面积表示出来第九章 解直角三角形
★重点★解直角三角形
☆ 内容提要☆
一、三角函数
1.定义:在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= .
1. 特殊角的三角函数值:
0°
30°
45°
60°
90°
sin
α
cosα
tgα
/
ctgα
/
1. 互余两角的三角函数关系:sin(90°-α)=cosα;…
2. 三角函数值随角度变化的关系
5.查三角函数表
二、解直角三角形
1. 定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。
2. 依据:①边的关系:
②角的关系:A+B=90°
③边角关系:三角函数的定义。
注意:尽量避免使用中间数据和除法。
一、 对实际问题的处理
仰角
俯角
北
东
西
南
α
h
l
i
i=h/l=tgα
1. 俯、仰角: 2.方位角、象限角: 3.坡度:
4.在两个直角三角形中,都缺解直角三角形的条件时,可用列方程的办法解决。
四、应用举例(略)
二、 四边形
分类表:
1.一般性质(角)
⑴内角和:360°
⑵顺次连结各边中点得平行四边形。
推论1:顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。
推论2:顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。
⑶外角和:360°
2.特殊四边形
⑴研究它们的一般方法:
定义→性质→判定
边
角
对角线
面积
对称性
轴对称
中心对称
⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定
⑶判定步骤:四边形→平行四边形→矩形→正方形
┗→菱形──↑
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
互相平分
相等且互相垂直
垂直
相等
相等
垂直
相等且互相平分
互相垂直平分
互相垂直平分且相等
⑷对角线的纽带作用:
3.对称图形
⑴轴对称(定义及性质);⑵中心对称(定义及性质)
4.有关定理:①平行线等分线段定理及其推论1、2
②三角形、梯形的中位线定理
③平行线间的距离处处相等。(如,找下图中面积相等的三角形)
5.重要辅助线:①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。
6.作图:任意等分线段。
一、 应用举例(略)
第七章 相似形
★重点★相似三角形的判定和性质
☆内容提要☆
一、本章的两套定理
第一套(比例的有关性质):
反比性质:
更比性质:
合比性质:
(比例基本定理)
涉及概念:①第四比例项②比例中项③比的前项、后项,比的内项、外项④黄金分割等。
第二套:
相似基本定理
推论 (骨干定理)
平行线分线段成比例定理 (基本定理)
(
应用于△中
相似三角形
判定定理
定理1
定理2
定理3
Rt△
推论
推论的逆定理
推论
注意:①定理中“对应”二字的含义;
②平行→相似(比例线段)→平行。
二、相似三角形性质
1.对应线段…;2.对应周长…;3.对应面积…。
三、相关作图
①作第四比例项;②作比例中项。
四、证(解)题规律、辅助线
1.“等积”变“比例”,“比例”找“相似”。
2.找相似找不到,找中间比。方法:将等式左右两边的比表示出来。⑴
⑵
⑶
3.添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
4.对比例问题,常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题,常用处理办法是设“公比”为k。
5.对于复杂的几何图形,采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理。
一、 应用举例(略)
第十章 圆
★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。
☆ 内容提要☆
一、圆的基本性质
1.圆的定义(两种)
2.有关概念:弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3.“三点定圆”定理
4.垂径定理及其推论
5.“等对等”定理及其推论
1. 与圆有关的角:⑴圆心角定义(等对等定理)
⑵圆周角定义(圆周角定理,与圆心角的关系)
⑶弦切角定义(弦切角定理)
二、直线和圆的位置关系
1.三种位置及判定与性质:
d>R
d=R
dR+r
d=R+r
R-r