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- 2021-05-11 发布
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第1讲、依据特征作图——填空压轴(讲义)
1. 在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点P在线段AB上.若将△DAP沿DP折叠,使点A落在矩形对角线上的A′处,则AP的长为_____________.
2. 已知点A(0,4),B(7,0),C(7,4),连接AC,BC得到矩形AOBC,点D在边AC上,将边OA沿OD折叠,点A的对应点为A′,若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1:3,则点A′的坐标为____________.
3. 如图,矩形ABCD中,AD=4,AB=7,点E为DC上一动点,△ADE沿AE折叠,点D落在矩形ABCD内一点D′处,若△BCD′为等腰三角形,则DE的长为______________.
4. 在矩形ABCD中,AB=6,AD=,E是AB边上一点,AE=2,F是直线CD上一动点,将△AEF沿直线EF折叠,点A的对应点为A′,当E,A′,C三点在一条直线上时,DF的长为
________________.
5. 如图是矩形纸片ABCD,AB=16 cm,BC=40 cm,M是边BC的中点,沿过M的直线翻折.若点B恰好落在边AD上,则折痕长度为_________cm.
1. 如图,在矩形ABCD中,,AD=4,点E是BC边上的一个动点,连接AE,过点D作DF⊥AE于点F,连接CF.当△CDF是等腰三角形时,BE的长为_____________.
2. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC是直角,AB=3,BC=4,P是BC边上的动点,设BP=x,若能在AC边上找到一点Q,使
∠BQP=90°,则x的取值范围是_____________.
3. 如图,∠AOB=45°,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点.若使P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个,则x的值是_____________________________.
4. 在三角形纸片ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AC=30 cm,将该纸片沿过点B的直线折叠,使点A落在斜边BC上的一点E处,折痕记为BD(如图1),剪去△CDE后得到双层△BDE(如图2),再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开,使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形,则所得平行四边形的周长为___________cm.
图1 图2
1. 在□ABCD中,AD=BD,BE是AD边上的高,∠EBD=20°,则∠A的度数为______________.
2. 在□ABCD中,CD长为6.点E是线段AB上一点,沿直线DE折叠,使点A落在线段DC上.延长DE交直线BC于点F,若△FCD的面积为,则∠ADC=_____________.
3. 在平行四边形ABCD中,AB<BC,已知∠B=30°,AB=,将△ABC沿AC翻折至△AB′C,使点B′落在平行四边形ABCD所在的平面内,连接B′D.若△AB′D是直角三角形,则BC的长为______________.
【参考答案】
1. 或
2. (,3),(,1)或(,-2)
3. 或
4. 或
5. 或
6. 2,或
7. 3≤x≤4
8. 0,或4<x<
9. 或40
10. 55°或35°
11. 120°或60°
12. 6或4
第2讲、依据特征作图——动态几何(讲义)
1. 如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠C,点P在边AB上.
(1)判断四边形ABCD的形状并加以证明.
(2)若AB=AD,以过点P的直线为轴,将四边形ABCD折叠,使点B,C分别落在点B′,C′处,且B′C′经过点D,折痕与四边形的另一交点为Q.
①在图2中作出四边形PB′C′Q(保留作图痕迹,不必说明作法和理由);
②如果∠C=60°,那么为何值时,B′P⊥AB.
图1
图2
1. 如图,在矩形ABCD中,点E是AD上的一个动点,连接BE,作点A关于BE的对称点F,且点F落在矩形ABCD的内部,连接AF,BF,EF,过点F作GF⊥AF交AD于点G,设
.(1)当点F落在AC上时,用含n的代数式表示的值;
(2)若AD=4AB,且以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形,求n的值.
2. 如图,已知平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,∠A=60°,点E为AB中点,过点E作l⊥AB,垂足为点E,点M是直线l上的一点.
(1)若平面内存在点N,使得以A,D,M,N为顶点的四边形为菱形,则这样的点N共有______个.
(2)连接MA,MD,若∠AMD不小于60°,且设符合题意的点M在直线l上可移动的距离为t,求t的范围.
1. 如图,在等腰直角三角形ABC中,AB=4,∠C=90°.点D在线段AC上,AD=2CD,点E,F在△ABC的边上,且满足
△DAF与△DEF全等,过点E作EG⊥AB于点G,求线段AG的长.
