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- 2021-05-11 发布
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2010中考数学分类汇编
一、选择题
1.(2010湖北鄂州)如图所示,四边形OABC为正方形,边长为6,点A、C分别在x轴,y轴的正半轴上, 点D在OA上,且D点的坐标为(2,0),P是OB上的一个动点,试求PD+PA和的最小值是( )
A. B. C.4 D.6
【答案】A
2.3.4.5.6.7.8.9.10.
11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.
21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.
二、填空题
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.
11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.
21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.
三、解答题
1.(2010广东中山)如图(1),(2)所示,矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2.动点M、N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上),当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动.连接FM、MN、FN,当F、N、M不在同一直线时,可得ΔFMN,过ΔFMN三边的中点作ΔPQW.设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒.试解答下列问题:
(1)说明ΔFMN∽ΔQWP;
(2)设0≤x≤4(即M从D到A运动的时间段).试问x为何值时,ΔPQW为直角三角形?当x在何范围时,ΔPQW不为直角三角形?
(3)问当x为何值时,线段MN最短?求此时MN的值.
.
【答案】解:(1)由题意可知P、W、Q分别是ΔFMN三边的中点,
∴PW是ΔFMN的中位线,即PW∥MN
∴ΔFMN∽ΔQWP
(2)由题意可得 DM=BN=x,AN=6-x,AM=4-x,
由勾股定理分别得 =,
=+
=+
①当=+时,+=++
解得
②当=+时,+=++
此方程无实数根
③=+时,=+++
解得 (不合题意,舍去),
综上,当或时,ΔPQW为直角三角形;
当0≤x<或<x<4时,ΔPQW不为直角三角形
(3)①当0≤x≤4,即M从D到A运动时,只有当x=4时,MN的值最小,等于2;
②当4<x≤6时,=+=+
=
当x=5时,取得最小值2,
∴当x=5时,线段MN最短,MN=.
2.(2010湖南常德)如图9, 已知抛物线与轴交于A (-4,0) 和B(1,0)两点,与轴交于C点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)设E是线段AB上的动点,作EF//AC交BC于F,连接CE,当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时,求E点的坐标;
(3)若P为抛物线上A、C两点间的一个动点,过P作轴的平行线,交AC于Q,当P点运动到什么位置时,线段PQ的值最大,并求此时P点的坐标.
x
y
O
B
C
A
图9
【答案】解:(1)由二次函数与轴交于、两点可得:
解得:
故所求二次函数的解析式为.
(2)∵S△CEF=2 S△BEF, ∴
∵EF//AC, ∴,
∴△BEF~△BAC,
∴得
故E点的坐标为(,0).
(3)解法一:由抛物线与轴的交点为,则点的坐标为(0,-2).若设直线的解析式为,则有 解得:
故直线的解析式为.
若设点的坐标为,又点是过点所作轴的平行线与直线的交点,则点的坐标为(.则有:
=
=
即当时,线段取大值,此时点的坐标为(-2,-3)
解法二:延长交轴于点,则.要使线段最长,则只须△的面积取大值时即可.
设点坐标为(,则有:
=
=
=
=
= =-
即时,△的面积取大值,此时线段最长,则点坐标
为(-2,-3)
3.(2010湖北荆州)如图,直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点,边OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA∥BC,D是BC上一点,BD=OA=,AB=3,∠OAB=45°,E、F分别是线段OA、AB上的两动点,且始终保持∠DEF=45°.
(1)直接写出D点的坐标;
(2)设OE=x,AF=y,试确定y与x之间的函数关系;
(3)当△AEF是等腰三角形时,将△AEF沿EF折叠,得到△,求△与五边形OEFBC重叠部分的面积.
【答案】解:(1)D点的坐标是.
(2)连结OD,如图(1),
由结论(1)知:D在∠COA的平分线上,则
∠DOE=∠COD=45°,又在梯形DOAB中,∠BAO=45°,∴OD=AB=3
由三角形外角定理得:∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45°
∴∠1=∠2, ∴△ODE∽△AEF
∴,即:
∴y与x的解析式为:
(3)当△AEF为等腰三角形时,存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况.
