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- 2021-05-11 发布
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2019年甘肃省白银市中考数学试卷
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确选项.
1.(3分)下列四个几何体中,是三棱柱的为( )
A. B.
C. D.
2.(3分)如图,数轴的单位长度为1,如果点A表示的数是﹣1,那么点B表示的数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(3分)下列整数中,与最接近的整数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.(3分)华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片,7纳米就是0.000000007米.数据0.000000007用科学记数法表示为( )
A.7×10﹣7 B.0.7×10﹣8 C.7×10﹣8 D.7×10﹣9
5.(3分)如图,将图形用放大镜放大,应该属于( )
A.平移变换 B.相似变换 C.旋转变换 D.对称变换
6.(3分)如图,足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )
第23页(共23页)
A.180° B.360° C.540° D.720°
7.(3分)不等式2x+9≥3(x+2)的解集是( )
A.x≤3 B.x≤﹣3 C.x≥3 D.x≥﹣3
8.(3分)下面的计算过程中,从哪一步开始出现错误( )
A.① B.② C.③ D.④
9.(3分)如图,点A,B,S在圆上,若弦AB的长度等于圆半径的倍,则∠ASB的度数是( )
A.22.5° B.30° C.45° D.60°
10.(3分)如图①,在矩形ABCD中,AB<AD,对角线AC,BD相交于点O,动点P由点A出发,沿AB→BC→CD向点D运动.设点P的运动路程为x,△AOP的面积为y,y与x的函数关系图象如图②所示,则AD边的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.
11.(4分)中国象棋是中华名族的文化瑰宝,因趣味性强,深受大众喜爱.如图,若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系,使“帅”位于点(0,﹣2),“马”位于点(4,﹣2),则“兵”位于点 .
第23页(共23页)
12.(4分)一个猜想是否正确,科学家们要经过反复的实验论证.下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据:
实验者
德•摩根
蒲丰
费勒
皮尔逊
罗曼诺夫斯基
掷币次数
6140
4040
10000
36000
80640
出现“正面朝上”的次数
3109
2048
4979
18031
39699
频率
0.506
0.507
0.498
0.501
0.492
请根据以上数据,估计硬币出现“正面朝上”的概率为 (精确到0.1).
13.(4分)因式分解:xy2﹣4x= .
14.(4分)关于x的一元二次方程x2+x+1=0有两个相等的实数根,则m的取值为 .
15.(4分)将二次函数y=x2﹣4x+5化成y=a(x﹣h)2+k的形式为 .
16.(4分)把半径为1的圆分割成四段相等的弧,再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形,那么这个恒星图形的面积等于 .
17.(4分)定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC中,∠A=80°,则它的特征值k= .
18.(4分)已知一列数a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b,……,按照这个规律写下去,第9个数是 .
三、解答题(一):本大题共5小题,共38分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤
19.(6分)计算:(﹣2)2﹣|﹣2|﹣2cos45°+(3﹣π)0
第23页(共23页)
20.(6分)小甘到文具超市去买文具.请你根据如图中的对话信息,求中性笔和笔记本的单价分别是多少元?
21.(8分)已知:在△ABC中,AB=AC.
(1)求作:△ABC的外接圆.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4,BC=6,则S⊙O= .
22.(8分)图①是放置在水平面上的台灯,图②是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计),其中灯臂AC=40cm,灯罩CD=30cm,灯臂与底座构成的∠CAB=60°.CD可以绕点C上下调节一定的角度.使用发现:当CD与水平线所成的角为30°时,台灯光线最佳.现测得点D到桌面的距离为49.6cm.请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳?(参考数据:取1.73).
23.(10分)2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行.世园会为满足大家的游览需求,倾情打造了4条各具特色的趣玩路线,分别是:A.“解密世园会”、B.“爱我家,爱园艺”、C.“园艺小清新之旅”和
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D.“快速车览之旅”.李欣和张帆都计划暑假去世园会,他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览,每条线路被选择的可能性相同.
(1)李欣选择线路C.“园艺小清新之旅”的概率是多少?
(2)用画树状图或列表的方法,求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率.
四、解答题(二):本大题共5小题,共50分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.