【参考答案】
1. (1)四边形ABCD为平行四边形,证明略;
(2)①作图略;②时,B′P⊥AB.
2. (1);
(2)n的值为16或.
3. (1)5;
(2)0≤t≤.
4. 线段AG的长为,或4.
第3讲、函数图象的分析与作图(讲义)
1. 已知在平面直角坐标系xOy中(如图),抛物线y=-x2+bx+c经过点A(2,2),对称轴是直线x=1,顶点为B.
(1)求这条抛物线的表达式和点B的坐标;
(2)点M在对称轴上,且位于顶点上方,设它的纵坐标为m,连接AM,用含m的代数式表示∠AMB的正切值;
(3)将该抛物线向上或向下平移,使得新抛物线的顶点C在x轴上.原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q,如果OP=OQ,求点Q的坐标.
1. 在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,1),取一点B(b,0),连接AB,作线段AB的垂直平分线l1,过点B作x轴的垂线l2,记l1,l2的交点为P.
(1)当b=3时,在图1中补全图形(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)小慧多次取不同数值b,得出相应的点P,并把这些点用平滑的曲线连接起来发现:这些点P竟然在一条曲线L上.
①设点P的坐标为(x,y),试求y与x之间的关系式,并指出曲线L是哪种曲线;
②设点P到x轴、y轴的距离分别是d1,d2,求d1+d2的范围,当d1+d2=8时,求点P的坐标;
③将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折,得到一条“W”形状的新曲线,若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点,直接写出k的取值范围.
图1
2. 已知二次函数y=ax2-2ax+c(a<0)的最大值为4,且抛物线过点,点P(t,0)是x轴上的动点,抛物线与y轴交点为C,顶点为D.
(1)求该二次函数的解析式及顶点D的坐标;
(2)求|PC-PD|的最大值及对应的点P的坐标;
(3)设Q(0,2t)是y轴上的动点,若线段PQ与函数y=a|x|2-2a|x|+c的图象只有一个公共点,请直接写出t的取值.
1. 如图,抛物线L:(常数t>0)与x轴从左到右的交点为B,A,过线段OA的中点M作MP⊥x轴,交双曲线(k>0,x>0)于点P,且.
(1)求k的值;
(2)当t=1时,求AB的长,并求直线MP与L对称轴之间的距离;
(3)把L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G,用t表示图象G最高点的坐标;
(4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x0,且满足4≤x0≤6,通过L位置随t变化的过程,直接写出t的取值范围.
【参考答案】
1. (1)抛物线的表达式为y=-x2+2x+2;点B(1,3);(2)tan∠AMB=;(3)点Q的坐标为,.
2. (1)作图略;(2)①,曲线L是抛物线;②d1+d2≥;P1(3,5),P2(-3,5);
③k的取值范围为.
3. (1)二次函数的解析式为y=-x2+2x+3;顶点D(1,4);(2)|PC-PD|的最大值为,对应的点P坐标为(-3,0);(3)≤t<3,或t≤-3.
4. (1)k的值为6;(2)直线MP与L对称轴之间的距离为;(3)图象G最高点的坐标为;
(4)t的取值范围为5≤t≤,7≤t≤.
第4讲、依据背景转化(讲义)
1. 已知点A(-1,1),B(4,6)在抛物线y=ax2+bx上.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图1,点F的坐标为(0,m)(m>2),直线AF交抛物线于另一点G,过点G作x轴的垂线,垂足为H.设抛物线与x轴的正半轴交于点E,连接FH,AE,求证:FH∥AE.
(3)如图2,直线AB分别交x轴,y轴于C,D两点.点P从点C出发,沿射线CD方向匀速运动,速度为每秒个单位长度;同时点Q从原点O出发,沿x轴正方向匀速运动,速度为每秒1个单位长度.点M是直线PQ与抛物线的一个交点,当运动到t秒时,QM=2PM,直接写出t的值.
图1 图2
1. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(0,2),点E为线段AB上的一动点(点E不与点A,B重合).以E为顶点作∠OET=45°,射线ET交线段
OB于点F,C为y轴正半轴上一点,且OC=AB,抛物线
经过A,C两点.
(1)求此抛物线的函数表达式.