① 当EF=AF时,如图(2).
∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,
∴△AEF为等腰直角三角形.D在A’E上(A’E⊥OA),
B在A’F上(A’F⊥EF)
∴△A’EF与五边形OEFBC重叠的面积为
四边形EFBD的面积.
∵
∴
∴
∴(也可用)
②当EF=AE时,如图(3),
此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.
∠DEF=∠EFA=45°, DE∥AB , 又DB∥EA
∴四边形DEAB是平行四边形
∴AE=DB=
∴
③当AF=AE时,如图(4),四边形AEA’F为菱形且△A’EF在五边形OEFBC内.
∴此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.
由(2)知△ODE∽△AEF,则OD=OE=3
∴AE=AF=OA-OE=
过F作FH⊥AE于H,则
∴
综上所述,△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为或1或
4.(2010湖北鄂州)如图,在直角坐标系中,A(-1,0),B(0,2),一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动,P点的运动速度为每秒1个单位长度,射线BM与x轴交与点C.
(1)求点C的坐标.
(2)求过点A、B、C三点的抛物线的解析式.
(3)若P点开始运动时,Q点也同时从C出发,以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动,t秒后,以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形.(点P到点C时停止运动,点Q也同时停止运动)求t的值.
(4)在(2)(3)的条件下,当CQ=CP时,求直线OP与抛物线的交点坐标.
【答案】
(1)点C的坐标是(4,0);
(2)设过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),将点A、B、C三点的坐标代入得:
解得,∴抛物线的解析式是:y= x2+x+2.
(3)设P、Q的运动时间为t秒,则BP=t,CQ=t.以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形,可分三种情况讨论.
①若CQ=PC,如图所示,则PC= CQ=BP=t.∴有2t=BC=,∴t=.
②若PQ=QC,如图所示,过点Q作DQ⊥BC交CB于点D,则有CD=PD.由△ABC∽△QDC,可得出PD=CD=,∴,解得t=.
③若PQ=PC,如图所示,过点P作PE⊥AC交AC于点E,则EC=QE=PC,∴t=(-t),解得t=.
(4)当CQ=PC时,由(3)知t=,∴点P的坐标是(2,1),∴直线OP的解析式是:y=x,因而有x =x2+x+2,即x2-2x-4=0,解得x=1±,∴直线OP与抛物线的交点坐标为(1+,)和(1-,).
5.(2010湖北省咸宁)如图,直角梯形ABCD中,AB∥DC,,,.动点M以每秒1个单位长的速度,从点A沿线段AB向点B
运动;同时点P以相同的速度,从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时,两点同时停止运动.过点M作直线l∥AD,与线段CD的交点为E,与折线A-C-B的交点为Q.点M运动的时间为t(秒).
(1)当时,求线段的长;
(2)当0<t<2时,如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形,求t的值;
(3)当t>2时,连接PQ交线段AC于点R.请探究是否为定值,若是,试求这个定值;若不是,请说明理由.
A
B
C
D
(备用图1)
A
B
C
D
(备用图2)
Q
A
B
C
D
l
M
P
(第24题)
E
【答案】解:(1)过点C作于F,则四边形AFCD为矩形.
Q
A
B
C
D
l
M
P
(第24题)
E
F
∴,.
此时,Rt△AQM∽Rt△ACF.……2分
∴.
即,∴.
(2)∵为锐角,故有两种情况:
①当时,点P与点E重合.
此时,即,∴.
A
B
C
D
(备用图1)
Q
P
E
l
M
②当时,如备用图1,
此时Rt△PEQ∽Rt△QMA,∴.
由(1)知,,
而,
∴. ∴.
综上所述,或.
(3)为定值.
当>2时,如备用图2,
A
B
C
D
(备用图2)
M
Q
R
F
P
.
由(1)得,.
∴. ∴.
∴. ∴.
∴四边形AMQP为矩形. ∴∥.
∴△CRQ∽△CAB.
∴.
6.(2010江苏扬州)在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,CD是斜边AB上的高,点E在斜边AB上,过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F,设AE=x,△AEF的面积为y.
