初三中考正多边形和圆弧长和扇形面积专项复习 13页

辅导教案 讲义编号： ‎ 学员编号： XCST 年 级：初二 课 时 数： 3课时 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： ‎ 课 题 正多边形和圆、弧长和扇形面积 授课日期 及时段 ‎2015-7-20‎ 教学目的 1、 了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；‎ 2、 通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积 的计算公式，并应用这些公式解决问题；‎ 3、 了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题． ‎ 重点、难点 重点：1、正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系； 　　 2、n°的圆心角所对的弧长，扇形面积及它们的应用； 　　 3、圆锥侧面积和全面积的计算公式．‎ 难点：1、正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系； 　　 2、弧长和扇形面积公式的应用；由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程； 　　 3、圆锥侧面积和全面积的计算公式．‎ 教学内容 ‎【知识回顾】：‎ 知识点一、正多边形的概念 　　定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 　　要点诠释： 　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形). 知识点二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 ‎． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 图24.4-3‎ ‎　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 知识点三、正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边 　　　数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 知识点四、正多边形的画法 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 知识点五、弧长公式 在半径为R的圆中 由于360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：， 所以n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分). 要点诠释： (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. ‎ 知识点六、扇形面积公式 1.扇形定义： 　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. ‎ ‎2.扇形面积公式： 在半径为R的圆中 　由于360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：， 　所以n°的圆心角所对的扇形面积公式：. 要点诠释： 　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即； 　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量； 　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：. 知识点七、圆锥的侧面积和全面积 　　连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 　　圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形面积圆心角为n°，则 　　圆锥的侧面积，全面积. 要点诠释： 　　扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的. 【规律方法指导】： 　　1．首先要结合图形真正理解掌握正多边形及其相关的一些概念； 　　2．在进行正多边形的有关计算时，要利用由正多边形的半径、边心距及弦的一半组成的直角三角形结 　 　　合勾股定理进行计算； 　　3．注意掌握用尺规等分圆的方法画一些特殊的正多边形； 　　4．注意弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位，若圆心角的单位不统一，应先统 　 　　一单位，化为度； 　　5．扇形面积公式与三角形面积公式类似.把弧长看作底，R看做高就比较容易记忆了； 　　6．对组合图形面积的计算问题，应认真全面观察和分析图形，避免拿起题目就盲目乱做.‎ 经典例题透析 类型一、正多边形的概念 　　1.已知：如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠A=36°，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形 　　‎ ‎ 类型二、正多边形的有关计算 　　　2：已知，正六边形ABCDEF的边心距为a，求它的半径 R6，边长a6，周长P6，面积S6。 　　 　‎ ‎ 　　举一反三： 　　【变式1】已知，如图，正八边形ABCDEFGH内接于半径为R的⊙O，求这个八边形的面积. 　　‎ ‎ 　　　　 　　　　 　　　　　　　　 　　探究思考： 　　这个八边形的边长a=? 　　‎ ‎ 类型三、考查弧长和扇形的计算 ‎ 　　 例1：在⊙中，120°的圆心角所对的弧长为，那么⊙O的半径为___________cm。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例2：若扇形的圆心角为120°，弧长为，则扇形半径为_____________，扇形面积为____________________。‎ ‎ 例3：如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2倍，这个扇形的中心角为____________。‎ ‎ 例4：已知扇形的周长为28cm，面积为49cm2，则它的半径为____________cm。‎ 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　思路点拨：要求的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可． 　　 　　5.如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求的长(结果精确到0.1)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　思路点拨：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足． 　　‎ 例6：在△AOB中，∠O=90°，OA=OB=4cm，以O为圆心，OA为半径画，以AB为直径作半圆，求阴影部分的面积。‎ ‎ ‎ ‎　　类型四、圆锥面积的计算 　　‎ 例：一个圆锥的模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形铁皮制作，再用一块圆形铁皮做底，则这块图形铁皮的半径为______________。‎ ‎ 例：若圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是_______。‎ ‎ 例：已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为______。