(2)当△EOF为等腰三角形时,求点E的坐标.
(3)在(2)的条件下,设直线EF交x轴于点D,P为(1)中抛物线上一动点,直线PE交x轴于点G,在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P,使得△EPF的面积是△EDG面积的倍?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
1. 抛物线y=ax2-bx+4(a≠0)过点A(1,-1),B(5,-1),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)如图,⊙O1过A,B,C三点,AE为直径,点M为上的一动点(不与点A,E重合),连接MB,作BN⊥MB交ME的延长线于点N,求线段BN长度的最大值.
1. 如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于点A(6,0),B(0,8),点C的坐标为(0,m),过点C作CE⊥AB于点E,点D为x轴上的一动点,连接CD,DE,以CD,DE为边作□CDEF.
(1)当0<m<8时,求CE的长(用含m的代数式表示);
(2)点D在整个运动过程中,若存在唯一的位置,使得□CDEF为矩形,请求出所有满足条件的m的值.
【参考答案】
1. (1)解析式为;(2)略;(3)t的值为,,或.
1. (1)抛物线的函数表达式为;(2)E1(-,2-),E2(-1,1);
(3)P1(-1,),P2(0,).
2. (1)抛物线的函数表达式为y=x2-6x+4;(2)BN长度的最大值为.
3. (1)CE的长为;(2)满足条件的m的值为0,,或.
第5讲、分析特征转化——整体思考(讲义)
1. 如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),顶点C在第一象限,直角顶点B在第四象限,且AB∥x轴.已知抛物线过A,B两点,顶点为P.
(1)求点B,C的坐标.
(2)平移抛物线,使顶点P在直线AC上滑动,且与AC交于另一点Q.若点M在直线AC下方,且为平移前抛物线上的点,当以M,P,Q为顶点的三角形是等腰直角三角形时,求出所有符合条件的点M的坐标.
1. 如图1,二次函数的图象与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于A,B两点,点A的坐标为(0,1),点B在第一象限内,点C是二次函数图象的顶点,点M是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点,过点B作x轴的垂线,垂足为N,且S△AMO:S四边形AONB=1:48.
(1)求直线AB和直线BC的解析式;
(2)如图2,直线AB上有一点K(3,4),将二次函数沿直线BC平移,平移的距离是t(t≥0),平移后抛物线上点A,C的对应点分别为点A′,C′.当△A′C′K是直角三角形时,求t的值.
图1 图2
已知抛物线C1:y=x2.如图1,平移抛物线C1得到抛物线C2,C2经过C1的顶点O和A(2,0),C2的对称轴分别交C1,C2于点B,D.
(1)求抛物线C2的解析式.
(2)探究四边形ODAB的形状,并证明你的结论.
(3)如图2,将抛物线C2向下平移m个单位(m>0)得到抛物线C3,C3的顶点为G,与y轴交于点M.点N是点M关于x轴的对称点,点P在直线MG上.当m为何值时,在抛物线C3上存在点Q,使得以M,N,P,Q为顶点的四边形为平行四边形?
1. 如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y=ax2+bx+c与x轴相交于A,B两点,顶点为D(0,4),AB=,设点F(m,0)是x轴的正半轴上一点,将抛物线C绕点F旋转180°,得到新的抛物线C′.
(1)求抛物线C的函数表达式.
(2)若抛物线C′与抛物线C在y轴右侧有两个不同的公共
点,求m的取值范围.
(3)如图2,P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线C′上的对应点为P′,设M是C上的动点,N是C′上的动点,试探究四边形PMP′N能否成为正方形?若能,求出m的值;若不能,请说明理由.
图1
图2
【参考答案】
1. (1)B(4,-1);C(4,3);(2)点M的坐标为(4,-1),,(-2,-7),或.
2. (1)lAB:y=x+1;lBC:y=2x-5;(2)当△A′C′K是直角三角形时,t的值为0,,或.
3. (1)抛物线C2的解析式为y=x2-2x;(2)四边形ODAB为正方形,证明略;(3)当m的值为或时,在抛物线C3上存在点Q,使得以M,N,P,Q为顶点的四边形为平行四边形.
4. (1)抛物线C的函数表达式为;(2)2<m<;(3)能,m的值为或6.