(1)求线段AD的长;
(2)若EF⊥AB,当点E在线段AB上移动时,
①求y与x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)
②当x取何值时,y有最大值?并求其最大值;
(3)若F在直角边AC上(点F与A、C两点均不重合),点E在斜边AB上移动,试问:是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分?若存在直线EF,求出x的值;若不存在直线EF,请说明理由.
A
B
C
D
A
B
C
D
备用图
【答案】解:(1)∵AC=3,BC=4
∴AB=5
∵AC·BC=AB·CD,
∴CD=,AD=
(2)①当0<x≤时
∵EF∥CD
∴△AEF∽△ADC
∴
即EF=x
∴y=·x·x=
当<x≤5时
易得△BEF∽△BDC,同理可求EF=(5—x)
∴y=·x·(5—x)=≤
②当0<x≤时,y随x的增大而增大.
y=≤,即当x=时,y最大值为
当<x≤5时,
∵
∴当时,y的最大值为
∵<
∴当时,y的最大值为
(3)假设存在
当0<x≤5时,AF=6—x
∴0<6—x<3
∴3<x<6
∴3<x≤5
作FG⊥AB与点G
由△AFG∽△ACD可得
∴,即FG=
∴x·=
∴=3,即2x2-12x+5=0
解之得x1=,x2=
∵3<x1≤5
∴x1=符合题意
∵x2=<3
∴x2不合题意,应舍去
∴存在这样的直线EF,此时,x=
7.(2010北京)在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,n)在这条抛物线上.
(1)求B点的坐标;
(2)点P在线段OA上,从O点出发向A点运动,过P点作x轴的垂线,与直线OB交与点E,延长PE到点D,使得ED=PE,以PD为斜边,在PD右侧做等等腰直角三角形PCD(当P点运动时,C点、D点也随之运动).
① 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求OP的长;
-1
y
x
O
(第24题)
1
2
3
4
-2
-4
-3
3
-1
-2
-3
-4
4
1
2
② 若P点从O点出发向A点作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动,速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动,P点也同时停止运动).过Q点做x轴的垂线,与直线AB交与点F,延长QF到点M,使得FM=QF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时,M点、N点也随之运动).若P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值.
【答案】解:(1)∵抛物线经过原点,
∴m2—3m+2=0.
解的m1=1,m2=2.
由题意知m≠1.
∴m=2,
∴抛物线的解析式为
∵点B(2,n)在抛物线,
n=4.
∴B点的坐标为(2,4)
(2)①设直线OB的解析式为y=k1x
求得直线OB的解析式y=2x
∵A点是抛物线与x轴的一个交点,
可求得A点的坐标为(10,0),
设P点的坐标为(a,0),则E点的坐标为(a,2a).
根据题意做等腰直角三角形PCD,如图1.
可求得点C的坐标为(3a,2a),
有C点在抛物线上,
得2a=-x(3a)2+x3a.
即a2— a=0
解得 a1=,a2=0(舍去)
∴OP=
②依题意作等腰直角三角形QMN.
设直线AB的解析式y=k2x+b
由点A(10 ,0),点B(2,4),求得直线AB的解析式为y=-x+5
当P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,有以下三种情况:
第一种情况:CD与NQ在同一条直线上,如图2所示,
可证△DPQ为等腰直角三角形.此时QP、OP、AQ的长可依次表示为t 、4t、 2t个单位.
∴PQ = DP = 4t
∴t+4t+2t=10
∴t=
第二种情况:PC与MN在同一条直线上,如图3所示.可证△PQM为等腰直角三角形.
此时OP、AQ的长依次表示为t、2t个单位,
∴OQ = 10 - 2t
∵F点在直线AB上
∴FQ=t
∵MQ=2t
∴PQ=MQ=CQ=2t
∴t+2t+2t=10
∴t=2.
第三种情况:点P、Q重合时,PD、QM在同一条直线上,如图4所示,此时OP、AQ的长依次表示为t、2t个单位.
∴t+2t=10
∴t=
综上,符合题意的值分别为,2,.
