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- 2021-05-11 发布
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2017年北京中考数学一模28题“几何综合题”
西城28.在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于点D.
(1)如图1,当∠ABC=90°时,若CE平分∠ACB,交AB于点E,交BD于点F.
①求证:△BEF是等腰三角形;
②求证:;
(2)点E在AB边上,连接CE. 若,在图2.中补全图形,判断∠ACE与∠ABC之间的数量关系,写出你的结论,并写出求解∠ACE与∠ABC关系的思路
图1 图2
朝阳28.在△ABC中,∠ACB=90°,AC<BC,点D在AC的延长线上,点E在BC边上,且BE=AD,
(1) 如图1,连接AE,DE,当∠AEB=110°时,求∠DAE的度数;
(2) 在图2中,点D是AC延长线上的一个动点,点E在BC边上(不与点C重合),且BE=AD,连接AE,DE,将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF,连接BF,DE.
①依题意补全图形;
②求证:BF=DE.
图2
图1
东城28. 在等腰△ABC中,
(1) 如图1,若△ABC为等边三角形,D为线段BC中点,线段AD关于直线AB的对称线 段为线段AE,连接DE,则∠BDE的度数为___________;
(2) 若△ABC为等边三角形,点D为线段BC上一动点(不与B,C重合),连接AD并将 线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE,连接BE.
①根据题意在图2中补全图形;
②小玉通过观察、验证,提出猜测:在点D运动的过程中,恒有CD=BE.经过与同学们的充分讨论,形成了几种证明的思路:
思路1:要证明CD=BE,只需要连接AE,并证明△ADC≌△AEB;
思路2:要证明CD=BE,只需要过点D作DF∥AB,交AC于F,证明△ADF≌△DEB;
思路3:要证明CD=BE,只需要延长CB至点G,使得BG=CD,证明△ADC≌△DEG;
……
请参考以上思路,帮助小玉证明CD=BE.(只需要用一种方法证明即可)
(3) 小玉的发现启发了小明:如图3,若AB=AC=kBC,AD=kDE,且∠ADE=∠C,此时小明发现BE,BD,AC三者之间满足一定的的数量关系,这个数量关系是______________________.(直接给出结论无须证明)
图1 图2 图3
房山28. 在△ABC中,AB=BC,∠B=90°,点D为直线BC上一个动点(不与B、C重合),连结AD
,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°,使点A旋转到点E,连结EC.
(1)如果点D在线段BC上运动,如图1:
①依题意补全图1;
②求证:∠BAD=∠EDC
③通过观察、实验,小明得出结论:在点D
运动的过程中,总有∠DCE=135°.小明与同学讨论后,形成了证明这个结论的几种想法:
想法一:在AB上取一点F,使得BF=BD,要证∠DCE =135°,只需证△ADF≌△DEC.
想法二:以点D为圆心,DC为半径画弧交AC于点F. 要证∠DCE=135°,只需证
△AFD≌△ECD.
想法三:过点E作BC所在直线的垂线段EF,要证∠DCE=135°,只需证EF=CF.
……
请你参考上面的想法,证明∠DCE=135°.
(2)如果点D在线段CB的延长线上运动,利用图2画图分析,∠DCE的度数还是确定的值吗?如果是,直接写出∠DCE的度数;如果不是,说明你的理由.
顺义28.在正方形ABCD和正方形DEFG中,顶点B、D、F在同一直线上,H是BF的中点.
(1)如图1,若AB=1,DG=2,求BH的长;
(2)如图2,连接AH,GH.
小宇观察图2,提出猜想:AH=GH,AH⊥GH.小宇把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:延长AH交EF于点M,连接AG,GM,要证明结论成立只需证△GAM是等腰直角三角形;
想法2:连接AC,GE分别交BF于点M,N,要证明结论成立只需证△AMH≌△HNG.
……
请你参考上面的想法,帮助小宇证明AH=GH,AH⊥GH.(一种方法即可)
平谷28.在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是BC边的中点,作射线DE,与边AB交于点E,射线DE
绕点D顺时针旋转120°,与直线AC交于点F.