24.(8分)为弘扬传统文化,某校开展了“传承经典文化,阅读经典名著”活动.为了解七、八年级学生(七、八年级各有600名学生)的阅读效果,该校举行了经典文化知识竞赛.现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行分析,过程如下:
收集数据:
七年级:79,85,73,80,75,76,87,70,75,94,75,79,81,71,75,80,86,59,83,77.
八年级:92,74,87,82,72,81,94,83,77,83,80,81,71,81,72,77,82,80,70,41.
整理数据:
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级
0
1
0
a
7
1
八年级
1
0
0
7
b
2
分析数据:
平均数
众数
中位数
七年级
78
75
c
八年级
78
d
80.5
应用数据:
(1)由上表填空:a= ,b= ,c= ,d= .
(2)估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人?
(3)你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好,请说明理由.
25.(10分)如图,已知反比例函数y=(k≠0)的图象与一次函数y=﹣x+b的图象在第一象限交于A(1,3),B(3,1)两点
第23页(共23页)
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)已知点P(a,0)(a>0),过点P作平行于y轴的直线,在第一象限内交一次函数y=﹣x+b的图象于点M,交反比例函数y=上的图象于点N.若PM>PN,结合函数图象直接写出a的取值范围.
26.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D在BC边上,⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E.
(1)求证:AC是⊙D的切线;
(2)若CE=2,求⊙D的半径.
27.(10分)阅读下面的例题及点拨,并解决问题:
例题:如图①,在等边△ABC中,M是BC边上一点(不含端点B,C),N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点,且AM=MN.求证:∠AMN=60°.
点拨:如图②,作∠CBE=60°,BE与NC的延长线相交于点E,得等边△BEC,连接EM.易证:△ABM≌△EBM(SAS),可得AM=EM,∠1=∠2;又AM=MN,则EM=MN,可得∠3=∠4;由∠3+∠1=∠4+∠5=60°,进一步可得∠1=∠2=∠5,又因为∠2+∠6=120°,所以∠5+∠6=120°,即:∠AMN=60°.
问题:如图③,在正方形A1B1C1D1中,M1是B1C1边上一点(不含端点B1,C1),N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点,且A1M1=M1N1.求证:∠A1M1N1=90°.
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28.(12分)如图,抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(﹣3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q.试探究点P在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)过点P作PN⊥BC,垂足为点N.请用含m的代数式表示线段PN的长,并求出当m为何值时PN有最大值,最大值是多少?
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2019年甘肃省白银市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确选项.
1.(3分)下列四个几何体中,是三棱柱的为( )
A. B.
C. D.
【解答】解:A、该几何体为四棱柱,不符合题意;
B、该几何体为圆锥,不符合题意;
C、该几何体为三棱柱,符合题意;
D、该几何体为圆柱,不符合题意.
故选:C.
2.(3分)如图,数轴的单位长度为1,如果点A表示的数是﹣1,那么点B表示的数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解答】解:∵数轴的单位长度为1,如果点A表示的数是﹣1,
∴点B表示的数是:3.
故选:D.
3.(3分)下列整数中,与最接近的整数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解答】解:∵32=9,42=16,
∴3<<4,
10与9的距离小于16与10的距离,
∴与最接近的是3.
故选:A.
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4.(3分)华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片,7纳米就是0.000000007米.数据0.000000007用科学记数法表示为( )
A.7×10﹣7 B.0.7×10﹣8 C.7×10﹣8 D.7×10﹣9
【解答】解:0.000000007=7×10﹣9;
故选:D.
5.(3分)如图,将图形用放大镜放大,应该属于( )
A.平移变换 B.相似变换 C.旋转变换 D.对称变换
【解答】解:根据相似图形的定义知,用放大镜将图形放大,属于图形的形状相同,大小不相同,所以属于相似变换.
故选:B.
6.(3分)如图,足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )
A.180° B.360° C.540° D.720°
【解答】解:黑色正五边形的内角和为:(5﹣2)×180°=540°,
故选:C.
7.(3分)不等式2x+9≥3(x+2)的解集是( )
A.x≤3 B.x≤﹣3 C.x≥3 D.x≥﹣3
【解答】解:去括号,得2x+9≥3x+6,
移项,合并得﹣x≥﹣3
系数化为1,得x≤3;
故选:A.
8.(3分)下面的计算过程中,从哪一步开始出现错误( )
第23页(共23页)
A.① B.② C.③ D.④
【解答】解:﹣
=﹣
=
=.
故从第②步开始出现错误.