‎ ‎ 例：若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面展开图的圆心角是__________。‎ ‎ 例：一个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。‎ ‎ ‎ ‎ 例：蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为，高为3.5m，外围高4m的蒙古包，至少要多少平方米的毛毡？‎ ‎ ‎ ‎【练习巩固】‎ 一、选择 ‎1．圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（　　）．‎ A． B． C． D．‎ ‎3.如图已知扇形的半径为6cm，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 ‎(A)40° (B)80° (C)120° (D)150°‎ ‎5．如图，有一长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的顶点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A2C与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时，共走过的路径长为（ ）‎ ‎ A．10cm B．35cm C．45cm D．25cm ‎ ‎ ‎ ‎6．将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为( ) ‎ ‎ （A）10cm （B）30cm （C）40cm （D）300cm ‎ ‎7. 如果一个圆锥的主视图是正三角形，则其侧面展开图的圆心角为（ ）‎ A．120º B．约156º C．180º D．约208º ‎8.若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是（ ）‎ A．1.5 B．2 C．3 D．6‎ ‎ 9.现有30％圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为（ ）．‎ ‎ ‎ ‎ A.9° B.18° C.63° D.72°‎ 图6‎ ‎ ‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎10.已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图5）所示，则sinθ的值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎11.一个几何体的三视图如图6所示，那么这个几何体的侧面积是 A. 4π B.6π C. 8π D. 12π ‎12.如图7，已知的半径，，则所对的弧的长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 图9‎ 图8‎ 图7‎ O B A ‎ ‎ B C D A E F ‎13.将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为 ‎ ‎ A.10cm B.30cm C.40cm D.300cm ‎ ‎ ‎ ‎14．如图8，已知RtΔABC中，∠ACB=90°，AC= 4，BC=3，以AB边所在的直线为轴，将ΔABC旋转一周，则所得几何体的表面积是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎15.如图9，已知菱形的边长为，两点在扇形的上，求的长度及扇形的面积．‎ ‎16.边长为的正六边形的内切圆的半径为（ ）‎ A．　　B．　　C．　　D．‎ ‎17.在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径 高则这个圆锥漏斗的侧面积是（ ）‎ A．　B． C． D．‎ ‎18.如图，一把遮阳伞撑开时母线的长是2米，底面半径为1米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是（ ）‎ A．平方米　B．平方米 C．平方米 D．平方米 ‎19题 ‎18题 ‎ ‎2米 ‎1米 ‎ 19． 如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 （结果保留）．‎ ‎20. 将一块含30°角的三角尺绕较长直角边旋转一周得一圆锥，这个圆锥的高是，则圆锥的侧面积是____‎ ‎.‎ ‎21.如图，三角板中，，，．三角板绕直角顶点逆时针旋转，当点的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，则点转过的路径长为 　 ．‎ ‎22题 C A B ‎21题 ‎ ‎ ‎22．小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形纸帽，如图所示，纸帽的底面半径为9cm，母线长为30cm，制作这个纸帽至少需要纸板的面积至少为 ‎ ‎23.已知正六边形的边长为1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm（结果保留）．‎ ‎24 ．矩形ABCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置时（如图所示），则顶点A所经过的路线长是_________．‎ ‎ ‎A O C B D ‎26题 ‎25.一个圆锥的母线长为5cm，底面圆半径为3 cm，则这个圆锥的侧面积是 cm2（结果保留）．‎ ‎26. 如图，一条公路的转变处是一段圆弧（图中的），点是这段弧的圆心，是上一点，，垂足为，则这段弯路的半径是 m．‎ ‎27．如图，已知在中，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则+的值等于 ．‎ ‎27题 ‎31题 ‎30题 C A B S1‎ S2‎ C A B ‎28．一个扇形所在圆的半径为3cm，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积是 cm2．‎ ‎29. 已知在△ABC中，AB=6，AC=8，∠A=90°，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其表面积为,把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为，则：等于_________‎ ‎30.如图，在半径为，圆心角等于450的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D.E在OB上，点F在上，则阴影部分的面积为（结果保留） .‎ ‎31.如图，在中，分别以.为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）‎ ‎32.用一个半径为6，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高为　　　　　　．‎ ‎ ‎ ‎33. 75°的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径为 ．‎ ‎34．若一个圆锥的底面积是侧面积的，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是____ _度．‎ ‎35. 若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为 ．‎ ‎36.，，切⊙O于，两点，若，⊙O的半径为，则阴影部分的面积为 ．‎ ‎37题 A P B O ‎36题 ‎ ‎A N C D B M ‎37．如图，在中，，与相切于点，且交于两点，则图中阴影部分的面积是 （保留）．‎