(1)依题意将图1补全;
(2)小华通过观察、实验提出猜想:在点E运动的过程中,始终有DE=DF.小华把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:由点D是BC边的中点,通过构造一边的平行线,利用全等三角形,可证DE=DF;
想法2:利用等边三角形的对称性,作点E关于线段AD的对称点P,由∠BAC与∠EDF互补,可得∠AED与∠AFD互补,由等角对等边,可证DE=DF;
想法3:由等腰三角形三线合一,可得AD是∠BAC的角平分线,由角平分线定理,构造点D到AB,AC的高,利用全等三角形,可证DE=DF…….
请你参考上面的想法,帮助小华证明DE=DF(选一种方法即可);
(3)在点E运动的过程中,直接写出BE,CF,AB之间的数量关系.
备用图
图1
门头沟28. 已知△ABC,, ,在BA的延长线上任取一点D,过点D作BC的平行线交CA的延长线于点E.
(1)当时,如图28-1,依题意补全图形,直接写出EC,BC,ED的数量关系;
(2)当时,如图28-2,判断EC,BC,ED之间的数量关系,并加以证明;
(3)当时(),请写出EC,BC,ED之间的数量关系并写出解题思路.
28-1
28-2
海淀28.在ABCD中,点B关于AD的对称点为,连接,,交AD于F点.
(1)如图1,,求证:F为的中点;
(2)小宇通过观察、实验、提出猜想:如图2,在点B绕点A旋转的过程中,点F始终为的中点.小宇把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:过点作∥CD交AD于G点,只需证三角形全等;
想法2:连接交AD于H点,只需证H为的中点;
想法3:连接,,只需证.
……
请你参考上面的想法,证明F为的中点.(一种方法即可)
(3)如图3,当时,,CD的延长线相交于点E,求的值.
图2
图3
图1
丰台28.在边长为5的正方形ABCD中,点E,F分别是BC,DC边上的两个动点(不与
点B,C,D重合),且AE⊥EF.
(1)如图1,当BE = 2时,求FC的长;
(2)延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P.
①依题意将图2补全;
②小京通过观察、实验提出猜想:在点E运动的过程中,始终有AE=PE.小京把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的三种想法:
想法1:在AB上截取AG=EC,连接EG,要证AE=PE,需证△AGE≌△ECP.
想法2:作点A关于BC的对称点H,连接BH,CH,EH.要证AE=PE,
需证△EHP为等腰三角形.
想法3:将线段BE绕点B顺时针旋转90°,得到线段BM,连接CM,EM,
要证AE=PE,需证四边形MCPE为平行四边形.
请你参考上面的想法,帮助小京证明AE=PE.(一种方法即可)
图1 图2
石景山28.在正方形中,点是对角线上的动点(与点,不重合),连接.
(1)将射线绕点顺时针旋转,交直线于点.
①依题意补全图1;
②小研通过观察、实验,发现线段,,存在以下数量关系:
与的平方和等于的平方.小研把这个猜想与同学们进行交流,通
过讨论,形成证明该猜想的几种想法:
想法1: 将线段绕点逆时针旋转,得到线段, 要证, ,
的关系,只需证,,的关系.
想法:将沿翻折,得到,要证,,的关系,
只需证,,的关系.
……
请你参考上面的想法,用等式表示线段,,的数量关系并证明;
(一种方法即可)
(2)如图2,若将直线绕点顺时针旋转,交直线于点.小研完成作
图后,发现直线上存在三条线段(不添加辅助线)满足:其中两条线段的平
方和等于第三条线段的平方,请直接用等式表示这三条线段的数量关系.
图1 图2
通州28.在等边三角形ABC中,E为直线AB上一点,连接EC.ED与直线BC交于点D,ED=EC.
(1)如图1,AB=1,点E是AB的中点,求BD的长;
(2)点E是AB边上任意一点(不与AB边的中点和端点重合),依题意,将图2补全,判断AE与BD间的数量关系并证明;
(3)点E不在线段AB上,请在图3中画出符合条件的一个图形.