第6讲、分析特征转化——逆向思考(讲义)
1. 如图,已知抛物线的顶点为D,并与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C.
(1)求点A,B,C,D的坐标.
(2)取点E(,0)和点F(0,),直线l经过E,F两点,点G是线段BD的中点.
①判断点G是否在直线l上,请说明理由.
②在抛物线上是否存在点M,使点M关于直线l的对称点在x轴上?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
如图1,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与坐标轴交于A,B,C三点,其中点A的坐标为(-3,0),点B的坐标为(4,0),连接AC,BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动;同时,动点Q从点O出发,在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为t秒,连接PQ.
(1)填空:b=_________,c=__________;
(2)如图2,点N的坐标为(,0),线段PQ的中点为H,连接NH,当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时,求出点Q′的坐标.
备用图
图1 图2
1. 如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线l:过点C,交x轴于点E.点Q在x轴的正半轴上运动,过Q作y轴的平行线,交直线l于点M,交抛物线于点N.连接CN,将△CMN沿CN翻折,M的对应点为M′.探究:是否存在点Q,使得M′恰好落在y轴上?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
1. 如图,曲线l是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的,过点A,B的直线与曲线l相交于点M,N,求△OMN的面积.
2. 如图1,直线交x轴于点A,交y轴于点C(0,4).
抛物线经过点A,交y轴于点B(0,-2).点P为抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD⊥PD于点D,连接PB,设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长;
(3)如图2,将△BDP绕点B逆时针旋转,得到△BD′P′,且旋转角∠PBP′=∠OAC,当点P的对应点P′落在坐标轴上时,请直接写出点P的坐标.
【参考答案】
1. (1)A(,0),B(,0),C(0,),D(,-4);(2)①G在直线l上,理由略;②存在,M1(,-4),M2(,).
2. (1);4;(2)Q′(,).
3. 存在,Q1(,0),Q2(4,0).
4. △OMN的面积为8.
5. (1)抛物线的解析式为;(2)线段PD的长为或;
(3)P1(,),P2(,),P3(,).
第7讲、拆解转化(讲义)
1. 在平面直角坐标系中,直线交y轴于点B,交x轴于点A,抛物线经过点B,与直线交于点C(4,-2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上,过点M作ME∥y轴交直线BC于点E,以ME为直径的圆交直线BC于另一点D,当点E在x轴上时,求△DEM的周长;
(3)将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°,得到△A1O1B1,点A,O,B的对应点分别是A1,O1,B1,若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点A1的坐标.
1. 如图,已知抛物线(b是实数且b>2)与x轴的正半轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C.
(1)点B的坐标为________,点C的坐标为________(用含b的代数式表示).
(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明
理由.
(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
1. 如图,已知二次函数y=x2+(1-m)x-m(其中0<m<1)的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,P为对称轴l上一点,且PA=PC.
(1)∠ABC的度数为________.
(2)求点P的坐标(用含m的代数式表示).
(3)在坐标轴上是否存在点Q(与原点O不重合),使得以Q,B,C为顶点的三角形与△PAC相似,且线段PQ的长度最小?若存在,求出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
1. 已知抛物线y=ax2+bx+c,其中2a=b>0>c,且a+b+c=0.
(1)直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根;
(2)证明:抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限;
(3)直线y=x+m与x,y轴分别相交于B,C两点,与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,D两点.设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与x轴相交于点E.如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F,使得△ADF与△BOC相似,并且S△ADF=S△ADE,求此时抛物线的表达式.
【参考答案】
1. (1)解析式为;(2)△DEM的周长为;
(3)A1的坐标为(,)或(,).
2. (1)(b,0);(0,);(2)存在,点P的坐标为(,);
(3)存在,点Q的坐标为(1,)或(1,4).
3. (1)45°;(2)P(,);(3)存在,点Q的坐标为(,0)或(0,).
4. (1)x=1;(2)证明略;(3)此时抛物线的解析式为y=x2+2x-3.
第8讲、类比结构构造——类比探究(讲义)
1. 我们定义:如图1,在△ABC中,把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB′,把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′,连接B′C′.当α+β=180°时,我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”,△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.
特例感知:
(1)在图2、图3中,△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.
①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=_____BC;
②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD的长为_________.
猜想论证:
(2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.