8.(2010云南红河哈尼族彝族自治州)如图9,在直角坐标系xoy中,O是坐标原点,点A在x正半轴上,OA=cm,点B在y轴的正半轴上,OB=12cm,动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动,动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动,动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动,移动时间为t(0<t<6)s.
(1)求∠OAB的度数.
(2)以OB为直径的⊙O‘与AB交于点M,当t为何值时,PM与⊙O‘相切?
(3)写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式,并求s的最小值及相应的t值.
(4)是否存在△APQ为等腰三角形,若存在,求出相应的t值,若不存在请说明理由.
【答案】解:(1)在Rt△AOB中:
tan∠OAB=
∴∠OAB=30°
(2)如图10,连接O‘P,O‘M. 当PM与⊙O‘相切时,有∠PM O‘=∠PO O‘=90°,
△PM O‘≌△PO O‘
由(1)知∠OBA=60°
∵O‘M= O‘B
∴△O‘BM是等边三角形
∴∠B O‘M=60°
可得∠O O‘P=∠M O‘P=60°
∴OP= O O‘·tan∠O O‘P
=6×tan60°=
又∵OP=t
∴t=,t=3
即:t=3时,PM与⊙O‘相切.
(3)如图9,过点Q作QE⊥x于点E
∵∠BAO=30°,AQ=4t
∴QE=AQ=2t
AE=AQ·cos∠OAB=4t×
∴OE=OA-AE=-t
∴Q点的坐标为(-t,2t)
S△PQR= S△OAB -S△OPR -S△APQ -S△BRQ
=
=
= ()
当t=3时,S△PQR最小=
(4)分三种情况:如图11.
当AP=AQ1=4t时,
∵OP+AP=
∴t+4t=
∴t=
或化简为t=-18
当PQ2=AQ2=4t时
过Q2点作Q2D⊥x轴于点D,
∴PA=2AD=2A Q2·cosA=t
即t+t =
∴t=2
当PA=PQ3时,过点P作PH⊥AB于点H
AH=PA·cos30°=(-t)·=18-3t
AQ3=2AH=36-6t
得36-6t=4t,
∴t=3.6
综上所述,当t=2,t=3.6,t=-18时,△APQ是等腰三角形.
9.(2010云南楚雄)已知:如图,⊙与轴交于C、D两点,圆心的坐标为(1,0),⊙的半径为,过点C作⊙的切线交于点B(-4,0).
(1)求切线BC的解析式;
(2)若点P是第一象限内⊙上一点,过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G,且∠CGP=120°,求点的坐标;
(3)向左移动⊙(圆心始终保持在上),与直线BC交于E、F,在移动过程中是否存在点,使得△AEF是直角三角形?若存在,求出点 的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)连接,∵是⊙A的切线,∴.
∴.
∵,∴,∴.
∴△∽△,∴.
即,∴.∴点坐标是(0,2).
设直线的解析式为,∵该直线经过点B(-4,0)与点(0,2),
∴ 解得
∴该直线解析式为.
(2)连接,过点作.
由切线长定理知
.
在中,∵,
∴.
在中,由勾股定理得
.
∴ .
又∵.
∴∽,∴,
∴.
则是点的纵坐标,
∴,解得.
∴点的坐标.
(3)如图示,
当在点的右侧时
∵、在⊙上,∴.
若△是直角三角形,则,且为等腰直角三角形.
过点作,在中由三角函数可知
.
又∵∽ ,
∴ ,
∴.
∴,
∴点 坐标是.
当在点的左侧时:同理可求点 坐标是.
10.(2010四川乐山)如图(13.1),抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,2),连接AC,若tan∠OAC=2.
(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;
(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使∠APC=90°,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图(13.2)所示,连接BC,M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点,过点M作直线l′∥l,交抛物线于点N,连接CN、BN,设点M的横坐标为t.当t为何值时,△BCN的面积最大?最大面积为多少?
【答案】解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点C(0,2). ∴x=2
又∵tan∠OAC==2, ∴OA=1,即A(1,0).