图1 图2 图3
怀柔28.(1)如图1,在△ACB和△ADB中,∠C=∠D =90°,过A,B,C三点可以作一个圆,此时AB为圆的直径,AB的中点O为圆心.因为∠D=90°,利用圆的定义可知点D也在此圆上,若连接DC,当∠CAB=31°时,利用圆的知识可知∠CDB= 度.
(2)如图2,在△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC=3,CE⊥AB于E,点F是CE中点,连接AF并延长交BC于点D.CG⊥AD于点G,连接EG.
①求证:BD=2DC;
②借助(1)中求角的方法,写出求EG长的思路.(可以不写出计算的结果)
图2
图1
西城28.证明:在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于点D.
∴∠ABD=∠CBD,AD=BD.
(1) ①∵∠ABC=90°,
∴∠ACB=45°.
∵CE平分∠ACB
∴∠ECB=∠ACE=22.5°.
∴∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°.
∴BE=BF.
∴△BEF是等腰三角形. 2分
②延长AB至M,使得BM=AB,连接CM.
∴BD∥CM,BD=CM
∴∠BCM=∠DBC=∠ABD=∠BMC=45°,
∠BFE=∠MCE.
∴BC=BM.
由①可得,∠BEF=∠BFE,BE=BF.
∴∠BFE =∠MCE=∠BEF.
∴EM=MC
∴ 5分
(2)∠ACE=∠ABC
a.与(1)②同理可证BD∥PC,BD=PC,BP=BC;
b.由可知△PEC和△BEF分别是等腰三角形;
c.由∠BEF+∠BFE+∠EBF=180°,∠FCD+∠DFC=90°,
可知∠ACE=∠ABC
7分
东城28.解:
(1)30°; …………1分
(2)思路1:如图,连接AE.
…………5分
思路2:过点D作DF∥AB,交AC于F.
…………5分
思路3:延长CB至G,使BG=CD.
…………5分
(3)k(BE+BD)=AC. …………7分
朝阳28.(1)解:∵
∴.
(2)①补全图形,如图所示.
②证明:由题意可知∠AEF=90°,EF=AE.
∵∠ACB=90°,
∴∠AEC+∠BEF=∠AEC+∠DAE=90°.
∴∠BEF=∠DAE.
∵BE=AD,
∴△EBF≌△ADE.
∴DE=BF.
房山28.(1)补全图形 ------1分
(2)证明:∵∠B=90º
∴∠BAD+∠BDA=90º
∵∠ADE=90º,点D在线段BC上
∴∠BAD+∠EDC=90º
∴∠BAD=∠EDC ------2分
证法1:在AB上取点F,使得BF=BD,连结DF ------3分
∵BF=BD,∠B=90º
∴∠BFD=45º
∴∠AFD=135º
∵BA=BC
∴AF=CD ------4分
在△ADF和△DEC中
∴△ADF≌△DEC ------5分
∴∠DCE=∠AFD=135º ------6分
证法2:以D为圆心,DC为半径作弧交AC于点F,连结DF ------3分
∴DC=DF ∠DFC=∠DCF
∵AB=BC ∠B=90º
∴∠ACB=45º ∠DFC=45º
∴∠FDC=90º ∠AFD=135º
∵∠ADE=∠FDC=90º
∴∠ADF=∠EDC ------4分
又∵AD=DE DF=DC
∴△ADF≌△CDE ------5分
∴∠AFD=∠DCE=135º ------6分
证法3:过点E作EF⊥BC交BC延长线于点F ------3分
∴∠EFD=90º
∵∠B=90º, ∴∠EFD=∠B
∵∠BAD=∠CDE,AD=DE
∴△ABD≌△DEF ------4分
∴AB=DF BD=EF
∵AB=BC
∴BC=DF,BC-DC=DF-DC 即BD=CF ------5分
∴EF=CF
∵∠EFC=90º
∴∠ECF=45º,∠DCE=135º ------6分
(2) ∠DCE=45º ------7分
顺义28.(1)解:∵ 正方形中ABCD和正方形DEFG,
∴ △ABD,△GDF为等腰直角三角形.