拓展应用
图3
(3)如图4,四边形ABCD,∠C=90°,∠D=150°,BC=12,CD=,DA=6.在四边形内部是否存在点P,使△PDC是△PAB的“旋补三角形”?若存在,请给予证明,并求△PAB的“旋补中线”长;若不存在,请说明理由.
图4
图1 图2
1. 【探索发现】
如图1,是一张直角三角形纸片,∠B=90°,小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形,经过多次操作发现,当沿着中位线DE,EF剪下时,所得的矩形的面积最大,随后,他通过证明验证了其正确性,并得出:矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________.
【拓展应用】
如图2,在△ABC中,BC=a,BC边上的高AD=h,矩形PQMN的顶点P,N分别在边AB,AC上,顶点Q,M在边BC上,则矩形PQMN面积的最大值为__________(用含a,h的代数式表示).
【灵活应用】
如图3,有一块“缺角矩形”ABCDE,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B为所剪出矩形的内角),求该矩形的面积.
【实际应用】
如图4,现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量AB=50cm,BC=108 cm,CD=60 cm,且,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M,N在边BC上且面积最大的矩形PQMN,求该矩形的面积.
图4
图1 图2 图3
备用图
1. 折纸的思考.
【操作体验】
用一张矩形纸片折等边三角形.
第一步,对折矩形纸片ABCD(AB>BC)(如图1),使AB与DC重合,得到折痕EF,把纸片展平(如图2).
第二步,如图3,再一次折叠纸片,使点C落在EF上的P处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,折出PB,PC,得到
△PBC.
图1 图2 图3
(1)说明△PBC是等边三角形.
【数学思考】
(2)如图4,小明画出了图3的矩形ABCD和等边三角形PBC.他发现,在矩形ABCD中把△PBC
经过图形变化,可以得到图5中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程.
图4 图5
(3)已知矩形一边长为3 cm,另一边长为a cm.对于每一个确定的a的值,在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图,并写出对应的a的取值范围.
【问题解决】
(4)从一张正方形铁片中剪出一个直角边长分别为4 cm和
1 cm的直角三角形铁片,所需正方形铁片的边长的最小值为__________cm.
1. 已知四边形ABCD的一组对边AD,BC的延长线交于点E.
(1)如图1,若∠ABC=∠ADC=90°,求证:ED·EA=EC·EB.
(2)如图2,若∠ABC=120°,cos∠ADC=,CD=5,AB=12,△CDE的面积为6,求四边形ABCD的面积.
(3)如图3,另一组对边AB,DC的延长线相交于点F.若cos∠ABC=cos∠ADC=,CD=5,CF=ED=n,直接写出AD的长(用含n的式子表示).
图1
图2
图3
【参考答案】
1. (1)①;②4;(2)AD=BC,证明略;(3)存在,“旋补中线”长为.
2. 【探索发现】;【拓展应用】;【灵活应用】该矩形的面积为720;
【实际应用】该矩形的面积为1 944 cm2.
3. (1)证明略;(2)先将△BPC按点B逆时针旋转某个适当角度得△BP1C1,再将△BP1C1以B为位似中心放大,使点C1的对应点C2落在边CD上,得到△BP2C2;
(3)略;(4).
4. (1)证明略;(2)四边形ABCD的面积为;
(3)AD的长为.
第9讲、依据特征构造——补全模型(讲义)
1. 如图,在△ABC中,AB=AC=,∠BAC=120°,点D,E都在BC上,∠DAE=60°,若BD=2CE,则DE的长为_____.
2. 如图,在矩形ABCD中,将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后,BC的对应边B′C′交CD边于点
G.连接BB′,CC′,若AD=7,CG=4,AB′=B′G,则的值是________.
1. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,将AB边绕点A逆时针旋转90°得到线段AD,将AC边绕点C顺时针旋转90°得到线段CE,AE与BD交于点F.若DF=,EF=,则BC边的长为____________.
2. 如图,已知△ABC是等边三角形,直线l过点C,分别过A,B两点作AD⊥l于点D,作BE⊥l于点E.若AD=4,BE=7,则△ABC的面积为____________.
3. 如图,△ABC和△CDE均为等边三角形,连接BD,AE.
(1)如图1,证明:BD=AE.