故选:B.
9.(3分)如图,点A,B,S在圆上,若弦AB的长度等于圆半径的倍,则∠ASB的度数是( )
A.22.5° B.30° C.45° D.60°
【解答】解:设圆心为O,连接OA、OB,如图,
∵弦AB的长度等于圆半径的倍,
即AB=OA,
∴OA2+OB2=AB2,
∴△OAB为等腰直角三角形,∠AOB=90°,
∴∠ASB=∠AOB=45°.
故选:C.
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10.(3分)如图①,在矩形ABCD中,AB<AD,对角线AC,BD相交于点O,动点P由点A出发,沿AB→BC→CD向点D运动.设点P的运动路程为x,△AOP的面积为y,y与x的函数关系图象如图②所示,则AD边的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解答】解:当P点在AB上运动时,△AOP面积逐渐增大,当P点到达B点时,△AOP面积最大为3.
∴AB•BC=3,即AB•BC=12.
当P点在BC上运动时,△AOP面积逐渐减小,当P点到达C点时,△AOP面积为0,此时结合图象可知P点运动路径长为7,
∴AB+BC=7.
则BC=7﹣AB,代入AB•BC=12,得AB2﹣7AB+12=0,解得AB=4或3,
因为AB<AD,即AB<BC,
所以AB=3,BC=4.
故选:B.
二、填空题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.
11.(4分)中国象棋是中华名族的文化瑰宝,因趣味性强,深受大众喜爱.如图,若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系,使“帅”位于点(0,﹣2),“马”位于点(4,﹣2),则“兵”位于点 (﹣1,1) .
【解答】解:如图所示:可得原点位置,则“兵”位于(﹣1,1).
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故答案为:(﹣1,1).
12.(4分)一个猜想是否正确,科学家们要经过反复的实验论证.下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据:
实验者
德•摩根
蒲丰
费勒
皮尔逊
罗曼诺夫斯基
掷币次数
6140
4040
10000
36000
80640
出现“正面朝上”的次数
3109
2048
4979
18031
39699
频率
0.506
0.507
0.498
0.501
0.492
请根据以上数据,估计硬币出现“正面朝上”的概率为 0.5 (精确到0.1).
【解答】解:因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动,
所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5.
故答案为0.5.
13.(4分)因式分解:xy2﹣4x= x(y+2)(y﹣2) .
【解答】解:xy2﹣4x,
=x(y2﹣4),
=x(y+2)(y﹣2).
14.(4分)关于x的一元二次方程x2+x+1=0有两个相等的实数根,则m的取值为 4 .
【解答】解:
由题意,△=b2﹣4ac=()2﹣4=0
得m=4
故答案为4
15.(4分)将二次函数y=x2﹣4x+5化成y=a(x﹣h)2+k的形式为 y=(x﹣2)2+1 .
【解答】解:y=x2﹣4x+5=x2﹣4x+4+1=(x﹣2)2+1,
第23页(共23页)
所以,y=(x﹣2)2+1.
故答案为:y=(x﹣2)2+1.
16.(4分)把半径为1的圆分割成四段相等的弧,再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形,那么这个恒星图形的面积等于 4﹣π .
【解答】解:如图:
新的正方形的边长为1+1=2,
∴恒星的面积=2×2﹣π=4﹣π.
故答案为4﹣π.
17.(4分)定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC中,∠A=80°,则它的特征值k= 或 .
【解答】解:
①当∠A为顶角时,等腰三角形两底角的度数为:=50°
∴特征值k==
②当∠A为底角时,顶角的度数为:180°﹣80°﹣80°=20°
∴特征值k==
综上所述,特征值k为或
故答案为或
18.(4分)已知一列数a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b,……,按照这个规律写下去,第9个数是 13a+21b .
【解答】解:由题意知第7个数是5a+8b,第8个数是8a+13b,第9个数是13a+21b,
故答案为:13a+21b.
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三、解答题(一):本大题共5小题,共38分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤
19.(6分)计算:(﹣2)2﹣|﹣2|﹣2cos45°+(3﹣π)0
【解答】解:(﹣2)2﹣|﹣2|﹣2cos45°+(3﹣π)0,
=4﹣(2﹣)﹣2×+1,
=4﹣2+﹣+1,
=3.
20.(6分)小甘到文具超市去买文具.请你根据如图中的对话信息,求中性笔和笔记本的单价分别是多少元?