∵ AB=1,DG=2,
∴ 由勾股定理求得BD=,DF=.…………………………… 2分
∵ B、D、F共线,
∴ BF=.
∵ H是BF的中点,
∴ BH=BF=. …………………………………………………… 3分
5
(2)证法一:
延长AH交EF于点M,连接AG,GM,
∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线,
∴AB∥EF.
∴∠ABH=∠MFH.
又∵BH=FH,∠AHB=∠MHF,
∴△ABH≌△MFH.…………… 4分
∴AH=MH,AB=MF.
∵AB=AD,
∴AD=MF.
∵DG=FG,∠ADG=∠MFG=90°,
∴△ADG≌△MFG.…………… 5分
∴∠AGD=∠MGF,AG=MG.
又∵∠DGM+∠MGF=90°,
∴∠AGD+∠DGM=90°.
∴△AGM为等腰直角三角形.…………………………………… 6分
∵AH=MH,
∴AH=GH,AH⊥GH.…………………………………………… 7分
证法二:
连接AC,GE分别交BF于点M,N,
∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线,
∴AC⊥BF,GE⊥BF,DM=BD,DN=DF.
∴∠AMD=∠GNH=90°,MN=BF.………………………… 4分
∵H是BF的中点,
∴BH=BF.
∴BH=MN.
∴BH-MH=MN-MH.
∴BM=HN.
∵AM=BM=DM,
∴AM=HN=DM.
∴MD+DH=NH+DH.
∴MH=DN.
∵DN = GN,
∴MH = GN.
∴△AMH≌△HNG. ……………………………………………… 5分
∴AH=GH,∠AHM=∠HGN. …………………………………… 6分
∵∠HGN+∠GHN=90°,
∴∠AHM+∠GHN=90°.
∴∠AHG=90°.
∴AH⊥GH. ………………………………………………………… 7分
平谷28.解:(1)如图1, 1
图1
(2)
图2
图3
图4
想法1证明:如图2,过D作DG∥AB,交AC于G, 2
∵点D是BC边的中点,
∴DG=AB.
∴△CDG是等边三角形.
∴∠EDB+∠EDG=120°.
∵∠FDG+∠EDG=120°,
∴∠EDB =∠FDG. 3
∵BD=DG,∠B=∠FGD=60°,
∴△BDE≌△GDF. 4
∴DE=DF. 5
想法2证明:如图3,连接AD,
∵点D是BC边的中点,
∴AD是△ABC的对称轴.
作点E关于线段AD的对称点P,点P在边AC上, 2
∴△ADE≌△ADP.
∴DE=DP,∠AED=∠APD.
∵∠BAC+∠EDF=180°,
∴∠AED+∠AFD=180°.
∵∠APD+∠DPF=180°,
∴∠AFD=∠DPF. 3
∴DP=DF. 4
∴DE=DF. 5
想法3证明:如图4,连接AD,过D作DM⊥AB于M,DN⊥AB于N, 2
∵点D是BC边的中点,
∴AD平分∠BAC.
∵DM⊥AB于M,DN⊥AB于N,
∴DM=DN. 3
∵∠A=60°,
∴∠MDE+∠EDN=120°.
∵∠FDN+∠EDN=120°,
∴∠MDE=∠FDN.
∴Rt△MDE≌Rt△NDF. 4
∴DE=DF. 5
(3)当点F在AC边上时,; 6
当点F在AC延长线上时,. 7
门头沟28.(1)补全图形正确 . …………………1分
数量关系:EC=BC + ED. …………2分
(2)数量关系:.
过D作DF∥AC交BC延长线于F点
∵DF∥AC,ED∥BC,
∴四边形ADCF为平行四边形.
∴ED=CF , EC=DF.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵ED∥BC,
∴∠DEC=∠ECB, ∠EDB=∠DBC.
∴∠CED=∠BDE.
∴AE=AD.
∴EC=BD . …………………3分
∴BD=DF.
∵DF∥AC,
∴∠BDF=∠BAC=90°.
∴△BDF为等腰直角三角形.…………………4分
在Rt△BDF中
∵BF2=BD2+DF2,
∴(BC+ED)2=2EC2.