(2)如图2,如果D在AC边上,BD交AE于点F,连接CF,过E作EH⊥CF于点H,若FB-FA=6,CF=4DF,求CH的长.
图1 图2
1. 如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线y=x-3经过B,C两点.
(1)过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D,点P是直线CD下方抛物线上的一个动点,且在抛物线对称轴的右侧,过点P作PE⊥x轴于点E,PE交CD于点F,交BC于点M,连接AC,过点M作MN⊥AC于点N,设点P的横坐标为t,线段MN的长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);
(2)在(1)的条件下,连接PC,过点B作BQ⊥PC于点Q(点Q在线段PC上),BQ交CD于点T,连接OQ交CD于点S,当ST=TD时,求线段MN的长.
1. 如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线经过A,C两点,与x轴的另一交点为点B.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点.
①连接BC,CD,设直线BD交线段AC于点E,△CDE的面积为S1,△BCE的面积为S2,求的最大值.
②过点D作DF⊥AC,垂足为点F,连接CD,是否存在点D,使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍?若存在,求点D的坐标;若不存在,请说明理由.
【参考答案】
1. 2. 3. 4. 5 .(1)证明略;(2)CH的长为. 6.(1);
(2)线段MN的长为.7.(1)抛物线的函数表达式为;(2)①的最大值为;②存在,点D的坐标为(-2,3),(,).
第10讲、依据特征构造——最值问题(讲义)
1. 如图,抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4,-4),B(0,4)两点,直线AC:交y轴于点C,点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G.
(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式.
(2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标.
(3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时,以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?求出此时点E,H的坐标;
②在①的前提下,以点E为圆心,EH长为半径作圆,点M为⊙E上一动点,求AM+CM的最小值.
1. 如图,抛物线y=ax2+bx-a-b(a<0,a,b为常数)与x轴交于A,C两点,与y轴交于点B,直线AB的函数关系式为.
(1)求该抛物线的函数关系式与点C的坐标.
(2)已知点M(m,0)是线段OA上的一个动点,过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D,E两点,当m为何值时,△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形?
(3)在(2)问条件下,当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时,动点M相应位置记为点M′,将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON(旋转角在0°到90°之间).
i.探究:线段OB上是否存在定点P(P不与O,B重合),无论ON如何旋转,始终保持不变.若存在,试求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
ii.试求出此旋转过程中,(NA+NB)的最小值.
1. 已知抛物线y=a(x+3)(x-1)(a≠0),与x轴从左至右依次相交于A,B两点,与y轴相交于点C,经过点A的直线与抛物线的另一个交点为D.
(1)若点D的横坐标为2,求抛物线的函数解析式;
(2)若在第三象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与△ABC相似,求点P的坐标;
(3)在(1)的条件下,设点E是线段AD上的一点(不含端点),连接BE.一动点Q从点B出发,沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止,则当点E的坐标是多少时,点Q在整个运动过程中所用时间最少?
1. 如图,抛物线y=x2+bx+c经过B(-1,0),D(-2,5)两点,与x轴另一交点为A,点H是线段AB上一动点,过点H的直线PQ⊥x轴,分别交直线AD、抛物线于点Q,P.
(1)求抛物线的解析式.
(2)是否存在点P,使∠APB=90°?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,说明理由.
(3)连接BQ,一动点M从点B出发,沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q,再沿线段QD以每秒个单位的速度运动到D后停止,当点Q的坐标是多少时,点M在整个运动过程中的用时t最少?
备用图
【参考答案】
1. (1)抛物线的表达式为y=-x2-2x+4;(2)点G的坐标为(-2,4);(3)①此时E(-2,0),H(0,-1);
②AM+CM的最小值为.
2. (1)抛物线的函数表达式为;C(1,0);(2)当m=-4时,△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形;(3)i.存在,P点坐标为(0,3);ii.(NA+NB)的最小值为.
3. (1)抛物线的函数解析式为;(2)点P的坐标为(-4,)或(-6,);
(3)当点E的坐标为(1,)时,点Q在整个运动过程中所用时间最少.
4. (1)抛物线的解析式为y=x2-2x-3;(2)存在,点P的横坐标为或;
(3)当点Q的坐标为(-1,4)时,点M在整个运动过程中的用时t最少.