中考数学专题复习实数的运算含答案 8页

2013 年中考数学专题复习第二讲：实数的运算 【基础知识回顾】 一、 实数的运算。 1、基本运算：初中阶段我们学习的基本运算有 、 、 、 、 、 和 共六种，运算顺序是先算 ，再算 ，最后算 ，有括号时要先算 ， 同一级运算，按照 的顺序依次进行。 2、运算法则： 加法：同号两数相加，取 的符号，并把 相加，异号两数相加，取 的符号，并用较大的 减去较小 的，任何数同零相加仍得 。 减法，减去一个数等于 。 乘法：两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把 相乘。 除法：除以一个数等于乘以这个数的 。 乘方：(－a) 2n +1 = (－a) 2n = 3、运算定律：加法交换律：a+b= 加法结合律：(a+b)+c= 乘法交换律：ab= 乘法结合律：（ab）c= 分配律： （a+b）c= 二、零指数、负整数指数幂。 = （a≠0） a－p= （a≠0） 【名师提醒：1、实数的混合运算在中考考查时经常与 0 指数、负指数、绝对值、锐角三角 函数等放在一起，计算时要注意运算顺序和运算性质。2、注意底数为分数的负指数运算的 结果，如：（ ）－1= 】 三、实数的大小比较： 1、比较两个有理数的大小，除可以用数轴按照 的原则进行比较以外，，还有 比较法、 比较法等，两个负数 大的反而小。 2、如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为 。 0a 3 1 【名师提醒：比较实数大小的方法有很多，根据题目所给的实数的类型或形可以式灵活选 用。如：比较的大小，可以先 确定 和 的取值范围，然后 得结论： +2 －2。】 【重点考点例析】 考点一：实数的大小比较。 例 1 （2012•西城区）已知 的整数部分为 a，小数部分为 b，则代数式 a2－a－b 的值 为 ． 思路分析：由于 3＜ ＜4，由此可得 的整数部分和小数部分，即得出 a 和 b，然后 代入代数式求值． 解：∵3＜ ＜4， ∴a=3，b= －3， 则 a2－a－b=32－3－（ －3）=9－3－ +3=9－ ， 故答案为：9－ ． 点评：此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的 数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 例 2 （2012•台湾）已知甲、乙、丙三数，甲= ，乙= ，丙= ，则甲、 乙、丙的大小关系，下列何者正确？（　　） A．丙＜乙＜甲 B．乙＜甲＜丙 C．甲＜乙＜丙 D．甲=乙=丙 思路分析：本题可先估算无理数 的整数部分的最大值和最小值，再求出甲， 乙，丙的取值范围，进而可以比较其大小． 解：∵3= ＜ ＜ =4， ∴8＜5+ ＜9， ∴8＜甲＜9； 10 65 10 65 13 13 13 13 13 13 13 13 13 5 15+ 3 17+ 1 19+ 15, 17, 19 9 15 16 15 ∵4= ＜ ＜ =5， ∴7＜3+ ＜8， ∴7＜乙＜8， ∵4= ＜ ＜ =5， ∴5＜1+ ＜6， ∴丙＜乙＜甲 故选 A． 点评：本题考查了实数的比较大小：（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于 0， 负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比 左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 对应训练 1．（2012•南京）12 的负的平方根介于（　　） A．－5 与－4 之间 B．－4 与－3 之间 C．－3 与－2 之间 D．－2 与－1 之间 答案：B． 2．（2012•宁夏）已知 a、b 为两个连续的整数，且 a＜ ＜b，则 a+b= ． 答案：7 考点二：实数的混合运算。 例 3 （2012•岳阳）计算： ． 思路分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等考点．在计算时，需要针 对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 解：原式=3－ +3－1+2× =3－ +3－1+ =5． 点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关 键是熟练掌握零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等考点． 16 17 25 17 16 19 25 19 11 1 013 3 ( ) (2012 ) 2cos303 π−− + − − +  3 3 2 3 3 对应训练 3．（2012•肇庆）计算： ． 3．解：原式= = = ． 考点三：实数中的规律探索。 例 4 （2012•张家界）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号 的意义是 =ad－bc．例如： ， ． （1）按照这个规定，请你计算 的值； （2）按照这个规定，请你计算：当 x2－4x+4=0 时， 的值． 思路分析：（1）根据符号 的意义得到 =5×8－7×6，然后进行实数的乘法运算， 再进行实数的减法运算即可； （2）利用配方法解方程 x2－4x+4=0 得 x=2，则 = ，然后根据符号 的意义得到 3×1－4×1，再进行实数的运算． 解：（1） =5×8－7×6=－2； （2）由 x2－4x+4=0 得（x－2）2=4， ∴x=2， ∴ = =3×1－4×1=－1． 