. …………………5分
(3)数量关系:.……6分
①由(2)可知四边形ACFD为平行四边形,△BDF为等腰三角形
过D点作DN⊥BC于N点可得BN=BF,∠BDN=.
②在Rt△BDN中
Sin∠BDN==sin .
可得.……………………………7分
海淀28.(1)证明:
∵四边形ABCD为平行四边形,∠ABC=90°,
∴□ABCD为矩形,AB=CD.
∴. ∠D =∠BAD = 90°.
∵ B,关于AD对称,
∴ ∠AD=∠BAD=90°,AB=A.----------------- 1分
∴ ∠AD=∠D.
∵ ∠AF=∠CFD,
∴ △AF≌ △CFD(AAS).
∴ F=FC.
∴ F是C的中点. ---------------------------------------------------------------------------- 2分
(2)证明:
方法1:过点作∥CD交AD于点G.
∵ B,关于AD对称,
∴ ∠1=∠2,AB=A.
∵ G∥CD, AB∥CD,
∴ G∥AB.
∴ ∠2=∠3.
∴ ∠1=∠3.
∴ A=G.
∵ AB=CD,AB=A,
∴ G=CD. ------------------------------------------------------------------------------------- 3分
∵ G∥CD,
∴ ∠4=∠D.----------------------------------------------------------------------------------------- 4分
∵ ∠FG=∠CFD,
∴ △FG ≌ △CFD(AAS).
∴ F=FC.
∴ F是C的中点. ---------------------------------------------------------------------------- 5分
方法2:连接交直线AD于H点,
∵ B,关于AD对称,
∴ AD是线段B的垂直平分线.
∴ H=HB.----------------------------- 3分
∵ AD∥BC,
∴ .-------------------- 4分
∴ F=FC.
∴ F是C的中点. --------------------------------------------------------------------------- 5分
方法3:连接,,
∵ B,关于AD对称,
∴ AD是线段B的垂直平分线.
∴ F=FB.----------------------------- 3分
∴ ∠1=∠2.
∵ AD∥BC,
∴ B⊥BC.
∴ ∠BC=90°.
∴ ∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°.
∴ ∠3=∠4.
∴ FB=FC.------------------------------------------------------------------------------------------- 4分
∴ F=FB=FC.
∴ F是C的中点. --------------------------------------------------------------------------- 5分
(3)解:取E的中点G,连结GF.
∵ 由(2)得,F为C的中点,
∴ FG∥CE,.…①
∵ ∠ABC=135°,□ABCD中,AD∥BC,
∴ ∠BAD=180°-∠ABC=45°.
∴ 由对称性,∠EAD=∠BAD=45°.
∵ FG∥CE,AB∥CD,
∴ FG∥AB.
∴ ∠GFA=∠FAB=45°. ----------------------------------------------------------------------------- 6分
∴ ∠FGA=90°,GA=GF.
∴ .…②
∴ 由①,②可得. ------------------------------------------------------------------ 7分
丰台28. 解:(1)∵正方形ABCD的边长为5, BE=2,
∴EC=3.
F
A
D
C
B
E
1
3
2
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠C= 90°,
∴∠1+∠3=90°,
∵AE⊥EF,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠2.
∴△ABE∽△ECF,
∴,即
∴FC=. ………………………………………………………………………2分
(2)①依题意补全图形. ……………………………………………………………3分
B
C
E
D
A
F
P
G
1
2
②法1:
证明:在AB上截取AG=EC,连接EG.
∵AB= BC,∴GB=EB.
∵∠B=90°,∴∠BGE=45°,∴∠AGE=135°.
∵∠DCB=90°,CP是正方形ABCD外角平分线,
∴∠ECP=135°.
∴∠AGE=∠ECP.
又∵∠1=∠2,∴△AGE≌△ECP.
∴AE=PE. ………………………………………………………………7分
1
2
B
C
E
D
A
F
P
H
4
5
6
法2:
证明:作点A关于BC的对称点H,连接BH,CH,EH.
∴AB=BH=BC,∠1=∠4,∠ABE=∠HBE=90°.