又∵点A在抛物线y=x2+bx+2上. ∴0=12+b×1+2,b=-3
∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2-3x+2
(2)存在
过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示,
∴x=-.∴AE=OE-OA=-1=,∵∠APC=90°,
∴tan∠PAE= tan∠CPD∴,即,解得PE=或PE=,
∴点P的坐标为(,)或(,)。(备注:可以用勾股定理或相似解答)
(3)如图,易得直线BC的解析式为:y=-x+2,
∵点M是直线l′和线段BC的交点,∴M点的坐标为(t,-t+2)(0<t<2)
∴MN=-t+2-(t2-3t+2)=- t2+2t
∴S△BCM= S△MNC+S△MNB=MN▪t+MN▪(2-t)
=MN▪(t+2-t)=MN=- t2+2t(0<t<2),
∴S△BCN=- t2+2t=-(t-1)2+1
∴当t=1时,S△BCN的最大值为1。
11.(2010黑龙江哈尔滨)如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形AOCB是梯形,AB∥OC,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(10,0),OB=OC.
(1)求点B的坐标;
(2)点P从C点出发,沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动,过点P作PH⊥OB,垂足为H,设△HBP的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(直接写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,过点P作PM∥CB交线段AB于点M,过点M作MR⊥OC,垂足为R,线段MR分别交直线PH、OB于点E、G,点F为线段PM的中点,连接EF,当t为何值时,?
【答案】解:(1)如图1,过点B作BN⊥OC,垂中为N
由题意知OB=OC=10,BN=OA=8
…………1分 ∴B(6,8)
(2)如图1,
∽
(3)①当点G在点E上方时,
如图2,过点B作,垂足为
∴四边形BMPC是平行四边形
∵PM∥CB ∴∠OPD=∠OCB ∠ODP=∠OBC
∴∠OPD=∠ODP ∵∠OPD+∠RMP=90° ∠ODP+∠DPH=90°
∴∠RMP=∠DPH ∴EM=EF
∵点F为PM的中点 ∴EF⊥PM
∵∠EMF=∠PMR ∠EFM=∠PRM=90° ∴△MEF∽△MPR
∵AB//OC ∴∠MBG=∠BON′ 又∵∠GMB=∠ON′B=90°
∴△MGB∽△NB′O
②当点G在点E下方时
如图3 同理可得 MG=ME+EG=5+2=7
12.(2010江苏徐州)如图①,梯形ABCD中,∠C=90°.动点E、F同时从点B出发,点E沿折线 BA—AD—DC运动到点C时停止运动,点F沿BC运动到点C时停止运动,它们运动时的速度都是1 cm/s.设E、F出发t s时,△EBF的面积为y cm2.已知y与t的函数图象如图②所示,其中曲线OM为抛物线的一部分,MN、NP为线段.请根据图中的信息,解答下列问题:
(1)梯形上底的长AD=_____cm,梯形ABCD的面积_____cm2;
(2)当点E在BA、DC上运动时,分别求出y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围);
(3)当t为何值时,△EBF与梯形ABCD的面积之比为1:2.
【答案】
13.14.(2010 山东东营) 如图,在锐角三角形ABC中,,△ABC的面积为48,D,E分别是边AB,AC上的两个动点(D不与,重合),且保持DE∥BC,以DE为边,在点的异侧作正方形DEFG.
(1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,求正方形DEFG的边长;
B
(第24题图)
A
D
E
F
G
C
B
(备用图(1))
A
C
B
(备用图(2))
A
C
(2)设DE = x,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为,试求关于的函数关系式,写出x的取值范围,并求出y的最大值.
【答案】解:(1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,如图
(1),过点A作BC边上的高AM,交DE于N,垂足为M.
B
(第24题图(1))
A
D
E
F
G
C
M
N
∵S△ABC=48,BC=12,∴AM=8.
∵DE∥BC,△ADE∽△ABC, ………1分
∴,
而AN=AM-MN=AM-DE,∴. ……………………2分
解之得.
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时,正方形DEFG的边长为4.8.…3分
B
(第24题图(2))
A
D
E
F
G
C
(2)分两种情况:
①当正方形DEFG在△ABC的内部时,如图(2),△ABC
与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积,
∵DE=x,∴,此时x的范围是≤4.8…4分
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时,
如图(2),设DG与BC交于点Q,EF与BC交于点P,
M
B
(第24题图(3))
A
D
E
F
G
C
N
P
Q
△ABC的高AM交DE于N,
∵DE=x,DE∥BC,∴△ADE∽△ABC, …………5分
即,而AN=AM-MN=AM-EP,
∴,解得.………6分
所以, 即.………7分
由题意,x>4.8,x<12,所以.