【解答】解:设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元,根据题意可得:
,
解得:,
答:中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元.
21.(8分)已知:在△ABC中,AB=AC.
(1)求作:△ABC的外接圆.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4,BC=6,则S⊙O= 25π .
【解答】解:(1)如图⊙O即为所求.
第23页(共23页)
(2)设线段BC的垂直平分线交BC于点E.
由题意OE=4,BE=EC=3,
在Rt△OBE中,OB==5,
∴S圆O=π•52=25π.
故答案为25π.
22.(8分)图①是放置在水平面上的台灯,图②是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计),其中灯臂AC=40cm,灯罩CD=30cm,灯臂与底座构成的∠CAB=60°.CD可以绕点C上下调节一定的角度.使用发现:当CD与水平线所成的角为30°时,台灯光线最佳.现测得点D到桌面的距离为49.6cm.请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳?(参考数据:取1.73).
【解答】解:如图,作CE⊥AB于E,DH⊥AB于H,CF⊥DH于F.
第23页(共23页)
∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90°,
∴四边形CEHF是矩形,
∴CE=FH,
在Rt△ACE中,∵AC=40cm,∠A=60°,
∴CE=AC•sin60°=34.6(cm),
∴FH=CE=34.6(cm)
∵DH=49.6cm,
∴DF=DH﹣FH=49.6﹣34.6=15(cm),
在Rt△CDF中,sin∠DCF===,
∴∠DCF=30°,
∴此时台灯光线为最佳.
23.(10分)2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行.世园会为满足大家的游览需求,倾情打造了4条各具特色的趣玩路线,分别是:A.“解密世园会”、B.“爱我家,爱园艺”、C.“园艺小清新之旅”和D.“快速车览之旅”.李欣和张帆都计划暑假去世园会,他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览,每条线路被选择的可能性相同.
(1)李欣选择线路C.“园艺小清新之旅”的概率是多少?
(2)用画树状图或列表的方法,求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率.
【解答】解:(1)在这四条线路任选一条,每条被选中的可能性相同,
∴在四条线路中,李欣选择线路C.“园艺小清新之旅”的概率是;
(2)画树状图分析如下:
共有16种等可能的结果,李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种,
∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为=.
第23页(共23页)
四、解答题(二):本大题共5小题,共50分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.
24.(8分)为弘扬传统文化,某校开展了“传承经典文化,阅读经典名著”活动.为了解七、八年级学生(七、八年级各有600名学生)的阅读效果,该校举行了经典文化知识竞赛.现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行分析,过程如下:
收集数据:
七年级:79,85,73,80,75,76,87,70,75,94,75,79,81,71,75,80,86,59,83,77.
八年级:92,74,87,82,72,81,94,83,77,83,80,81,71,81,72,77,82,80,70,41.
整理数据:
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级
0
1
0
a
7
1
八年级
1
0
0
7
b
2
分析数据:
平均数
众数
中位数
七年级
78
75
c
八年级
78
d
80.5
应用数据:
(1)由上表填空:a= 11 ,b= 10 ,c= 78 ,d= 81 .
(2)估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人?
(3)你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好,请说明理由.
【解答】解:(1)由题意知a=11,b=10,
将七年级成绩重新排列为:59,70,71,73,75,75,75,75,76,77,79,79,80,80,81,83,85,86,87,94,
第23页(共23页)
∴其中位数c==78,
八年级成绩的众数d=81,
故答案为:11,10,78,81;
(2)估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×=90(人);
(3)八年级的总体水平较好,
∵七、八年级的平均成绩相等,而八年级的中位数大于七年级的中位数,
∴八年级得分高的人数相对较多,
∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好(答案不唯一,合理即可).
25.(10分)如图,已知反比例函数y=(k≠0)的图象与一次函数y=﹣x+b的图象在第一象限交于A(1,3),B(3,1)两点
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)已知点P(a,0)(a>0),过点P作平行于y轴的直线,在第一象限内交一次函数y=﹣x+b的图象于点M,交反比例函数y=上的图象于点N.若PM>PN,结合函数图象直接写出a的取值范围.
【解答】解:(1)∵反比例函数y=(k≠0)的图象与一次函数y=﹣x+b的图象在第一象限交于A(1,3),B(3,1)两点,
∴3=,3=﹣1+b,
∴k=3,b=4,
第23页(共23页)
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=,y=﹣x+4;
(2)由图象可得:当1<a<3时,PM>PN.