∴∠BHC=∠BCH =45°,∠4+∠5=45°.
∵∠1=∠2,
∴∠2+∠5=45°.
∵∠ECP=135°,
∴∠HCP=180°,点H,C,P在同一条直线上.
∵∠6=∠2+∠P=45°,
∴∠5 =∠P.
∴AE=PE. ………………………………………………………………7分
法3:
证明:将线段BE绕点B顺时针旋转90°,得到线段BM,连接CM,EM.
∴MB=EB,∴∠MEB=45°,∠MEC=135°.
B
C
E
D
A
F
P
M
1
由法1∠ECP=135°,∴∠MEC=∠ECP.
∴ME∥PC.
又∵AB=BC,∠ABC=∠MBC=90°.
∴△ABE≌△CBF.
∴∠1=∠BCM,MC=AE.
∴MC∥EP.
∴四边形MCPE为平行四边形.
∴MC=PE.
∴AE=PE. ………………………………………………………………7分
石景山28.(1)①依题意补全图形,如图1.…………………… 1分
②线段,,的数量关系为:. ……… 2分
图2
图1
证法一:
过点作于点且,
连接,,如图2.
∵四边形是正方形,
∴.
∵,
∴.
又∵,
∴. ………………………………… 3分
∴.
∵,,
∴.
又∵,
∴. ………………………………… 4分
∴,.
∴.
在中,.
∴. ………………………………… 5分
证法二:
作,且,连接,,如图3.
又∵,
∴. ………………………………… 3分
∴.
∵四边形是正方形,
∴.
∴.
图3
∵,
,
∴.
又∵,
∴. ………………………………… 4分
∴,.
∴.
∴在中,.
∴. ………………………………… 5分
(2)用等式表示这三条线段的数量关系:. …………… 7分
通州
28.解:(1)……………………..(1分)
…………..(2分)
(2)AE=BD ……..(3分)
证明思路1:利用等边三角形的性质,
证明△BDE与EC所在的三角形全等;
证明思路2:利用等腰三角形的轴对称性,
作出△BDE的轴对称图形;
证明思路3:将△BDE绕BE边的中点旋转180°,
构造平行四边形; ……………………..(6分)
……
(3)图形正确 ……………………..(7分)
怀柔28. 解:(1)31°. ……………………………2分
(2)①过点E作EH∥AD交CB于H点. ……………………3分
∵CE⊥AB于点E,AC=BC,
∴点E是AB中点.∴BH=DH.
∵点F是CE中点,∴HD=DC.
∴BD=2CD. ……………………………4分
②∵CE⊥AB于点E,∴∠CEA=90°.
∵CG⊥AD于点G,∴∠CGA=90°.∴AC为圆的直径.
∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠CAE =45°.
∵CE⊥AB于点E,∴∠ACE =45°.∴∠AGE=45°. ……………………………5分
方法1:解斜三角形法
在Rt△DCA中,因为∠C =90°, CG⊥AD于点G,DC=1.
所以可以求出CG的长. ……………………………6分
又因为∠CGE==135°,CE=.
解△ECG可求出EG的长.(此题解△AEG也可行)…………………7分
方法2:证明等腰直角三角形法.
延长CG交EH于M点.
因为EH∥AD交CB于H点,点F是CE中点,
所以点G为MC的中点.
因为AD=.
∴CG=.∴MG=.……………………6分
因为∠EGA=∠ACE=45°,所以∠CGE==135°.
所以∠MGE=∠GEM=45°,所以GE可解.
∵ME=MG=.,∴EG=.………………………7分
方法3:相似法
∵AC=BC=3,∴AB=.∴AE=.
∵CD=1,∴BD=2,AD.
∵∠AGE=∠B= 45°, ∠DAB=∠EAD.∴△AGE△ABD. …………………6分
∴.∴.∴EG=.………………………7分
方法4:旋转法:过E 作EK⊥GE交AD于点K,
可证△AKE△CGE(ASA). …………………6分
∴AK=CG=.∵CD=1,AD,∴DG=.
∴KG=.∴EG=.……………………………7分