因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为
(0< x≤4.8)
……………………………………8分
当≤4.8时,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04
当时,因为,所以当时,
△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为.
因为24>23.04,
所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24. …………………10分15.(2010广东东莞)如图(1),(2)所示,矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2.动点M、N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上),当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动.连接FM、MN、FN,当F、N、M不在同一直线时,可得△FMN,过△FMN三边的中点作△PQW.设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒.试解答下列问题:
⑴说明△FMN ∽ △QWP;
⑵设0≤≤4(即M从D到A运动的时间段).试问为何值时,△PQW为直角三角形?当在何范围时,△PQW不为直角三角形?
⑶问当为何值时,线段MN最短?求此时MN的值.
【答案】⑴∵P、Q、W分别为△FMN三边的中点
∴PQ∥FN,PW∥MN
∴∠MNF=∠PQM=∠QPW
同理:∠NFM=∠PQW
∴△FMN ∽ △QWP
⑵
由⑴得△FMN ∽ △QWP,所以△FMN为直角三角形时,△QWP也为直角三角形.如图,过点N作NECD于E,根据题意,得DM=BM=,∴AM=4-,AN=DE=6-
∵DF=2,∴EF=4-
∴MF2=22+x2=x2+4,MN2=(4-x)2+(6-x)2=2x2-20x+52,NF2=(4-x)2+42=x2-8x+32,
① 如果∠MNF=90°,则有2x2-20x+52+x2-8x+32=x2+4,解得x1=4,x2=10(舍去);
②如果∠NMF=90°,则有2x2-20x+52+x2+4=x2-8x+32,化简,得:x2-6x+12=0,△=-12<0,方程无实数根;
③如果∠MFN=90°,则有2x2-20x+52=x2+4+x2-8x+32,解得x=.
∴当为4或时,△PQW为直角三角形,当0≤<或<<4时,△PQW不为直角三角形
⑶∵点M在射线DA上,点N在线段AB上,且AB⊥AD,∴当M点运动到与A点重合时,NM⊥AD,根据垂线段最短原理,此时线段MN最短,DM=4,则BN=4.
∴当=4时,线段MN最短,MN=2.
16.(2010湖北襄樊)如图7,四边形ABCD是平行四边形,AB=4,OB=2,抛物线过A、B、C三点,与x轴交于另一点D.一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动,运动到点A停止,同时一动点Q从点D出发,以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动,与点P同时停止.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线的对称轴与AB交于点E,与x轴交于点F,当点P运动时间t为何值时,四边形POQE是等腰梯形?
(3)当t为何值时,以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似?
图7
【答案】解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OC=AB=4.
∴A(4,2),B(0,2),C(-4,0).
∵抛物线y=ax2+bx+c过点B,∴c=2.
由题意,有 解得
∴所求抛物线的解析式为.
(2)将抛物线的解析式配方,得.
∴抛物线的对称轴为x=2.
∴D(8,0),E(2,2),F(2,0).
欲使四边形POQE为等腰梯形,则有OP=QE.即BP=FQ.
∴t=6-3t,即t=.
(3)欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似,
∵∠PBO=∠BOQ=90°,∴有或,
即PB=OQ或OB2=PB·QO.
①若P、Q在y轴的同侧.当PB=OQ时,t=8-3t,∴t=2.
当OB2=PB·QO时,t(8-3t)=4,即3t2-8t+4=0.
解得.
②若P、Q在y轴的异侧.当PB=OQ时,3t-8=t,∴t=4.
当OB2=PB·QO时,t(3t-8)=4,即3t2-8t-4=0.解得.
∵t=<0.故舍去,∴t=.
∴当t=2或t=或t=4或t=秒时,以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似.
17.18.19.20.
21.
22.
23.24.25.26.27.28.29.30.