点评：本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行加减运 算．也考查了配方法解一元二次方程以及阅读理解能力． 1| 3 2 | 6sin 45 4−− − + 2 13 2 6 2 4 − × + 13 2 3 2 4 − + 1 4 a b c d a b c d 1 2 1 4 2 3 23 4 = × − × = − 2 4 ( 2) 5 4 3 223 5 − = − × − × = − 5 6 7 8 1 2 1 2 3 x x x x + − − a b c d 5 6 7 8 1 2 1 2 3 x x x x + − − 3 4 1 1 a b c d 5 6 7 8 1 2 1 2 3 x x x x + − − 3 4 1 1 对应训练 【聚焦山东中考】 一、选择题 1．（2012•泰安）下列各数比－3 小的数是（　　） A．0 B．1 C．－4 D．－1 答案：C 2．（2012•聊城）计算 的结果是（　　） A． B． C．－1 D．1 答案：A 3．（2012•菏泽）在算式 的 中填上运算符号，使结果最大，这个运算符 号是（　　） A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号 答案：D 二、填空题 1．（2012•德州） ．（填“＞”、“＜”或“=”） 答案：＞ 2．（2012•济南）计算：2sin30° = ． 答案：－3 解：2sin30° =2× －4=1－4=－3． 故答案为：－3． 1 2| |3 3 − − 1 3 − 1 3 3 3( ) ( )3 3 − −  5 1 2 − 1 2 16− 16− 1 2 【备考真题过关】 一、选择题 1．（2012•重庆）在－3，－1，0，2 这四个数中，最小的数是（　　） A．－3 B．－1 C．0 D．2 答案：A 2．（2012•桂林）下面是几个城市某年一月份的平均温度，其中平均温度最低的城市是（　　） A．桂林 11.2℃ B．广州 13.5℃ C．北京－4.8℃ D．南京 3.4℃ 答案：C 3．（2012•莆田）下列各数中，最小的数是（　　） A．－l B．0 C．1 D． 答案：A 4．（2012•肇庆）计算－3+2 的结果是（　　） A．1 B．－1 C．5 D．－5 答案：B 5．（2012•南通）计算 6÷（－3）的结果是（　　） A． B．－2 C．－3 D．－18 答案：B 6．（2012•滨州）－23 等于（　　） A．－6 B．6 C．－8 D．8 答案：C 7．（2012•黑龙江）若（a－2）2+|b－1|=0，则（b－a）2012 的值是（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2012 答案：C 8．（2012•义乌市）一个正方形的面积是 15，估计它的边长大小在（　　） A．2 与 3 之间 B．3 与 4 之间 C．4 与 5 之间 D．5 与 6 之间 答案：B 9．（2012•天津）估计 的值在（　　） A．2 到 3 之间 B．3 到 4 之间 C．4 到 5 之间 D．5 到 6 之间 3 1 2 − 6 1+ 答案：B 二、填空题 10．（2012•绵阳）比－1℃低 2℃的温度是 ℃．（用数字填写） 答案：－3 11．（2012•扬州）扬州市某天的最高气温是 6℃，最低气温是－2℃，那么当天的日温差 是 ． 答案：8℃ 13．（2012•云南）写出一个大于 2 小于 4 的无理数： 。 答案： 、 、 、π…（只要是大于 小于 无理数都可以） 14．（2012•陕西）计算 2cos45°－ + = ． 答案： 15．（2012•荆门）计算 ． 答案：－1 16．（2012•沈阳）今年沈阳市人均月最低工资标准为 900 元，相比去年提高了 200 元，则 今年沈阳市人均最低工资相比去年涨幅的百分数约为 %（结果保留一位小 数）． 答案：28.6 解：∵沈阳市人均月最低工资标准为 900 元，相比去年提高了 200 元， ∴去年人均最低工资=900－200=700 元， ∴今年沈阳市人均最低工资相比去年涨幅的百分数=200 700 ≈0.286=28.6%． 故答案为：28.6． 17．（2012•黄石）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时就能在课堂上快 速地计算出 1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下： 令 S=1+2+3+…+98+99+100 ① S=100+99+98+…+3+2+1 ② ①+②：有 2S=（1+100）×100 解得：S=5050 请类比以上做法，回答下列问题： 若 n 为正整数，3+5+7+…+（2n+1）=168，则 n= ． 7 8 3 9 4 16 3 8 0(1 2)− 5 2 1− + 2 01 ( 2) ( 3 2)16 −− − − = 答案：12 解：设 S=3+5+7+…+（2n+1）=168①， 则 S=（2n+1）+…+7+5+3=168②， ①+②得，2S=n（2n+1+3）=2×168， 整理得，n2+2n－168=0， 解得 n1=12，n2=－14（舍去）． 故答案为：12． 三、解答题 18．（2012•珠海）计算： ． 解：原式=2－1+1－2=0． 19．（2012•株洲）计算：2－1+cos60°－|－3|． 解：原式= ． 20．（2012•重庆）计算： ． 解：原式=2+1－5+1+9=8． 2 0 11 (-2) | 1|+(2012 ) ( )2 π −− − − − 1 1 3 22 2 + − = − 0 2012 214 ( 2) | 5| ( 1) ( )3 π −+ − − − + − +