26.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D在BC边上,⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E.
(1)求证:AC是⊙D的切线;
(2)若CE=2,求⊙D的半径.
【解答】(1)证明:连接AD,
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,
∵AD=BD,
∴∠BAD=∠B=30°,
∴∠ADC=60°,
∴∠DAC=180°﹣60°﹣30°=90°,
∴AC是⊙D的切线;
(2)解:连接AE,
∵AD=DE,∠ADE=60°,
∴△ADE是等边三角形,
∴AE=DE,∠AED=60°,
∴∠EAC=∠AED﹣∠C=30°,
第23页(共23页)
∴∠EAC=∠C,
∴AE=CE=2,
∴⊙D的半径AD=2.
27.(10分)阅读下面的例题及点拨,并解决问题:
例题:如图①,在等边△ABC中,M是BC边上一点(不含端点B,C),N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点,且AM=MN.求证:∠AMN=60°.
点拨:如图②,作∠CBE=60°,BE与NC的延长线相交于点E,得等边△BEC,连接EM.易证:△ABM≌△EBM(SAS),可得AM=EM,∠1=∠2;又AM=MN,则EM=MN,可得∠3=∠4;由∠3+∠1=∠4+∠5=60°,进一步可得∠1=∠2=∠5,又因为∠2+∠6=120°,所以∠5+∠6=120°,即:∠AMN=60°.
问题:如图③,在正方形A1B1C1D1中,M1是B1C1边上一点(不含端点B1,C1),N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点,且A1M1=M1N1.求证:∠A1M1N1=90°.
【解答】解:延长A1B1至E,使EB1=A1B1,连接EM1C、EC1,如图所示:
则EB1=B1C1,∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1,
∴△EB1C1是等腰直角三角形,
∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°,
∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点,
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∴∠M1C1N1=90°+45°=135°,
∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°,
∴E、C1、N1,三点共线,
在△A1B1M1和△EB1M1中,,
∴△A1B1M1≌△EB1M1(SAS),
∴A1M1=EM1,∠1=∠2,
∵A1M1=M1N1,
∴EM1=M1N1,
∴∠3=∠4,
∵∠2+∠3=45°,∠4+∠5=45°,
∴∠1=∠2=∠5,
∵∠1+∠6=90°,
∴∠5+∠6=90°,
∴∠A1M1N1=180°﹣90°=90°.
28.(12分)如图,抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(﹣3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q.试探究点P在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)过点P作PN⊥BC,垂足为点N.请用含m的代数式表示线段PN的长,并求出当
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m为何值时PN有最大值,最大值是多少?
【解答】解:(1)由二次函数交点式表达式得:y=a(x+3)(x﹣4)=a(x2﹣x﹣12)=ax2﹣ax﹣12a,
即:﹣12a=4,解得:a=﹣,
则抛物线的表达式为y=﹣x2+x+4;
(2)存在,理由:
点A、B、C的坐标分别为(﹣3,0)、(4,0)、(0,4),
则AC=5,AB=7,BC=4,∠OAB=∠OBA=45°,
将点B、C的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:y=﹣x+4…①,
同理可得直线AC的表达式为:y=x+4,
设直线AC的中点为K(﹣,2),过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣,
同理可得过点K与直线AC垂直直线的表达式为:y=﹣x+…②,
①当AC=AQ时,如图1,
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则AC=AQ=5,
设:QM=MB=n,则AM=7﹣n,
由勾股定理得:(7﹣n)2+n2=25,解得:n=3或4(舍去4),
故点Q(1,3);
②当AC=CQ时,如图1,
CQ=5,则BQ=BC﹣CQ=4﹣5,
则QM=MB=,
故点Q(,);
③当CQ=AQ时,
联立①②并解得:x=(舍去);
故点Q的坐标为:Q(1,3)或(,);
(3)设点P(m,﹣m2+m+4),则点Q(m,﹣m+4),
∵OB=OC,∴∠ABC=∠OCB=45°=∠PQN,
PN=PQsin∠PQN=(﹣m2+m+4+m﹣4)=﹣(m﹣2)2+,
∵﹣<0,∴PN有最大值,
当m=2时,PN的最大值为:.
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